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2016 年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．（3分）（2016•乐山）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．0B．2C．﹣3 D．4
2．（3分）（2016•乐山）如图是由四个大小完全相同的正方体组成的几何体，那么它的俯视图
是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2016•乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，
则∠A=（ ）
A．35° B．95° C．85° D．75°
4．（3分）（2016•乐山）下列等式一定成立的是（ ）
A．2m+3n=5mn B．（m3）2=m6C．m2•m3=m6D．（m﹣n）2=m2﹣n2
5．（3分）（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2016•乐山）不等式组 的所有整数解是（ ）
第1页（共28页）A．﹣1、0B．﹣2、﹣1 C．0、1 D．﹣2、﹣1、0
7．（3分）（2016•乐山）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且
∠ACD=40°，则∠CAB=（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（3分）（2016•乐山）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数
字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结
果之和为9的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2016•乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，
则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（ ）
A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16
10．（3分）（2016•乐山）如图，在反比例函数y=﹣ 的图象上有一动点A，连接AO并延长交
图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函
数y= 的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
第2页（共28页）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2016•乐山）计算：|﹣5|= ．
12．（3分）（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= ．
13．（3分）（2016•乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若
△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= ．
14．（3分）（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 +|a﹣2|的结果为
．
15．（3分）（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 ，以点C为圆心，CB的
长为半径画弧，与AB边交于点D，将 绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴
影部分的面积为 ．
16．（3分）（2016•乐山）高斯函数[x ，也称为取整函数，即[x 表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3 =2，[﹣1.5 =﹣2． ] ]
则下列结论]： ]
①[﹣2.1 +[1 =﹣2；
②[x +[﹣]x =]0；
③若][x+1 =]3，则x的取值范围是2≤x＜3；
④当﹣1≤]x＜1时，[x+1 +[﹣x+1 的值为0、1、2．
其中正确的结论有 ] ]（写出所有正确结论的序号）．
第3页（共28页）三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）（2016•乐山）计算：20160+ ﹣sin45°﹣3﹣1．
18．（9分）（2016•乐山）解方程： ．
19．（9分）（2016•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结
CE、DF．求证：CE=DF．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2016•乐山）先化简再求值： ，其中x满足x2+x﹣2=0．
第4页（共28页）21．（10分）（2016•乐山）甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击
10次，射击的成绩如图所示．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是 ，乙的中位数是 ；
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
22．（10分）（2016•乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在
A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°
方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏
东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
第5页（共28页）23．（10分）（2016•乐山）如图，反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、
B（ ，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=
的图象有且只有一个交点，求m的值．
24．（10分）（2016•乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点
D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB= ，且sin∠CFD= ，求⊙O的半径与线段AE的长．
第6页（共28页）六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）（2016•乐山）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和
y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结
OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令
CP=x，MP=y．
（1）当x为何值时，OP⊥AP？
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的
面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共28页）26．（13分）（2016•乐山）在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平
移变化后得到如图1所示的△BCD．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成
1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中
△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．
2016 年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．（3分）（2016•乐山）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．0B．2C．﹣3D．4
【分析】根据正数大于一切负数，数轴上右边的数总比左边的大即可确定最大的数．
【解答】解：﹣3，0，2，4这四个数中最大的是4，
故选：D．
【点评】本题主要考查有理数大小比较的知识点，解答本题的关键是熟练掌握实数的知识．
2．（3分）（2016•乐山）如图是由四个大小完全相同的正方体组成的几何体，那么它的俯视图
是（ ）
第8页（共28页）A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形，画出图形即可得出答案．
【解答】解：根据所给的图形可得，它的俯视图是： ．
故选B．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，同时也考查了学生的思考能力和对几何体三种视
图的空间想象能力．
3．（3分）（2016•乐山）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，
则∠A=（ ）
A．35°B．95°C．85°D．75°
【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和．
4．（3分）（2016•乐山）下列等式一定成立的是（ ）
A．2m+3n=5mnB．（m3）2=m6C．m2•m3=m6D．（m﹣n）2=m2﹣n2
【分析】直接利用合并同类项以及幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则和完全平
方公式分别化简求出答案．
【解答】解：A、2m+3n无法计算，故此选项错误；
B、（m3）2=m6，正确；
C、m2•m3=m5，故此选项错误；
D、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算和完全平方
公式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
5．（3分）（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正
确的是（ ）
第9页（共28页）A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB= ，
∵AD⊥BC，
∴sinB= ，
sinB=sin∠DAC= ，
综上，只有C不正确
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
6．（3分）（2016•乐山）不等式组 的所有整数解是（ ）
A．﹣1、0B．﹣2、﹣1C．0、1D．﹣2、﹣1、0
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数即可．
【解答】解： ，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤ ，
则不等式组的解集是﹣2＜x≤ ，
不等式组 的所有整数解是﹣1，0；
故选A．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，
同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是本题的关键．
7．（3分）（2016•乐山）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA=CD，且
∠ACD=40°，则∠CAB=（ ）
第10页（共28页）A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质先求出∠CDA，根据∠CDA=∠CBA，再根据直径的性质得
∠ACB=90°，由此即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACD=40°，CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA= （180°﹣40°）=70°，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠B=20°，
故选B．
【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应
用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）（2016•乐山）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数
字1、2、3、4、5、6．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结
果之和为9的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可以通过列表的方法写出所有的可能性，从而可以得到所得结果之和为9
的概率．
【解答】解：由题意可得，
同时投掷这两枚骰子，所得的所有结果是：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、
（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、
（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、
（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、
（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、
（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），
则所有结果之和是：
2、3、4、5、6、7、
3、4、5、6、7、8、
4、5、6、7、8、9、
5、6、7、8、9、10、
6、7、8、9、10、11、
7、8、9、10、11、12，
∴所得结果之和为9的概率是： ，
第11页（共28页）故选C．
【点评】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是明确题意，列出相应的表格，计算出相应
的概率．
9．（3分）（2016•乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，
则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣16C．15D．16
【分析】a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根，根据根与系数的关系，
化简（a2﹣1）（b2﹣1）即可求解．
【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实根，
∴可得a+b=4，ab=t﹣2，
（a2﹣1）（b2﹣1）=（ab）2﹣（a2+b2）+1=（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，
∴（a2﹣1）（b2﹣1），
=（t﹣2）2﹣16+2（t﹣2）+1，
=（t﹣1）2﹣15，
∵（t﹣1）2≥0，
∴代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是﹣15，
故选：A．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键要掌握x ，x 是方
1 2
程x2+px+q=0的两根时，x +x =﹣p，x x =q．
1 2 1 2
10．（3分）（2016•乐山）如图，在反比例函数y=﹣ 的图象上有一动点A，连接AO并延长交
图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函
数y= 的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出
∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的
性质得出 ，再由tan∠CAB= =2，可得出CF•OF=8，由此即可得出结论．
【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图所示．
第12页（共28页）由直线AB与反比例函数y= 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ ．
∵tan∠CAB= =2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=|﹣2|=2，CF•OF=|k|，
∴k=±8．
∵点C在第一象限，
∴k=8．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的
判定及性质，解题的关键是求出CF•OF=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，
巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特
征找出结论．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）（2016•乐山）计算：|﹣5|= 5 ．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．
【解答】解：|﹣5|=5．
故答案为：5
【点评】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
12．（3分）（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a （ a+ b ）（ a﹣ b ） ．
第13页（共28页）【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方
差公式继续分解可得．
【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
13．（3分）（2016•乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若
△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB= 2 ．
【分析】由DE∥BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求
出DB的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，
∴AD：AB=2：3，
∵AD=4，
∴AB=6，
∴DB=AB﹣AD=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对
应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
14．（3分）（2016•乐山）在数轴上表示实数a的点如图所示，化简 +|a﹣2|的结果为
3 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简求出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，
则 +|a﹣2|
=5﹣a+a﹣2
=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确掌握掌握相关性质是解题
关键．
15．（3分）（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 ，以点C为圆心，CB的
长为半径画弧，与AB边交于点D，将 绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴
影部分的面积为 2\sqrt{3}﹣\frac{2π}{3 } ．
第14页（共28页）【分析】阴影部分的面积等于三角形的面积﹣扇形的面积，根据面积公式计算即可．
【解答】解：由旋转可知AD=BD，
∵∠ACB=90°，AC=2，
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC= AC=2，
∴阴影部分的面积=2 ×2÷2﹣ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形和扇形的面积公式及三角函数值，关键是得到△BCD是等边三角
形．
16．（3分）（2016•乐山）高斯函数[x ，也称为取整函数，即[x 表示不超过x的最大整数．
例如：[2.3 =2，[﹣1.5 =﹣2．
] ]
则下列结论：
] ]
①[﹣2.1 +[1 =﹣2；
②[x +[﹣x =0；
] ]
③若[x+1 =3，则x的取值范围是2≤x＜3；
] ]
④当﹣1≤x＜1时，[x+1 +[﹣x+1 的值为0、1、2．
]
其中正确的结论有 ①③ （写出所有正确结论的序号）．
] ]
【分析】根据[x 表示不超过x的最大整数，即可解答．
【解答】解：①[﹣2.1 +[1 =﹣3+1=﹣2，正确；
]
②[x +[﹣x =0，错误，例如：[2.5 =2，[﹣2.5 =﹣3，2+（﹣3）≠0；
] ]
③若[x+1 =3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；
] ] ] ]
④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2，
]
∴[x+1 =0或1，[﹣x+1 =0或1或2，
当[x+1 =0时，[﹣x+1 =2；当[﹣x+1 =1时，[﹣x+1 =1或0；
] ]
所以[x+1 +[﹣x+1 的值为1、2，故错误．
] ] ] ]
故答案为：①③．
] ]
【点评】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[x 表示不超过x的最大整数．
]
第15页（共28页）三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）（2016•乐山）计算：20160+ ﹣sin45°﹣3﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分母有理化，以及特殊角的三角函数值计算
即可得到结果．
【解答】解：原式=1+ ﹣ ﹣
= ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（9分）（2016•乐山）解方程： ．
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即
可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘x﹣2，得1﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣1），即1﹣3x+6=﹣x+1，
整理得：﹣2x=﹣6，
解得：x=3，
检验，当x=3时，x﹣2≠0，
则原方程的解为x=3．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
19．（9分）（2016•乐山）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结
CE、DF．求证：CE=DF．
【分析】欲证明CE=DF，只要证明△CEB≌△DFC即可．
【解答】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE=CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE=DF．
第16页（共28页）【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的
性质以及全等三角形的判定和性质，属于基础题，中考常考题型．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）（2016•乐山）先化简再求值： ，其中x满足x2+x﹣2=0．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= •
= •
=x（x+1）
=x2+x，
∵x2+x﹣2=0，
∴x2+x=2，
则原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（10分）（2016•乐山）甲、乙两名射击运动员中进行射击比赛，两人在相同条件下各射击
10次，射击的成绩如图所示．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）甲的平均数是 8 ，乙的中位数是 7. 5 ；
（2）分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果来分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义解答即可；
第17页（共28页）（2）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
【解答】解：（1）甲的平均数= =8，乙的中位数是7.5；
故答案为：8；7.5；
（2） ；…（5分） =
，
= ，
∵ ，
∴乙运动员的射击成绩更稳定．
【点评】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明
这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22．（10分）（2016•乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在
A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°
方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏
东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．
【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，
BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出
BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，
由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，
∴BD=AB•cos60°= AB=6，AD=AB•sin60°=6 ，
∴CD=10x+6．
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
解得： （不合题意舍去）．
第18页（共28页）答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出
方程是解决问题的关键．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）（2016•乐山）如图，反比例函数y= 与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、
B（ ，n）．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y=
的图象有且只有一个交点，求m的值．
【分析】（1）由点A在反比例函数的图象上，结合反比例函数图象上的点的坐标特征即可得
出反比例函数的解析式；由点B的横坐标以及反比例函数的解析式即可得出点B的坐标，再
由A、B点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数得解析式；
（2）结合（1）中得结论找出平移后的直线的解析式，将其代入反比例函数解析式中，整理得出
关于x的二次方程，令其根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得
出结论．
【解答】解：（1）∵A（2，2）在反比例函数 的图象上，
∴k=4．
第19页（共28页）∴反比例函数的解析式为 ．
又∵点B（ ，n）在反比例函数 的图象上，
∴ ，解得：n=8，
即点B的坐标为（ ，8）．
由A（2，2）、B（ ，8）在一次函数y=ax+b的图象上，
得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y=﹣4x+10．
（2）将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=﹣4x+10﹣m，
∵直线y=﹣4x+10﹣m与双曲线 有且只有一个交点，
令 ，得4x2+（m﹣10）x+4=0，
∴△=（m﹣10）2﹣64=0，
解得：m=2或m=18．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、根的判别
式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用根的判
别式得出关于m的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将一次函
数解析式代入反比例函数解析式中，由交点的个数结合根的判别式得出方程（或不等式）是
关键．
24．（10分）（2016•乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点
D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB= ，且sin∠CFD= ，求⊙O的半径与线段AE的长．
第20页（共28页）【分析】（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则
∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定
理得到结论；
（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD= = ，则可设OD=3x，OF=5x，所以
AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE= = ，可得到AE= x，接着表示出BE
得到 x= ，解得x= ，于是可得到AE和OD的长．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD= = ，
设OD=3x，则OF=5x，
∴AB=AC=6x，AF=8x，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE= = ，
∴AE= •8x= x，
∵BE=AB﹣AE=6x﹣ x= x，
∴ x= ，解得x= ，
∴AE= • =6，
OD=3• = ，
即⊙O的半径长为 ．
第21页（共28页）【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于
这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决（2）小题的关键．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）（2016•乐山）如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和
y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结
OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令
CP=x，MP=y．
（1）当x为何值时，OP⊥AP？
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的
面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明△OPC∽△PAB，根据相似三角形的性质列出比
例式，得到一元二次方程，解方程即可；
（2）证明△OCM∽△PCO，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（3）过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，根据题意得到△EOA的面积=矩形OABC的面积，
求出ED的长，根据相似三角形的性质求出PM，由（2）的解析式计算即可．
【解答】解：（1）由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，
∵OP⊥AP，
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，
∴∠OPC=∠PAB，
∴△OPC∽△PAB，
∴ ，即 ，
解得x =4，x =1（不合题意，舍去）．
1 2
∴当x=4时，OP⊥AP；
第22页（共28页）（2）∵BC∥OA，
∴∠CPO=∠AOP，
∵∠AOP=∠COM，
∴∠COM=∠CPO，
∵∠OCM=∠PCO，
∴△OCM∽△PCO，
∴ ，即 ，
∴ ，x的取值范围是2＜x＜5；
（3）假设存在x符合题意，
过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2，
∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，
∴ ，
∴ED=4，EF=2，
∵PM∥OA，
∴△EMP∽△EOA，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴由（2） 得， ，
解得 （不合题意舍去），
∴在点P的运动过程中，存在 ，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．
【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握矩
形的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（13分）（2016•乐山）在直角坐标系xOy中，A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平
移变化后得到如图1所示的△BCD．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
第23页（共28页）（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成
1：3两部分，求此时点P的坐标；
（3）现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1：2的速度同时平移，求出在此运动过程中
△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值．
【分析】（1）由旋转，平移得到C（1，1），用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出△BEF∽△BAO，再分两种情况进行计算，由面积比建立方程求解即可；
（3）先由平移得到A B 的解析式为y=2x+2﹣t，A B 与x轴交点坐标为（ ，0）．C B 的
1 1 1 1 1 2
解析式为y= x+t+ ，C B 与y轴交点坐标为（0，t+ ），再分两种情况进行计算即可．
1 2
【解答】解：（1）∵A（0，2）、B（﹣1，0），将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD，
∴BD=OA=2，CD=OB=1，∠BDC=∠AOB=90°．
∴C（1，1）．
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则有 ，
∴
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2，
（2）如图1所示，
第24页（共28页）设直线PC与AB交于点E．
∵直线PC将△ABC的面积分成1：3两部分，
∴ = 或 =3，
过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．
∴△BEF∽△BAO，
∴ ．
∴当 = 时， ，
∴EF= ，BF= ，
∴E（﹣ ， ）
∴直线PC解析式为y=﹣ x+ ，
∴﹣ x2+ x+2=﹣ x+ ，∴x =﹣ ，x =1（舍去），
1 2
∴P（﹣ ， ），
当 时，同理可得，P（﹣ ， ）．
（3）设△ABO平移的距离为t，△A B O 与△B C D 重叠部分的面积为S．
1 1 1 2 1 1
由平移得，A B 的解析式为y=2x+2﹣t，A B 与x轴交点坐标为（ ，0）．
1 1 1 1
C B 的解析式为y= x+t+ ，C B 与y轴交点坐标为（0，t+ ）．
1 2 1 2
①如图2所示，
第25页（共28页）当0＜t＜ 时，△A B O 与△B C D 重叠部分为四边形．
1 1 1 2 1 1
设A B 与x轴交于点M，C B 与y轴交于点N，A B 与C B 交于点Q，连结OQ．
1 1 1 2 1 1 1 2
由 ，
∴ ，
∴Q（ ， ）．
∴S=S +S = × × + ×（t+ ）× =﹣ t2+t+ ．
△QMO △QON
∴S的最大值为 ．
②如图3所示，
当 ≤t＜ 时，△A B O 与△B C D 重叠部分为直角三角形．
1 1 1 2 1 1
设A B 与x轴交于点H，A B 与C D 交于点G．
1 1 1 1 1 1
∴G（1﹣2t，4﹣5t），
∴D H= +1﹣2t= ，D G=4﹣5t．
1 1
第26页（共28页）∴S= D H×D G= × ×（4﹣5t）= （5t﹣4）2．
1 1
∴当 ≤t＜ 时，S的最大值为 ．
综上所述，在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值为 ．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形相似的性质和判定，
分类讨论思想，解本题的关键是分类计算，也是本题的难点．
第27页（共28页）参与本试卷答题和审题的老师有：gbl210；lantin；sdwdmahongye；王学峰；弯弯的小河；
zgm666；曹先生；wangming；蓝月梦；HLing；wd1899；sks；1987483819；wdzyzmsy@126.com；
gsls；1286697702；星月相随（排名不分先后）
菁优网
2016年7月17日
第28页（共28页）
