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2014 年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2 B．2a2+4a3=6a5
C．2a3×3a2=6a5 D．（﹣2ab）2=﹣4a2b2
3．（3 分）我国第六次全国人口普查数据显示，居住城镇的人口总数达到
666000000人，将666000000用科学记数法表示为（ ）
A．66.6×107 B．6.66×107 C．6.66×108 D．0.666×109
4．（3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形
统计图表上述分布情况．已知来自甲地区的为160人，则下列说法不正确的是
（ ）
A．扇形甲的圆心角是72°
B．学生的总人数是800人
C．丙地区的人数比乙地区的人数多160人
D．甲地区的人数比丙地区的人数少160人
5．（3分）在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩
如下表所示：
成绩（个） 8 9 11 12 13 15
人数 1 2 3 4 3 2
这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，4
6．（3分）半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ ）
第1页（共29页）A． R2 B． R C．（ +1）R D．（ +2）R
7．（3分）如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A
恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
8．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013年投入5000万
元，预计2015年投入8000万元．设教育经费连续两年的年平均增长率为x，根
据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2=8000
B．5000x2=8000
C．5000（1+x%）2=8000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2=8000
9．（3分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
10．（3分）已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2﹣ bx+c=0的两根
的差的绝对值等于 ，则△ABC中最大角的度数是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
第2页（共29页）11．（3分）计算： ﹣ ﹣ = ．
12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3= ．
13．（3分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人
成绩比较稳定的是 ．
14．（3分）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数
为 ．
15．（3分）下列命题：①对角线相等的四边形是矩形；②正多边形都是轴对称图
形；③通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；④球的主
视图、左视、俯视图都是圆；⑤如果一个角的两边与另一个解的两边分别平行，
那么这两个角相等，其中是真命题的有 （只需填写序号）．
三、解答题（共9小题，满分75分）
16．（7分）解不等式组 ，并在所给的数轴上表示出其解集．
17．（7分）已知a，b，c均为实数，且 +|b+1|+（c+3）2=0，求关于x的方程
ax2+bx+c=0的根．
第3页（共29页）18．（7分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，
且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）请写出图中两对全等的三角形；
（2）求证：四边形BCEF是平行四边形．
19．（8分）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6 米，
山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF
的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为
20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
第4页（共29页）20．（8分）有三张质地均匀形状相同的卡片，正面分别写有数字﹣2、﹣3、3，将这
三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 m的值，放回
卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为n的值，两次
结果记为（m，n）．
（1）用树状图或列表法表示（m，n）所有可能出现的结果；
（2）化简分式 ﹣ ，并求使分式的值为自然数的（m，n）出现的概率．
21．（8分）如图，点A的坐标为（0，2 ），△AOB是等边三角形，AC⊥AB，直线AC
与x轴和直线OB分别相交于点C和点D，双曲线y= 经过点B．
（1）求k的值；
（2）判断点D是否在双曲线y= 上，并说明理由．
第5页（共29页）22．（9分）市实验学校为创建书香校园，去年进一批图书．经了解，科普书的单价
比文学书的单价多4元，用1500元购进的科普书与1000元购进的文学书本
数相等．
（1）求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用1250元再购进
一批文学书和科普书，问购进科普书65本后至多还能购进多少本文学书？
23．（9分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心， AC长
为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE、AD、DC．
（1）求证：D是 的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若 = ，且AC=6，求CF的长．
第6页（共29页）24．（12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点
在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知
tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠
部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
第7页（共29页）2014 年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣ 的倒数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【考点】17：倒数．
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【分析】据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个数的倒数就是用1除
以这个数，0没有倒数．由此解答．
【解答】解：1÷（﹣ ）=﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查倒数的意义及求一个数的倒数的方法，明确：0没有倒数，1
的倒数是它本身．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3=a2 B．2a2+4a3=6a5
C．2a3×3a2=6a5 D．（﹣2ab）2=﹣4a2b2
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；49：单项
式乘单项式．
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【分析】根据同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，即可解答
【解答】解：A、a6÷a3=a3，故错误；
B、2a2与4a3不是同类项，不能合并，故错误；
C、正确；
D、（﹣2ab）2=4a2b2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容
易混淆，一定要记准法则才能做题．
第8页（共29页）3．（3 分）我国第六次全国人口普查数据显示，居住城镇的人口总数达到
666000000人，将666000000用科学记数法表示为（ ）
A．66.6×107 B．6.66×107 C．6.66×108 D．0.666×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将666000000用科学记数法表示为：6.66×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形
统计图表上述分布情况．已知来自甲地区的为160人，则下列说法不正确的是
（ ）
A．扇形甲的圆心角是72°
B．学生的总人数是800人
C．丙地区的人数比乙地区的人数多160人
D．甲地区的人数比丙地区的人数少160人
【考点】VB：扇形统计图．
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【分析】因为某校学生来自甲，乙，丙三个地区，其人数比为2：5：3，即甲区的人数
是总人数的 = ，利用来自甲地区的为160人，即可求出三个地区的总人
数，进而求出丙地区的学生人数，分别判断即可．
【解答】解：A、根据甲区的人数是总人数的 = ，则扇形甲的圆心角是：
第9页（共29页）×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；
B、学生的总人数是：160÷ =800人，故此选项正确，不符合题意；
C、丙地区的人数为：800× =400，乙地区的人数为：800× =240，则丙地区的
人数比乙地区的人数多400﹣240=160人，故此选项正确，不符合题意；
D、甲地区的人数比丙地区的人数少400﹣160=240人，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了扇形图的应用，先求出总体的人数，再分别乘以各部分所
占的比例，即可求出各部分的具体人数是解题关键．
5．（3分）在一次体育达标测试中，九年级（3）班的15名男同学的引体向上成绩
如下表所示：
成绩（个） 8 9 11 12 13 15
人数 1 2 3 4 3 2
这15名男同学引体向上成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．12，13 B．12，12 C．11，12 D．3，4
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据中位数与众数的定义，从小到大排列后，中位数是第8个数，众数是
出现次数最多的一个，解答即可．
【解答】解：第8个数是12，所以中位数为12；
12出现的次数最多，出现了4次，所以众数为12，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从
大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数
据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会
出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
6．（3分）半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ ）
A． R2 B． R C．（ +1）R D．（ +2）R
【考点】MN：弧长的计算．
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第10页（共29页）【分析】首先根据弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），求
出弧长是多少；然后用弧长加上2条半径的长度，求出半径为R，圆心角为300°
的扇形的周长为多少即可．
【解答】解：
=
=（ +2）R
∴半径为R，圆心角为300°的扇形的周长为（ +2）R．
故选：D．
【点评】（1）此题主要考查了弧长的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；②在弧长的计
算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
（2）此题还考查了扇形的周长的计算方法，要熟练掌握．
7．（3分）如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40°所得，顶点A
恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】由旋转的性质可知AC=EC，BC=DC，∠BCD=∠ACE=40°，在△BCD中，由内角
和定理求∠1，根据外角定理可求∠2．
【解答】解：在△BCD中，∠BCD=∠ACE=40°，BC=CD，
∴△BCD为等腰三角形，
第11页（共29页）∴∠1= （180°﹣40°）=70°，
∵∠BEC为△ACE的外角，
∴∠2+∠DEC=∠ACE+∠A，而∠DEC与∠A为对应角，
∴∠2=∠ACE=40°，
∴∠1+∠2=70°+40°=110°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质的运用．旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心
的连线相等，且夹角为旋转角．
8．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2013年投入5000万
元，预计2015年投入8000万元．设教育经费连续两年的年平均增长率为x，根
据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2=8000
B．5000x2=8000
C．5000（1+x%）2=8000
D．5000（1+x）+5000（1+x）2=8000
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如
果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2013年投入5000万元，预计2015
年投入8000万元”，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：依题意得2015年投入为5000（1+x）2，
∴5000（1+x）2=8000．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，
是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
9．（3分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为
（ ）
第12页（共29页）A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】H2：二次函数的图象．
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【分析】由抛物线的开口方向与对称轴的位置选择选择函数的正确图象，再根据
图象性质计算a的值即可．
【解答】解：由图①和②得，b=0，与b＞0矛盾，所以此两图错误；
由图③得，a＜0，
∵对称轴为x=﹣ ＞0，
∴a、b异号，即b＞0，符合条件；
∵过原点，由a2﹣1=0，得a=±1，
∴a=﹣1；
由图④得，a＞0，
∵对称轴为x=﹣ ＞0，
∴a、b异号，即b＜0，与已知矛盾．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是注意数形结合思想的
应用．
10．（3分）已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2﹣ bx+c=0的两根
的差的绝对值等于 ，则△ABC中最大角的度数是（ ）
A．150° B．120° C．90° D．60°
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【分析】首先利用根与系数的关系得到两根与系数的式子，然后根据方程ax2﹣
bx+c=0的两根的差的绝对值等于 得到（x +x ）2﹣4x x =2，代入得到a和b的
1 2 1 2
关系，从而确定∠B的度数．
第13页（共29页）【解答】解：设x 、x 是ax2﹣ bx+c=0的两根，则x +x =
1 2 1 2
x x = =1，
1 2
∵x ﹣x 的绝对值等于 ，
1 2
∴|x ﹣x |= ，
1 2
解以上方程组：（x +x ）2﹣4x x =2，
1 2 1 2
解得：b= a，
∵b＞a=c，
∴是等腰三角形b为底，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠B=120度，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及根与系数的关系，解题的关键是能够
根据根与系数的关系列出式子并对已知条件进行变形，难度中等．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）计算： ﹣ ﹣ = ﹣ 2 ．
【考点】79：二次根式的混合运算．
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【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．
【解答】解：
=
=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简
等运算，属于基础题．
12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3= b （ a﹣3b ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【专题】11：计算题．
第14页（共29页）【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=b（a2﹣6ab+9b2）=b（a﹣3b）2．
故答案为：b（a﹣3b）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
13．（3分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人
成绩比较稳定的是 乙 ．
【考点】VC：条形统计图；W7：方差．
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【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方
差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数
据越稳定．
【解答】解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳
定．
14．（3分）若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数
为 25 ° 或 155 ° ．
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】首先根据圆周角定理，可得同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半，用⊙O的弦AB所对的圆心角除以2，求出∠C的度数为
多少，然后用180°减去∠C，求出∠C′的度数是多少即可．
【解答】解：如图，
第15页（共29页）∵∠AOB=50°，
∴∠C=50°÷2=25°，
∴∠C′=180°﹣25°=155°，
即弦AB所对的圆周角的度数为25°或155°．
故答案为：25°或155°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆
心角的一半．
15．（3分）下列命题：①对角线相等的四边形是矩形；②正多边形都是轴对称图
形；③通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；④球的主
视图、左视、俯视图都是圆；⑤如果一个角的两边与另一个解的两边分别平行，
那么这两个角相等，其中是真命题的有 ②④ （只需填写序号）．
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据矩形的判定方法，轴对称图形的性质，数据的统计，几何体的三视图，
平行线的性质对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①对角线相等的四边形是矩形，是假命题，例如等腰梯形；
②正多边形都是轴对称图形，是真命题；
③通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况，是假命题；
④球的主视图、左视、俯视图都是圆，是真命题；
⑤如果一个角的两边与另一个解的两边分别平行，那么这两个角相等，是假命题
应为这两个角相等或互补；
综上所述，真命题有②④．
故答案为：②④．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假
第16页（共29页）命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三、解答题（共9小题，满分75分）
16．（7分）解不等式组 ，并在所给的数轴上表示出其解集．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解
集即可；
【解答】解：∵解不等式3x+1＜2（x+2）得：x＜3，
解不等式﹣ x≤ x+2得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等
式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解
集．
17．（7分）已知a，b，c均为实数，且 +|b+1|+（c+3）2=0，求关于x的方程
ax2+bx+c=0的根．
【考点】16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质
算术平方根；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【分析】先根据算术平方根、绝对值、偶次方都大于等于0，三个非负数相加和为
0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．
【解答】解：∵ +|b+1|+（c+3）2=0，
∴a﹣2=0，b+1=0，c+3=0，
∴a=2，b=﹣1，c=﹣3．
方程ax2+bx+c=0即为2x2﹣x﹣3=0，
第17页（共29页）解得x = ，x =﹣1．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法和非负数的性质．解一元二次方程常用
的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活
选用合适的方法．
18．（7分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，
且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）请写出图中两对全等的三角形；
（2）求证：四边形BCEF是平行四边形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．
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【分析】（1）根据SAS可得△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF；
（2）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，
即可判定四边形BCEF是平行四边形；
【解答】解：（1）△ABF≌△DEC，△ABC≌△DEF；
（2）证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形．
第18页（共29页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四
边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强
难度适中，注意数形结合思想的应用．
19．（8分）如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为6 米，
山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF
的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为
20°，求树AB的高度．
（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
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【分析】首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF
的长，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的长，从而求得树高．
【解答】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 米，山坡的坡角为30°．
∴在Rt△BDC中
DC=BC•cos30°=6 • =9米，
∵CF=1米，
∴DF=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGE中，
BG=GE•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG﹣BG=10﹣3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米．
第19页（共29页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角构造直角三角形，并
结合图形利用三角函数解直角三角形．
20．（8分）有三张质地均匀形状相同的卡片，正面分别写有数字﹣2、﹣3、3，将这
三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 m的值，放回
卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为n的值，两次
结果记为（m，n）．
（1）用树状图或列表法表示（m，n）所有可能出现的结果；
（2）化简分式 ﹣ ，并求使分式的值为自然数的（m，n）出现的概率．
【考点】6D：分式的化简求值；X6：列表法与树状图法．
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【分析】（1）首先列表得出所有等可能的情况数；
（2）再找出能使分式有意义的（m，n）情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
﹣2 ﹣3 3
﹣2 （﹣2，﹣2） （﹣3，﹣2） （3，﹣2）
﹣3 （﹣2，﹣3） （﹣3，﹣3） （3，﹣3）
3 （﹣2，3） （﹣3，3） （3，3）
所有等可能的情况有9种；
（2）∵ ﹣ = ﹣ =﹣ = ，
当m=﹣2，n=﹣3分式的值为自然数，
故使分式的值为自然数的（m，n）出现的概率为： ．
【点评】此题考查了列表法求概率以及分式的化简求值，用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）如图，点A的坐标为（0，2 ），△AOB是等边三角形，AC⊥AB，直线AC
与x轴和直线OB分别相交于点C和点D，双曲线y= 经过点B．
（1）求k的值；
第20页（共29页）（2）判断点D是否在双曲线y= 上，并说明理由．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）作BE⊥于x轴于E，由等边三角形的性质可知OA=OB=AB=2 ，
∠AOB=∠ABO=∠BAO=60°，由∠AOC=90°=∠BAC得∠OAC=∠BOE=30°，通过解
直角三角形求得；
（2）过D作DF⊥x轴于F 根据∠BAD=90°，∠B=60°，得出∠ADB=30°，从而得出
∠ADO=∠OAD=30°，得出OD=OA=2 ，解30°角的直角三角形即可求得OF=3，
DF= ，求得D的坐标，代入反比例函数的解析式即可判断点D在双曲线y=
上．
【解答】 解：（1）作BE⊥于x轴于E，
∵△AOB为等边三角形，A（0，2 ），
∴OA=OB=AB=2 ，∠AOB=∠ABO=∠BAO=60°，
∵∠AOC=90°=∠BAC，
∴∠OAC=∠BOE=30°，
∴OE=3，BE= ，
∴B（3， ），
∵双曲线y= 经过点B，
∴k=xy=3 ；
（2）D在双曲线y= 上；
理由：过D作DF⊥x轴于F
∵∠BAD=90°，∠B=60°，
∴∠ADB=30°，
第21页（共29页）∴∠ADO=∠OAD=30°
∴OD=OA=2 ，
又∵∠FOD=30°，
∴OF=3，DF= ，
∴D（﹣3，﹣ ），
∵﹣3×（﹣ ）=3 =k
∴D在双曲线y= 上．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，等边三角形的性质，直角三角
函数的应用，待定系数法求解析式等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关
键．
22．（9分）市实验学校为创建书香校园，去年进一批图书．经了解，科普书的单价
比文学书的单价多4元，用1500元购进的科普书与1000元购进的文学书本
数相等．
（1）求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年书和科普书的单价与去年相比保持不变，该校打算用1250元再购进
一批文学书和科普书，问购进科普书65本后至多还能购进多少本文学书？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据用1500元
购进的科普书与用1000元购进的文学书本数相等，可列方程求解．
（2）设购进科普书65本后还能购进y本文学书，根据用1250元再购进一批文学
书和科普书，得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，
根据题意，得 = ，
解得x=8．
第22页（共29页）经检验：x=8是原分式方程的解，
x+4=12．
答：文学书的单价是8元，则科普书的单价是12元．
（2）设购进科普书65本后还能购进y本文学书，则
12×65+8y≤1250，
解得：y≤58.75，
∵y为整数，
∴y最大是58，
答：购进科普书65本后至多还能购进58本文学书．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，关键是正确
理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
23．（9分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心， AC长
为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE、AD、DC．
（1）求证：D是 的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若 = ，且AC=6，求CF的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据圆周角定理，由AC为直径得到∠AEC=90°，由于OD∥BC，根据平
行线的性质得OD⊥AE，则根据垂径定理得 = ；
（2）延长DO交AB于G点，如图，根据平行线性质得∠OGA=∠B，再利用三角形外
角 性 质 有 ∠ ODA=∠ DGA+∠ GAD ， 加 上 ∠ DAO=∠ ODA ， 于 是 得 到
∠DAO=∠B+∠BAD；
第23页（共29页）（3）作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，则利用三角形面积公式得
S = S ，由 = 得S =S ，再根据圆周角定理，由 = 得到
△OCH △ODC △OCH △CEF
∠ACD=∠ECD，于是可判断 Rt△CEF∽Rt△CHO，根据相似三角形的性质得
=（ ）2=1，所以CF=CO=3．
【解答】（1）证明：∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AE，
∴ = ，
∴D是 的中点；
（2）证明：延长DO交AB于G点，如图，
∵OG∥BC，
∴∠OGA=∠B，
∵∠ODA=∠DGA+∠GAD，
∴∠ODA=∠B+∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）解：作OH⊥CD于H，如图，则CH=DH，
∴S = S ，
△OCH △ODC
第24页（共29页）∵ = ，
∴S =S ，
△OCH △CEF
∵ = ，
∴∠ACD=∠ECD，
∴Rt△CEF∽Rt△CHO，
∴ =（ ）2=1，
∴CF=CO= AC= ×6=3．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握平行线的性质、垂径定理和圆周角定理；
会运用相似三角形的判定与性质判断线段之间的关系．
24．（12分）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点
在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知
tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，
若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠
部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
第25页（共29页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进
而能得到顶点B的坐标．
（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等
腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接
圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE
的 值 ， 结 合 tan∠ CBE 的 值 ， 可 得 到 ∠ CBE=∠ BAE ， 由 此 证 得
∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．
（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形
与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直
角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．
（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部
分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角
形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．
【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．
∴y=﹣x2+2x+3．
则点B（1，4）．
（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
第26页（共29页）∴∠1=∠2=45°，AE= =3 ．
在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= = ．
∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．
∴AB是△ABE外接圆的直径．
在Rt△ABE中，tan∠BAE= = =tan∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE．
在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．
∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．
∴CB是△ABE外接圆的切线．
（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE= ，sin∠BAE= ，cos∠BAE= ；
若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；
①DE为斜边时，P 在x轴上，此时P 与O重合；
1 1
由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO= =tan∠BAE，即
∠DEO=∠BAE
满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P 点，坐标为（0，0）．
1
②DE为短直角边时，P 在x轴上；
2
若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则∠DEP =∠AEB=90°，
2
sin∠DP E=sin∠BAE= ；
2
而DE= = ，则DP =DE÷sin∠DP E= ÷ =10，OP =DP ﹣OD=9
2 2 2 2
即：P （9，0）；
2
③DE为长直角边时，点P 在y轴上；
3
若以 D、E、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，则∠EDP =∠AEB=90°，
3
第27页（共29页）cos∠DEP =cos∠BAE= ；
3
则EP =DE÷cos∠DEP = ÷ = ，OP =EP ﹣OE= ；
3 3 3 3
综上，得：P （0，0），P （9，0），P （0，﹣ ）．
1 2 3
（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．
将A（3，0），B（1，4）代入，得 ，解得 ．
∴y=﹣2x+6．
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x= ，∴F（ ，3）．
情况一：如图2，当0＜t≤ 时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点
H，MN交AE于点S．
则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHG∽△FHM，得 ，即 ．
解得HK=2t．
∴S =S ﹣S ﹣S = ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t•2t=﹣ t2+3t．
阴 △MNG △SNA △HAG
情况二：如图3，当 ＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，
交AE于点V．
由△IQA∽△IPF，得 ．即 ，
解得IQ=2（3﹣t）．
∵AQ=VQ=3﹣t，
∴S = IV•AQ= （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．
阴
第28页（共29页）综上所述：s= ．
【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判
定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大
此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情
况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．
第29页（共29页）
