文档内容
2017 年四川省资阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
2．（3分）如图所示的立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2 B．（x2）3=x5
C． D．x6÷x2=x3
4．（3分）如今网络购物已成为一种常见的购物方式，2016年11月11日当天某电
商平台的交易额就达到了1107亿元，用科学记数法表示为（单位：元）（ ）
A．1.107×1010 B．1.107×1011
C．0.1107×1012 D．1.107×1012
5．（3分）如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，
∠DAE=56°，则∠E的度数为（ ）
第1页（共32页）A．56° B．36° C．26° D．28°
6．（3分）一组数据5，2，6，9，5，3的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5，5，6 B．9，5，5 C．5，5，5 D．2，6，5
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针
旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若一次函数y=mx+n（m≠0）中的m，n是使等式m= 成立的整数，则
一次函数y=mx+n（m≠0）的图象一定经过的象限是（ ）
A．一、三 B．三、四 C．一、二 D．二、四
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2 ，点E是CD的中点，连接AE，将
△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（ ）
A．1 B． C． D．
10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一
次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：
①abc＜0，
②a＜﹣ ，
③a=﹣k，
④当0＜x＜1时，ax+b＞k，
其中正确结论的个数是（ ）
第2页（共32页）A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在题中的横线
上）
11．（3分）使分式 有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球，从中
任意摸出一个球恰好是红球的概率是 ．
13．（3分）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC=
度．
14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a=0有两个不相等的实数根，
则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，点A是函数y =﹣ 图象上一点，连接AO交反比例函数y =
1 2
（k≠0）的图象于点B，若BO=2AB，则k ．
16．（3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小
第3页（共32页）正方形地砖的块数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x=2．
18．（8分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立
卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数
按一、二、三、四班分别记为A ，A ，A ，A ，现对A ，A ，A ，A 统计后，制成如图
1 2 3 4 1 2 3 4
所示的统计图．
（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；
（2）将条形统计图补充完整，并求出A 所在扇形的圆心角的度数；
1
（3）现从A ，A 中各选出一人进行座谈，若A 中有一名女生，A 中有两名女生，请
1 2 1 2
用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．
第4页（共32页）19．（8分）如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于
点E．若∠ACD=60°，∠E=30°．
（1）求证：直线DE与半圆相切；
（2）若BE=3，求CE的长．
20．（8分）如图，一次函数y =kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y = （m≠0，x＜
1 2
0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当x＜0时，比较y 与y 的大小．
1 2
21．（9分）四川省安岳县盛产柠檬和柚子两种水果，今年，某公司计划用两种型
第5页（共32页）号的汽车运输柠檬和柚子到外地销售，运输中要求每辆汽车都要满载满运，且
只能装运一种水果．若用3辆汽车装载柠檬、2辆汽车装载柚子可共装载33吨
若用2辆汽车装载柠檬、3辆汽车装载柚子可共装载32吨．
（1）求每辆汽车可装载柠檬或柚子各多少吨？
（2）据调查，全部销售完后，每吨柠檬可获利700元、每吨柚子可获利500元，计
划用20辆汽车运输，且柚子不少于30吨，如何安排运输才能使公司获利最大，
最大利润是多少元？
22．（9分）如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点E和点D
分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距
E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°，同时测得教学楼外墙外点D
的仰角为30°，从点C沿坡度为1： 的斜坡向上走到点F时，DF正好与水平线
CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求出宣传牌AB的高度（结果精
确到0.0l）．（注：sin67°≈0.92，tan67°≈2.36， ≈1.41， ≈1.73）
23．（11分）在△ABC中，AB=AC＞BC，D是BC上一点，连接AD，作△ADE，使
第6页（共32页）AD=AE，且∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC交AB于F，连接FC．
（1）如图1．
①连接BE，求证：△AEB≌△ADC：
②若D是线段BC的中点，且AC=6，BC=4，求CF的长；
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，且四边形CDEF是矩形，当AC=m，BC=n
时，求CD的长（用含m，n的代数式表示）．
24．（12分）如图，抛物线y=a（x+1）2+4（a≠0）与x轴交于A，C两点，与直线y=x﹣
1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
第7页（共32页）（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AB上方的抛物线上运动．
①点P在什么位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标；
②当点P与点C重合时，连接PE，将△PEB补成矩形，使△PEB上的两个顶点成为
矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶
点的坐标．
第8页（共32页）2017 年四川省资阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．
【考点】15：绝对值．
菁优网版权所有
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的
相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）如图所示的立体图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
菁优网版权所有
【分析】分别找出此几何体从正面看所得到的视图即可．
【解答】解：此立体图形从正面看所得到的图形为矩形，里面有一条竖线，
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应
第9页（共32页）表现在三视图中．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2 B．（x2）3=x5
C． D．x6÷x2=x3
【考点】15：绝对值；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全平方
公式；73：二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【分析】先根据完全平方公式，幂的乘方，二次根式的性质与化简，同底数幂的除
法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误；
B、（x2）3=x6，故本选项错误；
C、故本选项正确；
D、x6÷x2=x4，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，幂的乘方，二次根式的性质与化简，同底数幂
的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
4．（3分）如今网络购物已成为一种常见的购物方式，2016年11月11日当天某电
商平台的交易额就达到了1107亿元，用科学记数法表示为（单位：元）（ ）
A．1.107×1010 B．1.107×1011
C．0.1107×1012 D．1.107×1012
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1
时，n是负数．
【解答】解：1107亿=110700000000=1.107×1011，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学计数法：熟记规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整
数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括
整数位上的0是解题的关键．
第10页（共32页）5．（3分）如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，
∠DAE=56°，则∠E的度数为（ ）
A．56° B．36° C．26° D．28°
【考点】JA：平行线的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据平行线的性质，可得∠DBC=56°，∠E=∠EBC，根据角平分线的定义，可
得∠EBC= ∠DBC=28°，进而得到∠E=28°．
【解答】解：∵AE∥BC，∠DAE=56°，
∴∠DBC=56°，∠E=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC= ∠DBC=28°，
∴∠E=28°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角
相等．
6．（3分）一组数据5，2，6，9，5，3的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．5，5，6 B．9，5，5 C．5，5，5 D．2，6，5
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
菁优网版权所有
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到
大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就
是这组数据的中位数；对于n个数x ，x ，…，x ，则x¯= （x +x +…+x ）就叫做这
1 2 n 1 2 n
n个数的算术平均数进行分析和计算可得答案．
【解答】解：众数是5，
中位数：5，
第11页（共32页）平均数： =5，
故选：C．
【点评】此题主要考查了众数、中位数和平均数，关键是掌握三种数的概念．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针
旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．
菁优网版权所有
【分析】观察图象可S =S +S ﹣S =S ，只要求出AB，∠DAB即可解
阴 扇形ADB △ABC △AED 扇形ABD
决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，
∴AB=AD= =5，
由题意∠EAC=∠DAB=30°，S =S +S ﹣S =S = = ，
阴 扇形ADB △ABC △AED 扇形ABD
故选：D．
【点评】本题考查旋转变换、扇形的面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学
会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
8．（3分）若一次函数y=mx+n（m≠0）中的m，n是使等式m= 成立的整数，则
一次函数y=mx+n（m≠0）的图象一定经过的象限是（ ）
A．一、三 B．三、四 C．一、二 D．二、四
第12页（共32页）【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】根据题意分别求出m、n的值，根据一次函数图象与系数的关系判断即可．
【解答】解：∵n是使等式m= 成立的整数，
∴n=﹣1或﹣3，
则m=1或﹣1，
当m=1，n=﹣1时，y=mx+n经过第一、三、四象限，
当m═1，n=﹣3时，y=mx+n经过第二、三、四象限，
∴一次函数y=mx+n（m≠0）的图象一定经过的象限第三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，掌握k、b对一次函数图象的
影响是解题的关键．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2 ，点E是CD的中点，连接AE，将
△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】过点E作EM⊥CF于点M，在Rt△ADE中利用勾股定理可求出AE的长度，
根据折叠的性质可得出ED=EF、∠AED=∠AEF，进而可得出△CEF为等腰三角形，
根据等腰三角形的性质结合平角等于180°可得出∠AEF+∠FEM=90°，根据同角
的 补 角 相 等 可 得 出 ∠ EAF=∠ FEM ， 结 合 ∠ AFE=∠ EMF=90° 可 得 出
△AFE∽△EMF，再利用相似三角形的性质可求出 MF 的长度，将其代入
CF=2MF即可得出结论．
【解答】解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．
在Rt△ADE中，AD=2 ，DE= AB=1，
第13页（共32页）∴AE= =3．
根据折叠的性质可知：ED=EF，∠AED=∠AEF．
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE=FE，
∴∠FEM=∠CEM，CM=FM．
∵∠DEA+∠AEF+∠FEM+∠MEC=180°，
∴∠AEF+∠FEM= ×180°=90°．
又∵∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠EAF=∠FEM．
∵∠AFE=∠EMF=90°，
∴△AFE∽△EMF，
∴ = ，即 = ，
∴MF= ，CF=2MF= ．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性
质，利用相似三角形的性质求出MF的长度是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一
次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：
①abc＜0，
②a＜﹣ ，
③a=﹣k，
④当0＜x＜1时，ax+b＞k，
其中正确结论的个数是（ ）
第14页（共32页）A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置、抛物线与y轴交点可判断①；由①知
y=ax2﹣2ax+1，根据x=﹣1时y＜0可判断②；由抛物线顶点在一次函数图象上
知a+b+1=k+1，即a+b=k，结合b=﹣2a可判断③；根据0＜x＜1时二次函数图象
在一次函数图象上方知ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，两边都除以x可判断④．
【解答】解：由抛物线的开口向下，且对称轴为x=1可知a＜0，﹣ =1，即b=﹣2a
＞0，
由抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上知c=1，
则abc＜0，故①正确；
由①知y=ax2﹣2ax+1，
∵x=﹣1时，y=a+2a+1=3a+1＜0，
∴a＜﹣ ，故②正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，
∴a+b+1=k+1，即a+b=k，
∵b=﹣2a，
∴﹣a=k，即a=﹣k，故③正确；
由函数图象知，当0＜x＜1时，二次函数图象在一次函数图象上方，
∴ax2+bx+1＞kx+1，即ax2+bx＞kx，
∵x＞0，
第15页（共32页）∴ax+b＞k，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数
的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填在题中的横线
上）
11．（3分）使分式 有意义的x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【考点】62：分式有意义的条件．
菁优网版权所有
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式 有意义．
故答案是：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
⇔
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
⇔
12．（3分）一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球，从中
⇔
任意摸出一个球恰好是红球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全
部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵一个不透明口袋里装有形状、大小都相同的2个红球和4个黑球，
∴从中任意摸出一个球恰好是红球的概率为： = ．
故答案为 ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABC=
第16页（共32页）24 度．
【考点】L3：多边形内角与外角．
菁优网版权所有
【专题】555：多边形与平行四边形．
【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角
108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结
论．
【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都
等于108°
∴∠BAC=360°﹣120°﹣108°=132°
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC= =24°
故答案为：24．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的
内角，正六边形的内角是解题的关键．
14．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a=0有两个不相等的实数根，
则a的取值范围是 a ＞ ﹣ 且 a ≠ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不
等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2a+1）x+a=0有两个不相等的实
数根，
∴ ，
解得：a＞﹣ 且a≠1．
第17页（共32页）故答案为：a＞﹣ 且a≠1．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＞0时，方
程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
15．（3分）如图，点A是函数y =﹣ 图象上一点，连接AO交反比例函数y =
1 2
（k≠0）的图象于点B ，若BO=2AB，则k =﹣ ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】设点A的坐标为（﹣m，n），根据题意用m和n表示出点B的坐标，再根据
反比例函数系数的意义整体代入求出k的值．
【解答】解：设点A的坐标为（﹣m，n），
∵OB=2AB，
∴ = ，
∴点B的坐标为（﹣ m， n），
∵点A在函数y =﹣ 上，
1
∴mn=6，
∵点B在反比例函数y = 上，
2
∴k=﹣ m• n=﹣ mn=﹣ ×6=﹣ ，
故答案为=﹣
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用m和
第18页（共32页）n表示出点A和点B的坐标，此题难度不大．
16．（3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小
正方形地砖的块数是 36 5 ．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；2A：规律型．
【分析】观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色
地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出
黑色地砖的块数，再把n=14代入进行计算即可．
【解答】解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有 [（2n﹣1）2+1]，
当n=14时，黑色地砖的块数有 [（2×14﹣1）2+1]= ×730=365．
故答案为：365．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数
与图案序号之间的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中x=2．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
第19页（共32页）【分析】先将（ ﹣1）÷ 进行化简，然后再将x=2代入求解即可．
【解答】解：原式= • = ．
当x=2时，原式= ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键在于先将（ ﹣1）÷
进行化简，然后再将x=2代入求解．
18．（8分）当前，“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立
卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭的学生人数
按一、二、三、四班分别记为A ，A ，A ，A ，现对A ，A ，A ，A 统计后，制成如图
1 2 3 4 1 2 3 4
所示的统计图．
（1）求七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数；
（2）将条形统计图补充完整，并求出A 所在扇形的圆心角的度数；
1
（3）现从A ，A 中各选出一人进行座谈，若A 中有一名女生，A 中有两名女生，请
1 2 1 2
用树状图表示所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据A 的人数除以A 所占的百分比即可求出总人数．
3 3
（2）根据A 的人数的所占的百分比即可取出圆心角的度数．
1
（3）列出树状图即可求出答案．
【解答】解：（1）总数人数为：6÷40%=15人
（2）A 的人数为15﹣2﹣6﹣4=3（人）
2
补全图形，如图所示
第20页（共32页）A 所在圆心角度数为： ×360°=48°
1
（3）画出树状图如下：
故所求概率为：P= =
【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的公式，本题属
于基础题型．
19．（8分）如图，AB是半圆的直径，AC为弦，过点C作直线DE交AB的延长线于
点E．若∠ACD=60°，∠E=30°．
（1）求证：直线DE与半圆相切；
（2）若BE=3，求CE的长．
【考点】ME：切线的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）连接OC，根据相切的判定证明即可；
（2）根据直角三角形的边角关系解答即可．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵∠ACD=60°，∠E=30°，
∴∠A=30°，
第21页（共32页）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°，
∴直线DE与半圆相切；
（2）在Rt△OCE中，∠E=30°，
∴OE=2OC=OB+BE，
∵OC=OB，
∴OB=BE，
∴OE=2BE=6，
∴CE=OE•cosE= ．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，关键是根据切线的性质和判定进行解答．
20．（8分）如图，一次函数y =kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y = （m≠0，x＜
1 2
0）的图象交于点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当x＜0时，比较y 与y 的大小．
1 2
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意和图象可以分别求得一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C的坐标，然后根据数形结合的思想的
即可解答本题．
【解答】解：（1）反比例函数y = （m≠0，x＜0）的图象过点A（﹣3，1），
2
∴1= ，得m=﹣3，
第22页（共32页）即反比例函数y = ，
2
∵一次函数y =kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y = （m≠0，x＜0）的图象交于
1 2
点A（﹣3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6，
∴ ，得b=4，
∴一次函数y =kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣3，1）与点B（0，4），
1
∴ ，
解得， ，
即一次函数y =x+4；
1
（2） ，
解得， ， ，
∴点C的坐标为（﹣1，3），
∴当﹣1＜x＜0时或x＜﹣3时，y ＜y ，
1 2
当﹣3＜x＜﹣1时，y ＞y ，
1 2
当x=﹣1或x=﹣3时，y =y ．
1 2
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（9分）四川省安岳县盛产柠檬和柚子两种水果，今年，某公司计划用两种型
号的汽车运输柠檬和柚子到外地销售，运输中要求每辆汽车都要满载满运，且
只能装运一种水果．若用3辆汽车装载柠檬、2辆汽车装载柚子可共装载33吨
若用2辆汽车装载柠檬、3辆汽车装载柚子可共装载32吨．
（1）求每辆汽车可装载柠檬或柚子各多少吨？
（2）据调查，全部销售完后，每吨柠檬可获利700元、每吨柚子可获利500元，计
划用20辆汽车运输，且柚子不少于30吨，如何安排运输才能使公司获利最大，
最大利润是多少元？
第23页（共32页）【考点】9A：二元一次方程组的应用；FH：一次函数的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）设每辆汽车可装载柠檬x吨，每辆汽车可装载柚子y吨，根据若用3
辆汽车装载柠檬、2辆汽车装载柚子可共装载33吨，若用2辆汽车装载柠檬、3
辆汽车装载柚子可共装载32吨，列方程组求解；
（2）设用a辆汽车装载柚子，则用（20﹣a）辆汽车装载柠檬，设总利润为y元．根
据柚子不少于30吨列出不等式，求出a的范围，再列出y关于a的函数关系式
根据函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设每辆汽车可装载柠檬x吨，每辆汽车可装载柚子y吨，
根据题意，得 ，
解得 ．
答：每辆汽车可装载柠檬7吨或柚子6吨；
（2）设用a辆汽车装载柚子，则用（20﹣a）辆汽车装载柠檬，设总利润为y元．
根据题意，得6a≥30，解得a≥5．
y=500×6a+700×7（20﹣a）=﹣1900a+98000，
∵﹣1900＜0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=5时，y有最大值，最大值是﹣1900×5+98000=88500．
答：安排5辆汽车运输柚子，15辆汽车运输柠檬，可使公司获利最大，最大利润是
88500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用及一元一次不等式
的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关
系或不等关系．
22．（9分）如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为AB的宣传牌，点E和点D
分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距
E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为67°，同时测得教学楼外墙外点D
的仰角为30°，从点C沿坡度为1： 的斜坡向上走到点F时，DF正好与水平线
CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
第24页（共32页）（2）若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求出宣传牌AB的高度（结果精
确到0.0l）．（注：sin67°≈0.92，tan67°≈2.36， ≈1.41， ≈1.73）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）过点F作FH⊥CE于H．则四边形FHED是矩形，在Rt△CDE中，求出
DE即可解决问题．
（2）根据AB=AD+DE﹣BE，求出AD、BE、DE即可解决问题；
【解答】解：（1）过点F作FH⊥CE于H．
∵FD∥CE，
∵FH∥DE，DF∥HE，∠FHE=90°，
∴四边形FHED是矩形，则FH=DE，
在Rt△CDE中，DE=CE•tan∠DCE=9×tan30°=3 （米），
∴FH=DE=3 （米）．
答：点F到CE的距离为3 米．
（2）∵CF的坡度为1： ，
∴在Rt△FCH中，CH= FH=9（米），
∴EH=DF=18（米），
在Rt△BCE中，BE=CE•tan∠BCE=9×tan67°≈21.24（米），
∴AB=AD+DE﹣BE=18+3 ﹣21.24≈1.95（米），
答：宣传牌AB的高度约为1.95米．
第25页（共32页）【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解直角三
角形等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
23．（11分）在△ABC中，AB=AC＞BC，D是BC上一点，连接AD，作△ADE，使
AD=AE，且∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC交AB于F，连接FC．
（1）如图1．
①连接BE，求证：△AEB≌△ADC：
②若D是线段BC的中点，且AC=6，BC=4，求CF的长；
（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，且四边形CDEF是矩形，当AC=m，BC=n
时，求CD的长（用含m，n的代数式表示）．
【考点】LO：四边形综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）①根据 SAS，由∠DAC=∠EAB，AB=AC，AD=AE，即可推出
△ADC≌△AEB；
②首先证明四边形EDCF是平行四边形，推出ED=CF，由△ADE∽△ACB，可得 =
，推出ED= = = ，由此即可解决问题；
（2）由△FBC∽△DBA，可得 = ，由此求出BD即可；
【解答】（1）①证明：∵∠BAC=∠DAE，
第26页（共32页）∴∠DAC=∠EAB，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ADC≌△AEB．
②解：∵△ADC≌△AEB，
∴∠EBA=∠DCA，EB=DC，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠EBA=∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠ABC=∠EFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴EB=EF，
∴EF=DC，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴ED=CF，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，CD= BC=2，
∴AD= = =4 ，
∵△ADE∽△ACB，
∴ = ，
∴ED= = = ，
∴FC=ED= ．
（2）解：∵四边形CDEF是矩形，
∴∠CDA+∠ADE=90°，
∵∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，
∴∠ABC=∠ADE，
第27页（共32页）∴∠ABC+∠CDA=90°，
∴∠BAD=∠BCF=90°，
∴△FBC∽△DBA，
∴ = ，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠BFC=90°，∠ACB+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴AF=AC，
∴FB=2AC=2m，
∴ = ，BD= ，
∴CD=BD﹣BC= ﹣n= ．
【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于
中考压轴题．
24．（12分）如图，抛物线y=a（x+1）2+4（a≠0）与x轴交于A，C两点，与直线y=x﹣
1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线AB上方的抛物线上运动．
①点P在什么位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标；
②当点P与点C重合时，连接PE，将△PEB补成矩形，使△PEB上的两个顶点成为
矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶
点的坐标．
第28页（共32页）【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出点B的坐标，①设点P（m，﹣m2﹣2m+3），得出PG=﹣m2﹣3m+4，利
用三角形的面积公式建立函数关系式即可得出结论；
②先确定出点E的坐标，进而判断出△BPE是直角三角形，即可作出图形，利用两
直线的交点坐标的求法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A是直线y=x﹣1与x轴的交点，
∴A（1，0），
∵过点A（1，0）在y=a（x+1）2+4，
∴a（1+1）2+4=0，
∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3
（2）由题意知， ，
∴ （是点A的纵横坐标）或 ，
∴B（﹣4，﹣5），
①如图，设点P（m，﹣m2﹣2m+3），
过点P作PG∥y轴交AB于G，
∴G（m，m﹣1），
∴PG=﹣m2﹣2m+3﹣（m﹣1）=﹣m2﹣3m+4，
第29页（共32页）∴S =S +S = PG×（x ﹣x |
△ABP △PBG △PAG A B
= （﹣m2﹣3m+4）（1+4）=﹣ （m+ ）2+ ，
当m=﹣ 时，S 最大，为 ，此时点P（﹣ ， ）；
△ABP
②方法1、由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴C（﹣3，0）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵点E在直线y=x﹣1上，
∴E（﹣1，﹣2），
∵点P与点C重合，
∴P（﹣3，0），
∵B（﹣4，﹣5），
∴PE2=8，BE2=18，BP2=26，
∴PE2+BE2=BP2，
∴△BPE是直角三角形，且∠BEP=90°，
∵C（﹣3，0），E（﹣1，﹣2），
∴直线CE的解析式为y=﹣x﹣3，
∵△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的
对边上，
∴Ⅰ、作出如图1所示的矩形BECD（以BE为矩形的一边），
∴AB∥CD，BD∥CE，
∵B（﹣4，﹣5），
∴直线BD的解析式为y=﹣x﹣9①，
∵直线AB的解析式为y=x﹣1，且AB∥CD，
∴直线CD的解析式为y=x+3②，
联立①②解得， ，
∴D（﹣6，﹣3），
即：矩形未知顶点的坐标（﹣6，﹣3）．
第30页（共32页）Ⅱ、以BP为矩形的一边，如图1所示的矩形BD'F'P，
∵P（﹣3，0），B（﹣4，﹣5），∴直线BP的解析式为y=5x+15，
∵D'F'∥BP，E（﹣1，﹣2），∴D'F'的解析式为y=5x+3③，
∵PF'⊥D'F'，且P（﹣3，0），∴PF'的解析式为y=﹣ x﹣ ④，
联立③④解得， ，
∴F'（﹣ ，﹣ ），
同理：D'（﹣ ，﹣ ）；
方法2、Ⅰ、由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴C（﹣3，0）抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵点E在直线y=x﹣1上，
∴E（﹣1，﹣2），
∵四边形BDCE是矩形，∵C（﹣3，0），
∴点C看作点E平移得到，向左平移2个单位，再向上平移2个单位，
∴点D也是向左平移2个单位，再向上平移2个单位，且B（﹣4，﹣5），
∴D（﹣6，﹣3），
Ⅱ、以BP为矩形的一边，如图1所示的矩形BD'F'P，
∵P（﹣3，0），B（﹣4，﹣5），
∴直线BP的解析式为y=5x+15，
∵D'F'∥BP，E（﹣1，﹣2），
∴D'F'的解析式为y=5x+3③，
∵PF'⊥D'F'，且P（﹣3，0），
∴PF'的解析式为y=﹣ x﹣ ④，
第31页（共32页）联立③④解得， ，
∴F'（﹣ ，﹣ ），
同理：D'（﹣ ，﹣ ）；
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，直角三角
形的判定，解（1）的关键是求出点A坐标，解（2）的关键是判断出△BPE是直角
三角形，是一道中等难度的中考常考题．
第32页（共32页）
