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2014 年四川省广安市中考数学试卷
一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将正确选项填涂到机读
卡上相应的位置（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•广安）﹣ 的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
﹣
2．（3分）（2014•广安）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）•a3=﹣a6 B．x6÷x3=x2 C．| ﹣3|= ﹣3 D．（a2）3=a6
3．（3分）（2014•广安）参加广安市2014年高中阶段教育学生招生考试的学生大约有4.3万人，
将4.3万人用科学记数法表示应为（ ）
A．4.3×104人 B．43×105人 C．0.43×105人 D．4.3×105人
4．（3分）（2014•广安）我市某校举办“行为规范在身边”演讲比赛中，7位评委给其中一名
选手的评分（单位：分）分别为：9.25，9.82，9.45，9.63，9.57，9.35，9.78．则这组数据的中位数
和平均数分别是（ ）
A．9.63和9.54 B．9.57和9.55 C．9.63和9.56 D．9.57和9.57
5．（3分）（2014•广安）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
x= x≠ x≥ x≤
6．（3分）（2014•广安）下列说法正确的是（ ）
A．为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式
B．
若甲组数据的方差S =0.03，乙组数据的方差是S =0.2，则乙组数据比甲组数据稳
定
C．广安市明天一定会下雨
D．一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5
7．（3分）（2014•广安）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．
8．（3分）（2014•广安）如图，一次函数y =k x+b（k 、b为常数，且k ≠0）的图象与反比例函数
1 1 1 1
y = （k 为常数，且k ≠0）的图象都经过点A（2，3）．则当x＞2时，y 与y 的大小关系为（
2 2 2 1 2
）
A．y ＞y B．y =y C．y ＜y D．以上说法都不对
1 2 1 2 1 2
9．（3分）（2014•广安）如图，在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A
匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2014•广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O 为矩形的中心，⊙O 的半径
1 2
为1，O O ⊥AB于点P，O O =6．若⊙O 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O
1 2 1 2 2 2
与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次二、填空题：请把最简答案直接填写在题目后的横线上（本大题共6个小题，每小题3分，共
18分）
11．（3分）（2014•广安）直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点
坐标为 ．
12．（3分）（2014•广安）分解因式：my2﹣9m= ．
13．（3分）（2014•广安）化简（1﹣ ）÷ 的结果是 ．
14．（3分）（2014•广安）若∠α的补角为76°28′，则∠α= ．
15．（3分）（2014•广安）一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°，这个多边形的边
数是 ．
16．（3分）（2014•广安）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为 ，以对角线
BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积
为 （不取近似值）．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）（2014•广安） +（﹣ ）﹣1+（ ﹣5）0﹣ cos30°．
18．（6分）（2014•广安）解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．19．（6分）（2014•广安）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延
长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．
20．（6分）（2014•广安）如图，反比例函数y= （k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．
四、实践应用：本大题共4个小题，第21题6分，第23、24、25题各8分，共30分）
21．（6分）（2014•广安）大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字
﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽
取一张，将其正面的数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片
中随机抽取一张，将其正面的数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率．
22．（8分）（2014•广安）广安某水果点计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种
水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才
能使水果点在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
23．（8分）（2014•广安）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如
图，已知斜坡AB长60 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结
果都保留根号）．
（1）若修建的斜坡BE的坡比为 ：1，求休闲平台DE的长是多少米？
（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角
（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且
HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
24．（8分）（2014•广安）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四
边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下
的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的
四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．
五、推理论证（9分）
25．（9分）（2014•广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，
斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于
点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB= ，求弦DG的长．
六、拓展探究（10分）26．（10分）（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣
4，0），B（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积
为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y= x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC
于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为
：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2014 年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将正确选项填涂到机读
卡上相应的位置（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•广安）﹣ 的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．﹣5
﹣
考点：相反数．
分析：求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
解答：
解：﹣ 的相反数是 ．
故选A．
点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正
数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意
义与倒数的意义混淆．
2．（3分）（2014•广安）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a2）•a3=﹣a6 B．x6÷x3=x2 C．| ﹣3|= ﹣3 D．（a2）3=a6
考点：同底数幂的除法；实数的性质；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：分别进行积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、绝对值的化简等运
算，然后选择正确答案．
解答：解：A、（﹣a2）•a3=﹣a5，故本选项错误；
B、x6÷x3=x3，故本选项错误；
C、| ﹣3|=3﹣ ，故本选项错误；
D、（a2）3=a6，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查了积的乘方和幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、绝对值的化简等
知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）（2014•广安）参加广安市2014年高中阶段教育学生招生考试的学生大约有4.3万人，
将4.3万人用科学记数法表示应为（ ）
A．4.3×104人 B．43×105人 C．0.43×105人 D．4.3×105人
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：4.3万=4 3000=4.3×104，
故选：A．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014•广安）我市某校举办“行为规范在身边”演讲比赛中，7位评委给其中一名
选手的评分（单位：分）分别为：9.25，9.82，9.45，9.63，9.57，9.35，9.78．则这组数据的中位数
和平均数分别是（ ）
A．9.63和9.54 B．9.57和9.55 C．9.63和9.56 D．9.57和9.57
考点：中位数；算术平均数．
分析：根据中位数和平均数的概念求解．
解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：9.25，9.35，9.45，9.57，9.63，9.78，9.82，
则中位数为：9.57，
平均数为： =9.55．
故选B．
点评：本题考查了中位数和平均数的知识，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数
据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇
数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间
两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）（2014•广安）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
x= x≠ x≥ x≤
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式有意义的条件可得5x﹣3≥0，再解不等式即可．
解答：解：由题意得：5x﹣3≥0，
解得：x≥ ，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负
数．
6．（3分）（2014•广安）下列说法正确的是（ ）
A．为了了解全国中学生每天体育锻炼的时间，应采用普查的方式
B．
若甲组数据的方差S =0.03，乙组数据的方差是S =0.2，则乙组数据比甲组数据稳
定
C．广安市明天一定会下雨
D．一组数据4、5、6、5、2、8的众数是5
考点：全面调查与抽样调查；众数；方差；随机事件
分析：A．根据普查的意义判断即可；
B．方差越小越稳定；
C．广安市明天会不会下雨不确定；
D．根据众数的定义判断即可．
解答：解：A．了解全国中学生每天体育锻炼的时间，由于人数较多，应当采用抽样调查，故本
选项错误；
B．甲的方差小于乙的方差所以甲组数据比乙组数据稳定，故本选项错误；
C．广安市明天一定会下雨，不正确；
D．数据4、5、6、5、2、8中5的个数最多，所以众数为5，故本项正确．
故选：D．
点评：本题主要考查了全面调查、方差、众数的意义．7．（3分）（2014•广安）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
分析：找到从上面看所得到的图形即可．
解答：
解：该几何体的俯视图为： ．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
8．（3分）（2014•广安）如图，一次函数y =k x+b（k 、b为常数，且k ≠0）的图象与反比例函数
1 1 1 1
y = （k 为常数，且k ≠0）的图象都经过点A（2，3）．则当x＞2时，y 与y 的大小关系为（
2 2 2 1 2
）
A．y ＞y B．y =y C．y ＜y D．以上说法都不对
1 2 1 2 1 2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：根据两函数的交点坐标，结合图象得出答案即可．
解答：解：∵两图象都经过点A（2，3），
∴根据图象当x＞2时，y ＞y ，
1 2
故选A．
点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的理解能力和观
察图象的能力，题目比较典型，难度不大．
9．（3分）（2014•广安）如图，在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A
匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（ ）A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象
分析：该题属于分段函数：点P在边AC上时，s随t的增大而减小；当点P在边BC上时，s随
t的增大而增大；当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小；当点P在线段AD上时，
s随t的增大而增大．
解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在△ABC中，AC=BC，
∴AD=BD．
①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；
②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；
③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等
于零．故C错误；
④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．故D正确．
故选：D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
10．（3分）（2014•广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O 为矩形的中心，⊙O 的半径
1 2
为1，O O ⊥AB于点P，O O =6．若⊙O 绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O
1 2 1 2 2 2
与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
考点：直线与圆的位置关系．
分析：根据题意作出图形，直接写出答案即可．
解答：解：如图：，⊙O 与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，
2
故选B．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的
距离等于圆的半径．
二、填空题：请把最简答案直接填写在题目后的横线上（本大题共6个小题，每小题3分，共
18分）11．（3分）（2014•广安）直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点
坐标为 （ 0 ，﹣ 3 ） ．
考点：一次函数图象与几何变换．
分析：先由直线直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位可得y=3x﹣3，再根据一次函数
y=kx+b与y轴交点为（0，b）可得答案．
解答：解：直线直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位可得y=3x+2﹣5，
即y=3x﹣3，
则平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
点评：此题主要考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握直线y=kx+b沿y轴平移后，函
数解析式的k值不变，b值上移加、下移减．
12．（3分）（2014•广安）分解因式：my2﹣9m= m （ y+ 3 ）（ y ﹣ 3 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式m，进而利用平方差公式进行分解即可．
解答：解：my2﹣9m=m（y2﹣9）=m（y+3）（y﹣3）．
故答案为：m（y+3）（y﹣3）．
点评：此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
13．（3分）（2014•广安）化简（1﹣ ）÷ 的结果是 x ﹣ 1 ．
考点：分式的混合运算
分析：根据分式混合运算的法则进行计算即可．
解答：
解：原式= •
=x﹣1．
故答案为：x﹣1．
点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键
14．（3分）（2014•广安）若∠α的补角为76°28′，则∠α= 103°3 2 ′ ．
考点：余角和补角；度分秒的换算．
分析：根据互为补角的概念可得出∠α=180°﹣76°28′．
解答：解：∵∠α的补角为76°28′，
∴∠α=180°﹣76°28′=103°32′，
故答案为103°32′．
点评：本题考查了余角和补角以及度分秒的换算，是基础题，要熟练掌握．
15．（3分）（2014•广安）一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°，这个多边形的边
数是 9 ．
考点：多边形内角与外角
分析：多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的3倍多180°，则多边形的内角
和是360×3+180°度，再由多边形的内角和列方程解答即可．
解答：解：设这个多边形的边数是n，由题意得，（n﹣2）×180°=360°×3+180°
解得n=9．
故答案为：9．
点评：本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
16．（3分）（2014•广安）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为 ，以对角线
BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积
为 ﹣ π （不取近似值）．
考点：切线的性质；直角梯形；扇形面积的计算．
分析：连接OE，根据∠ABC=90°，AD= ，∠ABD为30°，可得出AB与BD，可证明△OBE
为等边三角形，即可得出∠C=30°．阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积﹣三角
形ABD的面积﹣三角形OBE的面积﹣扇形ODE的面积．
解答：解：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．
∵∠ABC=90°，AD= ，∠ABD为30°，
∴BD=2 ，
∴AB=3，
∵OB=OE，
∴∠DBC=60°，
∴OF= ，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠BDC=90°，
∴∠C=30°，
∴BC=4 ，
S阴影=S梯形ABCD ﹣S△ABD ﹣S△OBE ﹣S扇形ODE
= ﹣ ﹣ ﹣
= ﹣ ﹣ ﹣π
= ﹣π．
故答案为 ﹣π．
点评：本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）17．（5分）（2014•广安） +（﹣ ）﹣1+（ ﹣5）0﹣ cos30°．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
专题：计算题．
分析：原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数
幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=4﹣2+1﹣ ×
=4﹣2+1﹣
= ．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2014•广安）解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
分析：首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后
再根据x的取值范围找出整数解．
解答：
解： ，
解①得：x≤4，
解②得：x＞2，
不等式组的解集为：2＜x≤4．
则不等式组的整数解：3，4．
点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，关键是掌握解集的规
律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．（6分）（2014•广安）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延
长BC到E，使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：证明题．
分析：根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，
再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角可得∠PBC=∠PEC，从而得证．
解答：证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠PDC=∠PBC，
∵PB=PE，
∴∠PBC=∠PEC，
∴∠PDC=∠PEC．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质
并判断出全等三角形是解题的关键．
20．（6分）（2014•广安）如图，反比例函数y= （k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．
考点：待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式
分析：
（1）利用待定系数法把A（1，3）代入反比例函数y= 可得k的值，进而得到解析式；
（2）根据△AOB的面积为6求出B点坐标，再设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B
两点代入可得k、b的值，进而得到答案．
解答：
解：（1）∵反比例函数y= （k为常数，且k≠0）经过点A（1，3），
∴3= ，
解得：k=3，
∴反比例函数解析式为y= ；
（2）设B（a，0），则BO=a，
∵△AOB的面积为6，
∴ •a•3=6，
解得：a=4，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵经过A（1，3）B（4，0），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+4．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，关键是正确确定出B点坐标．
四、实践应用：本大题共4个小题，第21题6分，第23、24、25题各8分，共30分）
21．（6分）（2014•广安）大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字
﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽
取一张，将其正面的数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片
中随机抽取一张，将其正面的数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率．
考点：列表法与树状图法；根的判别式
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的有：（﹣1，1），（0，1），
（1，1），再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）由（1）可得：满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的有：（﹣1，1），（0，1），（1，
1），
∴满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率为： = ．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）（2014•广安）广安某水果点计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种
水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才
能使水果点在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
分析：（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款
为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润，进而表示出总利润，进而利用一次函数增减性得出
即可．
解答：解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得：
5x+9（140﹣x）=1000，
解得：x=65，
∴140﹣x=75（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，
设总利润为W，由题意可得出：W=3x+4（140﹣x）=﹣x+560，
故W随x的增大而减小，则x越小W越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴140﹣x≤3x，
解得：x≥35，
∴当x=35时，W最大=﹣35+560=525（元），
故140﹣35=105（kg）．
答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
点评：主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用等知
识，利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．
23．（8分）（2014•广安）为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如
图，已知斜坡AB长60 米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去
部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结
果都保留根号）．
（1）若修建的斜坡BE的坡比为 ：1，求休闲平台DE的长是多少米？
（2）一座建筑物GH距离A点33米远（即AG=33米），小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角
（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G，H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且
HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：（1）由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的
长，继而求得平台DE的长；
（2）首先设GH=x米，在Rt△DMH中由三角函数的定义，即可求得GH的长．
解答：解：（1）∵FM∥CG，
∴∠BDF=∠BAC=45°，
∵斜坡AB长60 米，D是AB的中点，
∴BD=30 米，
∴DF=BD•cos∠BDF=30 × =30（米），BF=DF=30米，
∵斜坡BE的坡比为 ：1，
∴ = ，
解得：EF=10 （米），
∴DE=DF﹣EF=30﹣10 （米）；
答：休闲平台DE的长是（30﹣10 ）米；
（2）设GH=x米，则MH=GH﹣GM=x﹣30（米），DM=AG+AP=33+30=63（米），
在Rt△DMH中，tan30°= ，即 = ，解得：x=30+21 ，
答：建筑物GH的高为（30+21 ）米．
点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直
角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
24．（8分）（2014•广安）在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四
边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下
的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的
四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．
考点：作图—应用与设计作图．
分析：平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），剪三次后余下的四边形是菱形的4种
情况画出示意图．
解答：解：①如图，a=4，
②如图，a= ，
③如图，a= ，
④如图，a= ，
点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知行四边形ABCD将平行四边形
分割是解题关键．
五、推理论证（9分）
25．（9分）（2014•广安）如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，
斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于
点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB= ，求弦DG的长．考点：切线的性质
分析：（1）连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，根
据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得
ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即
可得到EA=EC；
（2）由（1）可得AC=2AE=6，结合cos∠ACB= 推知sin∠ACB= ，然后利用圆周角定
理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度．
解答：（1）证明：连AD，如图
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为BC的中点；
（2）解：由（1）知，E为BC的中点，则AC=2AE=6．
∵cos∠ACB= ，∴sin∠ACB= = ．
连接AD，则∠ADC=90°．
在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6× = ．
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB= × = ，
∴DG=2DF= ．点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论
证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
六、拓展探究（10分）
26．（10分）（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣
4，0），B（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积
为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y= x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC
于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为
：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2﹣1，作辅助线，求出
点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2﹣2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一
元二次方程，求得点D的坐标．
解答：解：（1）把点A（﹣4，0）、B（﹣1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，
得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为：y= x2+ x+3．
（2）①如答图2﹣1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵S =6，OA=4，
▱ODAE
∴S△AOD = OA•DH=3，
∴DH= ．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴ x2+ x+3=﹣ ，
解得：x =﹣2，x =﹣3．
1 2
∴点D坐标为（﹣2，﹣ ）或（﹣3，﹣ ）．
当点D为（﹣2，﹣ ）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（﹣3，﹣ ）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．
②假设存在．
如答图2﹣2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN= ：2．
设D（m， m2+ m+3）（m＜0），则F（m， m+3）．
∴CN=﹣m，NF=﹣ m
∴CF= =﹣ m．
∵∠DMF=∠CNF=90°，∠DFM=∠CFN，
∴△DMF∽△CNF，
∴ ，∴DF= CF=﹣ m．
∴DN=NF+DF=﹣ m﹣ m=﹣ m．
又DN=3﹣（ m2+ m+3）=﹣ m2﹣ m，
∴﹣ m2﹣ m=﹣ m
解得：m=﹣ 或m=0（舍去）
∴ m2+ m+3=﹣
∴D（﹣ ，﹣ ）．
综上所述，存在满足条件的点D，点D的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
点评：本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边
形、菱形等知识点．第（2）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形
结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
