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2015 年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只
有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1．（3分）（2015•泸州）﹣7的绝对值为（ ）
A．7 B． C． D．﹣7
﹣
2．（3分）（2015•泸州）计算（a2）3的结果为（ ）
A．a4 B．a5 C．a6 D．a9
3．（3分）（2015•泸州）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•泸州）截止到2014年底，泸州市中心城区人口约为1120000人，将1120000
用科学记数法表示为（ ）
A．1.12×105 B．1.12×106 C．1.12×107 D．1.12×108
5．（3分）（2015•泸州）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．（3分）（2015•泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
7．（3分）（2015•泸州）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16 17 18
人数 2 6 8 3 2 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
第1页（共25页）8．（3分）（2015•泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数
为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
9．（3分）（2015•泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=
﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
10．（3分）（2015•泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则
一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2015•泸州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l
翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（ ）
A．13 B． C． D．12
12．（3分）（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（ ， ），B（3 ，3 ），动点C在x轴
上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）（2015•泸州）分解因式：2m2﹣2= ．
第2页（共25页）14．（3分）（2015•泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥
的底面圆的半径是 ．
15．（3分）（2015•泸州）设x 、x 是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x 2+x 2的值为
1 2 1 2
．
16．（3分）（2015•泸州）如图，在矩形ABCD中，BC= AB，∠ADC的平分线交边BC于点
E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH；②DH=2 EH；③HO= AE；④BC﹣BF= EH
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）（2015•泸州）计算： ×sin45°﹣20150+2﹣1．
18．（6分）（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
19．（6分）（2015•泸州）化简： ÷（1﹣ ）
第3页（共25页）四、（每小题7分，共14分）
20．（7分）（2015•泸州）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区
450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了
样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单位：t） 频数 百分比
2≤x＜3 2 4%
3≤x＜4 12 24%
4≤x＜5
5≤x＜6 10 20%
6≤x＜7 12%
7≤x＜8 3 6%
8≤x＜9 2 4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计
总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的
2个家庭来自不同范围的概率．
21．（7分）（2015•泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购
进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．
两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
第4页（共25页）（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给
出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
五、解答题，每题8分
22．（8分）（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在
观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在
观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，
问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取
近似值）．
23．（8分）（2015•泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴
围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y= 的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且
AC=2BC，求m的值．
第5页（共25页）六、（每小题12分，共24分）
24．（12分）（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过
点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．
25．（12分）（2015•泸州）如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）
三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求
点G的坐标；
第6页（共25页）（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积
为 时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、
Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
第7页（共25页）2015 年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只
有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.
1．（3分）（2015•泸州）﹣7的绝对值为（ ）
A．7 B． C． D．﹣7
﹣
考点：绝对值．
分析：根据当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a可得答案．
解答：解：﹣7的绝对值等于7，
故选：A．
点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②
当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（3分）（2015•泸州）计算（a2）3的结果为（ ）
A．a4 B．a5 C．a6 D．a9
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：根据幂的乘方，即可解答．
解答：解：（a2）3=a6，故选：C．
点评：本题考查了幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
3．（3分）（2015•泸州）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图．
分析：根据左视图是从物体左面看，所得到的图形，通过观察几何体可以得到答案．
解答：解：从几何体的左面看是一个矩形，
∴几何体的左视图是矩形．
故选：C．
点评：本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键，主视图、左视图、俯视图是分别从物体
正面、左面和上面看，所得到的图形．
4．（3分）（2015•泸州）截止到2014年底，泸州市中心城区人口约为1120000人，将1120000
用科学记数法表示为（ ）
A．1.12×105 B．1.12×106 C．1.12×107 D．1.12×108
考点：科学记数法—表示较大的数．
第8页（共25页）分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将1120000用科学记数法表示为：1.12×106．
故选：B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2015•泸州）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
考点：平行线的性质．
分析：先利用平行线的性质易得∠ABC=40°，因为CB平分∠ABD，所以∠ABD=80°，再利用
平行线的性质两直线平行，同旁内角互补，得出结论．
解答：解：∵AB∥CD，∠C=40°，
∴∠ABC=40°，
∵CB平分∠ABD，
∴∠ABD=80°，
∴∠D=100°，
故选B．
点评：本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，利用两直线平行，内错角相等；两直
线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
6．（3分）（2015•泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
考点：菱形的性质；平行四边形的性质．
分析：根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
解答：解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选D．
点评：此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的
性质的理解．
7．（3分）（2015•泸州）某校男子足球队的年龄分布情况如下表：
年龄（岁） 13 14 15 16 17 18
人数 2 6 8 3 2 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15 B．15，14 C．16，15 D．14，15
考点：众数；中位数．
第9页（共25页）分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）
为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；
22名队员中，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，
所以，中位数是（15+15）÷2=15．
故选A．
点评：本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组
数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和
偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则
找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．
8．（3分）（2015•泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数
为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
考点：切线的性质．
分析：由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可
得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度
数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的
度数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质及
定理是解本题的关键．
9．（3分）（2015•泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=
﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2
考点：二次函数与不等式（组） ．
专题：计算题．
分析：由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图
象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可．
解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2．
故选D．
点评：此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关
键．
第10页（共25页）10．（3分）（2015•泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则
一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点：根的判别式；一次函数的图象．
分析：根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出
kb的符号，对各个图象进行判断即可．
解答：解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△ =4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与
判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相
等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔ ⇔
⇔
11．（3分）（2015•泸州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l
翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（ ）
A．13 B． C． D．12
考点：翻折变换（折叠问题） ．
专题：计算题．
分析：利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角
三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的
长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股
定理求出x的值，即可确定出BD的长．
解答：解：过点A作AG⊥BC于点G，
∵AB=AC，BC=24，tanC=2，
∴ =2，GC=BG=12，
∴AG=24，
∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，
过E点作EF⊥BC于点F，
第11页（共25页）∴EF= AG=12，
∴ =2，
∴FC=6，
设BD=x，则DE=x，
∴DF=24﹣x﹣6=18﹣x，
∴x2=（18﹣x）2+122，
解得：x=13，
则BD=13．
故选A．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出
DE的长是解题关键．
12．（3分）（2015•泸州）在平面直角坐标系中，点A（ ， ），B（3 ，3 ），动点C在x轴
上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
分析：首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的
交点，即可求出点C 的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径
1
画弧，与x轴的交点为点C 、C ；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，
2 3
与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．
解答：
解：如图， ，
∵AB所在的直线是y=x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b，
∵点A（ ， ），B（3 ，3 ），
∴AB的中点坐标是（2 ，2 ），
第12页（共25页）把x=2 ，y=2 代入y=﹣x+b，
解得b=4 ，
∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4 ，
∴ ；
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C 、C ；
2 3
AB= =4，
∵3 ＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得
若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．
点评：（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练
掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角
相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的
距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负
数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）（2015•泸州）分解因式：2m2﹣2= 2 （ m+ 1 ）（ m﹣ 1 ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：压轴题．
分析：先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
解答：解：2m2﹣2，
=2（m2﹣1），
=2（m+1）（m﹣1）．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公
式进行二次因式分解．
14．（3分）（2015•泸州）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥
的底面圆的半径是 2 ．
考点：圆锥的计算．
分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解答：
解：扇形的弧长= =4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．
故答案为：2．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
15．（3分）（2015•泸州）设x 、x 是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，则x 2+x 2的值为
1 2 1 2
27 ．
考点：根与系数的关系．
分析：首先根据根与系数的关系求出x +x =5，x x =﹣1，然后把x 2+x 2转化为x 2+x 2=
1 2 1 2 1 2 1 2
（x +x ）2﹣2x x ，最后整体代值计算．
1 2 1 2
解答：解：∵x 、x 是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，
1 2
∴x +x =5，x x =﹣1，
1 2 1 2
第13页（共25页）∴x 2+x 2=（x +x ）2﹣2x x =25+2=27，
1 2 1 2 1 2
故答案为27．
点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之
和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．
16．（3分）（2015•泸州）如图，在矩形ABCD中，BC= AB，∠ADC的平分线交边BC于点
E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH；②DH=2 EH；③HO= AE；④BC﹣BF= EH
其中正确命题的序号是 ①③ （填上所有正确命题的序号）．
考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角
形；矩形的性质．
分析：根据矩形的性质得到AD=BC= AB= ，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等
腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE= CD，得到等腰三角形求出
∠AED=67.5°，∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，得到①正确；设DH=1，则
AH=DH=1，AD=DE= ，求出HE= ，得到2 HE= ≠1，故②
错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；由
△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=
（BE+CE ）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到④错误．
解答：解：在矩形ABCD中，AD=BC= AB= ，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD= AB，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE= CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠AEB，
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1，AD=DE= ，
∴HE= ，
∴2 HE= ≠1，
故②错误；
∵∠AEH=67.5°，
∴∠EAH=22.5°，
∵DH=CH，∠EDC=45°，
∴∠DHC=67.5°，
第14页（共25页）∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5°，
∴OH=OE，
∴OH= AE，
故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
，
∴△AFH≌△CHE，
∴AF=EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=EH，
∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，
故④错误，
故答案为：①③．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判
定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到
三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）（2015•泸州）计算： ×sin45°﹣20150+2﹣1．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 ．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值及二次根式性质化简，第二项利用零指数幂法则
计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答：
解：原式=2 × ﹣1+ =1 ．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2015•泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
第15页（共25页）解答：证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形
全等是解决问题的关键．
19．（6分）（2015•泸州）化简： ÷（1﹣ ）
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
解答：
解：原式= ÷ = • = ．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、（每小题7分，共14分）
20．（7分）（2015•泸州）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区
450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了
样本的频数分布表和频数分布直方图（如图）．
月均用水量（单频数 百分比
位：t）
2≤x＜3 2 4%
3≤x＜4 12 24%
4≤x＜5 1 5 30%
5≤x＜6 10 20%
6≤x＜7 6 12%
7≤x＜8 3 6%
8≤x＜9 2 4%
（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；
（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计
总体中的中等用水量家庭大约有多少户？
（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的
2个家庭来自不同范围的概率．
第16页（共25页）考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状 图法．
分析：（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求
解；
（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用
树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．
解答：解：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户），
则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），
则4≤x＜5的户数是：50﹣2﹣12﹣10﹣6﹣3﹣2=15（户），所占的百分比是：
×100%=30%．
月均用水量（单频数 百分比
位：t）
2≤x＜3 2 4%
3≤x＜4 12 24%
4≤x＜5 15 30%
5≤x＜6 10 20%
6≤x＜7 6 12%
7≤x＜8 3 6%
8≤x＜9 2 4%
（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；
（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．
则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是： = ．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
第17页（共25页）21．（7分）（2015•泸州）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购
进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．
两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）．
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给
出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
专题：应用题．
分析：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B
两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，
两次共花费675元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，根据B种花草的数
量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种
花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
解答：解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得： ，
∴A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31﹣m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31﹣m＜2m，
解得：m＞ ，
∵m是正整数，
∴m最小值=11，
设购买树苗总费用为W=20m+5（31﹣m）=15m+155，
∵k＞0，
∴W随x的减小而减小，
当m=11时，W最小值=15×11+155=320（元）．
答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元．
点评：本题考查了列二元一次方程组，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析
式的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数
关系式是关键．
五、解答题，每题8分
22．（8分）（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在
观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在
观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，
问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取
近似值）．
第18页（共25页）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利
用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30× ，即可得方程，解此方程求得x
的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
解答：解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，
∴tan∠PAC= ，
∴CP=AP•tan∠PAC= x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，
∴BP=AP=x．
∵PC+BP=BC=30× ，
∴ x+x=15，
解得x= ，
∴PB=x= ，
∴航行时间： ÷30= （小时）．
答：该渔船从B处开始航行 小时，离观测点A的距离最近．
点评：此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助
线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
第19页（共25页）23．（8分）（2015•泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴
围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y= 的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且
AC=2BC，求m的值．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：（1）先由一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b=0①，由于一次函
数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后
利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．由△ACD∽△BCE，得出 =
=2，那么AD=2BE．设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．由直线AB的解析式为
y=﹣ x+2，得出A（3﹣3n，2n），B（3+ n，﹣n），再根据反比例函数y= 的图象经过
A、B两点，列出方程（3﹣3n）•2n=（3+ n）•（﹣n），解方程求出n的值，那么m=（3﹣
3n）•2n，代入计算即可．
解答：解：∵一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＜0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴ ×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=﹣ ，则函数的解析式是y=﹣ x+2．
故这个函数的解析式为y=﹣ x+2；
（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ = =2，
∴AD=2BE．
第20页（共25页）设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=﹣ x+2，
∴A（3﹣3n，2n），B（3+ n，﹣n），
∵反比例函数y= 的图象经过A、B两点，
∴（3﹣3n）•2n=（3+ n）•（﹣n），
解得n =2，n =0（不合题意舍去），
1 2
∴m=（3﹣3n）•2n=﹣3×4=﹣12．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三
角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，
难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．
六、（每小题12分，共24分）
24．（12分）（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过
点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．
考点：切线的性质；平行四边形的判定．
分析：（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代
得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知
AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据
切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂
径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
第21页（共25页）∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，
∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE2=EC•DE，
∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），
由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
设OF=x，OH=Y，FH=z，
∵AB=4，BC=6，CD=5，
∴BF= BC﹣FH=3﹣z，DF=CF= BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DMF∽△BFN，
∴ ， ，
即 ，①
②，
①+②得： ，
①÷②得： ，
解 得 ，
∵x2=y2+z2，
∴ ，
∴x= ，
∴OF= ．
点评：本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形
第22页（共25页）的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确
得作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）（2015•泸州）如图，已知二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0），C（2，﹣6）
三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求
点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积
为 时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、
Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可求得直线AC的解析式，设G（k，﹣2k﹣2），可表示出AB、BC、AG的长，由条件
可知只有△AGB∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求得k的值，从而可求得G点坐
标；
（3）可设出D点坐标，从而表示出△ACD的面积，由条件求得D点坐标，可求得DE的
长，再根据平行四边形的性质可得到PQ=DE=2，从而可求得P点坐标．
解答：解：
（1）∵二次函数的图象M经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．
∵二次函数的图象M经过C（2，﹣6）点，
∴﹣6=a（2+1）（2﹣4），解得a=1．
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣4），即y=x2﹣3x﹣4．
（2）设直线AC的解析式为y=sx+t，把A、C坐标代入可得 ，解得 ，
∴线段AC的解析式为y=﹣2x﹣2，
设点G的坐标为（k，﹣2k﹣2）．
∵G与C点不重合，
∴△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．
∴ = ．
∵AB=5，AC= =3 ，AG=
第23页（共25页）= |k+1|，
∴ = ，
∴|k+1|=
∴k= 或k=﹣ （舍去），
∴点G的坐标为（ ，﹣ ）．
（3）能．理由如下：
如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，
∵D（m，n）（﹣1＜m＜2），
∴H（m，﹣2m﹣2）．
∵点D（m，n）在图象M上，
∴D（m，m2﹣3m﹣4）．
∵△ACD的面积为 ，
∴ [﹣2m﹣2﹣（m2﹣3m﹣4） [（m+1）+（2﹣m） = ，即4m2﹣4m+1=0，
解得m= ． ] ]
∴D（ ，﹣ ）．
∵y=x2﹣3x﹣4=（x﹣ ）2﹣ ，
∴图象M的对称轴l为x= ．
∵点D关于l的对称点为E，
∴E（ ，﹣ ），
∴DE= ﹣ =2，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则PQ∥DE且PQ=DE=2．
∴点P的横坐标为 +2= 或 ﹣2=﹣ ，
∴点P的纵坐标为（ ﹣ ）2﹣ =﹣ ，
第24页（共25页）∴点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）．
点评：本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定
理、平行四边形的性质等知识点．在（1）中注意二次函数解析式三种形式的灵活运用，
在（2）中确定出只有△AGB∽△ABC一种情况是解题的突破口，在（3）中求得D点的坐
标从而求得DE的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性质较强，难度较大．
第25页（共25页）
