文档内容
2015 年四川省广安市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意要求，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•广安） 的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
﹣
2．（3分）（2015•广安）在第三届中小学生运动会上，我市共有1330名学生参赛，创造了比赛
组别、人数、项目之最，将1330用科学记数法表示为（ ）
A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105
3．（3分）（2015•广安）下列运算正确的是（ ）
A．5a2+3a2=8a4 B．a3•a4=a12 C．（a+2b）2=a2+4b2 D．
﹣ =﹣4
4．（3分）（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全
国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”
字所在的面上标的字应是（ ）
A．全 B．明 C．城 D．国
5．（3分）（2015•广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
[来
源:Zxxk.Com]
6．（3分）（2015•广安）下列说法错误的是（ ）
A．“伊利”纯牛奶消费者服务热线是4008169999，该十个数的中位数为7
B．服装店老板最关心的是卖出服装的众数
C．要了解全市初三近4万名学生2015年中考数学成绩情况，适宜采用全面调查
D．条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别
7．（3分）（2015•广安）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析
式为（ ）A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y= D．
y=
8．（3分）（2015•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等
腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
9．（3分）（2015•广安）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽
油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x Km，邮箱中剩油量为y L，则y与x之
间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0
C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500
10．（3分）（2015•广安）如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在
第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•广安）如果点M（3，x）在第一象限，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2015•广安）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．
13．（3分）（2015•广安）实数a在数轴的位置如图所示，则|a﹣1|= ．14．（3分）（2015•广安）不等式组 的所有整数解的积为 ．
15．（3分）（2015•广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，
∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 cm2．
16．（3分）（2015•广安）如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用
相同速度匀速滚动一周，用时分别为t 、t 、t ，则t 、t 、t 的大小关系为 ．
1 2 3 1 2 3
三、解答题（本大题共4小题，17题5分，18、19、20题各6分，共23分）
17．（5分）（2015•广安）计算：﹣14+（2﹣2 ）0+|﹣2015|﹣4cos60°．
18．（6分）（2015•广安）解方程： = ﹣1．
19．（6分）（2015•广安）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE
和AD相交于点O，求证：OA=OE．20．（6分）（2015•广安）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例
函数y= （k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC
的中点．
（1）求点A的坐标及一次函数解析式．
（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
四、实践应用（本大题共4个小题，21题6分，22、23、24题各8分，共30分）
21．（6分）（2015•广安）“阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某
校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选
手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所
示．
（1）图中a值为 ．
（2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A 、A 、…A ，从中随机抽取两名选手作经验交
1 2 n
流，请用树状或列表法求恰好抽取到的选手A 和A 的概率．
1 2
[来源:学科网]22．（8分）（2015•广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一
系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大
小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12
箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地 A村（元/辆） B村（元/辆）
车型
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往
A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方
案，并求出最少费用．
23．（8分）（2015•广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，
如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i =1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗
FC
台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα= ，升旗台
高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．24．（8分）（2015•广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六
个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不
同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）
五、推理与论证（9分）
25．（9分）（2015•广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交
⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若 = ，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
六、拓展探究（10分）26．（10分）（2015•广安）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=
x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c顶点E在直线l上．
（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；
[来源:学+科+网]
（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间
的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四
边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．2015 年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意要求，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•广安） 的倒数是（ ）
A．5 B．﹣5 C． D．
﹣
考点：倒数．
.
分析：根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，求一个数的倒数就是把这个数的分子
和分母调换位置．由此解答．
解答：
解： 的倒数是5．
故选A．
点评：此题主要考查倒数的意义，关键是求一个数的倒数的方法．
2．（3分）（2015•广安）在第三届中小学生运动会上，我市共有1330名学生参赛，创造了比赛
组别、人数、项目之最，将1330用科学记数法表示为（ ）
A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：1330用科学记数法表示为1.33×103．
故选B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2015•广安）下列运算正确的是（ ）
A．5a2+3a2=8a4 B．a3•a4=a12 C．（a+2b）2=a2+4b2 D．
﹣ =﹣4
考点：完全平方公式；立方根；合并同类项；同底数幂的乘法．
.分析：根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可．
解答：解：A、5a2+3a2=8a2，错误；
B、a3•a4=a7，错误；
C、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，错误；
D、 ，正确；
故选D．
点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法则计算．
4．（3分）（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全
国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”
字所在的面上标的字应是（ ）
A．全 B．明 C．城 D．国
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．
.
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：解：由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．
故选：C．
点评：此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个
字的特点是解决本题的关键．
5．（3分）（2015•广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
[来
源:Zxxk.Com]
考点：三角形的角平分线、中线和高．
.
分析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
解答：解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选D．
点评：本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连
接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
6．（3分）（2015•广安）下列说法错误的是（ ）
A．“伊利”纯牛奶消费者服务热线是4008169999，该十个数的中位数为7
B．服装店老板最关心的是卖出服装的众数
C．要了解全市初三近4万名学生2015年中考数学成绩情况，适宜采用全面调查
D．条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别
考点：中位数；全面调查与抽样调查；统计图的选择；众数．
.
分析：根据中位数、众数、全面调查和条形统计图的概念解答即可．
[来源:学科网]
解答：解：A、4008169999的中位数是7，正确；
B、服装店老板最关心的是卖出服装的众数，正确；
C、要了解全市初三近4万名学生2015年中考数学成绩情况，适宜采用抽样调查，错
误；
D、条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别，正确；
故选C．
点评：此题考查中位数、众数、全面调查和条形统计图，关键是根据他们的概念解答．
7．（3分）（2015•广安）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析
式为（ ）
A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y= D．
y=
考点：函数自变量的取值范围；在数轴上表示不等式的解集．
.
分析：分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答．
解答：解：A、y=x+2，x为任意实数，故错误；
B、y=x2+2，x为任意实数，故错误；
C、 ，x﹣2≥0，即x≥2，故正确；D、y= ，x+2≠0，即x≠﹣2，故错误；
故选：C．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个
方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8．（3分）（2015•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等
腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
.
分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
解答：解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x =2，x =5，
1 2
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是
2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
点评：本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关
键是求出三角形的三边长．
9．（3分）（2015•广安）某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽
油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x Km，邮箱中剩油量为y L，则y与x之
间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500
考点：根据实际问题列一次函数关系式．
.
分析：根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案．
解答：解：因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 Km时，油箱中的汽油大约消
耗了 ，
可得： L/km，60÷0.12=500（km），
所以y与x之间的函数解析式和自变量取值范围是：y=60﹣0.12x，（0≤x≤500），
故选D．
点评：本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的
取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
10．（3分）（2015•广安）如图，抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在
第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3
考点：二次函数图象与系数的关系．
.
分析：利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，
把x=1代入得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．
解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），
∴0=a﹣b+c，﹣3=c，
∴b=a﹣3，
∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，
∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，
∵顶点在第四象限，a＞0，
∴b=a﹣3＜0，
∴a＜3，∴0＜a＜3，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，
即﹣6＜P＜0．
故选：B．
点评：此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出a与b
的关系，以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•广安）如果点M（3，x）在第一象限，则x的取值范围是 x ＞ 0 ．
考点：点的坐标．
.
分析：根据第一象限内点的横坐标大于零，点的纵坐标大于零，可得答案．
解答：解：由点M（3，x）在第一象限，得x＞0．
故答案为：x＞0．
点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号
特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，
﹣）．
12．（3分）（2015•广安）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 3 5 度．
考点：圆周角定理．
.
分析：由A，B，C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
解答：解：∵∠AOB=70°，
∴∠C= ∠AOB=35°．
故答案为：35．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键
是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．13．（3分）（2015•广安）实数a在数轴的位置如图所示，则|a﹣1|= 1﹣ a ．
考点：实数与数轴；绝对值．
.
分析：根据数轴上的点与实数的一一对应关系得到a＜﹣1，然后利用绝对值的意义得到原式
=﹣（a﹣1），再去括号、合并即可．
解答：解：∵a＜﹣1，
∴a﹣1＜0，
原式=|a﹣1|
=﹣（a﹣1）
=﹣a+1
=1﹣a．
故答案为1﹣a．
点评：本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是明确绝对值的意义以及数轴上的点与实数
的一一对应关系．
14．（3分）（2015•广安）不等式组 的所有整数解的积为 0 ．
考点：一元一次不等式组的整数解．
.
分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x
的所有整数解相乘即可求解．
解答：
解： ，
解不等式①得：x ，
解不等式②得：x≤50，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50，
所以所有整数解的积为0，
故答案为：0．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共
解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．15．（3分）（2015•广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，
∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为 9 cm2．
考点：中点四边形；菱形的性质．
.
分析：连接AC、BD，首先判定四边形EFGH的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出AC与BD
的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可．
解答：解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，
∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，
∴EH= BD=FG，EH∥BD∥FG，
EF= AC=HG，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴AO= AB=3，
∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB= =3 ，
∴BD=6 ，
∵EH= BD，EF= AC，
∴EH=3 ，EF=3，
∴矩形EFGH的面积=EF•FG=9 cm2．
故答案为：9 ．
点评：本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形EFGH的形状为矩形．
16．（3分）（2015•广安）如图，半径为r的⊙O分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用
相同速度匀速滚动一周，用时分别为t 、t 、t ，则t 、t 、t 的大小关系为 t ＞ t ＞ t ．
1 2 3 1 2 3 2 3 1
考点：轨迹．
.
分析：根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案．
解答：解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为3.14，
等边三角型的边长为a≈2，
等边三角形的周长为6；
正方形的边长为b≈1.7，
正方形的周长为1.7×4=6.8；
圆的周长为3.14×2×1=6.28，
[来源:Zxxk.Com]
∵6.8＞6.28＞6，
∴t ＞t ＞t ．
2 3 1
故答案为：t ＞t ＞t ．
2 3 1
点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．
三、解答题（本大题共4小题，17题5分，18、19、20题各6分，共23分）
17．（5分）（2015•广安）计算：﹣14+（2﹣2 ）0+|﹣2015|﹣4cos60°．
考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
.分析：利用有理数的乘方以及特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简求出即可．
解答：解：﹣14+（2﹣2 ）0+|﹣2015|﹣4cos60°
=﹣1+1+2015﹣4×
=2013．
点评：此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质是解题关键．
18．（6分）（2015•广安）解方程： = ﹣1．
考点：解分式方程．
.
分析：观察可得方程最简公分母为：2x﹣4，将方程去分母转化为整式方程即可求解．
解答：解：化为整式方程得：2﹣2x=x﹣2x+4，
解得：x=﹣2，
把x=﹣2代入原分式方程中，等式两边相等，
经检验x=﹣2是分式方程的解．
点评：此题考查分式方程的解法，解分式方程去分母时有常数项的注意不要漏乘，求解后要
进行检验，这两项是都是容易忽略的地方，要注意检查．
19．（6分）（2015•广安）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE
和AD相交于点O，求证：OA=OE．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
.
专题：证明题．
分析：由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得
∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证
明即可．
解答：证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，
可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，
在△AOB和△EOD中，
，
∴△AOB≌△EOD（AAS），
∴OA=OE．
点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度
不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（6分）（2015•广安）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例
函数y= （k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC
的中点．
（1）求点A的坐标及一次函数解析式．
（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
.
分析：（1）根据OA=OB和点B的坐标易得点A坐标，再将A、B两点坐标分别代入y=kx+b，可
用待定系数法确定一次函数的解析式，；
（2）由B是线段AC的中点，可得C点坐标，将C点坐标代入y= （k≠0）可确定反比例函
数的解析式．
解答：解：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），
∴点A（﹣2，0），
点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴ ，解得k=1，b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2．
（2）∵B是线段AC的中点，
∴点C的坐标为（2，4），
又∵点C在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=8；
∴反比例函数的解析式为y= ．
点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解
析式．
四、实践应用（本大题共4个小题，21题6分，22、23、24题各8分，共30分）
21．（6分）（2015•广安）“阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我市某
校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选2﹣3名选
手参赛，现将80名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图，如图所
示．
（1）图中a值为 4 ．
（2）将跳绳次数在160～190的选手依次记为A 、A 、…A ，从中随机抽取两名选手作经验交
1 2 n
流，请用树状或列表法求恰好抽取到的选手A 和A 的概率．
1 2
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布直方图．
.
分析：（1）观察直方图可得：a=80﹣8﹣40﹣28=4；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到的
选手A 和A 的情况，再利用概率公式即可求得答案．
1 2
解答：解：（1）根据题意得：a=80﹣8﹣40﹣28=4，
故答案为：4；（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好抽取到的选手A 和A 的有2种情况，
1 2
∴恰好抽取到的选手A 和A 的概率为： = ．
1 2
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识．用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
[来源:学科网]
22．（8分）（2015•广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一
系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大
小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12
箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地 A村（元/辆） B村（元/辆）
车型
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往
A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方
案，并求出最少费用．
考点：一次函数的应用．
.
分析：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列
方程组求解；
（2）设前往A村的大货车为x辆，则前往B村的大货车为（8﹣x）辆，前往A村的小货车
为（10﹣x）辆，前往B村的小货车为[7﹣（10﹣x）辆，根据表格所给运费，求出y与x
的函数关系式；
]
（3）结合已知条件，求x的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配
方案．解答：解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：
解得： ．
∴大货车用8辆，小货车用7辆．
（2）y=800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）=100x+9400．（0≤x≤10，且x为整
数）．
]
（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，
解得：x≥5，
又∵0≤x≤10，
∴5≤x≤10且为整数，
∵y=100x+9400，
k=100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x=5时，y最小，
最小值为y=100×5+9400=9900（元） ．
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小
货车前往B村．最少运费为9900元．
点评：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各地
的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
23．（8分）（2015•广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，
如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为i =1：10（即EF：CE=1：10），学生小明站在离升旗
FC
台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα= ，升旗台
高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
.分析：首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，分别解可得BG与EF的大小，进
而求得BE、AE的大小，再利用AB=BE﹣AE可求出答案．
解答：解：作DG⊥AE于G，则∠BDG=α，
易知四边形DCEG为矩形．
∴DG=CE=35m，EG=DC=1.6m
在直角三角形BDG中，BG=DG•×tanα=35× =15m，
∴BE=15+1.6=16.6m．
∵斜坡FC的坡比为i =1：10，CE=35m，
FC
∴EF=35× =3.5，
∵AF=1，
∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5，
∴AB=BE﹣AE=16.6﹣4.5=12.1m．
答：旗杆AB的高度为12.1m．
点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形
利用三角函数解直角三角形．
24．（8分）（2015•广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六
个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不
同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）
考点：作图—应用与设计作图．
.
分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，
求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可
把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割
后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把
正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后
得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接
OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积
公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
解答：解：根据分析，可得
．
（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、
△DHG，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2
=2×2÷2
=2（cm2）
（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、
△CFO，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2
=2×2÷2
=2（cm2）
（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、
△CFO，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2
=2×2÷2
=2（cm2）（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，
每个最小的等腰直角三角形的面积是：
（4÷2）×（4÷2）÷2÷2
=2×2÷2÷2
=1（cm2）．
点评：（1）此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此题的关键是结
合正方形的性质和基本作图的方法作图．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．
五、推理与论证（9分）
25．（9分）（2015•广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交
⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若 = ，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
.
分析：（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进
而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质
可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由 = ，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从
而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE
的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得： ，
从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．
解答：（1）证明：连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵ ，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵ = ，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO= =2 ，
∴AE=2OA=4 ，OB=OA=2 ，
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，
∴AC2=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP= =3 ，
∴PB=PA=3 ，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC= BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴ ，
即 ，
解得：BD= ，
在Rt△OBD中，
tanD= = = ．
点评：本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所
求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切
线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
六、拓展探究（10分）
26．（10分）（2015•广安）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=
x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x2+bx+c顶点E在直线l上．
（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；
[来源:学+科+网]
（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间
的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四
边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．
.
分析：（1）通过直线l的解析式求得B的坐标，进而根据正方形的边长即可求得A、D的坐标，
然后利用待定系数法即可求得抛物线经过A，D两点时的解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求得E的纵坐标为 m+2，然后根据三角形的面
积公式即可求得S与m之间的函数解析式；
（3）根据平行四边形的性质得出AC=EQ，AC∥EQ，易证得△EHQ≌△CDA，从而得出E的横
坐标为﹣1，然后代入直线l的解析式即可求得E的坐标．
解答：
解：（1）∵直线l：y= x+2经过点B（x，1），
∴1= x+2，解得x=﹣2，
∴B（﹣2，1），
∴A（﹣2，0），D（﹣3，0），
∵抛物线经过A，D两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线经过A，D两点时的解析式为y═﹣x2﹣5x﹣6；
（2）∵顶点E（m，n）在直线l上，
∴n= m+2，
∴S= ×1×（ m+2）= m+1，
即S= m+1（m≠4）；
（3）如图，若以A，C，E，G为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC=EQ，AC∥EQ，
作EH∥y轴交过Q点平行于x轴的直线相交于H，则EH⊥QH，△EHQ≌△CDA，∴QH=AD=1，
∴E的横坐标为±1，
∵顶点E在直线l上，
∴y= ×（﹣1）+2= ，或y= ×1+2=
∴E（﹣1， ）或（1， ）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的
判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，确定
QH=AD=1是解题的关键．
