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2015 年四川省达州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合要求）
1．（3分）（2015•达州）2015的相反数是（ ）
A． B． C．2015 D．﹣2015
﹣
2．（3分）（2015•达州）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图
如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的
形状图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•达州）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．（a2）3=a6 C．a2+a3=a6 D．a6÷a2=a3
4．（3分）（2015•达州）2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名运
动员的成绩如表所示：
成绩（m） 1.80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．1.70m，1.65m B．1.70m，1.70m C．1.65m，1.60m D．3，4
5．（3分）（2015•达州）下列命题正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．
分式方程 +1= 可化为一元一次方程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5
D．多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t
6．（3分）（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于
点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
第1页（共28页）A．48° B．36° C．30° D．24°
7．（3分）（2015•达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到
点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π B．24π C．6π D．36π
8．（3分）（2015•达州）方程（m﹣2）x2﹣ x+ =0有两个实数根，则m的取值范围
（ ）
A． B． C．m≥3 D．m≤3且m≠2
m＞ m≤ 且m≠2
9．（3分）（2015•达州）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为
（x ，0）、（x ，0），且x ＜x ，图象上有一点M（x ，y ），在x轴下方，则下列判断正确的是（
1 2 1 2 0 0
）
A．a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0 B．a＞0
0 1 0 2
C．b2﹣4ac≥0 D．x ＜x ＜x
1 0 2
10．（3分）（2015•达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD
切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S ：
△AOD
S =AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（ ）
△BOC
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第2页（共28页）二、填空题（本题6个小题，每小题3分，為18分．把最后答案直接填在题中的横线上）
11．（3分）（2015•达州）在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣ 中，最小的是 ．
12．（3分）（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为
cm．
13．（3分）（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40
元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1
元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应
降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为 ．
14．（3分）（2015•达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′
上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为 ．
15．（3分）（2015•达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右
边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a
＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 ．
16．（3分）（2015•达州）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形
A B C O、A B C C 、A B C C …，A 、A 、A …在直线y=x+1上，点C 、C 、C …在x轴上，图
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3
中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S 、S 、S 、…S ，则S 的值为 （用
1 2 3 n n
含n的代数式表示，n为正整数）．
三、解答题，解答对应必要的文字说明，证明过程及盐酸步骤
第3页（共28页）17．（6分）（2015•达州）计算：（﹣1）2015+20150+2﹣1﹣| ﹣ |
18．（7分）（2015•达州）化简 • ﹣ ，并求值，其中a与2、3构成△ABC的
三边，且a为整数．
四、解答题（共2小题，满分15分）
19．（7分）（2015•达州）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将
选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n=
，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利
用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A 、A 表示，
1 2
女生分别用代码B 、B 表示）
1 2
第4页（共28页）20．（8分）（2015•达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，
经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共
需8400元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过
168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？
哪种方案最省钱？
五、解答题（共2小题，满分15分）
21．（7分）（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰
山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距
离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（ 取
1.732，结果保留整数）
第5页（共28页）22．（8分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半
轴上，AO= ，tan∠AOB= ，一次函数y=k
1
x+b的图象过A、B两点，反比例函数y= 的图
象过OA的中点D．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y=k x+b的图象，当一次函数y=k x+b的图象与反比例函数y= 的图象
1 1
无交点时，求b的取值范围．
第6页（共28页）六、解答题（共2小题，满分17分）
23．（8分）（2015•达州）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（ ﹣ ）2≥0，所以a﹣2 +b≥0从而a+b≥2
（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+ ；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+ ≥2 ，所以当x=
，即x= 时，函数y=x+ 的最小值为2 ．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为 ，周长为2（x+ ），求当
x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数y =x+1（x＞﹣1）与函数y =x2+2x+10（x＞﹣1），
1 2
当x= 时， 的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学
生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系
数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均
投入=支出总费用÷学生人数）
24．（9分）（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，
F为 上﹣
点，且 = 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．
第7页（共28页）七、解答题（共1小题，满分12分）
25．（12分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，
OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，
0），二次函数y= x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG
周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
第8页（共28页）2015 年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
要求）
1．（3分）（2015•达州）2015的相反数是（ ）
A． B． C．2015 D．﹣2015
﹣
考点：相反数．
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分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解答：解：2015的相反数是：﹣2015，
故选：D．
点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．（3分）（2015•达州）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图
如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的
形状图是（ ）
A． B． C． D．
考点：由三视图判断几何体；作图-三视图．
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分析：由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，据此可得出图形．
解答：解：根据所给出的图形和数字可得：
主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，
则符合题意的是D；
故选D．
点评：本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形中的数字，可知主视图有3
列，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图有3列，
且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
3．（3分）（2015•达州）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2=a2 B．（a2）3=a6 C．a2+a3=a6 D．a6÷a2=a3
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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专题：计算题．
分析：A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
第9页（共28页）解答：解：A、原式=a3，错误；
B、原式=a6，正确；
C、原式不能合并，错误；
D、原式=a4，错误，
故选B．
点评：此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
4．（3分）（2015•达州）2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名运
动员的成绩如表所示：
成绩（m） 1.80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．1.70m，1.65m B．1.70m，1.70m C．1.65m，1.60m D．3，4
考点：众数；中位数．
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分析：首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断
出这些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它
就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可．
解答：解：∵15÷2=7…1，第8名的成绩处于中间位置，
∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m，
∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m；
∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m，
∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m；
综上，可得
这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m，众数是1.60m．
故选：C．
点评：（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一
组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多
的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一
组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中
间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据
的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）（2015•达州）下列命题正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．
分式方程 +1= 可化为一元一次方程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5
D．多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t
考点：命题与定理．
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分析：根据矩形的性质，全等三角形的判定，分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判
断即可得解．
解答：解：A、矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；
B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；
C、分式方程 +1= 两边都乘以（2x﹣1），可化为一元一次力程x﹣2+（2x﹣
1）=﹣1.5是真命题，故本选项正确；
D、多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t错误，故本选项错误．
第10页（共28页）故选C．
点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命
题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于
点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
考点：线段垂直平分线的性质．
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分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据
线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度
数．
解答：解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂
直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7．（3分）（2015•达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到
点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π B．24π C．6π D．36π
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
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分析：根据题意得出AB=AB′=12，∠BAB′=60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S=
+ π×122﹣ π×122，求出即可．
解答：解：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°
∴图中阴影部分的面积是：
S=S扇形B′AB +S半圆O′ ﹣S半圆O
第11页（共28页）= + π×122﹣ π×122
=24π．
故选B．
点评：本题考查的是扇形的面积及旋转的性质，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图
形的能力，题目比较好，难度适中．
8．（3分）（2015•达州）方程（m﹣2）x2﹣ x+ =0有两个实数根，则m的取值范围
（ ）
A． B． C．m≥3 D．m≤3且m≠2
m＞ m≤ 且m≠2
考点：根的判别式；一元二次方程的定义．
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专题：计算题．
分析：根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到
，然后解不等式组即可．
解答：
解：根据题意得 ，
解得m≤ 且m≠2．
故选B．
点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关
系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个
实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（3分）（2015•达州）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为
（x ，0）、（x ，0），且x ＜x ，图象上有一点M（x ，y ），在x轴下方，则下列判断正确的是（
1 2 1 2 0 0
）
A．a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0 B．a＞0
0 1 0 2
C．b2﹣4ac≥0 D．x ＜x ＜x
1 0 2
考点：抛物线与x轴的交点．
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分析：由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．
解答：解：A、当a＞0时，
∵点M（x ，y ），在x轴下方，
0 0
第12页（共28页）∴x ＜x ＜x ，
1 0 2
∴x ﹣x ＞0，x ﹣x ＜0，
0 1 0 2
∴a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0；
0 1 0 2
当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x ＜x ＜x ，
0 1 2
∴x ﹣x ＜0，x ﹣x ＜0，
0 1 0 2
∴a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0；
0 1 0 2
若点M在对称轴的右侧，则x ＜x ＜x ，
1 2 0
∴x ﹣x ＞0，x ﹣x ＞0，
0 1 0 2
∴a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0；
0 1 0 2
综上所述，a（x ﹣x ）（x ﹣x ）＜0，故本选项正确；
0 1 0 2
B、a的符号不能确定，故本选项错误；
C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；
D、x 、x 、x 的大小无法确定，故本选项错误．
1 0 2
故选A．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论．
10．（3分）（2015•达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD
切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S ：
△AOD
S =AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（ ）
△BOC
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
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分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用
切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选
项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形
EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，
可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相
等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由
相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；由△AOD∽△BOC，可得 =
= = ，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得 ，选项④错
误．
解答：解：连接OE，如图所示：
∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
在Rt△ADO和Rt△EDO中， ，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
第13页（共28页）又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴ = ，即OD2=DC•DE，选项①正确；
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，
∠A=∠B=90°，
∴△AOD∽△BOC，
∴ = = = ，选项③正确；
同理△ODE∽△OEC，
∴ ，选项④错误；
故选C．
点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
二、填空题（本题6个小题，每小题3分，為18分．把最后答案直接填在题中的横线上）
11．（3分）（2015•达州）在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣ 中，最小的是 ﹣ 2 ．
考点：实数大小比较．
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分析：利用任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一
切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，即可得出结果．
解答：解：在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣ 中，最小的是﹣2，
故答案为：﹣2．
点评：本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．
12．（3分）（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为 2
cm．
考点：正多边形和圆．
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分析：根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三
角函数的定义求解即可．
解答：解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA•sin∠OAB= AO= ，
解得：AO=2．．
故答案为：2．
第14页（共28页）点评：本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的
关键．
13．（3分）（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40
元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1
元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应
降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为 （ 40﹣ x ）（ 20+2 x ） =120 0 ．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
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专题：销售问题．
分析：根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润，由平均每天销售这种童装盈
利1200元，进而得出答案．
解答：解：设每件童裝应降价x元，可列方程为：
（40﹣x）（20+2x）=1200．
故答案为：（40﹣x）（20+2x）=1200．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润
是解题关键．
14．（3分）（2015•达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′
上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为 ．
考点：翻折变换（折叠问题）．
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分析：先根据勾股定理求出BF，再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可．
解答：解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，
设BF=x，则FC=FC′=9﹣x，
∵BF2+BC′2=FC′2，
∴x2+32=（9﹣x）2，
解得：x=4，
∵∠FC′M=90°，
∴∠AC′M+∠BC′F=90°，
又∵∠BFC′+BC′F=90°，
∴∠AC′M=∠BFC′
∵∠A=∠B=90°
∴△AMC′∽△BC′F
第15页（共28页）∴
∵BC′=AC′=3，
∴AM= ．
故答案为： ．
点评：本题主要考查了折叠的性质和相似三角形的判定与性质，能够发现△AMC′∽△BC′F是
解决问题的关键．
15．（3分）（2015•达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右
边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a
＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 4≤ a ＜ 5 ．
考点：一元一次不等式组的整数解．
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专题：新定义．
分析：利用题中的新定义化简所求不等式，求出a的范围即可．
解答：解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，
∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，
∴a的范围为4≤a＜5，
故答案为：4≤a＜5
点评：此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（3分）（2015•达州）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形
A B C O、A B C C 、A B C C …，A 、A 、A …在直线y=x+1上，点C 、C 、C …在x轴上，图
1 1 1 2 2 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3
中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S 、S 、S 、…S ，则S 的值为 2 2n﹣ 3 （用含n
1 2 3 n n
的代数式表示，n为正整数）．
考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
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专题：规律型．
分析：根据直线解析式先求出OA =1，得出第一个正方形的边长为1，求得A B =A B =1，再
1 2 1 1 1
求出第一个正方形的边长为2，求得A B =A B =2，第三个正方形的边长为22，求得
3 2 2 2
A B =A B =22，得出规律，根据三角形的面积公式即可求出S 的值．
4 3 3 3 n
第16页（共28页）解答：解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，
∴OA =1，OD=1，
1
∴∠ODA
1
=45°，
∴∠A
2
A
1
B
1
=45°，
∴A B =A B =1，
2 1 1 1
∴S = ×1×1= ，
1
∵A B =A B =1，
2 1 1 1
∴A C =2=21，
2 1
∴S = ×（21）2=21
2
同理得：A C =4=22，…，
3 2
S = ×（22）2=23
3
∴S = ×（2n﹣1）2=22n﹣3
n
故答案为：22n﹣3．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方
形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
三、解答题，解答对应必要的文字说明，证明过程及盐酸步骤
17．（6分）（2015•达州）计算：（﹣1）2015+20150+2﹣1﹣| ﹣ |
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
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专题：计算题．
分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数
指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣1+1+ ﹣ + =1﹣ ．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（7分）（2015•达州）化简 • ﹣ ，并求值，其中a与2、3构成△ABC的
三边，且a为整数．
考 分式的化简求值；三角形三边关系．
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点：
专 计算题．
题：
分 原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
析：
解
答： 解：原式= • + = + = =
，
∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，
∴1＜a＜5，即a=2，3，4，
当a=2或a=3时，原式没有意义，
第17页（共28页）则a=4时，原式=1．
点 此题考查了分式的化简求值，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
评：
四、解答题（共2小题，满分15分）
19．（7分）（2015•达州）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将
选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 4 0 人，扇形统计图中m= 2 0 ，n= 3 0 ，并把条形统计
图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利
用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A 、A 表示，
1 2
女生分别用代码B 、B 表示）
1 2
考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
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分析：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），然后由扇形统计图的知
识，可求得m，n的值，继而补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男
一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），
∵n%= ×100%=30%，
∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，
∴m=20，n=30；
如图：
第18页（共28页）故答案为：40，20，30；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，
∴A等级中一男一女参加比赛的概率为： = ．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2015•达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，
经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共
需8400元．
（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？
（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过
168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？
哪种方案最省钱？
考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
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专题：应用题．
分析：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意列出方程组，求出方
程组的解得到x与y的值，即可得到结果；
（2）设购买平板电脑x台，学习机（100﹣x）台，根据“购买的总费用不超过168000
元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍”列出不等式组，求出不
等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．
解答：解：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，
根据题意得： ，
解得： ，
则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元，800元；
（2）设购买平板电脑x台，学习机（100﹣x）台，
根据题意得： ，
解得：37.03≤x≤40，
正整数x的值为38，39，40，
当x=38时，y=62；x=39时，y=61；x=40时，y=60，
方案1：购买平板电脑38台，学习机62台，费用为114000+49600=163600（元）；
方案2：购买平板电脑39台，学习机61台，费用为117000+48800=165800（元）；
方案3：购买平板电脑40台，学习机60台，费用为120000+48000=168000（元），
则方案1最省钱．
点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量
关系是解本题的关键．
第19页（共28页）五、解答题（共2小题，满分15分）
21．（7分）（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰
山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：
（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；
（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距
离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；
（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；
已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（ 取
1.732，结果保留整数）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边
构造边角关系，进而可求出答案．
解答：解：设AH=x米，
在RT△EHG中，∵∠EGH=45°，
∴GH=EH=AE+AH=x+12，
∵GF=CD=288米，
∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300，
在Rt△AHF中，∵∠AFH=30°，
∴AH=HF•tan∠AFH，即x=（x+300）• ，
解得x=150（ +1）．
∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411（米）
答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，
并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．（8分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半
轴上，AO= ，tan∠AOB= ，一次函数y=k
1
x+b的图象过A、B两点，反比例函数y= 的图
象过OA的中点D．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y=k x+b的图象，当一次函数y=k x+b的图象与反比例函数y= 的图象
1 1
无交点时，求b的取值范围．
第20页（共28页）考点：反比例函数综合题．
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分析：
（1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE=OE= OB，OB⊥AC，由三角函数
tan∠AOB= = ，得出OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得出OA= x=
，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可
求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y= ，求出k 的值即
2
可；
（3）由题意得出方程组 无解，消去y化成一元二次方程，由判别式△＜0，
即可求出b的取值范围．
解答：解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：
∵四边形ABCO是菱形，
∴BE=OE= OB，OB⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∴tan∠AOB= = ，
∴OE=2AE，
设AE=x，则OE=2x，
根据勾股定理得：OA= x= ，
∴x=1，
∴AE=1，OE=2，
∴OB=2OE=4，
∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），
把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y=k x+b得： ，
1
解得：k = ，b=2，
1
∴一次函数的解析式为：y= x+2；
∵D是OA的中点，A（﹣2，1），
∴D（﹣1， ），
把点D（﹣1， ）代入反比例函数y= 得：k =﹣ ，
2
第21页（共28页）∴反比例函数的解析式为：y=﹣ ；
（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y= x+b，
∵一次函数y= x+b的图象与反比例函数y=﹣ 的图象无交点，
∴方程组 无解，
即 x+b=﹣ 无解，
整理得：x2+2bx+1=0，
∴△=（2b）2﹣4×1×1＜0，b2＜1，
解得：﹣1＜b＜1，
∴当一次函数y=k x+b的图象与反比例函数y= 的图象无交点时，b的取值范围是﹣
1
1＜b＜1．
点评：本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一
次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识；本题难度较大，综合性
强，需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果．
六、解答题（共2小题，满分17分）
23．（8分）（2015•达州）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（ ﹣ ）2≥0，所以a﹣2 +b≥0从而a+b≥2
（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+ ；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+ ≥2 ，所以当x=
，即x= 时，函数y=x+ 的最小值为2 ．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为 ，周长为2（x+ ），求当
x= 2 时，周长的最小值为 8 ；
问题2：已知函数y =x+1（x＞﹣1）与函数y =x2+2x+10（x＞﹣1），
1 2
当x= 2 时， 的最小值为 6 ；
第22页（共28页）问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学
生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系
数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均
投入=支出总费用÷学生人数）
考点：二次函数的应用．
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分析：
问题1：根据阅读2得到x+ 的范围，进一步得到周长的最小值；
问题2：将 变形为（x+1）+ ，根据阅读2得到（x+1）+ ，的范围，进一步即可求
解；
问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数
式，再根据阅读2得到范围，从而求解．
解答：
解：问题1：x= （x＞0），解得x=2，
x=2时，x+ 有最小值为2× =4．
故当x=2时，周长的最小值为2×4=8．
问题2：∵函数y =x+1（x＞﹣1），函数y =x2+2x+10（x＞﹣1），
1 2
∴ =（x+1）+ ，
x+1= ，解得x=2，
x=2时，（x+1）+ 有最小值为2× =6．
问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入= =10+0.01x+ =10+0.01（x+ ），
x= （x＞0），解得x=700，
x=700时，x+ 有最小值为2× =1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．
故答案为：2，8；2，6．
点评：
考查了二次函数的应用，本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点：当x= ，即x=
时，函数y=x+ 的最小值为2 ．
24．（9分）（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，
F为 上﹣
点，且 = 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．
（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．
第23页（共28页）考点：圆的综合题．
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分析：（1）由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，
∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得
DB=DA；
（2）由DB=DA，可得 = ，即可得 = ，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS
判定△BCD≌△AFD；
（3）首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD是
等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比
例，求得DE的长．
解答：解：（1）DB=DA．
理由：∵CD是△ABC的外角平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠MCD=∠BAD，
∴∠ACD=∠BAD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴DB=DA；
（2）证明：∵DB=DA，
∴ = ，
∵ = ，
∴AF=BC， = ，
∴CD=FD，
在△BCD和△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD（SSS）；
（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，
∵DB=DA，
∴ = ，
∴DN⊥AB，
∵∠ACM=120°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∵DB=DA，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠OBA=30°，
∴ON= OB= ×5=2.5，
∴DN=ON+OD=7.5，
第24页（共28页）∴BD= =5 ，
∴AD=BD=5 ，
∵ = ，
∴ = ，
∴∠ADC=∠BDF，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACD∽△EBD，
∴ ，
∴ ，
∴DE=12.5．
点评：此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以
及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
七、解答题（共1小题，满分12分）
25．（12分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，
OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，
0），二次函数y= x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG
周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分别作A关于x轴的对称点E，作B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于D，交
第25页（共28页）y轴于C，连接AD、BC，则此时AD+DC+BC的值最小，根据A、B的坐标求出AB，求
出E、F的坐标，求出EF的长，即可求出答案；
（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等
于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物
线交点的坐标即可得到点P的坐标．
解答：
解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y= x2+bx+c，得
，
解得 ．
故二次函数的表达式y= x2﹣ x+4；
（2）如图：
延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y
轴于G点，
GD=GD′EF=E′F，
（DG+GF+EF+ED） 最小=D′E′+DE，
由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．
由勾股定理，得
DE= = ，D′E′= = ，
（DG+GF+EF+ED） 最小=D′E′+DE= + ；
（3）如下图：
OD= ．
∵S△ODP的面积=12，
∴点P到OD的距离= =3 ．
过点O作OF⊥OD，取OF=3 ，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P
1
，P
2
，
在Et△OGF中，OG= = =6，
∴直线GF的解析式为y=x﹣6．
将y=x﹣6代入y= 得：x﹣6= ，
第26页（共28页）解得： ， ，
将x 、x 的值代入y=x﹣6得：y = ，y =
1 2 1 2
∴点P （ ， ），P （ ， ）
1 2
如下图所示：
过点O作OF⊥OD，取OF=3 ，过点F作直线FG交抛物线与P
3
，P
4
，
在Rt△PFO中，OG= =6
∴直线FG的解析式为y=x+6，
将y=x+6代入y= 得：x+6=
解得： ，
y =x +6= ，y =x +6=
1 1 2 2
∴p （ ， ），p （ ， ）
3 4
综上所述：点P的坐标为：（ ， ）或（ ， ）或（
， ）或（ ， ）．
点评：本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得
第27页（共28页）此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．
第28页（共28页）
