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班级 姓名 学号 分数
第三章 概率的进一步认识单元测试（A卷·夯实基础）
（时间：60分钟，满分：100分）
一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2021·全国九年级课时练习）学校60周年校庆，要从甲、乙、丙三人中选两名志愿者，甲被选中的概
率是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】
列举出任选两人的可能情况，再将甲被选中结果数除以总结果数．
【详解】
解：甲，乙，丙三人要选2个，可能结果为甲乙、甲丙、乙丙，共3种，其中甲被选中的结果有2种，所
以甲被选中的概率是 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
2．（2021·全国）有4条线段，分别为 ， ， ， ，从中任取3条，能构成直角三角形的概
率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
列举出所有情况，让能构成直角三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
解：4条线段的全部组合有 ，共四组．能构成直
角三角形的组合只有 一组，
（能构成直角三角形） ．故选：C．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率，解题关键是列出所有可能，能熟练运用概率公式求解．
3．（2021·全国）随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
首先利用列举法，列得所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求得答案．
【详解】
解：随机掷一枚均匀的硬币两次，
可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴两次正面都朝上的概率是 ．
故选：A．
【点睛】
此题考查了列举法求概率的知识．解题的关键是注意不重不漏的列举出所有等可能的结果，用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2020·全国九年级课时练习）在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球 个、红球 个，从盒子
里任意摸出 个球，摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用概率公式求解．
【详解】
解：从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了概率公式：某事件的概率 某事件所占的情况数与总情况数之比．
5．（2021·苏州市相城区望亭中学九年级月考）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分别求出正方形和三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案.
【详解】
正方形的面积=1×4=4
三角形的面积=
∴落在△ABC内部的概率=
故答案选择C.
【点睛】
本题考查的是概率的求法，解题的关键是用面积之比来代表事件发生的概率.
6．（2021·全国七年级课前预习）如图，两个转盘分别自由转动一次，当停止转动时，两个转盘的指针都
指向2的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
两个转盘分别自由转动一次后，共出现以下16种等可能的情况，指针都指向2的情况只有1种， （两个转盘的指针都指向2） ．
7．如图，随机闭合开关S、S、S 中的两个，则灯泡发光的概率为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先确定三个开关闭合两个的组合数，再确定能使灯泡发光的组合数，然后利用概率公式计算即可．
【详解】
∵随机闭合开关S、S、S 中的两个，有SS、SS 、SS 光共3种结果，其中灯泡发光的有SS 、SS 共
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3
2种结果，所以灯泡发光的概率为P= ，
故选：B．
【点睛】
本题考查概率公式，熟练掌握用概率公式求概率的方法是解答的关键．
8．（2020·全国九年级课时练习）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示：
种子个数 200 300 500 700 800 900 1000
发芽种子的个
187 282 735 624 718 814 901
数
发芽种子的频
0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901
率
有下面四个推断：
①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概
率约为0.9（精确到0.1）；
③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率；
④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽．
其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】
①发芽率=发芽种子数除以总种子数；②频率稳定在0.9可估计概率约是0.9；③不能用特殊值代表概率；
④用概率估计总体.
【详解】
①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率大约是0.891，故错误；②随着种子数
量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精
确到0.1），故正确；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错
误；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽，故
正确．其中正确的是②④，
故选D．
【点睛】
本题考查频率与概率、频率估计概率、概率估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键，难度容易.
9．（2020·全国九年级课时练习）在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方
法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次．其中哪位同学的实验相对
科学( )
A．小明 B．小亮 C．小颖 D．小静
【答案】D
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．
【详解】
解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的小静．
故选： ．
【点睛】
考查了利用频率估计概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．10．（2021·全国九年级专题练习）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年
级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【分析】
先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
【详解】
解：样本中身高不低于170cm的频率 ，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的
幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这
个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2021·江苏八年级期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1枚，朝上一面的点数为偶数的概率是
_____．
【答案】
【详解】
解：根据题意可得，掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，所
以朝上一面的点数为偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率公式．
12．（2020·全国九年级课时练习）抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面
的频率是____．
【答案】0.45
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，频率=所求情况数与总情况数之比，求出出现正面的频率即可．
【详解】
解：出现正面的频率是 =0.45．
故答案为：0.45．
【点睛】
本题主要考查了频数与频率，解题的关键是利用频率=所求情况数与总情况数之比求出频率．
13．某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者．初一（1）班、初一（2）班、初一（3）班
各有2名同学报名参加，现从这6名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（3）班
同学的概率是____________．
【答案】
【分析】
用初一（3）班报名学生人数除以总人数即可得．
【详解】
解：∵在这6名同学中，有2人来自初一（3）班，
∴被选中的这名同学恰好是初一（3）班同学的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（2021·全国九年级课时练习）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机
抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是__________．
【答案】
【分析】
依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】
解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况，
一根标有 ，一根标有 的有 ， 与 ， 两种情况，
一根标有 ，一根标有 的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或
两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
15．如果m是从0.1两个数中任取的一个数，n是从0、1、2三个数中任取的一个数，那么能使m不小于n
成立的概率为_____________．
【答案】
【分析】
总共有6种情况，再找出满足题意的几种情况即可计算．
【详解】
当m取0时，n可以取3种，其中1种m不小于n；
m取1时n可以取3种，其中2种m不小于n；
（1＋2）：（3＋3）＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率的计算公式，比较基础．
16．（2021·天津南开·）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．
小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有____个．
【答案】6
【分析】
球的总数乘以红球所占球的总数的比例即为红球的个数．
【详解】
红球个数为：40×15%＝6个，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅
度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
17．（2020·全国九年级课时练习）某种绿豆在相同条件下发芽的实验结果如下表，根据表中数据估计这种
绿豆发芽的概率约是____（保留三位小数）．
每批粒数 2 10 50 100 500 1000 2000 3000
发芽的粒数 2 9 44 92 463 928 1866 2794
发芽的频率 1 0.9 0.88 0.92 0.926 0.928 0.933 0.931
【答案】0.931
【分析】
根据大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即可解答．
【详解】
根据表格可知实验批次为3000粒绿豆的实验粒数最多，发芽频率为0.931，所以根据频率和概率的关系得：
这种绿豆发芽的概率为0.931．
故答案为：0.931．
【点睛】
本题考查用频率估计概率，了解大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解答本题的关键．
18．（2020·全国九年级课时练习）如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件
下移植成活的概率为________．（结果精确到0.01）【答案】0.88
【分析】
根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概
率解答即可．
【详解】
解：在大量重复试验的情况下，频率的稳定值作为概率的估计值，即次数越多，频率越接近于概率，则这
种幼树移植成活的概率约为0.88．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情
况数与总情况数之比，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（共5小题，满分46分）
19．(9分)（2020·浙江杭州·九年级期末）一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们
除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。
(请用列表或画树状图等方法)
【答案】
【分析】
画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【详解】
解：画树状图如下：∴摸得两次白球的概率=
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步
完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．(9分)（2020·浙江杭州外国语学校九年级月考）对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，
结果如下：
(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n 50 100 500 1000 5000
优等品数m 45 92 455 890 4500
优等品频率
(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?
【答案】（1）见解析；（2）0.9
【分析】
（1）根据表格中所给的样本容量和频数，由频率=频数：样本容量，得出“优等品”的频率，然后填入表
中即可；
（2）用频率来估计概率，频率一般都在0.9左右摆动，所以估计概率为0.9，这是概率与频率之间的关系，
即用频率值来估计概率值．
【详解】
解：（1）“优等品”的频率分别为45÷50=0.9，92÷100=0.92，455÷500=0.91，890÷1000=0.89，
4500÷5000=0.9．填表如下：
抽取球数n 50 100 500 1000 5000
优等品数m 45 92 455 890 4500
优等品频率 0.9 0.92 0.91 0.89 0.9
（2）由于“优等品”的频率都在0.9左右摆动，故该厂生产的羽毛球“优等品”的概率约是0.9．
【点睛】
本题是一个统计问题，考查样本容量，频率和频数之间的关系，这三者可以做到知二求一，本题是一个基
础题，可以作为选择题和填空题出现．
21．(9分)（2020·全国九年级课时练习）如图，转盘被等分成10个扇形，每个扇形上面写有一个有理数．
任意转动转盘，求转得下列各数的概率．
（1）转得正数；
（2）转得负整数；
（3）转得绝对值不大于5的数．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有÷可能出现的结果数即可求解；
（2）根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有÷可能出现的结果数即可求解；
（3）根据随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有÷可能出现的结果数即可求解．
【详解】
解：（1）10个数中正数有5个，
所以P（转得正数）= ；（2）10个数中负整数有3个，
所以P（转得负整数）= ；
（3）10个数中转得绝对值不大于5的数有6个，
所以P（转得绝对值不大于5的数）= ．
【点睛】
本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
22．(9分)一个不透明的袋中装有3个球，这3个球分别标有数字1，2，3，这3个球除数字外其他完全相
同.
（1）如果--次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求摸到的两个球标有的数字的积为奇数的概率；
（2）小明和小亮玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下数字后放回，搅匀后再由
小亮随机摸出一个球，记下数字.谁摸出的球的数字大，谁获胜.请你用画树状图或列表的方法分析游戏规
则对双方是否公平?并说明理由.
【答案】(1) ;(2) 游戏规则对双方公平.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）可用列表法求解；（2）用列表法求出小明，小亮各自获胜的概率，进行比较即可.
【详解】
（1）列表如下：
第二张
1 2 3
第一张
1
2
3
由表格可知，共有6种等可能的结果，其中摸到的两个球标有的数字的积为奇数的结果数为2， （数字的积为奇数） .
（2）游戏规则对双方公平.理由如下：
列表如下：
小亮
1 2 3
小明
1
2
3
由表格可知， （小明获胜） ， （小亮获胜） ，
（小明获胜） （小亮获胜），
游戏规则对双方公平，
【点睛】
本题考查了概率，当事件的发生只经过两个步骤时用列表法列出所有可能发生的情况，依据定义求概率，
熟练掌握列表法是解题的关键.
23．(10分)（2021·河北九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，
小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近_____ (精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概
率为______；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
(3)在(2)条件下如果要使摸到白球的概率为 ，需要往盒子里再放入多少个白球？【答案】（1）0.50；0.5；（2）20个、20个；（3）10.
【分析】
（1）根据所给“频率折线图”进行分析判断即可；
（2）根据（1）中所得概率进行计算即可；
（3）设需再放入x个白球，结合（2）中结果列出方程 ，解此方程即可得到所求答案.
【详解】
解：(1)根据题意可得：当n足够大时，摸到白球的概率会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为
0.5；
(2)∵40×0.5=20，40-20=20，
∴盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；
(3)设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：
，
解得x=10，
经检验，x=10是所列方程的根，
故需要往盒子里再放入10个白球.
【点睛】
熟悉某事件发生的概率与频率间的关系：“在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定下来，在某
个常数周围作小幅波动时，我们就说这个常数是该事件发生的概率”是解答本题的关键.
