文档内容
北师大版（2024）第三章《位置与坐标》3.2平面直角坐标系（2）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 平面直角坐标系（2） 课时 1
掌握工具：掌握平面直角坐标系这一基本数学工具；
课标 渗透思想：渗透数形结合的数学思想；
要求 初步运用：运用平面直角坐标系解决简单问题。
《平面直角坐标系》是新北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》第二节内容.本章是“位
置与坐标”的主体内容。本节课时第二课时，利用适当的方法建立平面直角坐标系，利用直角坐
教材 标系知识来解决实际问题等内容，有了平面直角坐标系，我们可以从“数”的角度进一步认识
分析 几何变换。平面直角坐标系也是后续学习函数、平面解析几何的必备知识，同时，平面直角坐标
系与现实世界的密切联系。更让学生认识到数学与人类生活有着密切联系和对人类历史发展起
着重要的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.
在前面的学习中，学生已经掌握了平面直角坐标系有关概念。点在坐标轴、象限的坐标特
学情 征；平行于坐标轴点的坐标特征，各象限的符号，这些均为完成本节课的学习目标奠定基础，但
分析 学生对如何从实际问题中抽象出数学模型（平面直角坐标系）缺乏经验，建立适当的直角坐标系
是本节课的关键。
1、巩固平面直角坐标系有关概念,建立适当的直角坐标系。
核心
2、利用直角坐标系的知识解决实际问题。
素养
目标 3、让学生体会数学来源于实践，体会数形结合思想。
教学 建立适当的直角坐标系。
重点
教学 利用平面直角坐标系解决实际问题。
难点
教学 课件、课前检测题
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 一、平面直角坐标系的概念： 1、回顾上节 通过知识回顾，
平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平 课知识。 完成课前检测题，
面直角坐标系，水平的数轴叫x轴（横轴），取向向右 2、完成课前 为本节课的典例精
为正方向，铅直的数轴叫y轴（纵轴），取向 检测题 析奠基。
为向 上 正方向， x轴和 y轴统称坐标轴。两轴的交点
是 原点 。这个平面叫 坐标 平面。
二、点的坐标的确定
平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线，垂足在
x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐
标，则有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
1三、坐标轴上点的坐标的特征
任何一个在 y轴上的点的横坐标都为0。
任何一个在 x轴上的点的纵坐标都为0。
四、各象限的划分及符号特征
两条数轴把平面分成4个部分，右上为第一象限。按逆
时针分别为第二、三、四象限。
二、课前检测
1、已知点A（1+m，2m+1）在x轴上，则m= -0. 5 ，此时
坐标为 （ 0.5, 0 ） 。
2、已知点A（5，2）和点B（-3，b），且AB∥x轴，则b=
2 。
3、已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B
（n，m）在第 二 象限
4、已知点P（x，y）的坐标满足xy=0，则点P的位置在（
D ）
A、原点 B、x 轴上 C、y轴上 D、x轴
2上或y轴上
5、在平面直角坐标系中，顺次连接（2，3），（-2，3），
（-4，2），（4，2）所成的四边形是（ D ）
A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、等腰梯形
6、点P 一定（ D ）
A、在第一，三象限 B、在第一，四象限
C、在x轴的下方 D、不在x轴的下方
7、点P（x，y）满足xy＞0，且x+y＞0，则点P在第一象
限 。
8、已知三角形各顶点的坐标A（-3，0），B（3，0），C（0，
），则此三角形为 等腰 三角形
四、典例 例题1：在平面直角坐标系中 1、完成课本 通过例题的学习，
精析 描出下列各点（课本p61例题2）。 例 题 2 的 学 经历小组思考的交
(1)D(-3,5), E(-7,3), C(1,3), D(-3,5) 习； 流讨论，使学生掌
(2)F(-6,3), G(-6,0), A(0,0),B (0,3)
2、完成课本 握由于建立的平面
61 页的尝试 坐标系的原点位置
观察描出的图形，它像什么？并回答下面问题。
与思考。 不同，点的坐标也
3、完成课本 发生改变。体验数
例题3、4的学 型结合的思想在实
（1）图中那些点在坐
习； 际生活中的运用。
标轴上，它们的坐标
4、完成课本
有什么特征？
64 页的尝试
答：点B在Y轴上，横
与思考.
坐标是0；点G在X轴上，纵坐标是0.
5、小组交流
（2）线段EC和X轴有怎样的位置关系？点E和点C的
讨论如何建立
纵坐标有什么关系？线段EC上的其它点呢?
适当的平面直
答;线段EC和X轴平行，点E和点C的纵坐标的纵坐
角坐标系。
标相同，线段EC上的其它点的纵坐标都相同
（3）点F和点G的横坐标有什么关系？线段FG与y轴
有怎样的位置关系？
答：点F和点G的横坐标相同，线段FG与y轴平行。
强调：点在X轴上，纵坐标为0，形如（a,0).
点在y轴上，横坐标为0，形如（0,b).
横坐标相同的点所在的直线平行于Y轴；
纵坐标相同的点所在的直线平行于X轴，
尝试与思考
（1）在“笑脸”图上找出几个位于第一象限的点？找
出位于其它象限的点。
答：第一象限的点（5,2），（2,3）
第二象限的点（-5,2），（-2,3）
3第三象限的点（-1,-1），（-3,-3）
第四象限的点（1,1），（3,-3）
（2）不描点，判断A(1,2);B(-1,-3)，C（2,-1），D（-3,4）所
在的象限。
答：A点在第一象限；B点在第三象限；
C点在第四象限；D点在第二象限。
温馨提示：记住个象限的符号特征即可作出判断
例题3：如图, 矩形ABCD的长宽分别是6 , 4 , 建立适
当的坐标系,并写出各个顶点的坐标.
A(6,4); B(0,4);
A(0,4); B(-6,4);
C(0,0); D(6,0). C(-6,0); D(0,0).
A(0,0); B(-6,0);
A(6,0); B(0,0);
C(-6,-4); D(0,-4).
C(-4,0); D(6,-4).
4A(3,2); B(-3,2);
C(-3,-2); D(3,-2).
试试看还有其他方法吗？
例4、对于边长为4的正ΔABC,建立适当的直角坐标系,
写出各个顶点的坐标.
A(2, 2 ); A(0, 0 );
B(0,0); B(-2,-2 )
C(4,0); C(2,-2 )
A(-2, 2 ); A(0, 02 );
B(-4,0); B(-2,0)
C(0,0); C(2,0)
试试看还有其他方法吗？
尝试与思考（课本第64页）
在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，
2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标
为（4，4），除此之外不知道其他信息，如何确定直角坐
标系找到“宝藏”？请跟同伴交流。
提示: 连接两个标志点, 作所得线段的中垂线,并以这条
线为横轴，那如何来确定纵轴?
思考：如何适当地建立直角坐标系
1.先以图形的某个顶点为平面直角坐标系的原点，画两
条互相垂直的数轴。
2.根据几何图形在平面直角坐标系的位置，写出顶点坐
5标。
3.由于平面直角坐标系的原点位置不同。顶点坐标也不
一样。
五、课堂 基础达标： 独立完成课堂 引导学生能够在课
作业 1.平面直角坐标系中，点（1,﹣2）在（ D ） 练习。拓展延 堂练习的完成过程
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 伸适当提示小 中对要点知识加深
2.若点P（m，1-2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点 组交流讨论完 巩固，有效应用。
P一定在（ D ） 成。
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若有点A和点B，坐标分别为A（3,2），B（2,3）,则（ C
）
A.A，B为同一个点 B.A，B为重合的两点
C.A，B为不重合的两点 D.无法确定
4.如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系
是（ A ）
A.横坐标相等 B.纵坐标相等
C.横坐标的绝对值相等 D.纵坐标的绝对值相等
5.点P在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是
3，则P点的坐标是 P （ -3, 2 ）
6.在平面直角坐标系中，点A是y轴上一点，若它的坐
标为（a﹣1，a+1），另一点B的坐标为（a+3，a﹣5），则点
B的坐标是 （ 4 ，﹣ 4 ）．
7.已知线段AB=3，AB∥x轴，若点A的坐标为（﹣2，3），
则点B的坐标为 （ 1 ， 3 ）或（﹣ 5 ， 3 ）．
能力提升：
8.如图为A，B，C三点在坐标平面上的位置图.若A，B，C
的横坐标的数字总和为a，纵坐标的数字总和为b，则a-
b的值为( A )
A.5 B.3 C.-3 D.-5
9.如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，
每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等
于入射角，小球第1次碰到矩形的边时的点为P，第2
1
次碰到矩形的边时的点为P，……，第n次碰到矩形的
2
边时的点为P，则点P 的坐标是 ( 8 ， 3 ) ;点P 的坐
n 3 2 026
6标是 ( 5 ， 0 ) .
拓展迁移：
10.已知平面直角坐标系中有一点M(m-1，2m+3)．
(1)当m为何值时,点M到x轴的距离为1?
(2)当m为何值时,点M到y轴的距离为2?
解：(1)∵|2m＋3|＝1，
∴2m＋3＝1或2m＋3＝－1，
解得m＝－1或m＝－2.
(2) ∵|m－1|＝2，
∴m－1＝2或m－1＝－2，
解得m＝3或m＝－1.
11.已知点P(2m＋4,m－1)．试分别根据下列条件，求出
点P的坐标．
(1)点P的纵坐标比横坐标大3；
(2)点P在过A(2,－3)点，且与x轴平行的直线上．
解：(1)∵点P(2m＋4, m－1)，点P的纵坐标比横坐标
大3，
∴m－1－(2m＋4)＝3，
解得m＝－8.
∴2m＋4＝－12，m－1＝－9.
∴点P(－12，－9)．
(2)∵点P在过A(2，－3)点，且与x轴平行的直线上，
∴m－1＝－3，
解得m＝－2.
∴2m＋4＝0.
∴P(0，－3)．
六、提升 适时小结，兴趣延伸 小组交流，畅 引导学生从知识内
如何适当地建立直角坐标系 所欲言，相互 容、研究方法以及
1、先以图形的某个顶点为平面直角坐标系的原点，画 补充。 运用过程三个方面
两条互相垂直的数轴。 总结自己的收获，
2、据几何图形在平面直角坐标系的位置，写出顶点坐 让学生全面把握本
标。 节课的重点和难
3、由于平面直角坐标系的原点位置不同。顶点坐标也 点，并启发学生用
不一样。 类比或迁移的方法
学习后续课程。
7板书设计 平面直角坐标系 利用简洁的文字、
1、平面直角坐标系的概念， 符号、图表等呈现
2、点的坐标确定， 本节课的新知，可
3、坐标轴上点的坐标的特征， 以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
4、各象限内点坐标特征。
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ A ）
习） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若点P（x，y）的坐标满足xy＝0（x≠y），则点P必在（ D ）
A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上（除原点）
3．已知点A（m+1，﹣2）和点B（3，m﹣1），若直线AB∥x轴，则m的值为（ A ）
A．﹣1 B．﹣4 C．2 D．3
4．平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及
此时点C的坐标分别为（B ）
A．6，（﹣3，4） B．2，（3，2） C．2，（3，0） D．1，（4，2）
5．在直角坐标平面内，点A（﹣m，5）和点B（﹣m，﹣3）之间的距离为 8 ．
6．如果式子 表示点P（a，b）和点Q的距离，那么Q点坐标是 (-1,2 ) ．
7．在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（1，2），B（5，4），那么A、B两点之间的距
离为AB＝ 2 ．
能力提升：
8．下列结论：①横坐标为﹣3的点在经过点（﹣3，0）且平行于y轴的直线上；
②当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限；
③与点（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）；
④在第一象限的点N到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，则点N的坐标为（2，1）．
其中正确的是（C ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
拓展迁移：
9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点
B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运
动的一个动点，运动时间为t（秒）．
纵轴
（1）直接写出点B和点C的坐标B（ ， ）、C（ y， ）；
（2）当点P运动时，用含t的式子表示第线段二AP的象长，限并写出t的取值范围；第一象
—
（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值—，使S△ 限
APD
＝ S
—
解：（1）B（0，6），C（8，0），
| | | | | | | | 横轴
故答案为：0、6，8、0； O x
第三象限 — 第四象限
（2）当点P在线段BA上时，
—
—
8由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6
∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，
∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∵AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵S△APD ＝ AP•AC S四边形ABOC ＝AB•AC
∴ （8﹣2t）×6＝ ×8×6，
解得：t＝3＜4，
当点P在线段AC上时，
∵S△APD ＝ AP•CD CD＝8﹣2＝6
∴ （2t﹣8）×6＝ ×8×6，
解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD ＝ S四边形ABOC ，
10．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P（x ，y ）、P（x ，y ），其两点
1 1 1 2 2 2
间的距离P P ＝同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两
1 2
点间距离公式可简化为|x ﹣x |或|y ﹣y |．
2 1 2 1
（1）已知A（﹣2，3）、B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣2，试求A、B
两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），请判定此三角形的形状，
并说明理由．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，3）、B（0，1）、C（2，2），请判定此三角形的形状，
并说明理由．
解：（1）AB＝ ＝10；
（2）AB＝6﹣（﹣2）＝8；
（3）△ABC为等腰三角形．理由如下：
∵AB＝ ＝5，BC＝3﹣（﹣3）＝6，AC＝ ＝5，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（4）∴△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
∵ AB ＝ ＝ ， BC ＝ ＝ ， AC ＝
＝ ，
9而（ ）2+（ ）2＝（ ）2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
教学反思
10
