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第二章 实数
2.2平方根导学案
►
学习目标与重难点
学习目标：
1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系
学习重点：平方根的概念；会求一个非负数的平方根。
学习难点：平方根和算术平方根之间的联系和区别；
►
预习自测
一、知识链接
乘方的计算
二、自学自测
1、填空
( ) =9 ( ) =25 ( ) =16 ( ) =81
( ) =0 ( ) =121
2、做一做
①一个直角三角形，它的两条直角边分别为5和12，求它的斜边长。
②一个直角三角形，它的两条直角边分别为15和20，求它的斜边长。
►
教学过程
一、创设情境、导入新课
根据勾股定理，结合图形完成填空：
x = ， y = ，
z = ，w = ．
那么X、y、z、w分别等于多少？
二、合作交流、新知探究
探究1：算术平方根
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问题：x =2，y =3，z =4，w =5，已知幂和指数，求底数x，y，z，w，你能求出来吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记
为“ ”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0， 即 =0
做一做
1.求下列各数的算术平方根。（课本例题1）
1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14.
2.回答引入新课的问题
x =2，y =3，z =4，w =5
【强调】：
1、.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.
2、算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平
方根.
3、求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算
术平方根.
做一做
1. 若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 .
2. 的算术平方根是 （注意，实际是求3的算术平方根）
3. 的算术平方根是 。
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4. 若 =2，则(m+2) =
5..求下列各数的算术平方根。
36， ，15，0.64，10-4， 225 ，
探究2：平方根
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其它的数，它的平方也是9吗？
3×3=9，（-3）×（-3）=9
∴ 。
.8×0.8=0.64，（-0.8）×（-0.8）=0.64 ∴ 。
【强调】
1. 如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方
根).
2. 平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的平方根是0；负数没有平方根.
做一做
求下列各数的平方根：（课本例题3）
（1）64，（2） ， （3）0.0004 （4） （5）11
【强调】：求平方根和平方是互逆运算。
三、典例精析
例题1：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t: .有一铁球从19.6 米高的建
筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？（课本例题2）
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例题2；求下列各式的值（课本例题4）
， ，
四、课堂作业：
基础达标
1．25的算术平方根是（ ）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．
2．化简 的结果是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
3．若|x﹣5|+ ＝0，则x+y＝（ ）
A．﹣5 B．6 C．0 D．5
4．一个正数的平方根分别为：2a+6与a﹣3，则这个正数是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
5． ＝ ．
6．若|x﹣1|+（y﹣2）2+ ＝0，则x+y+z＝ ．
7．观察分析下列数据：0， ， ，3， ， ， ，…，根据数据排列的规律得
到第19个数据应是 ．
能力提升
8已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0．
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（1）求实数a，b，c的值；
（2）求 的平方根．
9．（1）观察各式： ≈0.1732， ≈1.732， ≈17.32…发现规律：被开方数的小数点
每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知 ≈2.236，则 ≈ ， ≈ ；
（3）拓展：已知 ≈2.449， ≈7.746，计算 和 的值．
应用拓展
10.小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为
S ，S ）．
1 2
如图1，S ＝1，S ＝1，拼成的大正方形A B C D 边长为 ；
1 2 1 1 1 1
如图2，S ＝1，S ＝4，拼成的大正方形A B C D 边长为 ；
1 2 2 2 2 2
如图3，S ＝1，S ＝16，拼成的大正方形A B C D 边长为 ．
1 2 3 3 3 3
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五、总结反思、拓展升华
1.算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0.
2.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方
根.
3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算
术平方根.
4.如果一个数x的平方等于a , 即x =a,那么这个数x叫做a的平方根(square root 也叫做二次方根).
5.平方根的性质：一个正数平方根有两个，且是互为相反的数；0的算术平方根是0；负数没有算术
平方根.
六、【作业布置】
基础达标：
1． 的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣2
2．81的算术平方根是（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．81
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 与 互为相反数，则a+b的值为 ．
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5．若 ＝0，则a2+b2的算术平方根是 ．
6．已知 ，则 ．
7．已知 ＝5.706， ＝18.044，那么 ＝ ．
能力提升：
8.已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
9.已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求3a﹣4b的平方根．
拓展迁移：
10.．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：如图，S ＝1，S ＝16，拼成的大正方
1 2
形A B C D 边长为 ．能否剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求
3 3 3 3
它的长、宽；若不能，请说明理由．
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课堂练习参考答案
1. B
2. A
3. D
4. D
5. 4
6. 6
7.
8.解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+ ＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
故 的平方根为：±2．
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9.解：（1）观察各式： ≈0.1732， ≈1.732， ≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知 ≈2.236，则 ≈0.2236， ≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
（3）
10.解:如图1，当S ＝1，S ＝1，拼成的大正方形A B C D 的面积为1+1＝2，因此其边长为 ；
1 2 1 1 1 1
如图2，当S ＝1，S ＝4，拼成的大正方形A B C D 的面积为1+4＝5，因此其边长为 ；
1 2 2 2 2 2
如图3，当S ＝1，S ＝16，拼成的大正方形A B C D 的面积为1+16＝17，因此其边长为 ；
1 2 3 3 3 3
故答案为： ， ， ；
课外作业参考答案
1. D
2. A
3. C
4. -1
5. 5
6. 1.01
7. 0.5706
8.解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
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9.解：∵2a+1的平方根是±3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4，
∵5a+2b﹣2的算术平方根是4，
∴5a+2b﹣2＝16，
解得b＝﹣1，
∴3a﹣4b＝3×4﹣4×（﹣1）＝12+4＝16，
∴3a﹣4b的平方根是±4．
10.解：当S ＝1，S ＝16，拼成的大正方形A B C D 的面积为1+16＝17，
1 2 3 3 3 3
因此其边长为
不能剪拼一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52，
所以x2＝1.21，
即x＝1.1（x＞0），
因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，
因为（4.4）2＝19.36＞17，
所以不能用正方形A B C D 剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．
3 3 3 3
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