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第三章 概率的进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·山东烟台·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸
到红球的概率是
B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都
是反面的概率为
C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”
D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是
【答案】D
【分析】根据概率公式可对A、D进行判断；利用画树状图法求概率可对B进行判断，根据概率的意义可
对C进行判断．
【详解】解：A、摸到红球的概率＝ ，所以A选项错误；
B、画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中掷出两次都是反面的结果数为1，所以掷出两次都是反面的概率＝ ，故B选项错误；
C、天气预报“明天降水概率为10%”，是指有10%的可能性下雨，所以C选项错误；
D、随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的结果数为2、4、6，所以偶数点朝上的概率＝ ，故D选项正
确．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有
等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
2．（2022·山东烟台·七年级期中）张华的哥哥在香港工作，今年“五·一”期间，她想让哥哥买几本科技
书带回家，于是发短信给哥哥，可一时记不清哥哥手机号码后三位数的顺序，只记得是0，2，8三个数字，
则张华一次发短信成功的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列举出所有情况，看摸一次发短信成功的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：所有的可能性为：028，082，208，280，802，820，一共有6种情况，而正确的只有一种，
∴张华一次发短信成功的概率是 ，
故选A．
【点睛】此题可以采用列举法，解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
3．（2022·四川成都·七年级期末）假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚
出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（反，反）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，
反）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（反，反）的情
况有1种，∴（反，反）的概率 ．
故选：D
【点睛】本题考查了列举法求概率，解本题的关键在熟练掌握概率公式．概率=所求情况数与总情况数之
比．
4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它
最终停在黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出黑色区域的面积是正方形桌面的分率，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：观察图形可知，黑色区域的面积是正方形桌面的 ，
∴最终停在黑色区域的概率是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图所示的是由8个全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图中取
一点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．【详解】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的 ，
即这个点取在阴影部分的概率是 ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何概率的知识，熟练根据几何图形的面积得出概率是解题的关键．
6．（2022·陕西咸阳·七年级期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C
区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率公式所占部分除以总数即可求得．
【详解】指针落在C区域的概率是 ，
故选D
【点睛】此题考查了概率问题，解题的关键是用概率公式求解．
二、填空题
7．（2022·重庆南开中学八年级期末）学校食堂晚餐有四荤三素，荤菜有红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭和辣子
鸡，素菜有干煸四季豆、青椒土豆丝和香干炒蒜苔，小南让食堂阿姨任打一道荤菜一道素菜，则刚好选到
她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 __．
【答案】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【详解】红烧肉、酸菜鱼、姜爆鸭、辣子鸡分别用A、B、C、D表示，干煸四季豆、青椒土豆丝、香干炒
蒜苔用a、b、c表示，根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中她选到红烧肉和青椒土豆丝的有1种，
则刚好选到她爱吃的红烧肉和青椒土豆丝的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
8．（2022·山东烟台·七年级期中）小兰和小华两人做游戏，她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子，骰
子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，若掷出的骰子的点数为偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是
3的倍数，则小华赢，游戏规则对______（填“小兰”或“小华”）有利．
【答案】小兰
【分析】根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．
【详解】解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为 ，
骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为 ，
而 ，
∴游戏规则对小兰有利，
故答案为：小兰．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）看了《田忌赛马》故事后，小青用数学模型来分析：齐
王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜
则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为8，10，6，田忌的三匹马随机出场，则齐王赢得比赛的概率是田忌赢
得比赛概率的_________倍．下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
【答案】5
【分析】利用列举法列举出田忌的匹马出场顺序，求出所求情况占总情况的多少即可求解．
【详解】解：根据题意，齐王的三匹马出场顺序为8，10，6；
田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；一共有6中等可能
的结果，其中田忌赢得比赛的有9，5，7一种，齐王赢得比赛的有5种，
∴齐王赢得比赛的概率为 ，田忌赢得比赛的概率为 ，
则齐王赢得比赛的概率是田忌赢得比赛概率的5倍，
故答案为：5．
【点睛】本题考查列举法求概率，解答的关键是列举法需要做到不重不漏，还要熟知求概率公式：概率=
所求情况数与总情况数之比．
10．（2022·黑龙江大庆·八年级期中）如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则
飞镖落在白色区域的概率是____．
【答案】
【分析】根据题意可知白色区域与灰色区域的面积相等，据此求解概率即可．
【详解】解：∵两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积
占了其中的四等份，∴P =
（飞镖落在白色区域）
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了几何概率，正确理解题意得到白色区域占总面积的二分之一是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者
参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
解：王明被安排到A小区进行服务的概率是 ，
故答案为： ；
（2）
列表如下：A，B，C，D表示四个小区，
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
12．（2022·福建三明·九年级期末）2022年冬奥会将在我国北京和张家口举行，如图所示为冬奥会和冬残
奥会的会徽“冬梦”“飞跃”，吉祥物“冰墩墩”“雪容融”，将四张正面分别印有以下4个图案的卡片
（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上洗匀．
(1)若从中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上的图案恰好为吉祥物“冰墩墩”的概率是 ；
(2)若从中一次同时随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的图案正好一张
是会徽另一张是吉祥物的概率．
【答案】(1)
(2)列表见解析，
【分析】（1）根据题意得到任意抽取1张和抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的可能性，即可求出概率；
（2）通过列表列出所有的可能性，找出其中两张卡片上的图案一张是会徽另一张是吉祥物的可能性，即
可求出概率．
（1）
解：∵从中任意抽取1张有4种可能，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”有1种可能
∴抽取的卡片上的图案恰好为吉祥物“冰墩墩”的概率是 ．
（2）
解：列表如下：由表可知，从中任意抽取两张，一共有12种可能，抽得两张卡片上的图案一张是会徽另一张是吉祥物的有
8种可能，所以抽得两张卡片上的图案都是会徽的概率= ．
【点睛】本题考查概率．根据题意分析出事件的可能性是本题解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022·浙江·九年级专题练习）有两枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，
5，6，同时投掷两枚骰子，它们点数之和大于5的概率是 ___．
【答案】
【分析】用列表法列举出所有的可能性，根据概率公式即可得出所有符合“点数之和大于5”的概率．
【详解】解：由题意得：同时投掷两枚骰子，两次点数之和所有可能的结果如下：共36种结果，符合“点数之和大于5”的共26种，
∴点数之和不大于5的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比，熟悉概率公
式是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·七年级期末）在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数 ， ，0，1，2的小球，
它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再从剩
余球中取出一个球，将小球上的数字作为b的值，则a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组
有整数解的概率是______．
【答案】 ##0.4
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组
有整数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组 有整数解的结果数
为8，
所以a和b恰好使得关于x、y的二元一次方程组 有整数解的概率= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
3．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，
若在格点上任意放置点C，恰好使得 ABC的面积为 的概率为_________．
△
【答案】 ##0.375
【分析】按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可．
【详解】解：可以找到6个恰好能使 ABC的面积为 的三角形，
△
则概率为：6÷16= ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使 ABC的面积为1的点．
4．（2022·河南·九年级专题练习）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游△戏．三人同时各投出一枚均匀硬
币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；
若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的
概率相等；③小文赢的概率是 ；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可．
【详解】解：画树状图得：
所以共有8种可能的情况.三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）= = ；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）= ；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）= ，
∵ ，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为 ，②正确；
小文赢的概率为 ，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键．
5．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：
甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片
时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”
或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方
案是________．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或
5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．二、解答题
6．（2022·四川巴中·九年级阶段练习）为了倡导“节约用水，从我做起”，巴中市政府决定对该市直属机
关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：
吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量
3 4 5 6 7
（吨）
频数（户数） 4 9 10 7
频率 0.08 0.40 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空： ______， ______， ______．
(2)根据样本数据，估计该市直属机关300户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？
(3)市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用
列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】(1)20；0.18；0.20
(2)约有198户
(3)
【分析】（1）求出抽查的户数，即可解决问题；
（2）用300乘以月平均用水量不超过5吨的家庭的频率即可求解；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，再由概率公式
求解即可．
（1）
解：抽查的户数为：4÷0.08=50(户)，
∴a=50×0.40=20，b=9÷50=0.18，c=10÷50=0.20，
故答案为：20，0.18，0.20；
（2）
解：300×（0.08+0.40+0.18）=198(户)，
答：计该市直属机关300户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有198户
（3）解：画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放
回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．（2022·广西玉林·二模）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜
色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色
收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收
集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信
息，解答下列问题：
用过的餐巾纸投放情况统计图：
(1)此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为_____ ；
(2)补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(3)若该校有4000名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(4)李老师计划从 ， ， ， 四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法
或列表法求出恰好抽中 ， 两人的概率．
【答案】(1)200，198
(2)见解析
(3)320人(4)
【分析】（1）由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数
所占比例；
（2）根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
（1）
解：此次调查一共随机采访学生44÷22%=200（名），
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 ，
故答案为：200，198；
（2）
解：绿色部分的人数为200-（16+44+110）=30（人），补全图形如下：
（3）
解：估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数 （人）；
（4）
解：列表如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
由表格可知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
8．（2022·山东济宁·中考真题）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽
取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分 组中值 频率
75.5≤x＜80.5 78 0.05
80.5≤x＜85.5 83 a
85.5≤x＜90.5 88 0.375
90.5≤x＜95.5 93 0.275
95.5≤x＜100.5 98 0.05
请根据以上图表信息，解答下列问题：(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取
的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】(1)40，0.25
(2)见解析
(3)88.125分
(4)图表见解析，
【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”和频率之和为1可得答案；
（2）用总人数减去其他组的人数即为 到 组人数，即可补全频数分布直方图；
（3）利用平均数的计算公式计算即可；
（4）列出树状图即可求出概率
（1）
解：由图表可知： ，
（2）
解：由（1）可知， 到 组人数为 （人），
频数分布图为：
（3）解： （分）
（4）
解：用A，A 表示75.5≤x＜80.5中的两名学生，用B，B 表示95.5≤x＜100.5中的两名学生，画树状图，
1 2 1 2
得
由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到
有8种．
∴每一组各有一名学生被选到的概率为 ．
【点睛】本题主要考查本题考查读频数分布直方图，求平均数，利用树状图求概率，掌握相关的概念以及
方法是解题的关键．
