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八年级数学•上 新课标[北师]
第三章 位置与坐标
1.认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出
它的坐标.
2.在实际问题中,能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置,体会可以用直角坐标系画一个简单图形.
3.能结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置.
4.在直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知
道对应顶点坐标之间的关系.
经历探索图形位置变化与图形坐标变化之间关系的过程,进一步发展数形结合意识和应用意识,初步建
立几何直观.
从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,进一步发展空间观念.
一、《标准》要求
1.探索并理解平面直角坐标系及其应用.
2.在研究确定物体位置等过程中,进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直
观.
3.结合实例进一步体会用有序数对表示物体的位置.
4.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出直角坐标系;在给定的直角坐标系中,能根据坐标描出点的位
置、由点的位置写出它的坐标.
5.在实际问题中,能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置.
6.对给定的正方形,会选择合适的直角坐标系,写出它的顶点坐标,体会用坐标刻画一个简单图形.
7.在平面上,能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
8.在直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标,并知
道对应顶点坐标之间的关系.
二、教材分析
“图形与坐标”是“图形与几何”领域的重要组成部分,它是发展学生空间观念的重要载体.作为第一、
二学段“图形与位置”的发展,本章是第三学段“图形与坐标”的主体内容,将引领学生感受确定物体位置
方法的多样性,抽象出平面直角坐标系的概念,进而利用平面直角坐标系确定物体的位置,并从坐标的角度描
述学习过的轴对称图形,进一步认识轴对称.同时,平面直角坐标系是表示变量之间关系的重要工具,因此本章
是以后学习“一次函数”的重要基础.本章首先结合学生的生活实际,选择了丰富多彩、形式多样的确定位置的现实背景,力图使学生感受平
面上确定位置的共同特征:不管用什么方法确定位置,都需要两个数据.然后,通过实际背景认识确定位置的一
个常用方法,引入平面直角坐标系,建立直角坐标系中的点与坐标之间的一一对应关系,学习根据坐标描出点
的位置、由点的位置写出它的坐标,同时能建立适当的直角坐标系刻画图形上各点的位置.最后,在同一个直
角坐标系里,探索图形的变化(轴对称)与坐标的变化之间的关系.
【重点】
1.确定物体位置的方法.
2.认识和画出直角坐标系,在给定的直角坐标系中,能够根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐
标.
3.探索坐标变换与图形变换的关系.
【难点】
1.灵活运用各种方法确定物体的位置.
2.认识图形与坐标的关系.
3.正确确定坐标变换与图形变换的关系,进一步发展空间观念和审美意识.
1.结合实际创造性地选用现实题材进行教学.
教学中要立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验,创造性地选用现实生活中的有关题材,丰富教
学内容,生活中,确定位置的方法是多样的,有点定位、区域定位、极坐标定位、直角坐标定位等.教科书从学
生熟悉的情境出发,选取了“电影院中找座位”“航海中找目标”“地图上确定城市的位置”等素材,教学
中教师既可以利用教科书上已有的题材,也可以根据本地的生活实际和学生的认知实际,选取更为贴近学生
的教学素材(如确定学校的位置、校园中旗杆的位置、学生在班级的位置等),鼓励学生用自己的方式来确定
位置.
2.恰当把握教学重点与要求.
教学中应让学生充分经历确定物体位置的活动过程,在过程中体会到:不管用什么方法来确定一个物体
在平面上的位置,都需要两个数据.要引导学生理解轴对称与坐标变化之间的联系,形成对图形变
换的整体认识,进一步发展学生的数形结合意识、空间观念,建立几何直观.
3.恰当运用多种教学手段.
本章的教学需要大量的坐标纸、地图等材料,课前的准备是必需的.同时,建议有条件的地区使用计算机
进行动态演示,以保证教学的效果.
1 确定位置 1课时
2 平面直角坐标系 3课时
3 轴对称与坐标变化 1课时
回顾与思考 1课时
1 确定位置1.要求学生在现实情境中感受物体定位的多种方法.
2.初步学会根据实际情况找出具体的位置.
3.能较灵活地运用不同的方式对物体定位.
4.能了解在平面上确定物体位置的方法的统一性:都需要两个数据.
1.通过现实事例,让学生了解到位置的重要性,引导学生进入新课.
2.使学生置身情境中,研究物体的位置,对位置形成初步的认识.
3.引导学生探索确定物体位置的方法.
4.通过讨论交流等方式给学生讲解例题,掌握确定物体位置的方法.
5.让学生经历探索、操作等过程,在实践中体会和掌握如何运用各种方法来确定物体的位置.
6.通过课后练习、讨论交流等方式组织学生小结本课,回忆和巩固知识.
1.通过现实生活中的有关题材,使学生体会生活中位置的确定离不开数据,数学与生活有着密切关系.
2.使学生在合作与交流的过程中获得情感体验,培养学生的合作意识.
【重点】
1.使学生能在具体的情境中,根据行和列确定并描述物体的位置.
2.能了解在平面上确定物体位置的方法:一般需要两个数据.
【难点】 能灵活运用不同方式准确确定物体的位置.
【教师准备】 教材情境图,带磁力的方格板和黑白棋.布置学生收集两张废旧电影票,准备学生尺、量
角器.
【学生准备】 按教师的布置收集两张废旧电影票,准备学生尺、量角器.
导入一:
[过渡语] 同学们,你们知道秦始皇兵马俑吗?【问题】 秦始皇兵马俑在什么位置呢?你能告诉我陕西省西安市的位置吗?
[设计意图] 通过上述图片,引导学生感受生活中常常需要确定位置.导入新课:怎样确定位置呢?
导入二:
【问题】 在数轴上,确定一个点的位置需要几个数据呢?
【答】 一个,例如,若A点表示-2,B点表示3,则由-2和3就可以在数轴上找到A点和B点的位置.
总结得出结论:在数轴上, 确定一个点的位置一般需要一个数据.
[过渡语] 在平面内,又如何确定一个点的位置呢?请同学们根据生活中确定位置的实例,谈谈自己的看
法.
一、探究
(1)在电影院内如何找到电影票上所指的位置?
(2)在电影票上,“3排6座”与“6排3座”中的“6”的含义有什么不同?
(3)如果将“3排6座”记作(3,6),那么“6排3座”如何表示?(5,6)表示什么含义?
[设计意图] 较好地体现数学的现实性,有利于学生良好数学观的形成.
(4)在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要几个数据?
(5)在生活中,确定物体的位置还有其他的方法吗?与同伴进行交流.
[设计意图] 及时总结学生的经验,并要求学生自主寻找生活中的定位问题,进而可以选用学生所举的例
子开展下面的教学活动,这样的课才是生动的,交互的.
结论:生活中常常用“排数”和“座数”来确定位置.
二、学有所用
下表中是无序排列的汉字,小明拿到一张写有密码的字条,你能帮他破译吗?
结论:生活中常常用“行数”和“列数”来确定位置.
三、例题讲解
下图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1 cm表示20 n mile).对我方潜艇O来说:
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距离我方潜艇20 n mile的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?[设计意图] 本例用方位角和距离刻画两个物体的相对位置,实际上,这就是极坐标定位.当然,这里并不
严格地介绍极坐标,而是意在渗透极坐标的思想.
解:(1)对我方潜艇来说,北偏东40°的方向上有两个目标:敌舰B和小岛.
要想确定敌舰B的位置,仅用北偏东40°的方向是不够的,还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离.
(2)距我方潜艇20 n mile的敌舰有两艘:敌舰A和敌舰C.
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要两个数据:距离和方位角.例如,对我方潜艇来说,敌舰A在正南方向,距
离为20 n mile处;敌舰B在北偏东40°的方向,距离为28 n mile处;敌舰C在正东方向,距离为20 n mile处.
结论:生活中常常用“方位角”和“距离”来确定位置.
四、做一做
(1)据新华社报道,2008年5月12日14:28,我国四川省发生里氏8.0级强烈地震,震中位于阿坝州汶川县
境内,即北纬31°,东经103.4°.这是新中国成立以来破坏性最强、波及范围最大的一次地震.你能在图中找到
震中的大致位置吗?
[设计意图] 这是根据经纬度来确定位置的.
结论:生活中常常用“经度”和“纬度”来确定位置.
(2)如图所示的是广州市地图简图的一部分,如何向同伴介绍“广州起义烈士陵园”所在的区域?“广州
火车站”呢?
[设计意图] 这种确定位置的方法属于区域定位.生活中没有绝对的点,为了寻找点的方便,常将点框定
在一定的区域内.
结论:生活中常常用“区域定位”来确定位置.
五、议一议
(1)你能举出生活中需要确定位置的例子吗?与同伴进行交流.
(2)在平面内,确定一个物体的位置一般需要几个数据?
结论:在平面内,确定一个物体的位置一般需要2个数据.
若设这两个数据分别为a和b,则:
a表示:排数、行数、经度、方位……b表示:座数、列数、纬度、距离……
[知识拓展] 确定平面上的点的方法很多,不管采用哪种方法,平面内确定位置都需要两个量,特别是用
一对数表示位置时,应该注意数是有顺序的.顺序不同表示点的位置就不同.
1.在现实情境中感受了确定物体位置的多种方式,并能灵活运用不同方式确定物体的位置.
2.在数轴上,确定一个点的位置一般需要一个数据.
在平面内,确定一个物体的位置一般需要两个数据.
若设这两个数据分别为a和b,则:
a表示:排数、行数、经度、方位……
b表示:座数、列数、纬度、距离……
1.在平面内,下列数据不能确定物体位置的是( )
A.3楼5号 B.北偏西40°
C.解放路30号 D.东经120°,北纬30°
解析:在平面中,确定物体的位置一般需要两个数据,B选项只有一个数据,故不能确定物体的位置.故选B.
2.海事救灾船前去救援某海域失火轮船,需要确定 ( )
A.方位角 B.距离
C.失火轮船的国籍 D.方位角和距离
解析:在海上确定物体的位置一般需要方位角和距离.故选D.
3.如图所示,“马”所处的位置为(2,3),其中“马”走的规则是沿着“日”字形的对角线走.
(1)用坐标表示图中“象”的位置是 ;
(2)写出“马”下一步可以到达的所有位置,并在图中标出.
解析:(1)结合图形写出即可.(2)根据网格结构找出与“马”现在的位置成“日”字的点,然后写出即可.
解:(1)(5,3)
(2)如图所示,(1,1),(3,1),(4,2),(4,4),(1,5),(3,5).
1 确定位置
1.在平面内,确定一个点的位置一般需要两个数据.
2.生活中常见的几种确定位置的方式.
(1)用“排数”和“座数”.
(2)用“行数”和“列数”.(3)用“经度”和“纬度”.
(4)用“方位”和“距离”.
(5)用区域定位.
一、教材作业
【必做题】
教材第56页随堂练习.
【选做题】
教材第57页习题3.1第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法:①数轴上的每一个点的位置都可以用一个数来确定;②平面内任何一个点的位置都可以用一个
数来确定;③若用两个数表示平面内一个点的位置,则(2,3)和(3,2)表示的是同一个点的位置.其中正确的有
( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图所示的是某学校的平面示意图,如果用(2,5)表示校门的位置,那么图书馆的位置如何表示?图中(10,5)表
示哪个地点的位置?
【能力提升】
3.小明家在学校的北偏东30°方向,距学校1000 m处,则学校在小明家的什么位置?
【拓展探究】
4.如图所示,一只甲虫在10×10的网格(每一格边长为1)上沿着网格线运动,它从C处出发想去看望A,B,D,E处
的其他甲虫,规定其行动为:向下向左走为正,向上向右走为负,如果从C到B记为:C→B(+5,+2)(第一个数表示
左、右方向,第二个数表示上、下方向).
(1)C→D( ),C→A( ),D→ (+5,-6),E→D( ,-4);(2)若这只甲虫的行走路线是C→A→B→D→E,请计算该甲虫走过的路程;
(3)这只甲虫去P点处的行走路线为(-2,+2)→(+3,-4)→(-4,+2)→(+7,+3),请在图上标出P点的位置,想一想,有没
有简便的计算方法?
【答案与解析】
1.B(解析:只有①正确.)
2.解:图书馆的位置表示为(2,9).图中(10,5)表示旗杆的位置.
3.解:南偏西30°方向,距小明家1000 m处.
4.解:(1)(+2,+4) (+7,-2) A +5 (2)由题意可知:甲虫所走过的路程为7+2+4+2+2+3+4+5=29. (3)标点P的
位置略.简便的计算方法为:左、右方向:(-2)+(+3)+(-4)+(+7)=4,上、下方向:(+2)+(-4)+(+2)+(+3)=3,由此可知自
点C处出发,向左走4格,向下走3格就到P点处.
本节内容与现实生活联系紧密,学生在生活中经常能遇到相关的知识,因此在教学时建议尽量让学生参
与进来.学生在亲身体验中学习知识,加深印象,并培养认真的学习态度.在教学中要让学生有条理地思考和表
达.在确定位置的活动中,学生不仅自己要明白物体的位置,而且要能有条理地向别人表述.这种表达可以反映
学生的表达水平、有关知识的掌握程度和空间观念.
在确定位置的方法中渗透了“极坐标”的思想,只要学生能直观地理解就行,不需要深入理解此概念.
可以让学生多注意生活中需要确定位置的地方,发现身边的公共设施或广告中定位不清的问题.让他们
在生活中学习,并明白知识源于生活的道理.
随堂练习(教材第56页)
1.解:答案不唯一.如:青年之家餐厅在A1区;水阁云天在B1区;工人疗养院在C2区.
2.解:(1)按照图中的表示数字,“将”在第9行第5列,“帅”在第1行第5列. (2)第7行第4列.
习题3.1(教材第57页)
1.解:先确定北京等四个城市的位置,估计它们的经纬度.然后按照要求,在经度线或纬度线上寻找符合要求的
城市.
2.解:(1)“经五纬一”在广播大厦旁边的十字路口.(2)从“经七纬五”出发,经过“经六纬五”到达“经五纬一”的路线不唯一.例如,“经七纬五”“经六纬
五”“经五纬五”“经五纬三”到达“经五纬一”或“经七纬五”“经六纬五”“经六纬三”“经六纬
一”到达“经五纬一”. (3)“华美达广场”位于“经六路”与“纬三路”的十字路口附近.
平面内确定物体的位置时应注意:
(1)用行列定位法表示平面内某点的位置必须有两个数据,缺一不可.
(2)经纬定位法既适合在球面上定位,也适合在平面上定位,利用地理学上的经纬度来确定物体的位置的
定位方法,指明一点的经度和纬度就可以确定物体在地球上的位置.
(3)弄清区域定位法中字母及数字分别表示的含义,依照已知建筑物的表示方法表示建筑物的位置.
(4)用直角坐标系定位法确定一个物体的位置也需要两个数据,一个是横坐标,另一个是纵坐标,两者缺一
不可(下节课讲).
(5)用一对数表示位置时要注意这对数是有顺序的,一般先写横格所表示的数,再写竖格所表示的数(简称
“先横后纵”).
如图所示,李老师家在2街与2巷的十字路口附近,如果用(2,2)→(2,3)→(2,4)→(3,4)→(4,4)→(5,4)
表示李老师从家到学校上班的一条路径,请你用同样的方式写出由家到学校的另外一种路径.
解:答案不唯一,如:(2,2)→(3,2)→(4,2)→(5,2)→(5,3)→(5,4).
2 平面直角坐标系
1.理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系.
2.能建立适当的坐标系,描述物体的位置.
3.在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.1.通过两个找点、连线、观察、确定图形的大致形状的问题,使学生能在给定的直角坐标系中根据坐标
描出点的位置,进一步掌握平面直角坐标系的基本内容.
2.通过讨论交流的方式讲解例题.学生掌握根据已知条件建立适当的坐标系来描述物体位置的方法.
1.培养学生发现问题和主动探索的能力.在与同伴的合作交流中,培养学生的责任心.
2.培养学生细致、认真的学习习惯.
3.通过教学,向学生渗透“数形结合”的数学思想,并培养学生将实际问题抽象为“数学模型”的能力.
【重点】
1.能正确画出平面直角坐标系.
2.能在平面直角坐标系中,根据坐标找出点,由点求出坐标.
【难点】
1.理解平面内的点与有序数对之间的一一对应关系.
2.在直角坐标系中,根据坐标找出点,由点求出坐标.
第 课时
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念.
2.认识并能画出平面直角坐标系.
3.能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.
1.从现实情境入手,感受建立平面直角坐标系的必要性,然后抽象出平面直角坐标系的相关概念.
2.通过画坐标系、由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识.
由平面直角坐标系的有关内容,以及由点找坐标,反映平面直角坐标系与现实生活的密切联系,让学生认
识数学与生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.
【重点】 学生能正确画出平面直角坐标系,并能在平面直角坐标系中,根据定义写出给定点的坐标,以
及根据坐标描出点的位置.
【难点】 理解坐标和平面上的点的一一对应的关系,体会数形结合思想.
【教师准备】 多媒体课件,画图工具,教材图3 - 4,3 - 5,3 - 6的情境图.
【学生准备】 画图工具,方格纸.导入一:
同学们,你们喜欢旅游吗? 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?
下面给出一张某市旅游景点的示意图,在科技大学的小亮如何给来访的朋友介绍该市的几个风景点的
位置呢?
尽可能给出简洁的表示方法,并与同伴交流.
大成殿: ;
中心广场: ;
碑林: .
[设计意图] 试图通过介绍景点回顾前一节中确定位置的方法,体会不同的介绍方法中的共性——一般
需要两个数据.
导入二:
[过渡语] 同学们,结合以前学过的知识,请根据示意图,回答问题.
你是怎样确定各个景点的位置的?
[处理方式] 学生口答完成,对于回答不完整的由学生补充改正!教师引导性地进行语言说明,在数轴上
我们能够用一个数字来表示点的坐标,那么平面内能否用一个数来表示景点的具体的位置呢?既复习了旧知
识,又为下面用类比的方法学习新知识做铺垫.此处学生回答的方法多种多样,只要合理即可,还有没有更好的
方法,进而提出问题.一一感受建立平面直角坐标系的必要性.
[设计意图] 通过播放图片,调动学生的热情,既复习回顾了旧知识,又激发起进一步学习的兴趣,吸引学
生的注意力,用类比的方法学习平面直角坐标系,为学习新知识进行铺垫.引导学生猜想、探索,鼓励学生积极
思考,调动学习积极性,并在活动中培养学生的探究、合作、交流的能力.
[过渡语] 生活中到处都是确定物体位置的问题,谁能用学过的知识完成下面的做一做呢?
一、做一做(一)(1)小红在旅游示意图上画上了方格,标上数字,如图(1)所示,并用(0,0)表示科技大学的位置,用(5,7)表示中
心广场的位置,那么钟楼的位置如何表示?(2,5)表示哪个地点的位置?(5,2)呢?
(1) (2)
按照小红的方法,(5,2)中的2表示 ,(2,5)中的2表示 .
(2)如果小亮和他的朋友在中心广场,并以中心广场为“原点”,做了如图(2)所示的标记,那么你能表示
“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢?(通常将(0,0)点称为原点)
[过渡语] 在上一节课,我们已经学习了许多确定位置的方法,对于这个问题,大家看用哪种方法比较合
适?
如果城市比较大,地图还需要向右上方扩展,你能类似地表示右上部分其他点的位置吗?
[设计意图] 以方格纸为背景,可以方便地利用有序数对描述各景点的位置.生活中用两个距离表示位置
时,一般不用负数,而直角坐标系中的坐标是可正可负的,为此,设计了本问题.
二、相关概念
思路一:
给出定义:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水
平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴
叫做y轴或纵轴,x轴和y轴统称坐标轴,它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点.
如图所示,对于平面内任意一点 P,过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线,垂足在 x 轴、y 轴上对应的数
a,b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点 P 的坐标.如图所示,在平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成了四部分,右上方的部分叫做第一象限,其他
三部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
思路二:
活动内容1:认识平面直角坐标系.
[过渡语] 请同学们打开教材第59页,结合自学提纲阅读课本例1之前的部分内容,并将重点内容标注
出来.
(多媒体展示)
问题1
什么是平面直角坐标系?简称什么?两条数轴如何放置?如何称呼?方向如何确定?它们的交点叫什么?
问题2
坐标轴将平面分为哪几个部分?它们的名称分别是什么?坐标轴上的点属于哪个部分?
问题3
在方格纸上画出平面直角坐标系.
问题4
象限是怎样划分的?
[处理方式] 给学生5~8分钟的时间先结合自学提纲自学课本,然后根据自己的理解在方格纸上画出平
面直角坐标系,并标出各部分名称.学生之间相互提问解答.最后找学生代表发言,教师要求学生尽量不看课本,
对于问题1和问题2,学生根据课本内容回答应该问题不大,但是此处教师应该补充正方向的确定不是唯一的,
我们为了习惯,通常取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.对于数轴的名称,多找几位学生回答,最后
教师强调画平面直角坐标系应注意:①两条数轴互相垂直;②原点重合;③标注两坐标轴名称;④单位长度一
般取相同的.问题3直接要求学生在所画平面直角坐标系中标出各个象限的名称,并引导学生得出坐标轴上
的点不在任何一个象限内.
(多媒体出示,同时给学生1分钟时间改正反思,查找错误的原因)注意:坐标轴上的点不属于任何象限,原点既在横轴上又在纵轴上.
在上图建立的平面直角坐标系中,两条坐标轴将坐标平面分成四个部分(按逆时针方向)分别叫第一象限、
第二象限、第三象限、第四象限.
[设计意图] 平面直角坐标系的产生是法国数学家迪卡尔的伟大发现,里边涉及的概念很难引导学生自
己得出,因此可以通过自学的方式让学生掌握这些知识,培养学生自学能力、合作交流能力,体现学生主动学
习的理念,对学生进行数学文化方面的熏陶和理想教育.培养作图能力和对概念的进一步认识,强化理解.
活动内容2:点的坐标的定义.
(多媒体出示)
问题1
直角坐标系内,如何根据点的位置确定点的坐标?写出A点的坐标(如图(1)所示).
问题2
在平面直角坐标系内,如何根据点的坐标确定点的位置?找出坐标为(2,4)的C点(如图(2)所示).
[处理方式] 给学生3~4分钟的时间自学课本,然后根据自己的理解,写出A点的坐标,然后同桌比较写
出的答案是否一样.找出不同的原因,然后再一次自学课本,小组内讨论得出正确答案:A(3,4).教师引导学生说
明怎样得到点A的坐标,例如:①过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足M在x轴上的坐标是3,垂足N在y轴
上的坐标是4,我们说A点的横坐标是3,纵坐标是4,有序数对(3,4)就叫做点A的坐标,记作A(3,4).②用直角三
角板中的直角,使直角顶点落在点A上,并且保证两条直角边与坐标系中x轴和y轴垂直,一条直角边通过x
轴上的坐标是3,另一条直角边通过y轴上的坐标是4,所以点A的坐标记作A(3,4).这些方法都可以得到点的
坐标,此处学生容易出现错误,教师强调有序数对的横坐标在前,纵坐标在后,教师可以引导学生编顺口溜,利于
学生理解辨别(平面直角坐标系,两条数轴来唱戏,一个点,两个数,先横后纵再括号,中间隔开用逗号).然后教师
在平面直角坐标系中画出B点,要求学生写出点B的坐标,并板书在黑板上,学生讲评更正.对于问题2如何根
据坐标找到平面上的点,学生独立思考,在方格纸上已经画好的平面直角坐标系中找出点C(2,4),组内探索交
流后回答,并在黑板上演示,教师强调坐标要写在点旁边,书写格式要正确.
(多媒体出示,同时给学生2分钟时间查缺补漏,查找错误的原因)[设计意图] 以上两个问题的解决,是本节课的核心环节,教师的讲解配以多媒体的直观演示,能更好地
突破难点,将枯燥的知识趣味化,同时,采用独立、对学、小组合作学习等多种形式相结合的学习方式,提高学
生的学习兴趣,并及时地做练习,让学生将知识转化成自身的技能,注意到自己独立做题时所出现的错误,从而
更好地实现本节课的教学目标.
[过渡语] 请同学们利用上面的知识,探究下面的例题.
三、例题讲解
(教材例1)写出图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.
解:各个顶点的坐标分别是:A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3).
[设计意图] 本课时的重点是通过坐标更好地理解平面直角坐标系的思想,认识到坐标与点的一一对应
关系.例1和下面的“做一做”分别让学生“根据点的位置写出它的坐标”“根据坐标描出相应的点”,在
此基础上进一步感受坐标与点的对应关系.
四、做一做(二)
(1)在下图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点:A(-5,0),B(1,4),C(3,3),D(1,0),E(3,-3),F(1,-4).(2)依次连接A,B,C,D,E,F,A,你得到什么图形?
(3)在平面直角坐标系中,点与实数对之间有何关系?
【问题解决】 (1)图略.
(2)图形像“飞机”.
(3)在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,
对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
[设计意图] 第(3)问是建立在例1和“做一做”前两问的基础上的,让学生经历根据坐标描出点的位置,
由点的位置写出它的坐标的过程,体会平面上的点与有序实数对之间是一一对应的关系.
结论:在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过
来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.
[知识拓展] 由于平面直角坐标系中的点是用一个有序实数对来表示的,所以平面上的点和有序实数对
是一一对应的关系.点(a,b)(a≠b)与点(b,a)一般是不同的两个点,在描点时应注意.
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.
通常两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数
轴叫做x轴或横轴.铅直的数轴叫做y轴或纵轴.x轴和y轴统称坐标轴.它们的公共原点O称为直角坐标系的
原点.如图所示,两坐标轴把平面分成四个部分,右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次
叫做第二象限、第三象限和第四象限.1.如果P点的坐标为(-1,2),那么P点的横坐标为 ,纵坐标为 .
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.
答案:-1 2
2.如果Q点的坐标为(2,-3),那么Q点的横坐标为 ,纵坐标为 .
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.
答案:2 -3
3.如果M点的横坐标为-2,纵坐标为-1,那么M点的坐标为 .
解析:点的横坐标写在前,纵坐标写在后,用小括号括起来.故填(-2,-1).
4.如图所示,分别写出点A,B,C,D,E,F,G的坐标.
解:A(-1,-1),B(0,-3),C(2,-5),D(4,-1),E(3,2),F(-2,3),G(2,-2).
第1课时
1.做一做(一).
2.相关概念.
3.例题讲解.
4.做一做(二).
一、教材作业
【必做题】
教材第61页习题3.2第1,2题.
【选做题】
教材第61页习题3.2第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面直角坐标系中,点P(-2,3)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.点P(2,3)的横坐标为 ,纵坐标是 .
【能力提升】
3.点P(0,-3)的位置是在 ( )A.x轴的正方向上 B.x轴的负方向上
C.y轴的正方向上 D.y轴的负方向上
4.已知P(3,-2),则P点到x轴的距离为 ,到y轴的距离为 .
5.已知A点在x轴上,且OA=3,则A点的坐标为 .
6.已知A(-1,4),B(-4,4),则线段AB的长为 .
【拓展研究】
7.在图中的直角坐标系中描出下列各点.
A(2,3),B(-2,3),C(0,-4),D(-2,0),E(-3,-1),F(3,-2).
【答案与解析】
1.B(解析:由象限的定义可知点P(-2,3)在第二象限.故选B.)
2.2 3
3.D(解析:横坐标为0,在y轴上,纵坐标为负数,在负半轴上.)
4.2 3(解析:点到x轴的距离为纵坐标的绝对值,到y轴的距离为横坐标的绝对值.)
5.(3,0)或(-3,0)(解析:A点在x轴上,OA=3,则A点在O点的左侧或右侧,所以A点的坐标有两个.)
6.3(解析:根据A(-1,4),B(-4,4)得AB平行于x轴,线段AB的长为A,B两点横坐标差的绝对值.)
7.解:根据点的坐标描出即可.图略.
本节课是在上一节的基础之上引入平面直角坐标系的概念,探究点和有序实数对的关系,学生在观察中
总结出点的坐标与点在坐标系中的位置的关系,得出在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一
对有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一对有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应.总
之,结论的得出都是以问题为载体,通过学生观察、思考得出来的规律性的知识.
由于平面直角坐标系是新概念,学生掌握起来有一定的难度,练习不够多,难免有学生掌握不好. 在解决
问题时,不少学生还有无从下手的感觉.
适当增加练习,照顾各个层次的学生的需要.在时间允许的情况下,对平面直角坐标系在其他方面的应用
加以扩充.随堂练习(教材第60页)
解:(1)教学楼(2,4),实验楼(3,-3),图书馆(-3,3). (2)图略.学生公寓在图书馆下面6格,实验楼左面6格的地方.
习题3.2(教材第61页)
1.解:B(0,5),A(5,2),E(3,-4),D(-3,-4),C(-5,2).
2.解:(1)A(3,8),L(6,7),N(9,5),P(9,1), E(3,5). (2)(4,7)代表C,(5,5)代表F,(2,5)代表D.
3.解:答案不唯一,以大长方形的左下角的顶点为坐标原点建立坐标系:这五个儿童所在的位置坐标分别为
D(2,5),E(7,1),A(7,5),C(7,8),B(11,5).
4.解:画图略.游乐园的坐标为(-7,2),映月湖的坐标为(-4,-4),碑林的坐标为(8,1).
在如图所示的平面直角坐标系中描出A(-1,0),B(5,0),C(2,3),D(0,3)四点,并用线段将A,B,C,D四点
依次连接起来,得到一个什么图形?你能求出它的面积吗?
〔解析〕 把A,B,C,D四点描出来,再依次连接起来,得到一个梯形,根据面积公式可求得梯形的面积.
1
解:如图所示,得到一个梯形,S = ×(2+6)×3=12.
梯形ABCD 2第 课时
1.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.
2.知道不同象限内点的坐标的特征.
3.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之
间的对应关系,发展数形结合意识.
1.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展学生的数形结合思想,培养学生的合
作交流能力.
2.通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程,进一步培养学生的转化意识.
通过生动有趣的教学活动,发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态度,提高学生学习数学的兴趣.
【重点】 体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识.
【难点】 认识坐标轴上的点、各象限内点的坐标特征.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 画图工具,方格纸若干张.
导入一:
[过渡语] 上节课我们学习了平面直角坐标系,请同学们在方格纸上建立一个平面直角坐标系,在建坐标
系时要注意哪些问题?
生:应注意标明正方向即箭头,标明x轴和y轴,还应标明单位长度.
师:在你所建的坐标系中标出象限,思考每个象限具有怎样的特点.并指出下列各点所在象限或坐标轴:
( 1 ) ( 2)
A(-1,-2.5),B(3,-4),C - ,5 ,D(3,6),E(-2.3,0),F 0, ,G(0,0).
4 3
生:A点在第三象限,B点在第四象限,C点在第二象限,D点在第一象限,E点在x轴上,F点在y轴上,G点在
坐标原点上.
[设计意图] 复习回顾上节课所学的平面直角坐标系,并考察了学生对于象限内点的坐标特点以及坐标
轴上点的坐标特点的掌握情况.导入二:
[过渡语] 同学们,相信你们对十字绣一定不陌生吧!你知道绣十字绣时怎样从图纸中找到符号给十字绣
画格吗?
这些漂亮的十字绣蕴含哪些数学知识呢?这节课我们从数学的角度来探讨一下这个问题.(板书课题)
[设计意图] 激趣引课,意在调动学生学习的积极性.
为了更好地解决本节课的问题,请同学们思考以下问题:(多媒体出示下列问题)
1.平面直角坐标系的定义.
2.x轴,y轴上点的坐标的特点.
3.平行于x轴或平行于y轴的点的坐标特点.
4.指出下列各点所在象限或坐标轴:A(-1,-2.5),B(3,-4),C(-4,5),D(3,6),E(-2.3,0),F(0,2),G(0,0).
5.若点P(x-2,y+3)在x轴上,则y= ;若在y轴上,则x= ;若在原点,则x= ,y=
.
[设计意图] 巩固所学知识,同时为探索新知识提供载体.
(教材例2) 在直角坐标系中描出下列各点,并将各组内这些点依次用线段连接起来.
(1)D(-3,5),E(-7,3),C(1,3),D(-3,5);
(2)F(-6,3),G(-6,0),A(0,0),B(0,3).
观察所描出的图形,它像什么?根据图形回答下列问题.
(1)图形中哪些点在坐标轴上,它们的坐标有什么特点?
(2)线段EC与x轴有什么位置关系?点E和点C的坐标有什么特点?线段EC上其他点的坐标呢?
(3)点F和点G的横坐标有什么共同特点?线段FG与y轴有怎样的位置关系?
解:连接起来的图形像“房子”,如图所示.
(1)线段AG上的点都在x轴上,它们的纵坐标都等于0;线段AB上的点都在y轴上,它们的横坐标都等于
0.
(2)线段EC平行于x轴,点E和点C的纵坐标相同.线段EC上其他点的纵坐标也相同,都是3.
(3)点F和点G的横坐标相同,线段FG与y轴平行.
[设计意图] 本题创设了一个相对轻松、有趣的情境,使学生进一步掌握在平面直角坐标系中由坐标找
到点的位置,并让学生初步感受坐标轴上点的坐标特征,平行于x轴、y轴的直线上点的坐标特征.
【议一议】 在平面直角坐标系中,坐标轴上的点的坐标有什么特点?【问题解决】 坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0,即横轴上的点的纵坐标是0,纵轴上的点的横坐
标是0.
【做一做】 如图所示的是一个笑脸.
(1)在“笑脸”上找出几个位于第一象限的点,指出它们的坐标,说说这些点的坐标有什么特点.
(2)在其他象限内分别找几个点,看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点.
(3)不描出点,分别判断A(1,2),B(-1,-3),C(2,-1),D(-3,4)所在的象限.
[设计意图] 力图引领学生探索同一象限内点的坐标的特征.
【问题解决】 (1)第一象限内的点的坐标有:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(5,2)等,它们的横坐标与纵坐标都
是正实数.
(2)第二象限内的点的坐标有:(-1,1),(-1,2),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-5,2)等,它们的横坐标是负实数,纵坐标是正实
数.
第三象限内的点的坐标有:(-1,-1),(-3,-3)等,它们的横坐标与纵坐标都是负实数.
第四象限内的点的坐标有:(1,-1),(3,-3)等,它们的横坐标是正实数,纵坐标是负实数.
(3)点A(1,2)在第一象限,点B(-1,-3)在第三象限,点C(2,-1)在第四象限,点D(-3,4)在第二象限.
总结:各个象限内的点的坐标特征是怎样的?
第一象限(+,+),第二象限(-,+),
第三象限(-,-),第四象限(+,-).
[知识拓展] 根据点的坐标符号的情况可以确定点的位置;反之,也可以根据点的位置确定点的符号情况.
坐标轴上的点不属于任何象限.
对于点P(a,b),用字母表示坐标.
若点P在第一象限,则a>0,b>0;
若点P在第二象限,则a<0,b>0;
若点P在第三象限,则a<0,b<0;
若点P在第四象限,则a>0,b<0.
1.位于x轴上的点的坐标的特征是:纵坐标为0;位于y轴上的点的坐标的特征是:横坐标为0.
2.与x轴平行的直线上点的坐标的特征是:纵坐标相等,横坐标不相等;与y轴平行的直线上点的坐标的特
征是:横坐标相等,纵坐标不同.
1.若点P(m+1,m+3)在y轴上,则m= .
解析:因为点P(m+1,m+3)在y轴上,所以横坐标为0,即m+1=0,m=-1.故填-1.2.已知点P(a,b)在第四象限,则Q(b,a)在 .
解析:因为点P(a,b)在第四象限,所以a>0,b<0,所以Q(b,a)在第二象限.故填第二象限.
3.点P在第二象限内,P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,那么点P的坐标为 ( )
A.(-4,3) B.(-3,-4)
C.(-3,4) D.(3,-4)
解析:因为点P在第二象限内,点P到x轴的距离是4,所以点P的纵坐标为4,又点P到y轴的距离是3,所
以点P的横坐标为-3.所以点P为(-3,4).故选C.
4.已知点P(a,b)在第三象限,且|a|=3,|b|=4,那么点P的坐标为 ( )
A.(-4,-3) B.(-3,-4)
C.(-3,4) D.(3,-4)
解析:因为点P(a,b)在第三象限,所以它的横、纵坐标均为负,所以a=-3,b=-4.故选B.
5.如图所示,在平面直角坐标系中,P(-1,1),PQ∥y轴,线段PQ的长为3,求点Q的坐标.
解:由PQ∥y轴可知点Q在点P的正上方或正下方.
当点Q在点P的正上方时,Q(-1,4);当点Q在点P的正下方时,Q(-1,-2).
第2课时
1.教材例2
2.做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第63页随堂练习.
【选做题】
教材第64页习题3.3第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平面直角坐标系中,点(-3,8)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中,点(0,-10)在 ( )
A.x轴的正半轴上 B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上 D.y轴的负半轴上
3.在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D. 第四象限4.在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列各组内的点,并用线段依次连接起来.
(1)(-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3),(-6,5);
(2)(-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3);
(3)(3.5,9),(2,7),(3,7),(1,5),(2,5),(0,2),(3,2),(3,0);
(4)(3.5,9),(5,7),(4,7),(6,5),(5,5),(7,2),(4,2),(4,0),(3,0).
观察所得的图形,你觉得它像什么?
【能力提升】
5.若点P(m+5,m-2)在x轴上,则m= ;若点Q(m+5,m-2)在y轴上,则m= .
6.已知点A(-3,2),点B(1,4).
(1)若CA平行于x轴,BC平行于y轴,则点C的坐标是 ;
(2)若CA平行于y轴,BC平行于x轴,则点C的坐标是 .
7.已知线段AB=3,AB∥x轴,若A点坐标为(-1,2),则B点坐标是 .
【拓展探究】
8.科学探测活动中,探测人员发现目标在如图所示的阴影区域内,则目标的坐标可能是 ( )
A.(-3,300)
B.(7,-500)
C.(9,600)
D.(-2,-800)9.已知坐标平面内点A(-2,4),如果将坐标系向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,那么点A变化
后的点A'的坐标为 .
【答案与解析】
1.B(解析:横坐标为负,纵坐标为正,在第二象限.)
2.D(解析:横坐标为0,纵坐标为负,在y轴的负半轴上.)
3.B(解析:横坐标为负,纵坐标为x2+1,恒大于等于1,在第二象限.)
4.解:如图所示,图形像一栋“房子”,旁边还有一棵“大树”.
5.2 -5(解析:点P在x轴上,纵坐标为0,即m-2=0,m=2.点Q在y轴上,横坐标为0,即m+5=0,m=-5.)
6.(1)(1,2) (2)(-3,4)(解析:(1)CA平行于x轴,C点的纵坐标和A点相同,BC平行于y轴,点C的横坐标和B点相
同.(2)CA平行于y轴,点C的横坐标和A点相同,BC平行于x轴,点C的纵坐标和B点相同.)
7.(2,2)或(-4,2)(解析:AB∥x轴,A点坐标为(-1,2),则B点纵坐标和A点相同,线段AB=3,在A左侧和右侧分别有一
个点符合要求.)
8.B(解析:阴影区域在第四象限,只有点(7,-500)在第四象限.)
9.(1,2)(解析:坐标系向左平移相当于点向右平移,坐标系向上平移相当于点向下平移,所以本题可以看做坐标
系不动,点A向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度.)
本课时利用平面直角坐标系,描出图形,然后寻找各个象限内的点的特征,紧跟练习,加以巩固和提高.
教材中的练习较少,由于是新知识,可能有学生
不够熟练,以至于影响以后的学习.
设计分层的练习题,照顾到更多的学生,为后续课程奠定良好的基础.随堂练习(教材第63页)
解:(1)描点略.像一棵树. (2)在坐标轴上的点有:(0,3),(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0). (3)其中点(2,5),(4,3),(1,3),(3,3)在第
一象限,点(1,-6)和(3,-6)在第四象限,其余各点不属于任何象限;是根据点的横、纵坐标的符号判定的. (4)答
案不唯一,如:点(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0)都在x轴上,它们的纵坐标都等于0,点(0,3),(4,3),(1,3),(3,3)都在平行于x轴
的同一条直线上,它们的纵坐标相等,都等于3.
习题3.3(教材第64页)
1.解:(1)如图(1)所示,图形像字母“M”. (2)如图(2)所示,图形像字母“W”.
2.解:(1)点的坐标答案不唯一,在第一象限内的点的坐标符号(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).
(2)点的坐标答案不唯一,与x轴平行的线段上的点的纵坐标相等,与y轴平行的线段上的点的横坐标相等.
3.解:(1)A(6,3),B(3,6),C(-2,6),D(-5,3),E(-5,-2),F(-2,-5),G(3,-5),H(6,-2).
(2)找点的答案不唯一,在平行于x(y)轴直线上的点的纵(横)坐标相等.
已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(0,2),(0,0),(3,1),在直角坐标系中画出图形并写出第四
个顶点的坐标.
〔解析〕 已知平行四边形的三个顶点来确定第四个顶点,应该考虑三种情况.
解:如图所示,第四个顶点的坐标有三种情况:
(3,3),(3,-1),(-3,1).
第 课时1.能结合所给图形的特点,建立适当的坐标系,写出点的坐标.
2.能根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
3.经历建立坐标系描述图形的过程,进一步发展数形结合意识.
通过多角度的探索,灵活选取简便易懂的方法解决问题,拓宽学生的思维,提高学生解决问题的能力.
1.通过学习建立直角坐标系的多种方法,让学生体验数学活动充满着探索与创造,激发学生的学习兴趣,
感受数学在生活中的应用,增强学生的数学应用意识.
2.通过“寻宝”游戏,让学生认识数学与生活的密切联系,提高他们学习数学的兴趣.
【重点】 根据实际问题建立适当的坐标系,并能写出各点的坐标.
【难点】 根据一些特殊点的坐标复原坐标系.
【教师准备】 坐标纸,多媒体课件.
【学生准备】 方格纸若干张.
导入一:
复习:(1)如何建立平面直角坐标系?说一说各个象限内点的坐标特征.
(2)如图(1)所示,求出A,B,C,D,E,F的坐标.
(3)在直角坐标系中,设法找到若干个点使得连接各点所得的封闭图形是如图(2)所示的“十”字.注:选取的坐标系不同,得出的坐标也不同.
导入二:
[过渡语] 前面我们学习了平面直角坐标系的相关知识,请利用所学知识回答下面的问题.
(多媒体出示问题)
【问题】 请写出图中各点的坐标.
[处理方式] 在多媒体课件中出示图形与问题,给学生留出一分钟时间审题、做题,由学生举手回答,通
过此问题的复习,引入新课.
[设计意图] 由复习引入,从学生已有的知识经验入手,在熟悉中提出新问题,激发学生的求知欲,通过写
出直角坐标系中点的坐标,复习所学知识并启发学生的思维,为下面的学习做好铺垫.
[过渡语] 如果给出一个平面图形,要想写出图形中一些点的坐标,必须建立直角坐标系,而直角坐标系
如何建立?建立方法是否唯一呢?今天我们一起学习:平面直角坐标系——建立适当的直角坐标系(板书课题).
首先我们一起学习例3.
(教材例3)如图所示,长方形ABCD的长与宽分别是6,4,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.
师:在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标,所以应先建立直角坐标系,那么应如何选取直
角坐标系呢?请大家思考.
生1:如下图所示,以点C为坐标原点,分别以CD,CB所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
由CD的长为6,CB长为4,可得A,B,C,D的坐标分别为A(6,4),B(0,4),C(0,0),D(6,0).生2:如下图所示,以点D为坐标原点,分别以CD,AD所在直线为x轴、y轴,建立直角坐标系.
师:这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点,矩形的相邻两边所在直线分别
作为x轴、y轴,建立直角坐标系的.这样建立直角坐标系的方式还有两种,即分别以A,B为原点,矩形两邻边
所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.除此之外,还有其他方式吗?
生1:有,如下图所示,以矩形的中心(即对角线的交点)为坐标原点,平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y
轴建立直角坐标系,则A,B,C,D的坐标分别为A(3,2),B(-3,2),C(-3,-2),D(3,-2).生2:把上图中的x轴逐渐向上或向下移动,y轴向左或向右移动,则可得到不同的坐标系,从而得到
A,B,C,D四点的不同坐标.
师:从刚才我们讨论的情况看,大家能发现什么?
生:建立直角坐标系有多种方法.
(教材例4)对于边长为4的等边三角形ABC(如左下图所示),建立适当的直角坐标系,写出各个顶点的坐
标.
解:如图所示,以边BC所在的直线为x轴,以边BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.
由等边三角形的性质可知AO=2❑√3,等边三角形ABC各个顶点A,B,C的坐标分别为A(0,2❑√3
),B(-2,0),C(2,0).
师:等边三角形的边长已经确定是4,它一边上的高是不是会因所处位置的不同而发生变化呢?
生:不会,只是位置变化,而长度不会变.
师:除了上面的直角坐标系的选取外,是否还有其他的选取方法?
生:有……
师:你认为怎样建立适合的直角坐标系?
[设计意图] 体会同一图形在不同坐标系中的位置不同,关键点的坐标也不同.培养学生综合应用知识解
决问题的能力.
注意:确定坐标系时,要看点的位置,同时要看此点到坐标轴的距离,而距离往往需要进行计算.
[过渡语] 同学们,既然我们已经学会建立平面直角坐标系来确定点的位置了,那么下面我们一起去“寻
宝”吧!
【议一议】 在一次“寻宝”游戏中,寻宝人已经找到了A(3,2)和B(3,-2)两个标志点,并且知道藏宝地点
的坐标为(4,4),除此之外不知道其他信息.如何确定直角坐标系找到“宝藏”?与同伴进行交流.
[设计意图] 这个情境具有一定趣味性和探究性,这样可以大大激发学生的思维,增强学生的学习兴趣,
使学生进入快乐的学习中来,提高学生学习的积极性和主动性,同时引导学生进入新课的学习.
[处理方式] (1)学生分组讨论如何找到宝藏.(2)让每组选一名代表发言,阐述本组讨论的结果.(3)师生共
同完成“寻宝”.
[设计意图] 通过小组讨论活动,让学生理解坐标系的特点,并能应用特点解决问题.培养学生逆向思维
的习惯以及勇于探索、团结协作的精神.[知识拓展] 根据点的坐标的符号特征可以判定点的位置,反之,也可以根据点在直角坐标系中的位置判
断其坐标符号的情况.
本节通过学习建立直角坐标系的多种方法,体验数学活动充满着探索与创造,不同的坐标系,对于同一个
图形,点的坐标是不同的.
建立不同的平面直角坐标系,同一个图形,同一个点可以用不同的坐标表示,在实际应用中,以坐标简单容
易计算为前提.
1.如图所示,在一次军棋比赛中,如果团长所在的位置的坐标为(2,-4),司令所在的位置的坐标为(4,-1),那么
工兵所在的位置的坐标为 .
解析:根据团长所在位置的坐标为(2,-4),司令所在位置的坐标为(4,-1),可确定直角坐标系的原点、单位长
度、坐标轴的位置,得出工兵所在位置的坐标.故填(1,-1).
2.某地为了发展城市群,在现有的四个中小城市A,B,C,D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写
出各点的坐标.
解:答案不唯一,可以以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系.
第3课时
1.教材例3.
2.教材例4.
3.议一议.
一、教材作业
【必做题】教材第66页习题3.4第1,2,3题.
【选做题】
教材第66页习题3.4第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示的是A,B,C,D四位同学的家所在位置,若以A同学家的位置为坐标原点建立平面直角坐标系,那么
C同学家的位置的坐标为(1,5),则B,D两同学家的坐标分别为 ( )
A.(2,3),(3,2) B.(3,2),(2,3)
C.(2,3),(-3,2) D.(3,2),(-2,3)
2.如图所示,若“帅”位于点(1,-2)上,“相”位于点(3,-2)上,则“炮”位于点 .
3.星期天,小王、小李、小张三位同学相约到文化广场游玩,出发前,他们每人带了一张利用平面直角坐标系
画的示意图(如图所示),其中行政办公楼的坐标是(-4,3),南城百货的坐标是(2,-3).
(1)图中省略了平面直角坐标系,请根据上述信息,画出这个平面直角坐标系;
(2)写出图中体育馆、升旗台、北部湾俱乐部、盘龙苑小区、国际大酒店的坐标;
(3)小王、小张两人到了升旗台附近,这时还没看到小李,于是打电话问小李的位置,小李说他现在位置的坐标
是(-2,-2),请在图中用字母A标出小李的位置.
【能力提升】
4.如图所示,若点E的坐标为(-2,1),点F的坐标为(1,-1),则点G的坐标为 .【拓展研究】
5.在平面直角坐标系中,点A的坐标(-3,4),点B的坐标是(-1,-2),点O为坐标原点,求ΔAOB的面积.
6.如图所示,正方形ABCD的边长为10,连接各边的中点E,F,G,H得到正方形EFGH,请你建立适当的坐标系,
分别写出A,B,C,D,E,F,G,H的坐标.
【答案与解析】
1.D(解析:建立正确的平面直角坐标系,然后确定B,D两家的坐标.)
2.(-2,1)(解析:由“帅”位于点(1,-2),“相”位于点(3,-2),确定平面直角坐标系,再找到“炮”的位置,写出它的
坐标.)
3.解:(1)建立平面直角坐标系如图所示. (2)体育馆(-9,4),升旗台(-4,2),北部湾俱乐部(-7,-1),盘龙苑小区(-5,-3),
国际大酒店(0,0).
(3)小李的位置是如图所示的A点.
4.(1,2)
5.解:ΔAOB的面积是5.
6.解:答案不唯一,如:以EG所在直线为x轴,以FH所在直线为y轴,建立如图所示的坐标系,则A(-5,-5),B(5,-
5),C(5,5),D(-5,5),E(-5,0),F(0,-5),G(5,0),H(0,5).例题的设计是这节课的一个亮点,通过实际的练习,学生认识到平面直角坐标系的用途和需要注意的地
方,通过不同的平面直角坐标系,对同一个图形、同一个顶点用不同坐标来表示,加强了学生的认识和理解.
由于练习比较少,不少学生对平面直角坐标系理解不透彻,利用不够熟练.
设计不同的情境,让学生自己建立平面直角坐标系,写出点的坐标,然后再进一步地练习.
随堂练习(教材第66页)
解:答案不唯一.可以以四角星的中心为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐
标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(6,0),B(2,2),C(0,6),D(-2,2),E(-6,0),F(-2,-2),G(0,-6),H(2,-2).
习题3.4(教材第66页)
1.(2,1)
2.解:答案不唯一,如图所示,建立直角坐标系,各顶点的坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(4,4),C(0,4).
3.提示:如图所示,连接AB,作AB的垂直平分线Ox,垂足为D,则Ox为x轴,向右为正方向,在射线DO上截取
DO=AB,过O作Oy⊥Ox,则Oy为y轴(竖直向上为正方向),由此可确定出(3,3)的位置C.4.解:建立如图所示的平面直角坐标系,A(-1,❑√3),B(-2,0),C(-1,-❑√3),D(1,-❑√3),E(2,0),F(1,❑√3).
5.解:答案不唯一.如果以八角星的中心为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角
坐标系,这样八个顶点的坐标分别表示为A(7,0),B(5,5),C(0,7),D(-5,5),E(-7,0),F(-5,-5),G(0,-7),H(5,-5).如果以八角
星的左下角顶点为坐标原点,以方格的横线、纵线所在的直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,这样八个顶点
的坐标分别表示为A(12,5),B(10,10),C(5,12),D(0,10),E(-2,5),F(0,0),G(5,-2),H(10,0).同一点在两个坐标系中的坐
标之间的关系是:第二种情况的横坐标、纵坐标比第一种情况都大5.
已知菱形两条对角线的长分别为6和8,建立适当的直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解:设菱形ABCD,AC=8,BD=6,则以AC所在的直线为x轴,BD所在的直线为y轴,建立如图所示的直角坐
标系,那么点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,-3),点C的坐标是(4,0),点D的坐标是(0,3).(答案不唯一)
正方形的边长为2,建立合适的直角坐标系,写出各顶点的坐标 .
〔解析〕 正方形的四个角都是直角,四条边相等,对角线相等且互相垂直平分.因此,本题的解法很多.
解:答案不唯一,如图(1)所示,A(0,2),B(2,2),C(2,0),O(0,0);
如图(2)所示,A(-1,1),B(1,1),C(1,-1),D(-1,-1);
如图(3)所示,A(-2,2),B(0,2),D(-2,0),O(0,0);
如图(4)所示,A(-❑√2,0),B(0,❑√2),C(❑√2,0),D(0,-❑√2).3 轴对称与坐标变化
1.在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系.
2.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程,发展思维能力和数形结合意识.
经历探究图形的形状、大小、位置关系和变换的过程,掌握空间与图形的基础知识和基本技能,培养学
生的探索能力.
1.丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维.
2.通过对图形的研究,激发学生对数学学习的好奇心与求知欲,使学生积极参与数学学习活动.
3.通过“轴对称与坐标变化”,让学生体会数学活动充满着探索性与创造性.【重点】 经历图形坐标变化与图形轴对称变换之间关系的探索过程,明确图形坐标变化与图形轴对
称变换之间的关系.
【难点】 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化过程,发展形象思维能力和数形结合意识.
【教师准备】 画图工具,课件.
【学生准备】 画图工具.
导入一:
在前几节课中,我们学习了平面直角坐标系的有关知识.现在我们会画平面直角坐标系;能在方格纸上建
立适当的直角坐标系,描述物体的位置;在给定的直角坐标系下,会根据坐标描出点,由点的位置写出它的坐标.
我们知道点的位置不同写出的坐标就不同,反过来,不同的坐标确定不同的点.如果坐标中的横(纵)坐标
不变,纵(横)坐标按一定的规律变化,或者横、纵坐标都按一定的规律变化,那么图形是否会变化?变化的规律
是怎样的?这是本节课中我们要研究的问题.
导入二:
如图所示的是小刚的脸,如果用(-1,2)表示他的左眼,用(0,0)表示嘴,那么右眼的位置应如何表示?
探索关于两个坐标轴对称的图形的坐标关系
1.在如图所示的平面直角坐标系中,第一、二象限内各有一面小旗.两面小旗之间有怎样的位置关系?对应点A与A 的坐标又有什么特点?其他对应点的坐标也有这个特点
1
吗?
2.在y轴右边的坐标系内任取一点,做出这个点关于y轴对称的点,看看两个点的坐标有什么样的关系,说
说其中的道理.
3.如果关于x轴对称呢?在这个坐标系中作出小旗ABCD关于x轴的对称图形,它的各个顶点的坐标与原
来的点的坐标有什么关系?
4.关于x轴对称的两点,它们的横坐标 ,纵坐标 ;
关于y轴对称的两点,它们的横坐标 ,纵坐标 .
[设计意图] 通过图形的变化,体会七年级学过的轴对称变换和直角坐标系中的坐标变换的特征.
(教材例题)(1)在平面直角坐标系中依次连接下列各点:(0,0),(5,4),(3,0),(5,1),(5,-1),(3,0),(4,-2),(0,0),你得到了
一个怎样的图案?
(2)将所得图案的各个“顶点”的纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,依次连接所得各点,你会得到怎样的
图案?这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢?
(3)横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比
有什么变化?
【师生活动】 学生小组合作交流,教师引导学生通过动手画图得到上述问题的结论.
解:(1)依次连接各点得到的图案如下图所示,它像一条小鱼.
(2)纵坐标保持不变,横坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(-5,4),(-3,0),(-5,1),(-5,-1),(-3,0),(-4,-2),
(0,0),依次连接这些点,所得图案及原图案如下图所示,它们关于y轴对称.(3)横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,所得各点的坐标依次是(0,0),(5,-4),(3,0),(5,-1),(5,1),(3,0),(4,2),(0,0),依
次连接这些点,观察所得的图案,它与原图案关于x轴对称.
【思考】 若横坐标、纵坐标都分别乘-1,再将所得的点用线段依次连接起来,则所得的图案(如图所示)
与原来的图案相比有什么变化?
[设计意图] 通过形象的图案,让学生进一步体会坐标变化与图形变化的关系.
[知识拓展] 关于x轴对称的两个点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数.
关于y轴对称的两个点的坐标,横坐标互为相反数,纵坐标相同.
关于原点对称的两个点的坐标,它们的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
1.关于y轴对称的两个图形上点的坐标特征:(x,y)——(-x,y).
2.关于x轴对称的两个图形上点的坐标特征:(x,y)——(x,-y).
3.关于原点对称的两个图形上点的坐标特征:(x,y)——(-x,-y).
1.点A(2,-3)关于x轴对称的点的坐标是 .
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变.故填(2,3).
2.点B(-2,1)关于y轴对称的点的坐标是 .
解析:关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变.故填(2,1).
3.点(4,3)与点(4,-3)的关系是( )
A.关于原点对称B.关于x轴对称
C.关于y轴对称
D.不构成对称关系
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变;关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变.故选
B.
4.点(m,-1)和点(2,n)关于 x轴对称,则 mn等于 ( )
A.-2 B.2 C.1 D.-1
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变,则m=2,n=1,mn=2.故选B.
5.(1)若mn=0,则点P(m,n)必定在 上;
(2)已知点P(a,b),Q(3,6),且PQ∥x轴,则b的值为 .
解析:(1)mn=0,m=0或n=0,点P(m,n)必定在坐标轴上;(2) PQ∥x轴,P(a,b),Q(3,6)两点纵坐标相同,则b=6.
答案:(1)坐标轴 (2)6
6.点A在第一象限,当m为 时,点A(m+1,3m-5)到 x轴的距离是它到y轴距离的一半.
解析:点A在第一象限,则横、纵坐标均为正,点A(m+1,3m-5)到 x轴的距离是它到y轴距离的一半,所以
11 11
m+1=2(3m-5),所以m= .故填 .
5 5
7.已知A,B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论:
①A,B关于x轴对称;②A,B关于y轴对称;③A,B关于原点对称;④A,B之间的距离为4.
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:关于x轴对称,纵坐标互为相反数,横坐标不变;关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于
原点对称,横、纵坐标均互为相反数.故选B.
8.一束光线从点A(3,3)出发,经过y轴上点C反射后经过点B(1,0),则光线从A点到B点经过的路线长是
( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:点A(3,3)关于y轴对称的点为C(-3,3),BC的长就是光线从A点到B点经过的路线长,构造直角三角
形,运用勾股定理计算.故选B.
3 轴对称与坐标变化
1.引例.
2.例.
一、教材作业
【必做题】
教材第69页习题3.5第1,2题.
【选做题】
教材第70页习题3.5第4题.
二、课后作业
【基础巩固】1.如图所示,在直角坐标系中,ΔAOB的顶点O和B的坐标分别是O(0,0),B(6,0),且∠OAB=90°,AO=AB,则顶点A
关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(3,3) B.(-3,3)
C.(3,-3) D.(-3,-3)
2.点M的坐标是(-3,4),则点M关于y轴的对称点的坐标是 ,关于x轴的对称点的坐标是 ,关
于原点的对称点的坐标是 ,点M到原点的距离是 .
【能力提升】
3.ΔABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出ΔABC关于x轴对称的ΔABC,并写出点A 的坐标;
1 1 1 1
(2)作出ΔABC关于原点对称的ΔABC,并说出顶点坐标变化的特征.
2 2 2
4.在如图所示的直角坐标系中,四边形ABCD的各顶点的坐标分别是A(0,0),B(2,5),C(9,8),D(12,0),求出这个四
边形的面积.【拓展探究】
5.如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么称点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心.此
时,M是线段PQ的中点.
如图所示,在直角坐标系中,ΔABO的顶点A,B,O的坐标分别为(1,0),(0,1),(0,0).点列P,P,P……中的相邻两点都
1 2 3
关于ΔABO的一个顶点对称:
点P 与点P 关于点A对称,点P 与点P 关于点B对称,点P 与点P 关于点O对称,点P 与点P 关于点A对
1 2 2 3 3 4 4 5
称,点P 与点P 关于点B对称,点P 与点P 关于点O对称……对称中心依次分别是A,B,O,A,B,O,…,且这些对
5 6 6 7
称中心依次循环.已知点P 的坐标是(1,1),试求出点P,P,P 的坐标.
1 2 7 100
【答案与解析】
1.C
2.(3,4) (-3,-4) (3,-4) 5
3.解:(1)画图略,点A 的坐标是(-2,-3). (2)画图略,关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数.
1
4.提示:62.5.
5.解析:通过作图可知6个点一个循环,那么P 的坐标和P 的坐标相同,P 的坐标与P 的坐标一样,通过图中
7 1 100 4
的点可很快求出.
解:作P 关于A点的对称点,即可得到P(1,-1),由题意知6个点一个循环,故P 的坐标与P 的坐标一样,P 的
1 2 7 1 100
坐标与P 的坐标一样,所以P 的坐标为(1,1),P 的坐标为(1,-3).
4 7 100
通过本节课的学习,经历坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系的探索过程, 掌握空间与图形的基础
知识和基本技能,丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维,激发学生对数学学习的
好奇心与求知欲.学生能积极参与数学学习活动,积极交流合作,体验数学活动充满着探索与创造性.
以前学过的轴对称知识个别学生可能有些遗忘,致使理解不好,掌握不够扎实.
事先一定要准备好坐标纸等,提高学习效率. 在开始设计复习轴对称的知识和题目,在复习中引入新课,
新旧结合,减少遗忘带来的麻烦.
习题3.5(教材第69页)1.解:ΔDEF与ΔABC关于y轴对称,它们相应顶点的横坐标互为相反数,纵坐标相等;ΔPMN与ΔABC关于x轴
对称,它们相应顶点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.
2.解:找出点A,B,C关于x轴对称的点A,B,C,连接AB,BC,CA,得到ΔABC,ΔABC 与ΔABC关于x轴对
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
称;找出点A,B,C 关于y轴对称的点A,B,C,连接AB,BC,CA,得到ΔABC,ΔABC 与ΔABC 关于y轴
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
对称.画图略.
3.提示:各个顶点的坐标分别为I(-6,0),A(6,0),M(0,-6),E(0,6),G(-3,3),C(3,3),O(3,-3),K(-3,-3),H(-2,1),B(2,1),P(2,-
1),J(-2,-1),F(-1,2),D(1,2),N(1,-2),L(-1,-2).特点略.
4.提示:利用关于坐标轴对称的点的规律作图.
复习题(教材第71页)
1.解:(1)A(-4,0). (2)B(0,4). (3)C(-4,4).
2.解:点(0,a)在纵轴的正半轴上;点(b,0)在横轴的正半轴上.
3.提示:答案不唯一,可以以长方形左下角的顶点为坐标原点,过这个顶点的两边所在的直线为坐标轴,建立平
面直角坐标系.此时四个顶点的坐标分别为(0,0),(8,0),(8,6),(0,6).
4.解:画图略.(1)这个图案与原图案关于y轴对称.
(2)这个图案与原图案关于x轴对称.
6.解:画图略.(1)所得图案与原图案关于y轴对称.
(2)所得图案与原图案关于x轴对称.
7.解:可能,如本身关于y轴对称的图形.
8.解:如图所示.交流略.
9.解:(1)与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等,与y轴平行的直线上的点的横坐标相等. (2)若a,b同号,则点
P(a,b)在第一或第三象限;若a,b异号,则点P(a,b)在第二或第四象限.
13.提示:可以根据轴对称的意义来完成,也可以根据轴对称的点的坐标特征来完成.
14.解:分别过B,C作x轴的垂线,垂足分别为E,F,则E,F的坐标分别为(3,0),(14,0),则S =S +S
四边形ABCD ΔABE 梯形
1 1 1 1 1 1
+S .因为S = AE·BE= ×3×6=9,S = (BE+CF)·EF= (6+8)×11=77,S = FD·CF= ×2×8=8,
BEFC ΔCFD ΔABE 2 2 梯形BEFC 2 2 ΔCFD 2 2
所以S =9+77+8=94.
四边形ABCD
1.教学解读.
学生的知识技能基础:学生已学习了运用多种方法确定物体的位置,使学生感受到了丰富的确定位置的
现实背景;系统学习了平面直角坐标系的基本概念,能在平面直角坐标系中准确地表示物体的位置,清楚地认
识了点和坐标之间的对应关系;能确定点的坐标及根据坐标描点,进而连线形成图形.学生的活动经验基础:学生有了一定的合作学习的基础及学习能力,教学中要安排一定的合作交流与自
主学习的机会,加强学生之间的交流.
2.重难点突破.
对称点的坐标变化规律:对称点的坐标情况可以简记为:关于横轴对称,则“横不变,纵相反”;关于纵轴对
称,则“纵不变,横相反”;关于原点对称,则“全相反”.
如图所示,在平面直角坐标系中,求三角形ABO的面积.
解:过A,B分别向x轴、y轴作垂线AE,BN,NB与EA的延长线相交于M点.
1 1 1
S =S -S -S -S =9- ×3×2- ×3×1 - ×2×1=9-3-1.5-1=3.5.
ΔOAB 正方形OEMN ΔOAE ΔOBN ΔABM 2 2 2
如图所示,在ΔAOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求ΔAOB的面积.
1 1 1
解:S =S -S = ×2×4+ ×(2+4)×4- ×6×2=4+12-6=10.
ΔAOB 四边形ABNO ΔBON 2 2 2
1.在现实情境中体会确定位置的不同方式与方法,感受确定位置的方法的多样性.
2.掌握利用直角坐标系确定位置的方法.
3.会用平面直角坐标系来解决一些简单的实际问题.
通过复习,进一步加深对平面直角坐标系的认识,并会解决一些简单的实际问题.通过总结回顾全章知识,提升归纳总结能力,感受学习数学的乐趣,增强学习数学的信心.
【重点】 平面直角坐标系的相关概念及性质.
【难点】 利用平面直角坐标系解决实际问题.
{确定位置{确定物体位置的方法
灵活运用不同的方法确定物体的位置
直角坐标系的概念
{
平面直角坐标系 建立适当的直角坐标系描述物
体的位置
轴对称与坐标变化{“鱼”的各种变化方式
坐标变化与图形变换的关系
专题一 平面直角坐标系
【专题分析】
平面直角坐标系是学习数学的重要工具,学好它尤为重要,在这个专题中,需要掌握的是:平面直角坐标系
的概念,四个象限的点的坐标的特征,坐标轴是四个象限的分界线,不属于任何象限,在坐标轴上点的坐标的特
征:在x轴上,纵坐标为0,在y轴上,横坐标为0,原点是两条坐标轴的公共点,坐标为(0,0).
如图所示,P,P,P 这三个点中,在第二象限内的有 ( )
1 2 3
A.P,P,P B.P,P
1 2 3 1 2
C.P,P D.P
1 3 1
〔解析〕 P 在第二象限,P 在y轴上,不属于任何象限,P 在x轴上,不属于任何象限.故选D.
1 2 3
【针对训练1】 点P(m,1)在第二象限内,则点Q(-m,0)在 ( )
A.x轴正半轴上 B.x轴负半轴上
C.y轴正半轴上 D.y轴负半轴上
〔解析〕 第二象限点的坐标符号为(-,+),点P(m,1)在第二象限内,所以m<0,则-m>0,点Q(-m,0)的纵坐标
为0,所以点Q(-m,0)在x轴正半轴上.故选A.
[方法归纳] 在平面直角坐标系中,四个象限的点的坐标符号为:第一象限(+,+), 第二象限(-,+),第三象限
(-,-),第四象限(+,-).在x轴上,纵坐标为0,在y轴上,横坐标为0,原点坐标为(0,0).
专题二 用坐标表示位置
【专题分析】用坐标表示位置,需要我们根据特殊点的坐标建立适当的坐标系,然后找到所需要的地点的坐标.
如图所示,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),则“兵”位
于点( )
A.(-1,1) B.(-2,-1)
C.(-3,1) D.(1,-2)
〔解析〕 由“帅”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),可得直角坐标系的原点,则可建立平面直角坐标
系,得到“兵”位于点(-3,1).故选C.
[方法归纳] 根据已知点的坐标寻找坐标原点是解这类题目的关键,找到原点,建立直角坐标系,再找到
需要的点的坐标.
【针对训练2】 如图所示的是某学校的平面示意图,在10×10的正方形网格中(每个小方格都是边长
为1的正方形),如果分别用(3,1),(3,5)表示图书馆和教学楼的位置,那么实验楼的位置应表示为 .
〔解析〕 由(3,1),(3,5)表示的位置确定直角坐标系,再找到实验楼的位置.故填(-3,4).
专题三 数形结合思想
【专题分析】
本章涉及的数学思想主要是数形结合思想,简单地说,数形结合,就是通过代数来解决几何问题,代数问题
能通过几何图形来表示和解决,平面直角坐标系就是这两者的有机结合,在平面直角坐标系中,我们画出图形,
通过代数的方法,来解决各种问题,包括以后学到的函数等,本章中涉及得比较简单,主要有在平面直角坐标系
中表示点的坐标,用点的坐标表示图形的变换,求某些特殊图形的面积等.
1
如图所示,若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标分别变为原来的 ,横坐标不变,
2
则点A的对应点的坐标是 ( )A.(-4,3) B.(4,3)
C.(-2,6) D.(-2,3)
1
〔解析〕 在题图中,点A的坐标是(-4,6),横坐标不变,纵坐标变为原来的 后,纵坐标变为3.故选A.
2
【针对训练3】 如图所示,三角形ABC在直角坐标系中.
(1)请写出三角形ABC各顶点的坐标;
(2)求三角形ABC的面积.
〔解析〕 明确坐标系的原点,分别找出各顶点的坐标即可,求三角形ABC的面积,可把求三角形的面积
转化为求一个长方形面积与三个直角三角形面积差的问题.
解:(1)A(-1,-1),B(4,2),C(1,3).
1 1 1
(2)S =5×4- ×5×3- ×1×3- ×2×4=7.
ΔABC 2 2 2
[方法归纳] 掌握平面直角坐标系的特征是解决这类问题的关键,用代数的计算方法和表示方法表示点
的坐标,表示线段的长,表示图形的面积和某些规律性的结论.
【针对训练4】 如图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到
点(1,1),第二次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2013次运动后,动点
P的坐标是 ,经过第2014次运动后,动点P的坐标是 .〔解析〕 寻找规律:横坐标就是运动的次数,次数为偶数时纵坐标为0,次数为奇数时纵坐标为1,2循环.
〔答案〕 (2013,1) (2014,0)
本章质量评估
(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.在平面直角坐标系中,已知点P(2,-3),则点P在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在如图所示的直角坐标系中,点M,N的坐标分别为 ( )
A.M(-1,2),N(3,1)
B.M(2,-1),N(3,1)
C.M(-1,2),N(1,3)
D.M(2,-1),N(1,3)
3.如图所示,长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发,沿长方形
BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位
长度/秒匀速运动,则两个物体运动后的第2012次相遇点的坐标是( )
A.(2,0) B.(-1,1)
C.(-2,1) D.(-1,-1)
4.已知点P的坐标为(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标是 ( )
A.(3,3) B.(3,-3)
C.(6,-6) D.(3,3)或(6,-6)
5.设点A(m,n)在x轴上,且位于原点的左侧,则下列结论正确的是 ( )
A.m=0,n为一切实数
B.m=0,n<0
C.m为一切实数,n=0
D.m<0,n=0
6.在直角坐标系中,一个图案上各个点的横坐标和纵坐标分别加正数a(a>1),那么所得的图案与原图案相比
( )
A.形状不变,大小扩大到原来的a倍B.图案向右平移了a个单位长度
C.图案向上平移了a个单位长度
D.图案向右平移了a个单位长度,并且向上平移了a个单位长度
7.已知点M (3,-4) ,在x轴上有一点B,B点与M点的距离为5,则点B的坐标为 ( )
A.(6,0) B.(0,1)
C.(0,-8) D.(6,0)或(0,0)
8.点A(a,4),点B(3,b)关于x轴对称,则(a+b)2013的值为 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.72013
9.如果点A(m,n)在第二象限,那么点B(-m,|n|)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.在平面直角坐标系中,孔明做走棋游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位长度,第2步向右
走2个单位长度,第3步向上走1个单位长度,第4步向右走1个单位长度……依次类推,第n步的走法是:当n
能被3整除时,则向上走1个单位长度;当n被3除余数是1时,则向右走1个单位长度,当n被3除余数为2时,
则向右走2个单位长度,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是 ( )
A.(66,34) B.(67,33)
C.(100,33) D.(99,34)
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.点P(-2,3)关于x轴对称的点P'的坐标为 .
12.点P(1,-2)关于y轴对称的点P'的坐标为 .
13.一只蚂蚁由点(0,0)先向上爬4个单位长度,再向右爬3个单位长度,再向下爬2个单位长度后,它所在位置
的坐标是 .
14.在平面直角坐标系中,点A(2,m2+1)一定在第 象限.
15.点A(a,b)和点B关于x轴对称,而点B与点C(2,3)关于y轴对称,那么a= ,b= ,点A和点C
的位置关系是 .
16.在电影院里7排5号可以用(7,5)表示,那么(6,2)表示的是 排 号.
17.如图所示,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为 .
18.已知点M(a,-1)和N(2,b)不重合.
(1)当点M,N关于 对称时,a=2,b=1;
(2)当点M,N关于原点对称时,a= ,b= .
三、解答题(共58分)
19.(8分)在平面直角坐标系中,点A关于y轴的对称点为点B,点B关于x轴的对称点为点C.
S
ΔADO
(1)若点A的坐标为(1,2),请你在给出的坐标系中画出ΔABC,设AB与y轴的交点为D,求 的值;
S
ΔABC
(2)若点A的坐标为(a,b)(ab≠0),判断ΔABC的形状.20.(8分)如图所示,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A(-2,8),B(-11,6),C(-14,0),D(0,0).
(1)确定这个四边形的面积,你是怎么做的?(写出一种做法即可)
(2)如果把A,B,C,D各点的纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积又是多少?
21.(10分)如图所示,在直角坐标系中,RtΔAOB的两条直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的负半轴上,
且OA=2,OB=1.将RtΔAOB绕点O按顺时针方向旋转90°,再把所得的三角形沿x轴正方向平移1个单位长度,
得ΔCDO.
(1)写出点A,C的坐标;
(2)求点A和点C之间的距离.
22.(10分)如图所示,正方形ABCD的边长为10,连接各边的中点E,F,G,H得到正方形EFGH,请你建立适当的
直角坐标系,分别写出A,B,C,D,E,F,G,H的坐标.23.(10分)在如图所示的直角坐标系中,四边形OABC各个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2,3),B(5,4),C(8,2).
(1)试确定图中四边形OABC的面积;
(2)请作出四边形OABC关于x轴对称的图形.
24.(12分)(1)在平面直角坐标系中,将点A(-3,4)向右平移5个单位长度到点A,再将点A 绕坐标原点顺时针旋
1 1
转90°到点A,求点A,A 的坐标;
2 1 2
(2)在平面直角坐标系中,将第二象限内的点B(a,b)向右平移m个单位长度得到第一象限内的点B,再将点B
1 1
绕坐标原点顺时针旋转90°到点B,写出点B,B 的坐标;
2 1 2
(3)在平面直角坐标系中,将点P(c,d)沿水平方向平移n个单位长度到点P,再将点P 绕坐标原点顺时针旋转
1 1
90°到点P,写出点P 的坐标.
2 2
【答案与解析】
1.D(解析:因为横坐标为正,纵坐标为负,所以点P(2,-3)在第四象限.故选D.)
2.A(解析:本题利用了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键,四个
象限点的坐标符号分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).)
3.D(解析:长方形的边长为4和2,因为物体乙的速度是物体甲的速度的2倍,时间相同,物体甲与物体乙的路程
1
比为1∶2.由题意知:①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1,物体甲行的路程为12× =4,物体乙行
3
2
的路程为12× =8,在BC边相遇;②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2,物体甲行的路程为
3
1 2
12×2× =8,物体乙行的路程为12×2× =16,在DE边相遇;③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3,
3 3
1 2
物体甲行的路程为12×3× =12,物体乙行的路程为12×3× =24,在A点相遇,此时甲、乙回到出发点,则每相
3 3遇三次,两点回到出发点.因为2012÷3=670……2,所以两个物体运动后的第2012次相遇点与第二次相遇点为
同一点,即在DE边相遇,此时相遇点的坐标为(-1,-1).故选D.)
4.D(解析:因为点P到两坐标轴的距离相等,所以|2-a|=|3a+6|,所以a=-1或a=-4.当a=-1时,点P的坐标为(3,3);
当a=-4时,点P的坐标为(6,-6).)
5.D(解析:因为点A(m,n)在x轴上,所以纵坐标是0,即n=0.又因为点A位于原点的左侧,所以横坐标小于0,即
m<0,所以m<0,n=0.故选D.)
6.D
7.D(解析:过点M作MD⊥x轴于点D,则点D的坐标为(3,0).因为点M到x轴的距离为4,所以MD=4.又因为
BM=5,所以由勾股定理得BD=❑√BM2-DM2=❑√52-42=3,所以点B的坐标为(6,0)或(0,0).故选D.)
8.B(解析:因为点A(a,4)与点B(3,b)关于x轴对称,所以a=3,b=-4,所以(a+b)2013=(3-4)2013=-1.)
9.A(解析:因为点A在第二象限,所以m<0,n>0,所以-m>0,|n|>0,因此点B在第一象限.)
10.C(解析:在1至100这100个数中:能被3整除的有33个,故向上走了33个单位长度;被3除余数为1的数
有34个,故向右走了34个单位长度;被3除余数为2的数有33个,故向右走了66个单位长度.故总共向右走
了34+66=100个单位长度,向上走了33个单位长度.所以走完第100步时所处位置的横坐标为100,纵坐标为
33.故选C.)
11.(-2,-3)(解析:关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,所以点P(-2,3)关于x轴对称的点P'的坐
标为(-2,-3).)
12.(-1,-2)(解析:关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,故点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标为
(-1,-2).)
13.(3,2)(解析:一只蚂蚁由点(0,0)先向上爬4个单位长度,坐标变为(0,4),再向右爬3个单位长度,坐标变为(3,4),
再向下爬2个单位长度,坐标变为(3,2),所以它所在位置的坐标为(3,2).)
14.一(解析:因为m2≥0,1>0,所以纵坐标m2+1>0,又因为点A的横坐标2>0,所以点A一定在第一象限.)
15.-2 -3 关于原点对称(解析:因为点A(a,b)和点B关于x轴对称,所以点B的坐标为(a,-b);因为点B与点
C(2,3)关于y轴对称,所以点B的坐标为(-2,3),所以a=-2,b=-3,点A和点C关于原点对称.)
16.6 2
17.(3,5)(解析:因为正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,所以点C的横坐标为4-1=3,
点C的纵坐标为4+1=5,所以点C的坐标为(3,5).)
18.(1)x轴 (2)-2 1(解析:两点关于x轴对称时,横坐标相等,纵坐标互为相反数;两点关于原点对称时,横、纵
坐标都互为相反数.)
1
19.解:(1)如图所示, . (2)直角三角形.
4
20.解:(1)80,可分割成直角三角形和长方形求面积.(答案不唯一) (2)80.21.解:(1)点A的坐标是(-2,0),点C的坐标是(1,2). (2)如图所示,连接AC,在RtΔACD中,
❑√13
AD=OA+OD=3,CD=2,∴AC2=CD2+AD2=22+32=13,∴AC= .
22.提示:答案不唯一,如:以EG所在直线为x轴,以FH所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则A(-5,-
5),B(5,-5),C(5,5),D(-5,5),E(-5,0),F(0,-5),G(5,0),H(0,5).
1
23.提示:(1)14 . (2)略.
2
24.解:(1)∵将点A(-3,4)向右平移5个单位长度到点A,∴点A 的坐标为(2,4),∵又将点A 绕坐标原点顺时针旋
1 1 1
转90°到点A,∴A 的坐标为(4,-2). (2)根据(1)中的规律,得B 的坐标为(a+m,b),B 的坐标为(b,-a-m).
2 2 1 2
(3)分两种情况:①当把点P(c,d)沿水平方向向右平移n个单位长度到点P
1
时,P
1
的坐标为(c+n,d),P
2
的坐标为
(d,-c-n);②当把点P(c,d)沿水平方向向左平移n个单位长度到点P
1
时,P
1
的坐标为(c-n,d),然后将点P
1
绕坐标原
点顺时针旋转90°到点P,则P 的坐标为(d,-c+n).
2 2
