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2015 年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求）
1．（3分）（2015•绵阳）±2是4的（ ）
A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根
2．（3分）（2015•绵阳）下列图案中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2015•绵阳）若 +|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）2015=（ ）
A．﹣1 B．1 C．52015 D．﹣52015
4．（3分）（2015•绵阳）福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健
林以242亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.242×1010美元 B．0.242×1011美元
C．2.42×1010美元 D．2.42×1011美元
5．（3分）（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
6．（3分）（2015•绵阳）要使代数式 有意义，则x的（ ）
A． B． C． D．
最大值是 最小值是 最大值是 最小值是
7．（3分）（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，
BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）A．6 B．12 C．20 D．24
8．（3分）（2015•绵阳）由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，
则这个几何体的表面积是（ ）
A．15cm2 B．18cm2 C．21cm2 D．24cm2
9．（3分）（2015•绵阳）要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼
身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做
了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）
A．5000条 B．2500条 C．1750条 D．1250条
10．（3分）（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2
米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩
的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（
）
A．（11﹣2 ）米 B．（11 ﹣2 ）米C．（11﹣2 ）米 D．（11 ﹣4）米
11．（3分）（2015•绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟
图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）A．14 B．15 C．16 D．17
12．（3分）（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将
△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2015•绵阳）计算：a（a2÷a）﹣a2= ．
14．（3分）（2015•绵阳）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐
标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 ．
15．（3分）（2015•绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y= ．
16．（3分）（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∠AGF=130°，则∠F= ．17．（3分）（2015•绵阳）关于m的一元二次方程 nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣
2= ．
18．（3分）（2015•绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕
A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（2015•绵阳）（1）计算：|1﹣ |+（﹣ ）﹣2﹣ + ；
（2）解方程： =1﹣ ．
20．（11分）（2015•绵阳）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集
到20株西红柿秧上小西红柿的个数：32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 ，中位数是 ，众数是
；
（2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图
个数分组 28≤x＜36 36≤x＜44 44≤x＜52 52≤x＜60 60≤x＜68
频数 2 2
（3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势．
21．（11分）（2015•绵阳）如图，反比例函数y= （k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），
B（﹣k，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y= （k＞0）的图
象交于C（x ，y ），D（x ，y ），且|x ﹣x |•|y ﹣y |=5，求b的值．
1 1 2 2 1 2 1 2
22．（11分）（2015•绵阳）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于
点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
23．（11分）（2015•绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿
石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需
要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．
（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿
石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最
低并求出最低运费．
24．（12分）（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直
线y= x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；
（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴
相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）（2015•绵阳）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且
DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运
动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明
理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积
为S，求S的最大值．2015 年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项最符合题目要求）
1．（3分）（2015•绵阳）±2是4的（ ）
A．平方根 B．相反数 C．绝对值 D．算术平方根
考点：平方根．
.
分析：根据平方根的定义解答即可．
解答：解：±2是4的平方根．
故选：A．
点评：本题考查了平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）（2015•绵阳）下列图案中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形．
.
分析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选；D．
点评：本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻
找对称轴．
3．（3分）（2015•绵阳）若 +|2a﹣b+1|=0，则（b﹣a）2015=（ ）
A．﹣1 B．1 C．52015 D．﹣52015
考点：解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
.
专题：计算题．
分析：利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的
值．
解答：解：∵ +|2a﹣b+1|=0，
∴ ，
解得： ，
则（b﹣a）2015=（﹣3+2）2015=﹣1．
故选：A．点评：此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
4．（3分）（2015•绵阳）福布斯2015年全球富豪榜出炉，中国上榜人数仅次于美国，其中王健
林以242亿美元的财富雄踞中国内地富豪榜榜首，这一数据用科学记数法可表示为（ ）
A．0.242×1010美元 B．0.242×1011美元
C．2.42×1010美元 D．2.42×1011美元
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将242亿用科学记数法表示为：2.42×1010．
故选：C．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，
∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
考点：三角形内角和定理．
.
分析：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得
∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
解答：解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，
∴∠CBE= ∠ABC，∠BCD= ，
∴∠CBE+∠BCD= （∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选：C．
点评：本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和
角平分线的性质是解答此题的关键．
6．（3分）（2015•绵阳）要使代数式 有意义，则x的（ ）A． B． C． D．
最大值是 最小值是 最大值是 最小值是
考点：二次根式有意义的条件．
.
分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵代数式 有意义，
∴2﹣3x≥0，解得x≤ ．
故选：A．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
7．（3分）（2015•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，
BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
.
分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根
据平行四边形的面积公式，可得答案．
解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得
CE= = =5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，
故选：D．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线
互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．
8．（3分）（2015•绵阳）由若干个边长为1cm的正方体堆积成一个几何体，它的三视图如图，
则这个几何体的表面积是（ ）
A．15cm2 B．18cm2 C．21cm2 D．24cm2
考点：由三视图判断几何体；几何体的表面积．
.分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有2+1=3个小正方体，第二层应
该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是3+1=4个．
所以表面积为3×6=18cm2．
故选：B．
点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考
查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答
案．
9．（3分）（2015•绵阳）要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼
身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出100条鱼，发现只有两条鱼是刚才做
了记号的鱼．假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）
A．5000条 B．2500条 C．1750条 D．1250条
考点：用样本估计总体．
.
分析：首先求出有记号的2条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所
占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
解答：
解：由题意可得：50÷ =2500（条）．
故选：B．
点评：本题考查了统计中用样本估计总体，表示出带记号的鱼所占比例是解题关键．
10．（3分）（2015•绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2
米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩
的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（
）
A．（11﹣2 ）米 B．（11 ﹣2 ）米C．（11﹣2 ）米 D．（11 ﹣4）米
考点：解直角三角形的应用．
.
分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即
可求得BC长．
解答：解：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2 m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴ = ，∴PB= = =11 米，
∴BC=PB﹣PC=（11 ﹣4）米．
故选：D．
点评：本题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角
三角函数的概念．
11．（3分）（2015•绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟
图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
考点：规律型：图形的变化类．
.
分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个
图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个
数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
解答：解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：2×1+5=7个○，
第三个图形有：3×2+5=11个○，
第四个图形有：4×3+5=17个○，
由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，
则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245
解得：n =16，n =﹣15（舍去）．
1 2
故选：C．
点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的
规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
12．（3分）（2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将
△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）A． B． C． D．
考点：翻折变换（折叠问题）．
.
分析：借助翻折变换的性质得到DE=CE；设AB=3k，CE=x，则AE=3k﹣x；根据余弦定理分
别求出CE、CF的长即可解决问题．
解答：解：设AD=k，则DB=2k；
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=3k，∠A=60°；
设CE=x，则AE=3k﹣x；
由题意知：
EF⊥CD，且EF平分CD，
∴CE=DE=x；
由余弦定理得：
DE2=AE2+AD2﹣2AE•AD•cos60°
即x2=（3k﹣x）2+k2﹣2k（3k﹣x）cos60°，
整理得：x= ，
同理可求：CF= ，
∴CE：CF=4：5．
故选：B．
点评：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助余弦定理分别求出CE、
CF的长度（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高
的要求．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2015•绵阳）计算：a（a2÷a）﹣a2= 0 ．
考点：整式的混合运算．
.
分析：首先将括号里面利整式的除法运算法则化简，进而利用同底数幂的乘法以及合并同类项法则求出即可．
解答：解：a（a2÷a）﹣a2=a2﹣a2=0．
故答案为：0．
点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关法则是解题关键．
14．（3分）（2015•绵阳）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐
标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 （ 2 ，﹣ 1 ） ．
考点：坐标确定位置．
.
分析：根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可．
解答：解：因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），
所以可得点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
点评：此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系解
答．
15．（3分）（2015•绵阳）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y= y（ x﹣ ）（ x+ ） ．
考点：实数范围内分解因式．
.
专题：计算题．
分析：原式提取y，再利用平方差公式分解即可．
解答：解：原式=y（x2﹣3）=y（x﹣ ）（x+ ），
故答案为：y（x﹣ ）（x+ ）．
点评：此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（3分）（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∠AGF=130°，则∠F= 9.5 ° ．
考点：平行线的性质．
.分析：先根据平行线的性质求出∠AED与∠DEB的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF
的度数，进而可得出∠GEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
解答：解：∵AB∥CD，∠CDE=119°，
∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°．
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠GEF= ×119°=59.5°，
∴∠GEF=61°+59.5°=120.5°．
∵∠AGF=130°，
∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣120.5°=9.5°．
故答案为：9.5°．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相
等．
17．（3分）（2015•绵阳）关于m的一元二次方程 nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣
2= 2 6 ．
考点：一元二次方程的解．
.
专题：计算题．
分析：
先根据一元二次方程的解的定义得到4 n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+ =2 ，再
利用完全平方公式变形得到原式=（n+ ）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
解答：解：把m=2代入 nm2﹣n2m﹣2=0得4 n﹣2n2﹣2=0，
所以n+ =2 ，
所以原式=（n+ ）2﹣2
=（2 ）2﹣2
=26．
故答案为：26．
点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知
数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的
根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．
18．（3分）（2015•绵阳）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕
A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为 3 ．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．
.专题：计算题．
分析：先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，
∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5；
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣
（4﹣x）2，解得x= ，再计算出EH，然后根据正切的定义求解．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BNAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，
在Rt△DHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，
∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x= ，
∴EH= = ，
在Rt△EDH中，tan∠HDE= = =3 ，
即∠CDE的正切值为3 ．
故答案为：3 ．
点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三
角形．
三、解答题（本大题共7小题，共86分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）（2015•绵阳）（1）计算：|1﹣ |+（﹣ ）﹣2﹣ + ；
（2）解方程： =1﹣ ．
考点：实数的运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．
.
专题：计算题．
分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第
三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
解答：解：（1）原式= ﹣1+4﹣ ﹣2=1；
（2）去分母得：3=2x+2﹣2，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（11分）（2015•绵阳）阳泉同学参加周末社会实践活动，到“富乐花乡”蔬菜大棚中收集
到20株西红柿秧上小西红柿的个数：
32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
51 36 44 46 40 53 37 47 45 46
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是 4 7 ，中位数是 49. 5 ，众数是 6 0
；
（2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图
个数分组 28≤x＜36 36≤x＜44 44≤x＜52 52≤x＜60 60≤x＜68
频数 2 5 7 4 2
（3）通过频数分布直方图试分析此大棚中西红柿的长势．
考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；加权平均数；中位数；众数．
.
分析：（1）根据平均数的计算公式进行计算求出平均数，再根据中位数和众数的定义即可得
出答案；
（2）根据所给出的数据分别得出各段的频数，从而补全统计图；
（3）根据频数分布直方图所给出的数据分别进行分析即可．
解答：解：（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是
（32+39+45+55+60+54+60+28+56+41）÷10=47；
把这些数据从小到大排列：28、32、39、41、45、54、55、56、60、60，
最中间的数是（45+54）÷2=49.5，
则中位数是49.5；
60出现了2次，出现的次数最多，则众数是60；
故答案为：47，49.5，60；（2）根据题意填表如下：
个数分组 28≤x＜36 36≤x＜44 44≤x＜52 52≤x＜60 60≤x＜68
频数 2 5 7 4 2
补图如下：
故答案为：5，7，4；
（3）此大棚的西红柿长势普遍较好，最少都有28个；
西红柿个数最集中的株数在第三组，共7株；
西红柿的个数分布合理，中间多，两端少．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信
息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．（11分）（2015•绵阳）如图，反比例函数y= （k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），
B（﹣k，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；
（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y= （k＞0）的图
象交于C（x ，y ），D（x ，y ），且|x ﹣x |•|y ﹣y |=5，求b的值．
1 1 2 2 1 2 1 2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．
.
分析：（1）首先根据点A与点B关于原点对称，可以求出k的值，将点A分别代入反比例函
数与正比例函数的解析式，即可得解．
（2）分别把点（x ，y ）、（x ，y ）代入一次函数y=x+b，再把两式相减，根据|x ﹣x |•|y ﹣
1 1 2 2 1 2 1
y |=5得出|x ﹣x |=|y ﹣y |= ，然后通过联立方程求得x 、x 的值，代入即可求得b的
2 1 2 1 2 1 2
值．解答：解：（1）据题意得：点A（1，k）与点B（﹣k，﹣1）关于原点对称，
∴k=1，
∴A（1，1），B（﹣1，﹣1），
∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y= ，y=x；
（2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x ，y ）、（x ，y ），
1 1 2 2
∴ ，
②﹣①得，y ﹣y =x ﹣x ，
2 1 2 1
∵|x ﹣x |•|y ﹣y |=5，
1 2 1 2
∴|x ﹣x |=|y ﹣y |= ，
1 2 1 2
由 得x2+bx﹣1=0，
解得，x = ，x = ，
1 2
∴|x ﹣x |=| ﹣ |=| |= ，
1 2
解得b=±1．
点评：本题考查了反比例函数与正比例函数关于原点对称这一知识点，以及用待定系数法求
函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特点，利用对称性求出点的坐标是解题的关
键．
22．（11分）（2015•绵阳）如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于
点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△ CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．
.
专题：计算题．
分析：（1）由于O是△ABC的内心，也是△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所
以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得
∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到
∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH= AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH=AH= AB=1，OH= BH= ，OB=2OH= ，然后根据三角形面积
公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB﹣ S
△AOB
进行计算即可．
解答：（1）证明：∵O是△ABC的内心，也是△ABC的外心，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中
，
∴△BOC≌△CDA；
（2）作OH⊥AB于H，如图，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠BOH= （180°﹣120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH= AB=1，
OH= BH= ，
OB=2OH= ，
∴S阴影部分=S扇形AOB﹣ S
△AOB
= ﹣ ×2×
= ．
点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三
角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的
内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形
面积的计算．23．（11分）（2015•绵阳）南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿
石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需
要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．
（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；
（2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿
石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最
低并求出最低运费．
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
.
分析：（1）根据这些矿石的总费用为y=甲货船运费+乙货船运费，即可解答；
（2）根据A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，列出不等式组，确定x的取值范围，
根据x为整数，确定x的取值，即可解答．
解答：解：（1）根据题意得：y=1000x+1200（30﹣x）=36000﹣200x．
（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船30﹣x艘，
根据题意得： ，
化简得： ，
∴23≤x≤25，
∵x为整数，
∴x=23，24，25，
方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘，
运费y=36000﹣200×23=31400元；
方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘，
运费y=36000﹣200×24=31200元；
方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘，
运费y=36000﹣200×25=31000元；
经分析得方案三运费最低，为31000元．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意得到函数解析式和不等式
组．
24．（12分）（2015•绵阳）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直
线y= x﹣a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；
（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴
相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；
（3）在抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．
.
分析：（1）先联立抛物线与直线的解析式得出关于x的方程，再由直线BC和抛物线有两个
不同交点可知△＞0，求出a的取值范围，令x=0求出y的值即可得出A点坐标，把抛
物线的解析式化为顶点式的形式即可得出M点的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线MA的解析式，联立两直线的解析式可得出N点坐标，
进而可得出P点坐标，根据S =S ﹣S 可得出结论；
△PCD △PAC △ADC
（3）分点P在y轴左侧与右侧两种情况进行讨论即可．
解答：
解：（1）由题意得， ，整理得2x2+5x﹣4a=0．
∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣ ．
∵a≠0，
∴a＞﹣ 且a≠0．
令x=0，得y=a，
∴A（0，a）．
由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．
（2）设直线MA的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，a），M（﹣1，1+a），
∴ ，解得 ，
∴直线MA的解析式为y=﹣x+a，
联立得， ，解得 ，
∴N（ ，﹣ ）．
∵点P是点N关于y轴的对称点，∴P（﹣ ，﹣ ）．
代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣ =﹣ a2+ a+a，解得a= 或a=0（舍去）．
∴A（0， ），C（0，﹣ ），M（﹣1， ），|AC|= ，
∴S =S ﹣S = |AC|•|x |﹣ |AC|•|x |
△PCD △PAC △ADC p 0
= • •（3﹣1）
= ；
（3）①当点P在y轴左侧时，
∵四边形APCN是平行四边形，
∴AC与PN互相平分，N（ ，﹣ ），
∴P（﹣ ， ）；
代入y=﹣x2﹣2x+a得， =﹣ a2+ a+a，解得a= ，
∴P（﹣ ， ）．
②当点P在y轴右侧时，
∵四边形ACPN是平行四边形，
∴NP∥AC且NP=AC，
∵N（ ，﹣ ），A（0，a），C（0，﹣a），
∴P（ ，﹣ ）．
代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣ =﹣ a2﹣ a+a，解得a= ，
∴P（ ，﹣ ）．
综上所述，当点P（﹣ ， ）和（ ，﹣ ）时，A、C、P、N能构成平行四边形．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数与一次函数的交点问题、二次函数图
象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质等知识，难度较大．
25．（14分）（2015•绵阳）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且
DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运
动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．
（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明
理由；
（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；
（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积
为S，求S的最大值．
考点：四边形综合题．
.
分析：（1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当
点M在AC上，且AM=2时，AM=AB；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为
等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，
∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证
明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2 时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM=
t，求出S= AF•FM= t2；当t=2 时，即可求出S的最大值；
②当M在CG上时，即2 ＜t＜4 时，先证明△ACD≌△GCD，得出
∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MG•cos45°=4﹣ t，得出S=S ﹣S ﹣S ，S为t的二次函数，即可求出
△ACG △CMJ △FMG
结果．
解答：（1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；
当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；
当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；
当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；
（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AB=AD，
∴∠CDG=90°，
∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，
∴BK=DN，
∵DH平分∠CDG，
∴∠CDH=45°，
∴∠NDH=90°+45°=135°，
∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，
∴∠BKN=∠NDH，
在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，
又∵BN⊥NH，
即∠BNH=90°，
∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，
∴∠ABN=∠DNH，
在△BNK和△NHD中，
，
∴△BNK≌△NHD（ASA），
∴BN=NH；
（3）解：①当M在AC上时，即0＜t≤2 时，△AMF为等腰直角三角形，
∵AM=t，
∴AF=FM= t，
∴S= AF•FM= × t× t= t2；
当t=2 时，S的最大值= ×（2 ）2=2；
②当M在CG上时，即2 ＜t＜4 时，如图2所示：
CM=t﹣AC=t﹣2 ，MG=4 ﹣t，
在△ACD和△GCD中，
，
∴△ACD≌△GCD（SAS），
∴∠ACD=∠GCD=45°，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，
∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，
∴△MFG为等腰直角三角形，
∴FG=MG•cos45°=（4 ﹣t）• =4﹣ t，
∴S=S ﹣S ﹣S = ×4×2﹣ ×CM×CM﹣ ×FG×FG
△ACG △CMJ △FMG
=4﹣ （t﹣2 ）2﹣ （4﹣ ）2=﹣ +4 t﹣8
=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t= 时，S的最大值为 ．
点评：本题是相似形综合题目，考查了等腰三角形的判定、正方形的性质、全等三角形的判
定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数以及三角形面积的计算等知识；
本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形全等和
等腰直角三角形才能得出结果．
