文档内容
2016 年四川省广安市中考数学试卷
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项涂在答题卡上，每小题3分，共30
分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．±3
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2=﹣4a6B． =±3 C．m2•m3=m6 D．x3+2x3=3x3
3．经统计我市去年共引进世界500强外资企业19家，累计引进外资410000000美元，数字
410000000用科学记数法表示为（ ）
A．41×107 B．4.1×108 C．4.1×109 D．0.41×109
4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． 等边三角形 B． 平行四边行
C． 正五边形 D． 圆
5．函数y= 中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
7．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3
8．下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
1②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S =（ ）
阴影
A．2π B． π C． π D． π
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c
﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，
其中，正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题3分，共18分）
11．将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的
点A′的坐标为 ．
12．如图，直线l∥l，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3= ．
1 2
213．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则第一次函数y=kx﹣k（k≠0）的图象
经过 象限．
14．某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进
度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长
度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程 ．
15．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 ．
16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角
形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x﹣ ）2016展开式中含x2014项的系数是 ．
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共3分）
17．计算：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |．
18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x满足2x+4=0．
319．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
求证：DF=BE．
20．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）和反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A（﹣1，6），B（a，
1 2
﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出y＞y 时，x的取值范围．
1 2
4四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，
收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根
据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两
名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
22．某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种
水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
5甲 乙 丙
每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3
每吨水果可获利润（千元） 5 7 4
（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多
少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于
一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m
表示）
（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安
全现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的地
段分别为D、C），且∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92）
（1）求点D与点C的高度DH；
（2）求所有不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1米）
24．在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画
直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接
写出其周长（所画图象相似的只算一种）．
6五、推理与论证
25．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的
下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CF=4，DF= ，求⊙O的半径r及sinB．
六、拓展探究
26．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y= x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为
（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
7（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等
腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．
82016 年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将正确选项涂在答题卡上，每小题3分，共30
分）
1．﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．±3
【考点】绝对值．
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2=﹣4a6B． =±3 C．m2•m3=m6 D．x3+2x3=3x3
【考点】幂的乘方与积的乘方；算术平方根；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；算术平方根的定
义，同底数幂相乘，底数不变指数相加；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、（﹣2a3）2=（﹣2）2•（a3）2=4a6，故本选项错误；
B、 =3，故本选项错误；
C、m2•m3=m2+3=m5，故本选项错误；
D、x3+2x3=3x3，故本选项正确．
故选D．
3．经统计我市去年共引进世界500强外资企业19家，累计引进外资410000000美元，数字
410000000用科学记数法表示为（ ）
A．41×107 B．4.1×108 C．4.1×109 D．0.41×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将410000000用科学记数法表示为：4.1×108．
故选：C．
4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
等边三角形 B．
9平行四边行 C．
正五边形 D．
圆
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形；
正五边形是轴对称图形不是中心对称图形；
圆是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：D．
5．函数y= 中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围．
【分析】根据负数没有平方根求出x的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：由函数y= ，得到3x+6≥0，
解得：x≥﹣2，
表示在数轴上，如图所示：
故选A
6．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次
方程，解方程即可求出n的值，将其代入 中即可得出结论．
【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是： = =35．
故选C．
7．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：
编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩
得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37
10那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3
【考点】方差．
【分析】根据平均数的计算公式先求出编号3的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答
案．
【解答】解：∵这组数据的平均数是37，
∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）=36；
被遮盖的方差是： [（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]=4；
故选B．
8．下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与
性质；菱形的判定．
【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平
行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．
②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是
矩形．
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．
⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰
梯形．
正确的只有③，
故选A．
9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则S =（ ）
阴影
A．2π B． π C． π D． π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
11【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三
角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S =S ﹣S +S ．
阴影 扇形ODB △DOE △BEC
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 ，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE•cot60°=2 × =2，OD=2OE=4，
∴S =S ﹣S +S = ﹣ OE×DE+ BE•CE= ﹣2 +2 = ．
阴影 扇形ODB △DOE △BEC
故选B．
10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c
﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：
①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，
其中，正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数
之间关系分析得出答案．
【解答】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
∵图象开口向上，∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵图象与y轴交于x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②正确；
12当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故此选项错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，
故④正确．
故选：B．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡上相应位置，每小题3分，共18分）
11．将点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的
点A′的坐标为 （﹣ 2 ， 2 ） ．
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵点A（1，﹣3）沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移5个单位长度后
得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣3=﹣2，纵坐标为﹣3+5=2，
∴A′的坐标为（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．
12．如图，直线l∥l，若∠1=130°，∠2=60°，则∠3= 70° ．
1 2
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠4=∠1=130°，由三角形的外角的性质得到∠5=∠4﹣
∠2=70°根据对顶角相等即可得到结论．
【解答】解：∵直线l∥l，
1 2
∴∠4=∠1=130°，
∴∠5=∠4﹣∠2=70°
∴∠5=∠3=70°．
故答案为：70°．
13．若反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则第一次函数y=kx﹣k（k≠0）的图象
经过 一、二、四 象限．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象．
【分析】由题意知，k=1×（﹣3）=﹣3＜0，所以一次函数解析式为y=﹣3x+3，根据k，b的值判
断一次函y=kx﹣k的图象经过的象限．
13【解答】解：∵反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（1，﹣3），
∴k=1×（﹣3）=﹣3＜0，
∴一次函数解析式为y=﹣3x+3，根据k、b的值得出图象经过一、二、四象限．
故答案为：一、二、四．
14．某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进
度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长
度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故答案为： ．
15．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 2 1 ．
【考点】三角形的面积．
【分析】根据正方形的性质来判定△ABE∽△ADG，再根据相似三角形的对应线段成比例求得
BE的值；同理，求得△ACF∽△ADG，AC：AD=CF：DG，即CF=5；然后再来求梯形的面积即可．
【解答】解：如图，
根据题意，知
△ABE∽△ADG，
∴AB：AD=BE：DG，
又∵AB=2，AD=2+6+8=16，GD=8，
∴BE=1，
∴HE=6﹣1=5；
同理得，△ACF∽△ADG，
∴AC：AD=CF：DG，
14∵AC=2+6=8，AD=16，DG=8，
∴CF=4，
∴IF=6﹣4=2；
∴S = （IF+HE）•HI
梯形IHEF
= ×（2+5）×6
=21；
所以，则图中阴影部分的面积为21．
16．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角
形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
请依据上述规律，写出（x﹣ ）2016展开式中含x2014项的系数是 ﹣ 403 2 ．
【考点】整式的混合运算．
【分析】首先确定x2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【解答】解：（x﹣ ）2016展开式中含x2014项的系数，
根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．
故答案为﹣4032．
三、解答题（本大题共4小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共3分）
17．计算：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计
算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（ ）﹣1﹣ +tan60°+|3﹣2 |
=3﹣3 + ﹣3+2
=0．
18．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x满足2x+4=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，求出已知方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
15【解答】解：原式= • = ，
由2x+4=0，得到x=﹣2，
则原式=5．
19．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，
求证：DF=BE．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得
CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．
【解答】证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），
∴DF=BE．
20．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）和反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A（﹣1，6），B（a，
1 2
﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出y＞y 时，x的取值范围．
1 2
16【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点
B的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求
出一次函数解析式；
（2）找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，6）代入反比例函数y= （m≠0）得：
2
m=﹣1×6=﹣6，
∴ ．
将B（a，﹣2）代入 得：
﹣2= ，
a=3，
∴B（3，﹣2），
将A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入一次函数y=kx+b得：
1
∴
∴y=﹣2x+4．
1
（2）由函数图象可得：x＜﹣1或0＜x＜3．
四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，
收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根
据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两
名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
17【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；
（2）求出听音乐的人数即可补全条形统计图；由C的人数即可得到所对应的圆心角度数；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出两名同学都是女
生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：
（1）由题意可得总人数为10÷20%=50名；
（2）听音乐的人数为50﹣10﹣15﹣5﹣8=12名，“体育活动C”所对应的圆心角度数=
=108°，
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率= = ．
22．某水果积极计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种
水果）．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
18甲 乙 丙
每辆汽车能装的数量（吨） 4 2 3
每吨水果可获利润（千元） 5 7 4
（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多
少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于
一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m
表示）
（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）根据“8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售”列出方程组，即可解答；
（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，列出方程组 ，即可解答；
（3）设总利润为w千元，表示出w=10m+216．列出不等式组 ，确定m的取值范围
13≤m≤15.5，结合一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，得：
，
解得： ．
答：装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆．
（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，得：
，
解得 ．
答：装运乙种水果的汽车是（m﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m）辆．
（3）设总利润为w千元，
w=4×5m+2×7（m﹣12）=4×3（32﹣2m）=10m+216．
∵ ，
∴13≤m≤15.5，
∵m为正整数，
∴m=13，14，15，
在w=10m+216中，w随x的增大而增大，
∴当m=15时，W =366（千元），
最大
答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为
366元．
1923．如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安
全现要作一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的地
段分别为D、C），且∠DAB=66.5°．（参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92）
（1）求点D与点C的高度DH；
（2）求所有不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长，结果精确到0.1米）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）根据图形求出即可；
（2）过B作BM⊥AD于M，先求出AM，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：（1）DH=1.5米× =1.2米；
（2）过B作BM⊥AD于M，
在矩形BCHM中，MH=BC=1米，
AM=AD+DH﹣MH=1米+1.2米﹣1米=1.2米=1.2米，
在Rt△AMB中，AB= ≈3.0米，
所以有不锈钢材料的总长度为1米+3.0米+1米=5.0米．
24．在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画
直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形，并直接
写出其周长（所画图象相似的只算一种）．
【考点】作图—相似变换．
20【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为 ，另一条直角边分
别为3 ，4 ，2 的直角三角形，然后计算出四个直角三角形的周长．
【解答】解：如图1，三角形的周长=2 + ；
如图2，三角形的周长=4 +2 ；
如图3，三角形的周长=5 + ；
如图4，三角形的周长=3 + ．
五、推理与论证
25．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的
下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若CF=4，DF= ，求⊙O的半径r及sinB．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接OA、OD，如图，根据垂径定理得OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°，再由AB=BF，
OA=OD得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以∠OAD+∠BAF=90°，则OA⊥AB，
然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线；
（2）先表示出OF=4﹣r，OD=r，在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+（4﹣r）2=（ ）2，解方程得
到r的值，那么OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．
然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2，即AB2+32=（AB+1）2，解方程得到AB=4的值，
再根据三角函数定义求出sinB．
【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵点D为CE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠EOD=90°，
∵AB=BF，OA=OD，
∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，
而∠BFA=∠OFD，
∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，
∴OA⊥AB，
∴AB是⊙O切线；
21（2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ，
在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+（4﹣r）2=（ ）2，
解得r=3，r=1（舍去）；
1 2
∴半径r=3，
∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1．
在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，
∴AB2+32=（AB+1）2，
∴AB=4，OB=5，
∴sinB= = ．
六、拓展探究
26．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y= x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为
（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等
腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先确定出点A坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定出PD=|m2+4m|，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，得到|m2+4m|
=3，分两种情况进行讨论计算即可；
（3）由△PAM为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线AP的解析式，最后求出直线
AP和抛物线的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y= x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，
∴A（0，﹣3），
∵B（﹣4，﹣5），
22∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为y=x2+ x﹣3，
（2）存在，
设P（m，m2+ m﹣3），（m＜0），
∴D（m， m﹣3），
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥AO，
∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
∴|m2+4m|=3，
①当m2+4m=3时，
∴m=﹣2﹣ ，m=﹣2+ （舍），
1 2
∴m2+ m﹣3=﹣1﹣ ，
∴P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），
②当m2+4m=﹣3时，
∴m=﹣1，m=﹣3，
1 2
Ⅰ、m=﹣1，
1
∴m2+ m﹣3=﹣ ，
∴P（﹣1，﹣ ），
Ⅱ、m=﹣3，
2
∴m2+ m﹣3=﹣ ，
∴P（﹣3，﹣ ），
∴点P的坐标为（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣ ），（﹣3，﹣ ）．
（3）如图，
23∵△PAM为等腰直角三角形，
∴∠BAP=45°，
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，
设直线AP解析式为y=kx﹣3，
∵直线AB解析式为y= x﹣3，
∴k= =3，
∴直线AP解析式为y=3x﹣3，
联立 ，
∴x=0（舍）x=﹣
1 2
当x=﹣ 时，y=﹣ ，
∴P（﹣ ，﹣ ）．
24
