文档内容
2015年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求）
1．（4分）（2015•遂宁）计算：1﹣（﹣ ）=（ ）
A． B． C． D．
﹣ ﹣
2．（4分）（2015•遂宁）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3=a3 B．2（a﹣b）=2a﹣b C．（a3）2=a5 D．a2﹣2a2=﹣a2
3．（4分）（2015•遂宁）用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（
）
A． B． C． D．
4．（4分）（2015•遂宁）一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相
同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2015•遂宁）直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4）
6．（4分）（2015•遂宁）在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的
个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（4分）（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（
）
第1页（共23页）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（4分）（2015•遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，
△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（4分）（2015•遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，
为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比
原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千
克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方
程为（ ）
A． B．
﹣ =20 ﹣ =20
C． D．
﹣ =20 + =20
10．（4分）（2015•遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；
②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共本大题5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）（2015•遂宁）把96000用科学记数法表示为 ．
12．（4分）（2015•遂宁）一个n边形的内角和为1080°，则n= ．
13．（4分）（2015•遂宁）某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：
环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是 ．
14．（4分）（2015•遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为
cm．
第2页（共23页）15．（4分）（2015•遂宁）下列命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3；
③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0；
④定义新运算：a*b=2a﹣b2，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9；
⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（1，1）．
其中是真命题的有 （只填序号）
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，满分21分）
16．（7分）（2015•遂宁）计算：﹣13﹣ +6sin60°+（π﹣3.14）0+|﹣ |
17．（7分）（2015•遂宁）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
18．（7分）（2015•遂宁）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中m=﹣3．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）
第3页（共23页）19．（9分）（2015•遂宁）如图， ▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
（1）AE=CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
20．（9分）（2015•遂宁）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，
从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求
树高．（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
21．（9分）（2015•遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
第4页（共23页）计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + ）．
令 + + =t，则
原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣
﹣ ）×（ + + +…+ ）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
第5页（共23页）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
22．（10分）（2015•遂宁）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概
念．其指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了5月1日至
14日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如图所示，某人随机选取了5月1日
至14日的某一天到达该市．
（1）请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数；
（2）求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大？（直接判断，不要求计算）
23．（10分）（2015•遂宁）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A（1，4），B
（4 ，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
第6页（共23页）六、（本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，满分22分）
24．（10分）（2015•遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，
BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD2=AM•AB；
（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求线段BN的长．
第7页（共23页）25．（12分）（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三
点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的
点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧
与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
第8页（共23页）2015 年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求）
1．（4分）（2015•遂宁）计算：1﹣（﹣ ）=（ ）
A． B． C． D．
﹣ ﹣
考点：有理数的减法．
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分析：根据有理数的减法法则，即可解答．
解答：
解：1﹣（﹣ ）=1+ = ．
故选：C．
点评：本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．
2．（4分）（2015•遂宁）下列运算正确的是（ ）
A．a•a3=a3 B．2（a﹣b）=2a﹣b C．（a3）2=a5 D．a2﹣2a2=﹣a2
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；去括号与添括号；同底数幂的乘法．
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分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项进行计算．
解答：解：A、a•a3=a4，错误；
B、2（a﹣b）=2a﹣2b，错误；
C、（a3）2=a6，错误；
D、a2﹣2a2=﹣a2，正确；
故选D
点评：此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项，关键是根据法则进行计算．
3．（4分）（2015•遂宁）用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（
）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．
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分析：根据俯视图是从上边看的到的视图，可得答案．
解答：解：从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B符合题意；
故选：B．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看的到的视图是俯视图．
第9页（共23页）4．（4分）（2015•遂宁）一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相
同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
考点：概率公式．
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分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值
就是其发生的概率．
解答：解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
球，
从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是 = ．
故选A．
点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
5．（4分）（2015•遂宁）直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4）
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
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分析：令x=0，求出y的值，即可求出与y轴的交点坐标．
解答：解：当x=0时，y=﹣4，
则函数与y轴的交点为（0，﹣4）．
故选D．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要知道，y轴上的点的横坐标为0．
6．（4分）（2015•遂宁）在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的
个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：中心对称图形．
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分析：根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析．
解答：解：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个，
故选：C．
点评：此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后与原图重合．
7．（4分）（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（
）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
第10页（共23页）考点：垂径定理；勾股定理．
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分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．
解答：解：连接OA，
∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，
∴AC= AB= ×6=3cm，
∵⊙O的半径为5cm，
∴OC= = =4cm，
故选B．
点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．
8．（4分）（2015•遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，
△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
考点：线段垂直平分线的性质．
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分析：首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是
7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．
解答：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AN=BN，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BN+NC+BC=7（cm），
∴AN+NC+BC=7（cm），
∵AN+NC=AC，
∴AC+BC=7（cm），
又∵AC=4cm，
∴BC=7﹣4=3（cm）．
故选：C．
点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的
距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个
顶点的距离相等．
9．（4分）（2015•遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，
为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比
原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千
第11页（共23页）克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方
程为（ ）
A． B．
﹣ =20 ﹣ =20
C． D．
﹣ =20 + =20
考点：由实际问题抽象出分式方程．
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分析：根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关
系列出方程即可．
解答：解：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：
﹣ =20，
故选：A．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系．
10．（4分）（2015•遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；
②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：二次函数图象与系数的关系．
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分析：
由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到﹣ ＞1，于是利用不等式
的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与
y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以
△=b2﹣4ac＞0；由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x=﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜
0．
解答：解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣ ＞1，
∴2a+b＞0，故①正确；
②∵a＜0，﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确；
④∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④错误；
⑤∵x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．
第12页（共23页）故选B．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a
＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x=﹣ ，a与b同号，对称轴在y轴的
左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；
当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．
二、填空题（共本大题5小题，每小题4分，满分20分）
11．（4分）（2015•遂宁）把96000用科学记数法表示为 9.6×1 0 4 ．
考点：科学记数法—表示较大的数．
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分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：把96000用科学记数法表示为9.6×104．
故答案为：9.6×104．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）（2015•遂宁）一个n边形的内角和为1080°，则n= 8 ．
考点：多边形内角与外角．
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分析：直接根据内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．
解答：解：（n﹣2）•180°=1080°，
解得n=8．
点评：主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：（n﹣2）•180°．
13．（4分）（2015•遂宁）某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：
环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是 7. 5 ．
考点：中位数．
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分析：根据中位数的概念求解．
解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9，
则中位数为： =7.5．
故答案为：7.5．
点评：本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个
数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．（4分）（2015•遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为 π cm．
考点：弧长的计算．
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分析：
根据弧长公式L= 进行求解．
解答：
解：L=
第13页（共23页）= π．
故答案为： π．
点评：
本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L= ．
15．（4分）（2015•遂宁）下列命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3；
③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0；
④定义新运算：a*b=2a﹣b2，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9；
⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（1，1）．
其中是真命题的有 ②③④ （只填序号）
考点：命题与定理．
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分析：根据菱形的判定，三角形的重心以及一次函数的性质和抛物线的性质判断即可．
解答：解：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；
②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3，正确；
③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，正确；
④定义新运算：a*b=2a﹣b2，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9，正确；
⑤抛物线y=﹣2x2+4x+3的顶点坐标是（1，5），错误；
故答案为：②③④．
点评：本题考查命题的真假性，是易错题．注意对菱形的判定，三角形的重心以及一次函数的
性质和抛物线的性质的准确掌握．
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，满分21分）
16．（7分）（2015•遂宁）计算：﹣13﹣ +6sin60°+（π﹣3.14）0+|﹣ |
考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
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专题：计算题．
分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三
角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，
计算即可得到结果．
解答：
解：原式=﹣1﹣3 +6× +1+ = ．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）（2015•遂宁）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
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分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
解答：
解： ，
第14页（共23页）由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间
找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
18．（7分）（2015•遂宁）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中m=﹣3．
考点：分式的化简求值．
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专题：计算题．
分析：原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结
果，把m的值代入计算即可求出值．
解答：
解：原式= • ﹣ = ﹣ = ，
当m=﹣3时，原式=﹣1．
点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）
19．（9分）（2015•遂宁）如图， ▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
（1）AE=CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
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专题：证明题．
分析：（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用
SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得
∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
第15页（共23页）∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20．（9分）（2015•遂宁）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，
从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求
树高．（结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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分析：先设AB=x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和
Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根
据CD=BD﹣BC=10，进而可求出答案．
解答：解：∵设AB=x米，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠D=30°，∠ACB=45°，CD=10，
∴CB=x，AD=2x，BD= = x，
∵CD=BD﹣BC=10，
x﹣x=10，
∴x=5（ +1）≈13.7．
答：该树高是13.7米．
点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利
用三角函数解直角三角形．
21．（9分）（2015•遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + ）．
令 + + =t，则
原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2
=
问题：
（1）计算
第16页（共23页）（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣
﹣ ）×（ + + +…+ ）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
考点：换元法解一元二次方程；有理数的混合运算．
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专题：换元法．
分析：
（1）设 + +…+ =t，则原式=（1﹣t）×（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）×t，进行计算即
可；
（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可．
解答：
解：（1）设 + +…+ =t，
则原式=（1﹣t）×（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）×t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣t+t2+ t
=0；
（2）设x2+5x+1=t，
则原方程化为：t（t+6）=7，
t2+6t﹣7=0，
解得：t=﹣7或1，
当t=1时，x2+5x+1=1，
x2+5x=0，
x（x+5）=0，
x=0，x+5=0，
x =0，x =﹣5；
1 2
当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，
x2+5x+8=0，
b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x =0，x =﹣5．
1 2
点评：本题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，题
目比较典型．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
22．（10分）（2015•遂宁）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概
念．其指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了5月1日至
14日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如图所示，某人随机选取了5月1日
至14日的某一天到达该市．
（1）请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数；
（2）求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大？（直接判断，不要求计算）
第17页（共23页）考点：折线统计图；方差；概率公式．
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分析：（1）根据指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据严重拥堵的天数除以调查的天数，可得答案；
（3）根据方差的性质，可得答案．
解答：解：（1）由纵坐标看出畅通的天数为7天，严重拥堵的天数为2天；
（2）此人到达当天的交通为严重拥堵的概率p= = ；
（3）由方差越大，数据波动越大，得
5、6、7三天数据波动大．
点评：本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题
的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，如粮食产量，折线统计图表示的
是事物的变化情况，如增长率，注意方差越小，波动越小，越稳定．
23．（10分）（2015•遂宁）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A（1，4），B
（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
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分析：
（1）把A（1，4）代入y= 即可求出结果；
（2）先把B（4，n）代入y= 得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函
数的解析式为；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最
小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．
解答：
解：（1）把A（1，4）代入y= 得：m=4，
第18页（共23页）∴反比例函数的解析式为：y= ；
（2）把B（4，n）代入y= 得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得 ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，
则AB′的长度就是PA+PB的最小值，
由作图知，B′（4，﹣1），
∴直线AB′的解析式为：y=﹣ x+ ，
当y=0时，x= ，
∴P（ ，0）．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小
距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．
六、（本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，满分22分）
24．（10分）（2015•遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，
BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD2=AM•AB；
（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求线段BN的长．
第19页（共23页）考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
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分析：（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论；
（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果．
解答：（1）证明：连接OD，
∵直线CD切⊙O于点D，
∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）证明：∵AM⊥CD，
∴∠AMD=∠ADB=90°，
∵∠1=∠4，
∴△ADM∽△ABD，
∴ ，
∴AD2=AM•AB；
（3）解：∵sin∠ABD= ，
∴sin∠1= ，
∵AM= ，
∴AD=6，
∴AB=10，
∴BD= =8，
∵BN⊥CD，
∴∠BND=90°，
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，
∴∠DBN=∠1，
∴sin∠NBD= ，
∴DN= ，
∴BN= = ．
点评：本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运
用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直
第20页（共23页）角三角形解决有关问题．
25．（12分）（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三
点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的
点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧
与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；
（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM ，则△AM C是等腰
1 1
三角形，然后求出OM 得出M 的坐标，当CA=CM 时，则△AM C是等腰三角形，求
1 1 2 2
出OM 得出M 的坐标，当CA=AM 时，则△AM C是等腰三角形，求出OM 得出M
2 2 3 3 3 3
的坐标，当CA=CM 时，则△AM C是等腰三角形，求出OM 得出M 的坐标，
4 4 4 4
（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S ，再根据
△BOC
△BPD∽△BOC，得出 =（ ）2， =（ ）2，求出S=S ；当点P在y轴
△BPD
左侧时，设直线与AC交与点E，根据 =（ ）2，得出 =（ ）2，求出
S=S ﹣S =9﹣ ，再整理即可．
△ABC △APE
解答：解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：
，
解得： ，
则抛物线的解析式是：y=﹣ x2+ x+3；
（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM ，则△AM C
1 1
是等腰三角形，
第21页（共23页）∵AC= = ，
∴CN= ，
∵△CNM ∽△COA，
1
∴ = ，
∴ = ，
∴CM = ，
1
∴OM =OC﹣CM =3﹣ = ，
1 1
∴M 的坐标是（0， ），
1
当CA=CM = 时，则△AM C是等腰三角形，
2 2
则OM =3+ ，
2
M 的坐标是（0，3+ ），
2
当CA=AM = 时，则△AM C是等腰三角形，
3 3
则OM =3，
3
M 的坐标是（0，﹣3），
3
当CA=CM = 时，则△AM C是等腰三角形，
4 4
则OM = ﹣3，
4
M 的坐标是（0，3﹣ ），
4
（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，
设直线与BC交与点D，
∵OB=4，OC=3，
∴S =6，
△BOC
∵BP=BO﹣OP=4﹣t，
∴ = ，
∵△BPD∽△BOC，
∴ =（ ）2，
∴ =（ ）2，
∴S=S = t2﹣3t+6（0≤t＜4）；
△BPD
当点P在y轴左侧时，
设直线与AC交与点E，
∵OP=﹣t，AP=t+2，
∴ = ，
∵ =（ ）2，
∴ =（ ）2，
第22页（共23页）∴S = ，
△APE
∴S=S ﹣S =9﹣ =﹣ t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．
△ABC △APE
点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的
判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作
出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．
第23页（共23页）
