文档内容
2017年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a4＝a4 B．（a2）3＝a6
C．（a2b3）2＝a4b5 D．a6÷a2＝a3（a≠0）
3．（4分）我市某地区发现了H7N9禽流感病毒．政府十分重视，积极开展病毒防御工作，使
H7N9禽流感病毒得到了很好的控制．病毒H7N9的直径为30纳米（1纳米＝10﹣9米）．将
30纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．30×10﹣9 B．3×10﹣9 C．0.3×10﹣7 D．3×10﹣8
4．（4分）点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（ ）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a）
5．（4分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
6．（4分）若点A（﹣6，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）在反比例函数y＝ （a为常数）的图象
1 2 3
上，则y ，y ，y 大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
7．（4分）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
8．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围为
第1页（共25页）（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
9．（4分）如图， O的半径为6，△ABC是 O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与
∠BOC互补，则⊙线段BC的长为（ ）⊙
A． B．3 C． D．6
10．（4分）函数y＝x2+bx+c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论： b2﹣4c＞0； b+c
① ②
＝0； b＜0； 方程组 的解为 ， ； 当1＜x＜3时，x2+（b
③ ④ ⑤
﹣1）x+c＞0．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空①题②（③每题4分，共20②分③）④ ③④⑤ ②③⑤
11．（4分）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
12．（4分）在一个不透明的盒子中装有5个红球，2个黄球，3个绿球，这些球除颜色外没有任
何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ．
13．（4分）已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则 ＝ ．
1 2
14．（4分）如图，直线y＝ x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以
点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为 ．
第2页（共25页）15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，
点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连
接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论： AF⊥BE； 点G随着点E、F的运动而
运动，且点G的运动路径的长度为 ； 线段D①G的最小值②为2 ﹣2； 当线段DG最
π ③ ④
小时，△BCG的面积S＝8+ ．其中正确的命题有 ．（填序号）
三、计算题（每题7分，共21分）
16．（7分）计算： +（﹣ ）﹣1﹣2cos60°﹣（ ﹣2017）0+|1﹣ |．
π
17．（7分）有这样一道题“求 的值，其中a＝2017”，“小马虎”
不小心把a＝2017错抄成a＝2007，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．
18．（7分）解方程： ．
四、解答题（共69分）
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、
F，连接AF、CE．
求证：AF＝CE．
第3页（共25页）20．（9分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走的
步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计图表，步数
分布统计图．
组别 步数分组 频数
A 5500≤x＜6500 m
B 6500≤x＜7500 10
C 7500≤x＜8500 4
D 8500≤x＜9500 n
E 9500≤x＜10500 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在 组；
（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
21．（9分）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某
第4页（共25页）运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土
方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运 15吨；3辆大型渣土运输
车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运
输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派
出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输花费500元/次，一辆小型渣土运输车
运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
22．（10分）关于三角函数有如下公式：sin（ + ）＝sin cos +cos sin ，sin（ ﹣ ）＝sin cos
﹣cos sin α β α β α β α β α β
cos（α+ ）β ＝cos cos ﹣sin sin ，cos（ ﹣ ）＝cos cos +sin sin
α β α β α β α β α β α β
tan（ + ）＝ （1﹣tan tan ≠0）
α β α β
tan（ ﹣ ）＝ （1+tan tan ≠0）
α β α β
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
如：tan105°＝tan（45°+60°）＝
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：
如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角 ＝15°，测
得点C的俯角 ＝75°，求建筑物CD的高度． α
β
23．（10分）如图，直线y ＝mx+n（m≠0）与双曲线y ＝ （k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）
1 2
两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求m，n的值；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐标；若不存
第5页（共25页）在，请说明理由．
24．（10分）如图，CD是 O的直径，点B在 O上，连接BC、BD，直线AB与CD的延长线相
交于点A，AB2＝AD•⊙AC，OE∥BD交直线⊙AB于点E，OE与BC相交于点F．
（1）求证：直线AE是 O的切线；
⊙
（2）若 O的半径为3，cosA＝ ，求OF的长．
⊙
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC ＝S△ABC 时，求N点的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x
轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的
最小值．
第6页（共25页）2017年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．【分析】乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．【分析】先根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，分别求出每个式子的值，再
判断即可．
【解答】解：A、a•a4＝a5，故本选项错误；
B、（a2）3＝a6，故本选项正确；
C、（a2b3）2＝a4b6，故本选项错误；
D、a6÷a2＝a4（a≠0），故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出
每个式子的值是解此题的关键．
3．【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：禽流感病毒H7N9的直径约为30纳米，即0.00000003米，用科学记数法表示该
数为3×10﹣8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点即可求解．
【解答】解：点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（a，﹣b）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
第7页（共25页）5．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得
此几何体为圆锥．
故选：C．
【点评】此题考查三视图问题，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体．
6．【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限
内，y随x的增大而减小判断．
【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴反比例函数y＝ （a为常数）的图象位于第一三象限，
∵﹣6＜﹣2，
∴0＞y ＞y ，
1 2
∵3＞0，
∴y ＞0，
3
∴y ＞y ＞y ．
3 1 2
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的
关键．
7．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等
去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB，
∴EH＝ BD，
同理FG＝ BD，HG＝ AC，EF＝ AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
第8页（共25页）【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，
常用三种方法： 定义， 四边相等， 对角线互相垂直平分．
8．【分析】根据二次①项系数非②零及根的判别③式△≥0，即可得出关于x的一元一次不等式组，
解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：a≤2且a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有两个
实数根”是解题的关键．
9．【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC＝120°，由等腰三角形三线合一的性质得：
∠DOC＝ ∠BOC＝60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾
股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝ ∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
第9页（共25页）∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝ ∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3 ，
∴BC＝2DC＝6 ，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是
学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．【分析】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x
＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继
而可求得答案．
【解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故 错误；
①
当x＝1时，y＝1+b+c＝1，则b+c＝0，
故 正确；
②
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，
故 正确；
③
根据抛物线与直线y＝x的交点知：方程组 的解为 ， ．
故 正确；
④
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
第10页（共25页）∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故 错误．
故⑤选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思
想的应用．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得
答案．
【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；
解得x≠1；
故答案为：x≠1．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式
的分母不能为0．
12．【分析】用红球的个数除以球的总个数，即可得出答案．
【解答】解：∵有5个红球，2个黄球，3个绿球，共10个，
∴摸到红球的概率为 ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
13．【分析】根据根与系数的关系可得出x +x ＝3、x •x ＝﹣1，将其代入 + ＝ 中
1 2 1 2
第11页（共25页）即可求出结论．
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝3，x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
∴ + ＝ ＝ ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣ 、两根之积等于 ”是解题
的关键．
14．【分析】首先根据直线y＝ x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点B的坐标，
再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．
【解答】解：∵y＝ x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣3，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴ ＝ ＝ ，
∴O′B′＝2，AO′＝6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌握位似的概
念是解决问题的关键．
15．【分析】判断出△BAE≌△ADF即可判断出 正确；进而判断出∠AGB＝90°，从而得到点
①
第12页（共25页）G是以AB为直径的圆弧上一点，再判断出此圆弧所对的圆心角，即可判断出 正确，再
用圆外一点到圆上的最小距离的确定方法判断出此圆弧上一点到点 D的距离②最小，再用
勾股定理即可判断出 正确，再判断出△DMG∽△DAP求出GM，进而求出△BCG的高
GN，利用三角形的面③积公式得出△BCG的面积，进而判断出 错误．
【解答】解：∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运④动，
∴AE＝DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，即∠AGB＝90°，
∴AF⊥BE．故 正确；
①
∵∠AGB＝90°，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧的一部分，
由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，
∴长度为 ＝ ，故命题 正确；
π ②
如图，设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，
∴当点G在PD上时，DG有最小值，
在Rt△ADP中，AP＝ AB＝2，AD＝4，根据勾股定理得，PD＝2 ，
∴DG的最小值为2 ﹣2，故 正确；
③
第13页（共25页）过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，
∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP，
∴ ，
∴GM＝ ，
∴△BCG的高GN＝4﹣GM＝ ，
∴S△BCG ＝ ×4× ＝4+ ，故 错误，
④
∴正确的有 ，
故答案为：①②③
①②③
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，三角形的面积公式，圆的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、计算题（每题7分，共21分）
16．【分析】直接利用立方根的定义以及负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分
别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣2﹣2× ﹣1+2﹣1
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．【分析】首先化简 ，然后判断出算式的值与a无关即可．
【解答】解：
第14页（共25页）＝ ﹣
＝1
∴算式的值与a无关，
∴“小马虎”不小心把a＝2017错抄成a＝2007，但他的计算结果却是正确的．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化简后，再把分
式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18．【分析】去分母化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边乘x﹣2得到，1+3（x﹣2）＝x﹣1，
1+3x﹣6＝x﹣1，
x＝2，
∵x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是分式方程的增根，原方程无解．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程
必须检验．
四、解答题（共69分）
19．【分析】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE＝CF，然
后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，
根据平行四边形的性质可得AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
第15页（共25页）∴AF＝CE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相
等．
20．【分析】（1）根据表格确定出m与n的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）确定出20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数的范围即可；
（4）根据样本中的步数少于8500步的百分比，乘以200即可得到结果．
【解答】解：（1）根据表格得：5500≤x＜6500的有：5640与6430，即m＝2，
8500≤x＜9500的有：8648，8753，9450，即n＝3；
故答案为：2；3；
（2）补全条形统计图，如图所示：
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
（4）根据题意得：200× ＝160（人），
则估计一天行走的步数少于8500步的人数约为160人．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及用样本估计总体，弄清题意是解本
题的关键．
21．【分析】（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方x吨，一辆小型渣土运输车每次运土方y
吨，根据“一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运 15吨；3辆大型渣土运
输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨”，列方程组求解可得；
（2）设派出大型渣土运输车a辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，根据“每次运输土方总
量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆”列不等式组求解可得；
第16页（共25页）（3）设运输总花费为W，根据“总费用＝大渣土车总费用+小渣土车总费用”列出W关于
a的函数解析式，根据一次函数性质结合a的范围求解可得．
【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方x吨，一辆小型渣土运输车每次运土方
y吨，
根据题意，可得： ，
解得： ，
答：一辆大型渣土运输车每次运土方10吨，一辆小型渣土运输车每次运土方5吨；
（2）设派出大型渣土运输车a辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，
根据题意，可得： ，
解得：9.6≤a≤13，
∵a为整数，
∴a＝10、11、12、13，
则渣土运输公司有4种派出方案，如下：
方案一：派出大型渣土运输车10辆、小型渣土运输车10辆；
方案二：派出大型渣土运输车11辆、小型渣土运输车9辆；
方案三：派出大型渣土运输车12辆、小型渣土运输车8辆；
方案四：派出大型渣土运输车13辆、小型渣土运输车7辆；
（3）设运输总花费为W，
则W＝500a+300（20﹣a）＝200a+6000，
∵200＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵9.6≤a≤13，且a为整数，
∴当a＝10时，W取得最小值，最小值W＝200×10+6000＝8000，
故该公司选择方案一最省钱．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关
键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系或不等式关系列出方程组、不等式组及一次函
数解析式是解题的关键．
第17页（共25页）22．【分析】根据题意得到tan75°＝2+ ，tan15°＝2﹣ ，如图，延长CD交BC的延长线AE
于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵tan75°＝tan（30°+45°）＝ ＝ ＝2+ ，
tan15°＝tan（45°﹣30°）＝ ＝2﹣ ，
如图，过A作AE⊥CD交CD延长线于E，
在Rt△AEC中，AE＝BC＝24m，∠CAE＝75°，
∴tan75°＝ ，
∴CE＝AE•tan75°＝（48+24 ）m，
在Rt△AED中，tan∠DAE＝tan15°＝ ，
∴DE＝AE•tan15°＝48﹣24 m，
∴CD＝CE﹣DE＝48 m．
答：建筑物CD的高度是48 m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．
23．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入反比例函数解析式求得k、b的值，然后将点A、B
的坐标分别代入一次函数解析式，利用方程组求得它们的值；
（2）需要分类讨论：△PCB∽△OCD，△BCP′～△OCD，由坐标与图形的性质以及等腰
直角三角形的性质进行解答．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）和B（2，b）在双曲线y ＝ （k≠0）上，
2
∴k＝﹣1×2＝2b，
第18页（共25页）解得b＝﹣1．
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直线y ＝mx+n（m≠0）上，
1
∴ ，
解得 ，
∴m，n的值分别是﹣1、1；
（2）在y轴上存在这样的点P，理由如下：
如图，过点B作BP∥x交y轴于点P，
①∴△PCB∽△OCD，
∵B（2，﹣1），
∴P（0，﹣1），
过点B作BP′⊥AB交y轴于点P，
②∴△BCP′～△OCD，
由（1）知，y ＝﹣x+1，
1
∴C（0，1），D（1，0），
∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴△BCP′是等腰直角三角形，
∴CP′＝PP′＝2，
∴P′（0，﹣3），
∴这样的点P有2个．即（0，﹣1）和（0，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题．需要掌握一次函数图象上点的坐标特征，反比例
函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．难
第19页（共25页）度不大，但是综合性比较强，解题时，需要分类讨论，以防漏解．
24．【分析】（1）连接OB根据已知条件得到△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得到
∠ABD＝∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠ACB，等量代换得到∠OBC＝
∠ABD，于是得到结论；
（2）设AB＝4x，OA＝5x，根据勾股定理得到AB＝4，OA＝5，求得AD＝2，根据平行线分相
等成比例定理得到BE＝6，由勾股定理得到OE＝ ＝3 ，根据三角形的面积
公式得到BF＝ ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OB，∵AB2＝AD•AC，
∴ ，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠ACB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABD，
∵CD是 O的直径，
∴∠CBD⊙＝90°，
∴∠OBC+∠OBD＝90°，∠OBD+∠ABD＝90°，
即∠OBA＝90°，
∴直线AE是 O的切线；
⊙
（2）∵OB＝3，cosA＝ ，
设AB＝4x，OA＝5x，
∵OA2＝AB2+OB2，
∴（5x）2＝（4x）2+32，
∴x＝1，
∴AB＝4，OA＝5，
∴AD＝2，
∵OE∥BD，
第20页（共25页）∴ ，
∴BE＝6，
∴OE＝ ＝3 ，
∵∠CBD＝90°，BD∥OE，
∴∠EFB＝90°，
∵s△OBE ＝ OB•BE＝ OE•BF，
∴OB•BE＝OE•BF，
∴BF＝ ，
∵tan∠E＝ ，
∴EF＝ ，
∴OF＝OE﹣EF＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，三角形的面积
公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方
成顶点式即可得点M坐标；
（2）设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，
求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC ＝S△ABC ，即S△CDB +S△BDN ＝
AB•OC建立关于t的方程，解之可得；
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接
第21页（共25页）PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN＝M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐
标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交
MM′延长线于点E，可得M′E＝6、NE＝3、M′N＝ ＝3 ，即M′Q+QN＝3
，据此知m＝ 时，PM+PQ+QN的最小值为3 +3．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）方法一：∵N是抛物线上第四象限的点，
∴设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），
又点C（0，3），
设直线NC的解析式为y＝k x+b ，
1 1
则 ，
解得： ，
∴直线NC的解析式为y＝（﹣t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，
第22页（共25页）当y＝0时，x＝ ，
∴D（ ，0），BD＝3﹣ ，
∵S△NBC ＝S△ABC ，
∴S△CDB +S△BDN ＝ AB•OC，即 BD•|y
C
﹣y
N
|＝ [3﹣（﹣1）]×3，
即 ×（3﹣ ）[3﹣（﹣t2+2t+3）]＝6，
整理，得：t2﹣3t﹣4＝0，
解得：t ＝4，t ＝﹣1（舍去），
1 2
当t＝4时，﹣t2+2t+3＝﹣5，
∴N（4，﹣5）；
方法二：设直线BC解析式y＝mx+n，
将点B（3，0）、C（0，3）代入，得： ，
解得： ，
则直线BC解析式为y＝﹣x+3，
过点A作AN∥BC交抛物线于点N，
则直线AN的解析式为y＝﹣x+p，
将点A（﹣1，0）代入，得：1+p＝0，
解得：p＝﹣1，
∴直线AN解析式为y＝﹣x﹣1，
由 可得 或 ，
∴点N坐标为（4，﹣5）；
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接
PQ，
第23页（共25页）则MM′＝3，
∵P（m，3）、Q（m，0），
∴PQ⊥x轴，且PQ＝OC＝3，
∴PQ∥MM′，且PQ＝MM′，
∴四边形MM′QP是平行四边形，
∴PM＝QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN＝M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y＝k x+b （k ≠0），
2 2 2
将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，得： ，
解得： ，
∴直线M′N的解析式为y＝﹣2x+3，
当y＝0时，x＝ ，
∴Q（ ，0），即m＝ ，
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E＝1﹣（﹣5）＝6，NE＝4﹣1＝3，
∴M′N＝ ＝3 ，
∴M′Q+QN＝3 ，
∴当m＝ 时，PM+PQ+QN的最小值为3 +3．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解
析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置．
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