文档内容
2017 年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的倒数为（ ）
1 1
A． B．- C．﹣2 D．2
2 2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a4=a4 B．（a2）3=a6 C．（a2b3）2=a4b5 D．a6÷a2=a3（a≠0）
3．（4分）我市某地区发现了H7N9禽流感病毒．政府十分重视，积极开展病
毒防御工作，使 H7N9禽流感病毒得到了很好的控制．病毒 H7N9的直径为30
纳米（1纳米=10﹣9米）．将30纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．30×10﹣9 B．3×10﹣9 C．0.3×10﹣7 D．3×10﹣8
4．（4分）点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（ ）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a）
5．（4分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
6．（4分）若点A（﹣6，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）在反比例函数 y=
1 2 3
a2+1
（a为常数）的图象上，则y ，y ，y 大小关系为（ ）
1 2 3
x
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
7．（4分）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
8．（4分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1=0有两个实数根，则a的取
第1页（共35页）值范围为（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1
9．（4分）如图，⊙O的半径为 6，△ABC 是⊙O的内接三角形，连接 OB、
OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
A．3√3B．3 C．6√3D．6
10．（4分）函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣
{& y=x2+bx+c {&x =1 {&x =3
4c＞0；②b+c=0；③b＜0；④方程组 的解为 1 ， 2 ；
& y=x & y =1 & y =3
1 2
⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
二、填空题（每题4分，共20分）
2
11．（4分）函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
x-1
12．（4分）在一个不透明的盒子中装有5个红球，2个黄球，3个绿球，这些
球除颜色外没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的
概率为 ．
1 1
13．（4分）已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则 + = ．
1 2 x x
1 2
第2页（共35页）1
14．（4分）如图，直线 y= x+1与x轴，y轴分别交于 A、B两点，△BOC与
3
△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为
．
15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同
速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D
点时，E、F 停止运动．连接 BE、AF 相交于点 G，连接 CG．有下列结论：
①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；
8
③线段DG的最小值为2√5﹣2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S=8+ √5
5
．其中正确的命题有 ．（填序号）
三、计算题（每题7分，共21分）
1
16．（7分）计算：√38+（﹣ ）﹣1﹣2cos60°﹣（π﹣2017）0+|1﹣√4|．
2
a2+a a+1 a-1
17．（7 分）有这样一道题“求 - ÷ 的值，其中 a=2017”，
a2-1 a2+2a+1 a+1
“小马虎”不小心把a=2017错抄成a=2007，但他的计算结果却是正确的，请说
明原因．
第3页（共35页）1 1-x
18．（7分）解方程： +3= ．
x-2 2-x
四、解答题（共69分）
19．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，
垂足分别为E、F，连接AF、CE．
求证：AF=CE．
20．（9分）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队 20名
成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计
图表，步数分布统计图．
组别 步数分组 频数
A 5500≤x＜6500 m
B 6500≤x＜7500 10
C 7500≤x＜8500 4
D 8500≤x＜9500 n
E 9500≤x＜10500 1
第4页（共35页）根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m= ，n= ；
（2）请补全条形统计图；
（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在 组；
（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
21．（9分）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加
快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种
型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车
每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共 20辆参与运输土方，
若每次运输土方总量不小于 148吨，且小型渣土运输车至少派出 7辆，问该渣
土运输公司有几种派出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小
型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
第5页（共35页）22．（10 分）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin
（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0）
1-tanαtanβ
tanα-tanβ
tan（α﹣β）= （1+tanαtanβ≠0）
1+tanαtanβ
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求
值．
tan45°+tan60° 1+√3
如：tan105°=tan（45°+60°）= = =-2-√3
1-tan45°tan60° 1-√3
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：
如图，两座建筑物 AB 和 DC 的水平距离 BC 为 24 米，从点 A 测得点 D 的俯角
α=15°，测得点C的俯角β=75°，求建筑物CD的高度．
k
23．（10 分）如图，直线 y =mx+n（m≠0）与双曲线 y = （k≠0）相交于 A
1 2
x
（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求m，n的值；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
第6页（共35页）24．（10分）如图，CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，直线AB
与CD的延长线相交于点A，AB2=AD•AC，OE∥BD交直线AB于点E，OE与BC相
交于点F．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
4
（2）若⊙O的半径为3，cosA= ，求OF的长．
5
25．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0），经过点 A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S =S 时，求N点
△NBC △ABC
的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，
动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的
和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．
第7页（共35页）第8页（共35页）2017 年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）（2017•遂宁）﹣2的倒数为（ ）
1 1
A． B．- C．﹣2 D．2
2 2
【考点】17：倒数．
【分析】乘积是1的两数互为倒数．
1
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ．
2
故选：B．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（4分）（2017•遂宁）下列运算正确的是（ ）
A．a•a4=a4 B．（a2）3=a6 C．（a2b3）2=a4b5 D．a6÷a2=a3（a≠0）
【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘
方．
【分析】先根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，分别求出每个
式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、a•a4=a5，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，故本选项正确；
C、（a2b3）2=a4b6，故本选项错误；
D、a6÷a2=a4（a≠0），故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方等知识点，
能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
3．（4分）（2017•遂宁）我市某地区发现了H7N9禽流感病毒．政府十分重视，
积极开展病毒防御工作，使H7N9禽流感病毒得到了很好的控制．病毒H7N9的
第9页（共35页）直径为30纳米（1纳米=10﹣9米）．将30纳米用科学记数法表示为（ ）米．
A．30×10﹣9 B．3×10﹣9 C．0.3×10﹣7 D．3×10﹣8
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣
n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：禽流感病毒H7N9的直径约为30纳米，即0.00000003米，用科学
记数法表示该数为3×10﹣8．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其
中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（4分）（2017•遂宁）点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（ ）
A．（a，﹣b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（b，a）
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点即可求解．
【解答】解：点A（a，b）关于x轴对称的点A′的坐标为（a，﹣b）．
故选A．
【点评】本题考查了关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为
相反数．
5．（4分）（2017•遂宁）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱
第10页（共35页）【考点】U3：由三视图判断几何体．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体
形状．
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视
图为圆，可得此几何体为圆锥．
故选C
【点评】此题考查三视图问题，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体
为锥体．
6．（4分）（2017•遂宁）若点A（﹣6，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）在反
1 2 3
a2+1
比例函数y= （a为常数）的图象上，则y ，y ，y 大小关系为（ ）
x 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，
在每一个象限内，y随x的增大而减小判断．
【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
a2+1
∴反比例函数y= （a为常数）的图象位于第一三象限，
x
∵﹣6＜﹣2，
∴0＞y ＞y ，
1 2
∵3＞0，
∴y ＞0，
3
∴y ＞y ＞y ．
3 1 2
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减
性是解题的关键．
7．（4分）（2017•遂宁）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是（ ）
第11页（共35页）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【考点】LN：中点四边形．
【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩
形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
1
∴EH= BD，
2
1 1 1
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
2 2 2
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选B．
【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的
理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
8．（4分）（2017•遂宁）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1=0有两个实
数根，则a的取值范围为（ ）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠1
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于x的一元一次
不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1=0有两个实数根，
第12页（共35页）{&a-1≠0
∴ ，
&△=22-4(a-1)≥0
解得：a≤2且a≠1．
故选C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，
方程有两个实数根”是解题的关键．
9．（4分）（2017•遂宁）如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，
连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为（ ）
A．3√3B．3 C．6√3D．6
【考点】MA：三角形的外接圆与外心．
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的
1
性质得：∠DOC= ∠BOC=60°，利用 30°角所对的直角边是斜边的一半可求得
2
OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
1
∵∠BAC= ∠BOC，
2
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
第13页（共35页）∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB平分∠BOC，
1
∴∠DOC= ∠BOC=60°，
2
∴∠OCD=90°﹣60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=6，
∴OD=3，
∴DC=3√3，
∴BC=2DC=6√3，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考
题型．
10．（4分）（2017•遂宁）函数y=x2+bx+c与函数y=x的图象如图所示，有以下
{& y=x2+bx+c
结论：① b2﹣4c＞0；② b+c=0；③ b＜0；④方程组 的解为
& y=x
{&x =1 {&x =3
1 ， 2 ；⑤当 1＜x＜3 时，x2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的是（
& y =1 & y =3
1 2
）
第14页（共35页）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【考点】HC：二次函数与不等式（组）；F6：正比例函数的性质；H4：二次函
数图象与系数的关系．
【分析】由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b2﹣4c＜0；当 x=1 时，
y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数
值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．
【解答】解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0；
故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，则b+c=0，
故②正确；
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，
故③正确；
{& y=x2+bx+c {&x =1
根据抛物线与直线 y=x 的交点知：方程组 的解为 1 ，
& y=x & y =1
1
{&x =3
2 ．
& y =3
2
故④正确；
∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
第15页（共35页）∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故⑤错误．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握
数形结合思想的应用．
二、填空题（每题4分，共20分）
2
11．（4分）（2017•遂宁）函数y= 中，自变量x的取值范围是 x ≠ 1 ．
x-1
【考点】E4：函数自变量的取值范围；62：分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x﹣
1≠0，解可得答案．
【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；
解得x≠1；
故答案为：x≠1．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注
意考虑分式的分母不能为0．
12．（4分）（2017•遂宁）在一个不透明的盒子中装有 5个红球，2个黄球，3
个绿球，这些球除颜色外没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，
1
摸到红球的概率为 ．
2
【考点】X4：概率公式．
【分析】用红球的个数除以总球的个数，即可得出答案．
第16页（共35页）【解答】解：∵有5个红球，2个黄球，3个绿球，共10个，
5 1
∴摸到红球的概率为 = ；
10 2
1
故答案为： ．
2
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
m
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
1 1
13．（4分）（2017•遂宁）已知x ，x 是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则 + =
1 2 x x
1 2
﹣ 3 ．
【考点】AB：根与系数的关系．
1 1
【分析】根据根与系数的关系可得出 x +x =3、x •x =﹣1，将其代入 + =
1 2 1 2 x x
1 2
x +x
1 2中即可求出结论．
x x
1 2
【解答】解：∵x ，x 是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，
1 2
∴x +x =3，x •x =﹣1，
1 2 1 2
1 1 x +x 3
∴ + = 1 2 = =﹣3．
x x x x -1
1 2 1 2
故答案为：﹣3．
b
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣ 、两根之积等
a
c
于 ”是解题的关键．
a
1
14．（4分）（2017•遂宁）如图，直线 y= x+1与x轴，y轴分别交于A、B两
3
点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点
B′的坐标为 （ 3 ， 2 ）或（﹣ 9 ，﹣ 2 ） ．
第17页（共35页）【考点】SC：位似变换；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
1
【分析】首先根据直线y= x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，解得点A和点
3
B的坐标，再利用位似图形的性质可得点B′的坐标．
1
【解答】解：∵y= x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，
3
令x=0可得y=1；令y=0可得x=﹣3，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣3，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
OB AO 1
∴ = = ，
O'B' AO' 2
∴O′B′=2，AO′=6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，位似图形的性质的运用，掌
握位似的概念是解决问题的关键．
15．（4分）（2017•遂宁）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点
A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，
点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下
第18页（共35页）列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的
长度为π；③线段DG的最小值为2√5﹣2；④当线段DG最小时，△BCG的面积
8
S=8+ √5．其中正确的命题有 ①②③ ．（填序号）
5
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】判断出△BAE≌△ADF即可判断出①正确；进而判断出∠AGB=90°，从
而得到点G是以AB为直径的圆弧上一点，再判断出此圆弧所对的圆心角，即可
判断出②正确，再用圆外一点到圆上的最小距离的确定方法判断出此圆弧上一
点到点 D 的距离最小，再用勾股定理即可判断出③正确，再判断出
△DMG∽△DAP求出GM，进而求出△BCG的高GN，利用三角形的面积公式得
出△BCG的面积，进而判断出④错误．
【解答】解：∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，
∴AE=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，
在△BAE和△ADF中，
{
&AE=DE
&∠BAE=∠ADF=90°，
&AB=AD
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAG=90°，
∴∠ABE+∠BAG=90°，即∠AGB=90°，
∴AF⊥BE．故①正确；
∵∠AGB=90°，
第19页（共35页）∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧的一部分，
由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C，
∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，
90π×2
∴长度为 =π，故命题②正确；
180
如图，设AB的中点为点P，连接PD，
∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，
∴当点G在PD上时，DG有最小值，
1
在Rt△ADP中，AP= AB=2，AD=4，根据勾股定理得，PD=2√5，
2
∴DG的最小值为2√5﹣2，故③正确；
过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，
∴GM∥PA，
∴△DMG∽△DAP，
GM DG
∴ = ，
AP DP
10-2√5
∴GM= ，
5
10+2√5
∴△BCG的高GN=4﹣GM= ，
5
1 10+2√5 4√5
∴S = ×4× =4+ ，故④错误，
△BCG
2 5 5
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定
第20页（共35页）和性质，勾股定理，三角形的面积公式，圆的性质，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
三、计算题（每题7分，共21分）
1
16．（7分）（2017•遂宁）计算：√38+（﹣ ）﹣1﹣2cos60°﹣（π﹣2017）0+|1
2
﹣√4|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的
三角函数值．
【分析】直接利用立方根的定义以及负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对
值的性质分别化简得出答案．
1
【解答】解：原式=2﹣2﹣2× ﹣1+2﹣1
2
=﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
a2+a a+1 a-1
17．（7分）（2017•遂宁）有这样一道题“求 - ÷ 的值，其
a2-1 a2+2a+1 a+1
中a=2017”，“小马虎”不小心把a=2017错抄成a=2007，但他的计算结果却是
正确的，请说明原因．
【考点】6D：分式的化简求值．
a2+a a+1 a-1
【分析】首先化简 - ÷ 的，然后判断出算式的值与 a无关即
a2-1 a2+2a+1 a+1
可．
a2+a a+1 a-1
【解答】解： - ÷
a2-1 a2+2a+1 a+1
a 1
= ﹣
a-1 a-1
=1
∴算式的值与a无关即可，
第21页（共35页）∴“小马虎”不小心把a=2017错抄成a=2007，但他的计算结果却是正确的．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，注意先把分式化
简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
1 1-x
18．（7分）（2017•遂宁）解方程： +3= ．
x-2 2-x
【考点】B3：解分式方程．
【分析】去分母化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边乘x﹣2得到，1+3（x﹣2）=x﹣1，
1+3x﹣6=x﹣1，
x=2，
∵x=2时，x﹣2=0，
∴x=2是分式方程分增根，原方程无解．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意
解分式方程必须检验．
四、解答题（共69分）
19．（9 分）（2017•遂宁）如图，在平行四边形 ABCD 中，BD 为对角线，
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接AF、CE．
求证：AF=CE．
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】首先证明 AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得
AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形
AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
第22页（共35页）又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
{
&∠ABE=∠CDF
&∠AEB=∠CFD，
&AB=CD
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对
边平行且相等．
20．（9分）（2017•遂宁）在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运
动”团队20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计
图表，步数分布统计图．
组别 步数分组 频数
A 5500≤x＜6500 m
B 6500≤x＜7500 10
C 7500≤x＜8500 4
D 8500≤x＜9500 n
E 9500≤x＜10500 1
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m= 2 ，n= 3 ；
（2）请补全条形统计图；
第23页（共35页）（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在 B 组；
（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；
W4：中位数．
【分析】（1）根据表格确定出m与n的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）确定出20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数的范围即
可；
（4）根据样本中的步数少于8500步的百分比，乘以200即可得到结果．
【解答】解：（1）根据表格得：5500≤x＜6500 的有：5640 与 6430，即
m=2，
8500≤x＜9500的有：8648，8753，9450，即n=3；
故答案为：2；3；
（2）补全条形统计图，如图所示：
第24页（共35页）（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
2+10+4
（4）根据题意得：200× =160（人），
20
则估计一天行走的步数少于8500步的人数约为160人．
【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及用样本估计总体，弄
清题意是解本题的关键．
21．（9分）（2017•遂宁）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结
号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已
派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小
型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次
共运70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共 20辆参与运输土方，
若每次运输土方总量不小于 148吨，且小型渣土运输车至少派出 7辆，问该渣
土运输公司有几种派出方案？
（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小
型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？
【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不
等式组的应用．
【分析】（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方 x吨，一辆小型渣土运输车每
次运土方y吨，根据“一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15
吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨”，列方程组求
解可得；
（2）设派出大型渣土运输车a辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，根据“每
次运输土方总量不小于 148吨，且小型渣土运输车至少派出 7辆”列不等式组
求解可得；
（3）设运输总花费为W，根据“总费用=大渣土车总费用+小渣土车总费用”列
出W关于a的函数解析式，根据一次函数性质结合a的范围求解可得．
第25页（共35页）【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车每次运土方 x吨，一辆小型渣土运输
车每次运土方y吨，
{&x+ y=15
根据题意，可得： ，
&3x+8 y=70
{&x=10
解得： ，
& y=5
答：一辆大型渣土运输车每次运土方10吨，一辆小型渣土运输车每次运土方5
吨；
（2）设派出大型渣土运输车a辆，则派出小型运输车（20﹣a）辆，
{&10a+5(20-a)≥148
根据题意，可得： ，
&20-a≥7
解得：9.6≤a≤13，
∵a为整数，
∴a=10、11、12、13，
则渣土运输公司有4种派出方案，如下：
方案一：派出大型渣土运输车10辆、小型渣土运输车10辆；
方案二：派出大型渣土运输车11辆、小型渣土运输车9辆；
方案三：派出大型渣土运输车12辆、小型渣土运输车8辆；
方案四：派出大型渣土运输车13辆、小型渣土运输车7辆；
（3）设运输总花费为W，
则W=500a+300（20﹣a）=200a+6000，
∵200＞0，
∴W随a的增大而增大，
∵9.6≤a≤13，且a为整数，
∴当a=10时，W取得最小值，最小值W=200×10+6000=8000，
故该公司选择方案一最省钱．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，
解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系或不等式关系列出方程组、
第26页（共35页）不等式组及一次函数解析式是解题的关键．
22．（10 分）（2017•遂宁）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）
=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0）
1-tanαtanβ
tanα-tanβ
tan（α﹣β）= （1+tanαtanβ≠0）
1+tanαtanβ
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求
值．
tan45°+tan60° 1+√3
如：tan105°=tan（45°+60°）= = =-2-√3
1-tan45°tan60° 1-√3
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：
如图，两座建筑物 AB 和 DC 的水平距离 BC 为 24 米，从点 A 测得点 D 的俯角
α=15°，测得点C的俯角β=75°，求建筑物CD的高度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据题意得到tan75°=2+√3，tan15°=2﹣√3，如图，延长CD交BC的延
长线AE于E，解直角三角形即可得到结论．
√3
+1
tan30°+tan45° 3
【解答】解：∵tan75°=tan（30°+45°）= = =2+√3，
1-tan30°tan45° √3
1- ×1
3
tan30°-tan45°
tan15°=tan（30°﹣45°）= =2﹣√3，
1+tan30°tan45°
如图，延长CD交BC的延长线AE于E，
在Rt△AEC中，AE=BC=24cm，∠CAE=75°，
第27页（共35页）CE
∴tan75°= ，
AE
∴CE=AE•tan75°=（48+24√3）cm，
DE
在Rt△AED中，tan∠DAE=tan15°= ，
AE
∴DE=AE•tan15°=48﹣24√3，
∴CD=CE﹣DE=48√3cm．
答：建筑物CD的高度是48√3cm．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直
角三角形是解答此题的关键．
k
23．（10 分）（2017•遂宁）如图，直线 y =mx+n（m≠0）与双曲线 y =
1 2 x
（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于
点D．
（1）求m，n的值；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△BCP与△OCD相似？若存在求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入反比例函数解析式求得k、b的值，然
后将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，利用方程组求得它们的值；
（2）需要分类讨论：△PCB∽△OCD，△BCP′～△OCD，由坐标与图形的性质以
及等腰直角三角形的性质进行解答．
k
【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）和B（2，b）在双曲线y = （k≠0）上，
2 x
∴k=﹣1×2=2b，
第28页（共35页）解得b=﹣1．
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2）和B（2，﹣1）在直线y =mx+n（m≠0）上，
1
{&-m+n=2
∴ ，
&2m+n=-1
{&m=-1
解得 ，
&n=1
∴m，n的值分别是﹣1、1；
（2）在y轴上存在这样的点P，理由如下：
①如图，过点B作BP∥x交y轴于点P，
∴△PCB∽△OCD，
∵B（2，﹣1），
∴P（0，﹣1），
②过点B作BP′⊥AB交y轴于点P，
∴△BCP′～△OCD，
由（1）知，y =﹣x+1，
1
∴C（0，1），D（1，0），
∴OC=OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴△BCP′是等腰直角三角形，
∴CP′=PP′=2，
∴P′（0，﹣3），
∴这样的点P有2个．即（0，﹣1）和（0，﹣3）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题．需要掌握一次函数图象上点的坐标特
第29页（共35页）征，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，等腰直角三
角形的判定与性质．难度不大，但是综合性比较强，解题时，需要分类讨论，
以防漏解．
24．（10 分）（2017•遂宁）如图，CD 是⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，连接
BC、BD，直线AB与CD的延长线相交于点A，AB2=AD•AC，OE∥BD交直线AB
于点E，OE与BC相交于点F．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
4
（2）若⊙O的半径为3，cosA= ，求OF的长．
5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质；T7：解直角
三角形．
【分析】（1）连接OB根据已知条件得到△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性
质得到∠ABD=∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠OBC=∠ACB，等量代换得到
∠OBC=∠ABD，于是得到结论；
（2）设AB=4x，OA=5x，根据勾股定理得到 AB=4，OA=5，求得AD=2，根据平
行线分相等成比例定理得到BE=6，由勾股定理得到OE=√BE2+OB2=3√5，根据
6√5
三角形的面积公式得到BF= ，根据三角函数的定义即可得到结论．
5
【解答】解：（1）连接OB，∵AB2=AD•AC，
AB AC
∴ = ，
AD AB
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，∴∠ABD=∠ACB，
第30页（共35页）∵OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB，
∴∠OBC=∠ABD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∴∠OBC+∠OBD=90°，∠OBD+ABD=90°，
即∠OBA=90°，
∴直线AE是⊙O的切线；
4
（2）∵OB=3，cosA= ，
5
设AB=4x，OA=5x，
∵OA2=AB2+OB2，
∴（5x）2=（4x）2+32，
∴x=1，
∴AB=4，OA=5，
∴AD=2，
∵OE∥BD，
AD AB
∴ = ，
OD BE
∴BE=6，
∴OE=√BE2+OB2=3√5，
∵∠CBD=90°，BD∥OE，
∴∠EFB=90°，
1 1
∵s = OB•BE= OE•BF，
△OBE
2 2
∴OB•BE=OE•BF，
6√5
∴BF= ，
5
OB BF
∵tan∠E= = ，
BE EF
第31页（共35页）12√5
∴E= ，
5
3√5
∴OF=OE﹣EF= ．
5
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，切线的判定，
三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（12分）（2017•遂宁）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（﹣
1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S =S 时，求N点
△NBC △ABC
的坐标；
（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，
动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的
和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函
数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；
（2）设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出
直线 CN 解析式，求得 CN 与 x 轴的交点 D 坐标，即可表示 BD 的长，根据
第32页（共35页）1
S =S ，即S +S = AB•OC建立关于t的方程，解之可得；
△NBC △ABC △CDB △BDN
2
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x
轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取
最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此
知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=
3
√32+62=3√5，即 M′Q+QN=3√5，据此知 m= 时，PM+PQ+QN 的最小值为 3√5
2
+3．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，
0），C（0，3），
{
&a-b+c=0
∴ &9a+3b+c=0，
&c=3
{
&a=-1
解得： &b=2 ，
&c=3
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；
（2）∵N是抛物线上第四象限的点，
∴设N（t，﹣t2+2t+3）（t＞0），
又点C（0，3），
设直线NC的解析式为y=k x+b ，
1 1
{&k t+b =-t2+2t+3
则 1 1 ，
&b =3
1
{&k =-t+2
解得： 1 ，
&b =3
1
∴直线NC的解析式为y=（﹣t+2）x+3，
设直线CN与x轴交于点D，
第33页（共35页）3
当y=0时，x= ，
t-2
3 3
∴D（ ，0），BD=3﹣ ，
t-2 t-2
∵S =S ，
△NBC △ABC
1 1 1
∴S +S = AB•OC，即 BD•|y ﹣y |= [3﹣（﹣1）]×3，
△CDB △BDN 2 2 C N 2
1 3
即 ×（3﹣ ）[3﹣（﹣t2+2t+3）]=6，
2 t-2
整理，得：t2﹣3t﹣4=0，
解得：t =4，t =﹣1（舍去），
1 2
当t=4时，﹣t2+2t+3=﹣5，
∴N（4，﹣5）；
（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x
轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，
∵P（m，3）、Q（m，0），
∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，
∴四边形MM′QP是平行四边形，
第34页（共35页）∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，
设直线M′N的解析式为y=k x+b （k ≠0），
2 2 2
{&k +b =1
将点M′（1，1）、N（4，﹣5）代入，得： 2 2 ，
&4k +b =-5
2 2
{&k =-2
解得： 2 ，
&b =3
2
∴直线M′N的解析式为y=﹣2x+3，
3
当y=0时，x= ，
2
3 3
∴Q（ ，0），即m= ，
2 2
此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，
在Rt△M′EN中，∵M′E=1﹣（﹣5）=6，NE=4﹣1=3，
∴M′N=√32+62=3√5，
∴M′Q+QN=3√5，
3
∴当m= 时，PM+PQ+QN的最小值为3√5+3．
2
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数
法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短
得到点P、Q的位置．
第35页（共35页）
