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2011 年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求
1．（4分）﹣2的相反数（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣|2|
2．（4分）下列分式是最简分式的（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列运算错误的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（m3）4＝m7
C．（2a2bc）3＝8a6b3c3 D．m6÷m2＝m4
4．（4分）一幅扑克牌（不含大小王），任意抽取一张，抽中方块的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞1且x≠3 C．x≥1 D．x≥1且x≠3
6．（4分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
7．（4分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝3，AB＝4，∠B＝60°，则梯形的
面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）计算2sin30°﹣sin245°+cot60°的结果是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共21页）9．（4分）如图，△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，下列选项正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2 B．AE：AC＝1：3
C．BD：AB＝1：3 D．S△ADE ：S△ABC ＝1：4
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是
（ ）
AC•BC＝AB•CD
①AC2＝AD•DB
②BC2＝BD•BA
③CD2＝AD•DB．
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上．
11．（4分）地球绕太阳每小时转过的路程约为110000千米．请用科学记数法表示为：
千米．
12．（4分）若x 、x 是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x 2+x x +x 2＝ ．
1 2 1 1 2 2
13．（4分）下列命题 不相交的直线是平行线； 同位角相等； 矩形的对角线相等且互相
平分； 平行四边①形既是中心对称图形又是轴②对称图形； ③同圆中同弦所对的圆周角相
等．其④中错误的序号是 ． ⑤
14．（4分）如图，在 O中∠ACB＝∠BDC＝60°， ，则 O的周长是 ．
⊙ ⊙
第2页（共21页）15．（4分）阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）
＝x2﹣（y+1）2
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝ ．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）解方程：x（2x+1）＝8x﹣3．
17．（8分）已知：平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O的直线EF交AD于F，BC于E．
求证：BE＝DF．
18．（8分）计算： ．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）在“我爱家乡”的主题活动中，某数学兴趣小组决定测量灵泉寺观音塔DC的高
度（如图）．在广场A处用测角仪测得塔顶D的仰角是45°，沿AC方向前进15米在B处测
得塔顶D的仰角是60°，测角仪高1.5米．求塔高DC（保留3个有效数字）（ ，
）
20．（9分）一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏．为抢修一段120米长的高
速公路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务．问原计划每天抢修
第3页（共21页）多少米？
21．（9分）2014年遂宁市将承办四川省运动会．明星队和沱牌队在集训期内进行了五场比赛，
将比赛成绩进行统计后，绘制成如图 、图 的统计图．
（1）在图 中画出表示沱牌队在集训①期内这②五场比赛的成绩变化情况的折线统计图；
（2）请你②分别计算明星队和沱牌队这五场比赛的平均分；
（3）就五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（4）如果从明星与沱牌中选派一支参加省运会，根据上述统计情况，从平均分、折线走势、
获胜场数和极差四个方面进行简要分析，请你决策选派哪支球队参加更能取得好的成绩？
五、（本大题2个小题，每小题9分，共18分）
22．（9分）已知AB是 O的直径，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．
求证：（1）CD是 ⊙O的切线；
（2）CD2＝AD•BE⊙．
第4页（共21页）23．（9分）平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B且与反比例函数图象分
别交于C、D两点，过点C作CM⊥x轴于M，AO＝6，BO＝3，CM＝5．求直线AB的解析式
和反比例函数解析式．
六、（本大题2个小题，第24题8分，第25题13分，共21分）
24．（8分）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当n＝1时，如图
（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当n＝2时，如图（2），两条直线将一个平面分成
四个部分；则：当n＝3时，三条直线将一个平面分成 部分；当n＝4时，四条直线将
一个平面分成 部分；若n条直线将一个平面分成a 个部分，n+1条直线将一个平
n
面分成a 个部分．试探索a 、a 、n之间的关系．
n+1 n n+1
25．（13分）如图：抛物线y＝ax2﹣4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴
交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD＝
第5页（共21页）∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．
第6页（共21页）2011 年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求
1．【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣（﹣2）＝2，
故﹣2的相反数是2．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意
义与倒数的意义混淆．
2．【分析】根据分式的基本性质进行约分，画出最简分式即可进行判断．
【解答】解：A、 ＝ ，故本选项错误；
B、 ＝ ，故本选项错误；
C、 ，不能约分，故本选项正确；
D、 ＝ ＝ ，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据
分式的基本性质正确进行约分是解此题的关键．
3．【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；
幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相
乘．对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；故正确；
B、（m3）4＝m12，幂的乘方，底数不变指数相乘．故错误；
C、（2a2bc）3＝8a6b3c3，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．故正
确；
第7页（共21页）D、m6÷m2＝m4，同底数幂的除法，底数不变指数相减；故正确；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，解题时
一定要记准法则才行．
4．【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的
比值就是其发生的概率． ① ②
【解答】解；扑克牌共54张，拿掉大、小王后还剩：54﹣2＝52（张），
方块张数：52÷4＝13（张），
概率： ＝ ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可求解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，x﹣3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据被开方数大于等于0，分母不等于
0列式是解题的关键．
6．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于
原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，
∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，
﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
7．【分析】过 A 作 AE⊥BC 于 E，过 D 作 DF⊥BC 于 F，证平行四边形 AEFD 和
Rt△AEB≌Rt△DFC，推出AD＝EF＝3，AE＝DF，BE＝CF，求出∠BAE，根据含30度角的
直角三角形性质求出BE、CF，根据勾股定理求出AE，即可求出答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
第8页（共21页）∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF＝3，AE＝DF，
∵∠B＝60°，∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB＝2，
∵∠AEB＝∠DFC＝90°，
AE＝DF，AB＝CD，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC，
∴BE＝CF＝2，
BC＝2+2+3＝7，
由勾股定理得：AE＝ ＝2 ，
∴梯形的面积＝ ×（AD+BC）×AE＝ ×（3+7）×2 ＝10 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查对等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，含30度角的
直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出AE和BC的长是解此题的关键．
8．【分析】分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可．
【解答】解：2sin30°﹣sin245°+cot60°，
＝2× ﹣（ ）2+ ，
＝1﹣ + ，
＝ + ．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特殊角的三角函数值是
第9页（共21页）解题的关键．
9．【分析】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，再由AD：DB＝1：2，推出AD：AB＝1：3，据此求
出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE ：S△ABC ，从而得出正确选项．
【解答】解：已知AD：DB＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，BD：AB＝2：3，
∵△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AE：AC＝AD：AB＝DE：BC＝1：3，
S△ADE ：S△ABC ＝（1：3）2＝1：9，
所以只有B、AE：AC＝1：3正确，
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是由已知先得到AD：AB＝1：
3和△ADE∽△ABC，再求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE ：S△ABC ．
10．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，易证得∠BDC＝∠BCA＝∠CDA＝90°，又
由∠A＝∠A，∠B＝∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，
△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答
案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠BCA＝∠CDA＝90°，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，
∴ ， ，
∴AC•AB＝BC•CD，故 正确；
BC2＝BD•BA，故 正确①；
∴△ACD∽△CBD③，
∴ ， ，
∴AC2＝AD•AB，CD2＝AD•DB，
故 错误，
②正确．
④下列说法中正确的个数是3个．
第10页（共21页）故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结
合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上．
11．【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示
整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10
的n次幂．
【解答】解：将110 000用科学记数法表示为1.1×105．
故答案为1.1×105．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示一个数的方法：（1）确定a：a是只有一位整数的
数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数
的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整
数位数上的零）．
12．【分析】由于方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根为x ，x ，所以直接利用根与系数的关系即
1 2
可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x 2+x x +x 2的值．
1 1 2 2
【解答】解：∵x 、x 是方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝﹣5，
1 2 1 2
x 2+x x +x 2＝（x +x ）2﹣x x ＝4+5＝9．
1 1 2 2 1 2 1 2
故答案为9．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是
一种经常使用的解题方法．
13．【分析】根据平行的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆周角的性质来判断所给选项
是否正确即可．
【解答】解： 在同一平面内，不相交的直线是平行线，故本选项错误，
两直线平行①，同位角相等，故本选项错误，
②矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确，
③平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误，
④同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补，故本选
⑤项错误，
故答案为 ．
【点评】①本题②主④要⑤考查了综合利用相关性质和判定，难度适中．
第11页（共21页）14．【分析】根据圆周角定理，得∠A＝∠BDC＝60°，从而判断△ABC是等边三角形，再根据
等边三角形的性质求得其外接圆的直径，从而求得其周长．
【解答】解：连接OC，作OE⊥AC于E．
∵∠ACB＝∠BDC＝60°，
∴∠A＝∠BDC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠OCE＝30°，CE＝ AC＝ （垂径定理），
∴OC＝ ＝2，
则 O的周长是4 ．
故⊙答案为4 ． π
π
【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质．
注意：等边三角形的外心和内心重合，是它的三边垂直平分线的交点．
15．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．
【解答】解：原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）
＝（a+b）2+c（a+b）
＝（a+b）（a+b+c）．
故答案为（a+b）（a+b+c）．
【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公
式．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．【分析】运用因式分解法将原式分解因式，即可得出答案．
【解答】解：去括号，得：2x2+x＝8x﹣3，
移项，得：2x2+x﹣8x+3＝0
合并同类项，得：2x2﹣7x+3＝0，
∴（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
第12页（共21页）∴2x﹣1＝0或 x﹣3＝0，
∴ ，x ＝3．
2
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据已知将原式分解为两式相乘等
于0是解决问题的关键．
17．【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，然后结合点O是AC的中点易证
△AOF≌△COE，那么AF＝CE，由AD＝BC可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵点O是AC的中点，
∴OC＝OA，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴BE＝FD．
【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，属于基础题，解答本题要掌握
平行四边形的对边平行且相等， 全等三角形的几个判定定理．
18．【①分析】根据取绝对值运算法则和零②指数幂：a0＝1（a≠0）；以及二次根式的性质运算即可．
【解答】解：原式＝
＝2+1﹣1+
＝2+ ．
【点评】本题考查了实数的运算，对于其运算要注意（1）实数的运算和在有理数范围内一
样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中
正实数可以开平方；（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算
乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到
有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△DEG、
△DFG，应利用其公共边DG构造等量关系，进而可求出答案．
【解答】解：设DG＝x米，由题意EG＝x米，则FG＝（x﹣15）米，
第13页（共21页）在Rt△DFG中 tan60 ，
x＝ x﹣15 （ ﹣1）x
＝15 x
＝
＝
＝35.49，
∴塔高DC＝35.49+1.5
＝36.99
≈37.0米．
答：塔高DC约为37.0米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结
合图形利用三角函数解直角三角形．
20．【分析】原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，为抢修一段120米长的高速公路，
施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天完成抢修任务可列方程求解．
【解答】解：原计划每天抢修x米，则实际每天抢修（x+5）米，根据题意，得：…（1分）
…（5分）
x2+5x﹣150＝0
∴x ＝10x ＝﹣15…（7分）
1 2
经检验：x ＝10，x ＝﹣15都是原方程的解．
1 2
但x ＝﹣15不符合实际情况（舍去） …（8分）
2
答：原计划每天抢修10米． …（9分）
【点评】本题考查理解题意的能力，关键设出计划每天修多少，表示出实际修的，以时间做
为等量关系列方程求解．
21．【分析】（1）根据条形统计图中的数据在图2中，正确描点连线即可；
（2）根据平均数＝总成绩÷次数计算；
（3）找到各组数据的最大值和最小值，计算它们的差即是极差；
（4）结合平均数和极差两方面进行分析．
【解答】解：（1）如图所示：
第14页（共21页）（2） （82+84+94+92+98）＝ ×450＝90（分），
沱牌
＝ （105+95+82+88+80）＝ ×450＝90（分）；
（3）明星队极差：98﹣82＝16（分），
沱牌队极差：105﹣80＝25（分）；
（4）从平均分来看，两队的平均分相同；
从折线走趋来看，明星队呈上升趋势，沱牌队呈下降趋势；
从获胜场数来看，明星队胜3场，沱牌队胜2场；
从极差来看，明星队极差16分，沱牌队极差25分．
综合以上因素应派明星队参赛，更能取得好的成绩．
【点评】本题考查了条形统计图、折线统计图、极差以及平均数的知识，熟练掌握对统计图
的分析和平均数的计算．要理解极差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．
五、（本大题2个小题，每小题9分，共18分）
22．【分析】（1）连接OC．欲证CD是 O的切线，只需证明OC⊥CD即可；
（2）作辅助线（连接 BC，延长⊙AC 交 BE 的延长线于 M ）构建全等三角形
△DAC≌△MCE，根据全等三角形的对应边相等知DC＝EC；然后由相似三角形的判定定
理AA判定△ADC∽△CEB，再由相似三角形的对应边成比例求得 ，即CD2＝
第15页（共21页）AD•BE．
【解答】证明：（1）连接OC …（1分）
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠OAC
∴∠OCA＝∠DAC …（2分）
∴AD∥OC
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD …（3分）
∴CD是 的切线 …（4分）
⊙
（2）连接BC，延长AC交BE的延长线于M …（5分）
∵AD⊥DE BE⊥DE
∴AD∥BE
∴∠M＝∠DAC
∵∠DAC＝∠BAM
∴∠BAM＝∠M
∴BA＝BM …（6分）
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°
∴AC＝MC
又∵∠M＝∠DAC+∠D＝∠CEM AC＝MC
∴△DAC≌△MCE
∴DC＝EC …（7分）
（若用平行线分线段成比例定理证明，正确得分）
∴∠DAC＝∠BCE，∠ADC＝∠CEB
∴△ADC∽△CEB …（8分）
∴
∴CE•CD＝AD•BE
∴CD2＝AD•BE…（9分）
第16页（共21页）说明：本题还有其它证法，若正确合理得分．
【点评】本题综合考查了切线的判定定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质以及圆周角定理．判定一条直线是圆的切线的三种方法：
（1）根据切线定义判定．即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．
（2）根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
（3）根据切线的判定定理来判定．
23．【分析】首先由过点C作CM⊥x轴于M，得 CM∥OB，所以△AOB∽△AMC，可求出AM，
继而得出点A、B、C的坐标，然后设解析式，代入坐标即可求出直线AB的解析式和反比例
函数解析式．
【解答】解：由题意得 CM∥OB，
∴△AOB∽△AMC，
∴ 即 ，
∴AM＝10，
∵AO＝6∴MO＝4，
∴点C（4，5），A（﹣6，0），B（0，3），
设直线解析式y ＝k x+b，
1 1
∵过点A（﹣6，0）和点B（0，3），
∴ b＝3，
∴ ，
设反比例解析 ，
∵过点C（4，5），∴k ＝20，
2
∴ ．
第17页（共21页）【点评】此题考查的知识点是反比例函数综合应用，关键是运用相似三角形求出点的坐标，
用待定系数法确定函数的解析式．
六、（本大题2个小题，第24题8分，第25题13分，共21分）
24．【分析】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直
线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直
线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时
比原来多了n部分．
【解答】解：当n＝1时，分成2部分，
当n＝2时，分成4＝2+2部分，
当n＝3时，分成7＝4+3部分，…（2分）
当n＝4时，分成11＝7+4部分，…（4分）
规律发现，有几条线段，则分成的部分比前一种情况多几部分，
a 、a 、n之间的关系是：a ＝a +（n+1）．…（8分）
n n+1 n+1 n
故答案为：7，11，a ＝a +（n+1）．
n+1 n
【点评】本题是对图形变化问题的考查，根据前四种情况发现有几条线段则分成的空间比
前一种增加几部分是解题的关键．
25．【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣4ax+m的对称轴公式x＝﹣ ，即可求得其对称轴，又由
点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边
形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形
的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得
此抛物线的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y＝kx+b，利用
待定系数法即可求得CG的解析式，则可求得H的坐标，又由S△BCG ＝S△BHG +S△BHC ，即可
求得△BCG的面积．
第18页（共21页）【解答】解：（1）对称轴是x＝﹣ ＝2，…（2分）
∵点A（1，0）且点A、B关于x＝2对称，
∴点B（3，0）；…（4分）
（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x＝2，
∴AB∥CP且AB＝CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，…（5分）
设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC＝ ，
∴BP＝ ，
在Rt△BOC中，BC＝ ，
∵ ，
∴BD＝ ，
∵∠BPD＝∠BCP 且∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP2＝BD•BC，
即 ，
∴ ，
∴x ＝ ，x ＝﹣ ，
1 2
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0， ），…（8分）
∴y＝ax2﹣4ax﹣ ，
第19页（共21页）∵过点（1，0），
∴a﹣4a﹣ ＝0，
解得：a＝﹣ ．
∴解析式是：y＝﹣ x2+ x﹣ ；…（9分）
（3）当x＝2时，y＝ ，
顶点坐标G是（2， ），…（10分）
设CG的解析式是：y＝kx+b，
∵过点（0， ）（2， ），
∴ ，
∴y＝ x﹣ ，…（11分）
设CG与x轴的交点为H，
令y＝0，则 x﹣ ＝0，
得x＝ ，
即H（ ，0），…（11分）
∴BH＝3﹣ ＝ ，
∴S△BCG ＝S△BHG +S△BHC ＝ ＝ ＝ …（13分）
第20页（共21页）【点评】此题考查了二次函数对称轴的求解方法，二次函数的对称性，待定系数法求函数
的解析式，三角形面积的求解方法以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，
难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
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