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2011 年天津市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2011•天津）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（2011•天津）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2011•天津）根据第六次全国人口普査的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，
将1 370 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.137x1010 B．1.37xlO9 C．13.7x108 D．137x107
4．（2011•天津）估计 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
5．（2011•天津）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大
小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．（2011•天津）已知⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm和4cm，若O O =7cm，则⊙O 与⊙O 的位置关系是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
7．（2011•天津）如图是一支架（一种小零件），支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，则它的三视图是（ ）
A． B． C． D．8．（2011•天津）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的
成绩更稳定
9．（2011•天津）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式
B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是
在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论：
①图象甲描述的是方式A；
②图象乙描述的是方式B；
③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．（2011•天津）若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（ ）
A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（2011•天津）﹣6的相反数是 ________ _ ．
12．（2011•天津）若分式 的值为0，则x的值等于 ________ _ ．
13．（2011•天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为
________ _ ．
14．（2011•天津）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个
数为 ________ _ ．
©2010-2012 菁优网15．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，若OB=5，则BC等于
_________ ．
16．（2011•天津）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 ________ _ ．
17．（2011•天津）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于
_________ ．
18．（2011•天津）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（I）该正方形的边长为 ________ _ （结果保留根号）
（II）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程： ________ _
．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（2011•天津）解不等式组 ．
20．（2011•天津）已知一次函数y =x+b（b为常数）的图象与反比例函数 （k为常数，且k≠0 ）的图象相交于点P
1
（3 ，1）．
（I ）求这两个函数的解析式：
（II）当x＞3时，试判断y 与y 的大小，并说明理由．
1 2
21．（2011•天津）在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查
了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 0 1 2 3 4
人数 3 13 16 17 1
（1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数：
（2）根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．
22．（2011•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．
©2010-2012 菁优网（I）如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；
（II）如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求 的值．
23．（2011•天津）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测
得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏
东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（ 取1.73，结果保留整数）．
24．（2011•天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求
完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行 解答即可．
某商品现在的售价为每件35元，毎天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．
请你帮助分析，当毎件商品降价多少元时，可使毎天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元，毎天的销售额为y元．
（I）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：
原价 每件降价1元 毎件降价2元 … 毎件降价x元
每件售价（元） 35 34 33 …
毎天销量（件） 50 52 54 …
（II）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
25．（2011•天津）在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时
针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
©2010-2012 菁优网（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
26．（2011•天津）已知抛物线 ，点F（1，1）．
（I）求抛物线C 的顶点坐标；
1
（II）①若抛物线C 与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C 于点B，求证： ．
1 1
②取抛物线C 上任意一点P（x ，y ）（0＜x ＜1），连接PF，并延长交抛物线C 于Q（x ，y ）．试判断 是否
1 P P P 1 Q Q
成立？请说明理由；
（III）将抛物线C 作适当的平移，得抛物线 ，若2＜x≤m时，y ≤x恒成立，求m的最大值．
1 2
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参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2011•天津）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
考点：特殊角的三角函数值。
分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．
解答：解：sin45°= ．
故选B．
点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．
2．（2011•天津）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形。
分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出
即可．
解答：解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；
故选：A．
点评：此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．
3．（2011•天津）根据第六次全国人口普査的统计，截止到2010年11月1日零时，我国总人口约为1 370 000 000人，
将1 370 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.137x1010 B．1.37xlO9 C．13.7x108 D．137x107
考点：科学记数法—表示较大的数。
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点
移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
解答：解：1 370 000 000=1.37×109．
故选B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关
键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2011•天津）估计 的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
考点：估算无理数的大小。
专题：计算题。
分析：根据特殊有理数找出 最接近的完全平方数，从而求出即可．
©2010-2012 菁优网解答：解：∵ ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4，
故选：C．
点评：此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出 最接近的完全平方数是解决问题的关键．
5．（2011•天津）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大
小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质。
专题：计算题。
分析：利用翻折变换的不变量，可以得到∠EBF为直角的一半．
解答：解：∵将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，
∴∠ABE=∠DBE=∠DBF=∠FBC，
∴∠EBF= ∠ABC=45°，
故选C．
点评：本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不
变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
6．（2011•天津）已知⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm和4cm，若O O =7cm，则⊙O 与⊙O 的位置关系是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
考点：圆与圆的位置关系。
专题：数形结合。
分析：根据⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm和4cm，得出R+r=7，再根据O O =7cm，得出⊙O 与⊙O 的位置关系．
1 2 1 2 1 2
解答：解：根据⊙O 与⊙O 的半径分别为3cm和4cm，
1 2
得出R+r=7，
∵O O =7cm，
1 2
∴得出⊙O 与⊙O 的位置关系是：外切．
1 2
故选：D．
点评：此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据R+r=O O =7cm，得出⊙O 与⊙O 的位置关系是解决问题的关键．
1 2 1 2
7．（2011•天津）如图是一支架（一种小零件），支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，则它的三视图是（ ）
©2010-2012 菁优网A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图。
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：先细心观察原立体图形的位置，
从正面看去，是一个矩形，矩形左上角缺一个角，
从左面看，是一个正方形，
从上面看，也是一个正方形，
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
8．（2011•天津）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙的成绩稳定 B．乙比甲的成绩稳定 C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定谁的
成绩更稳定
考点：方差；条形统计图。
专题：计算题；数形结合。
分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，
各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
解答：解：通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即
波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据
越稳定．
9．（2011•天津）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式
B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是
在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论：
①图象甲描述的是方式A；
②图象乙描述的是方式B；
③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．
其中，正确结论的个数是（ ）
©2010-2012 菁优网A．3 B．2 C．1 D．0
考点：函数的图象。
专题：应用题；数形结合。
分析：根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案．
解答：解：根据一次函数图象特点：
①图象甲描述的是方式A，正确，
②图象乙描述的是方式B，正确，
③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，正确，
故选A．
点评：本题主要考查了一次函数图象的特点，需要学生根据实际问题进行分析，难度适中．
10．（2011•天津）若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（ ）
A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0
考点：完全平方公式。
专题：计算题。
分析：首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．
解答：解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，
∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，
∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，
∴（x+z﹣2y）2=0，
∴z+x﹣2y=0．
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=（x+z﹣2y）2．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（2011•天津）﹣6的相反数是 6 ．
考点：相反数。
分析：求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
解答：解：根据相反数的概念，得
﹣6的相反数是﹣（﹣6）=6．
点评：此题考查了相反数的定义，互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相等．
12．（2011•天津）若分式 的值为0，则x的值等于 1 ．
考点：分式的值为零的条件。
专题：计算题。
分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
解答：解：由分式的值为零的条件得x2﹣1=0，x+1≠0，
由x2﹣1=0，得x=﹣1或x=1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x=1，
©2010-2012 菁优网故答案为1．
点评：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．（2011•天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为
y=x+ 1 （答案不唯一，可以是形如 y=kx+ 1 ， k ＞ 0 的一次函数） ．
考点：一次函数的性质。
专题：开放型。
分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大
确定出k的符号即可．
解答：解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而增大，
∴k＞0，
故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当
b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．
14．（2011•天津）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个
数为 3 ．
考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。
分析：由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且
EF=AD，EF=DB，DF∥BC且DF=CE，所以得到3个平行四边形．
解答：解：已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，
∴EF∥AB且EF=AD，EF=DB，
DF∥BC且DF=CE，
∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形，
故答案为：3．
点评：此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是有三角形中位线定理得出四边形的对边平行且
相等而判定为平行四边形．
15．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD交AC于点B，若OB=5，则BC等于 5 ．
考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形。
分析：在Rt△AOB中，已知了OB的长和∠A的度数，根据直角三角形的性质可求得OA的长，也就得到了直径AD
的值，连接CD，同理可在Rt△ACD中求出AC的长，由BC=AC﹣AB即可得解．
解答：解：连接CD；
Rt△AOB中，∠A=30°，OB=5，则AB=10，OA=5 ；
在Rt△ACD中，∠A=30°，AD=2OA=10 ，
©2010-2012 菁优网∴AC=cos30°×10
= ×10
=15，
∴BC=AC﹣AB=15﹣10=5．
点评：此题主要考查了直角三角形的性质和圆周角定理的应用，难度不大．
16．（2011•天津）同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 ．
考点：列表法与树状图法。
专题：计算题。
分析：首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可．
解答：解：列表得：
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
∴一共有6种等可能的结果，
两个骰子的点数相同的有6种情况，
∴两个骰子的点数相同的概率为： = ．
故答案为： ．
点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到
的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（2011•天津）如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长等于
15 ．
考点：等腰梯形的性质；多边形内角与外角；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边
三角形，进而求解．
解答：解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
©2010-2012 菁优网∴GC=BC=3，DP=DE=2．
∴GH=3+3+2=8，FA=HA=GH﹣AB﹣BG=8﹣1﹣3=4，EF=PH﹣HF﹣EP=8﹣4﹣2=2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．
故答案为15．
点评：本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解
题方法，注意学习并掌握．
18．（2011•天津）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．
（I）该正方形的边长为 （结果保留根号）
（II）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程： 如图，（ 1 ）
以 BM= 4 为直径作半圆，在半圆上取一点 N ，使 MN= 1 ，连接 BN ，由勾股定理，得 BN= ；
（ 2 ）以 A 为圆心， BN 长为半径画弧，交 CD 于 K 点，连接 AK ，
（ 3 ）过 B 点作 BE⊥AK ，垂足为 E ，
（ 4 ）平移△ ABE ，△ ADK ，得到四边形 BEFG 即为所求． ．
考点：作图—应用与设计作图。
专题：作图题。
分析：（I）设正方形的边长为a，则a2=3×5，可解得正方形的边长；
（II）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，则∠MNB=90°，由勾股定理，得BN=
= ，由此构造正方形的边长，利用平移法画正方形．
解答：解：（I）设正方形的边长为a，则a2=3×5，解得a= ；
（II）如图，
（1）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，由勾股定理，得BN= ；
（2）以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK，
©2010-2012 菁优网（3）过B点作BE⊥AK，垂足为E，
（4）平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求．
点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（2011•天津）解不等式组 ．
考点：解一元一次不等式组。
专题：计算题。
分析：先解每一个不等式，再求两个解集的公共部分即可．
解答：解：∵
不等式①移项，合并得x＞﹣6，
不等式②移项，合并得x≤2，
∴不等式组的解集为：﹣6＜x≤2．
点评：本题考查了解一元一次不等式组，解集的数轴表示法．关键是先解每一个不等式，再求解集的公共部分．
20．（2011•天津）已知一次函数y =x+b（b为常数）的图象与反比例函数 （k为常数，且k≠0 ）的图象相交于点P
1
（3，1）．
（I ）求这两个函数的解析式：
（II）当x＞3时，试判断y 与y 的大小，并说明理由．
1 2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：代数综合题；待定系数法。
分析：（I）利用待定系数法，将P（3，1）代入一次函数解析式与反比例函数解析式，即可得到答案；
（II）当x=3时，y =y =1，再利用函数的性质一次函数y 随x的增大而增大，反比例函数y 随x的增大而减小，可以判
1 2 1 2
断出大小关系．
解答：解：（1）∵点P（3，1）在一次函数y =x+b（b为常数）的图象上，
1
∴1=3+b，
解得：b=﹣2，
∴一次函数解析式为：y =x﹣2．
1
∵点P（3，1）在反比例函数 （k为常数，且k≠0 ）的图象上，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为：y = ，
2
（II）y ＞y ．理由如下：
1 2
当x=3时，y =y =1，
1 2
又当x＞3时，y 随x的增大而增大，反比例函数y 随x的增大而减小，
1 2
∴当x＞3时，y ＞y ．
1 2
点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式和函数的性质，凡是图象上的点，都能使函数解析式左右相等．
21．（2011•天津）在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查
了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数 0 1 2 3 4
人数 3 13 16 17 1
（1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数：
（2）根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．
©2010-2012 菁优网考点：用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数。
分析：（1）先根据表格提示的数据50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数，在这组样本数据中，3出现的
次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位
数是2；
（2）从表格中得知在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，所以可以估计该校八年级300名学生在本次活动中
读书多于2册的约有300× =108．
解答：解：（1）观察表格，可知这组样本数据的平均数是 = =2，
∴这组样本数据的平均数为2，
∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是3．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有 =2，
∴这组数据的中位数为2；
（2）∵在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，有300× =108．
∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名．
点评：本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
22．（2011•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB，OA、OB与⊙O分别交于点D、E．
（I）如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA的长（结果保留根号）；
（II）如图②，连接CD、CE，若四边形ODCE为菱形，求 的值．
考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。
专题：几何综合题。
分析：（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可；
（2）根据菱形的性质，求得OD=CD，则△ODC为等边三角形，可得出∠A=30°，即可求得 的值．
解答：解：（1）如图①，连接OC，则OC=4，
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，
∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10m，
得AC= AB=5．
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA= = = ；
（2）如图②，连接OC，则OC=OD，
∵四边形ODCE为菱形，∴OD=CD，
∴△ODC为等边三角形，有∠AOC=60°．
由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，
©2010-2012 菁优网∴OC= OA，∴ = ．
点评：本题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质，是一道综合题，要熟练掌握．
23．（2011•天津）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测
得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏
东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（ 取1.73，结果保留整数）．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题。
专题：几何图形问题。
分析：首先根据∠BAD=30°，得出BD= AD=150，进而利用解直角三角形求出BC的值即可．
解答：解：根据题意得：AB=300，
如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
在Rt△ADB中，
∵∠BAD=30°，
∴BD= AB=150，
Rt△CDB中，
∵sin∠DCB= ，
∴BC= = = ≈173，
答：此时游轮与望海楼之间的距离BC约为173m．
©2010-2012 菁优网点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据sin∠DCB= ，得出BC的长是解决问题的关键．
24．（2011•天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求
完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行 解答即可．
某商品现在的售价为每件35元，毎天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．
请你帮助分析，当毎件商品降价多少元时，可使毎天的销售额最大，最大销售额是多少？
设每件商品降价x元，毎天的销售额为y元．
（I）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：
原价 每件降价1元 毎件降价2元 … 毎件降价x元
每件售价（元） 35 34 33 …
毎天销量（件） 50 52 54 …
（II）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．
考点：二次函数的应用。
分析：（I）根据问题中的数量关系，用含x的式子填表即可；
（II）根据每天的销售额y=（35﹣x）（50+2x），再求出二次函数最值即可．
解答：解：（I）根据题意得：35﹣x，50+2x；
（II）根据题意得：每天的销售额y=（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35），
配方得：y=﹣2（x﹣5）2+1800，
∴当x=5时，y取得最大值1800．
答：当毎件商品降价5元时，可使毎天的销售额最大，最大销售额为1800元．
点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及列代数式等知识，根据题意得出每天的销售额与降价关系是解决问
题的关键．
25．（2011•天津）在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时
针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；旋转的性质。
分析：（1）过点D作DM⊥x轴于点M，求证△ADM∽△ABO，根据相似比求AM的长度，推出OM和MD的长度即可；
（2）根据等腰三角形的性质，推出α=180°﹣2∠ABC，结合已知条件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，即α=2β；
（3）做过点D作DM⊥x轴于点M，根据勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D点的横坐标和纵坐标，然后求出C点坐标，
就很容易得到CD的解析式了．
解答：解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= =5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
©2010-2012 菁优网则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有 ，
得 ，
∴OM= ，
∴ ，
∴点D的坐标为（ ， ）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°﹣2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD= = ，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=4x﹣3，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴9=9x2+（4x﹣3）2，
∴x= ，
∴D（ ， ），
∴直线AD的解析式为：y= x﹣ ，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=﹣ x+b，
则b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣ ．
©2010-2012 菁优网点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，本题关键在于
结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标．
26．（2011•天津）已知抛物线 ，点F（1，1）．
（I）求抛物线C 的顶点坐标；
1
（II）①若抛物线C 与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C 于点B，求证： ．
1 1
②取抛物线C 上任意一点P（x ，y ）（0＜x ＜1），连接PF，并延长交抛物线C 于Q（x ，y ）．试判断 是否
1 P P P 1 Q Q
成立？请说明理由；
（III）将抛物线C 作适当的平移，得抛物线 ，若2＜x≤m时，y ≤x恒成立，求m的最大值．
1 2
考点：二次函数综合题。
分析：（I）将抛物线C ：y = x2﹣x+1的一般式转化为顶点式，即可求得抛物线C 的顶点坐标；
1 1 1
（II）①由A（0，1），F（1，1），可得AB∥x轴，即可求得AF与BF的长，则问题得解；
②过点P（x
p
，y
p
）作PM⊥AB于点M，即可求得PF=y
p
，同理QF=y
Q
，然后由△PMF∽△QNF，根据相似三角形的对应边
成比例，即可求得答案；
（III）令y =x，设其图象与抛物线C 交点的横坐标为x ，x ′，且x ＜x ′，观察图象，随着抛物线C 向右下不断平移，
3 2 0 0 0 0 2
x ，x ′的值不断增大，当满足2＜x≤m，y ≤x恒成立时，m的最大值在x ′处取得．可得：当x =2时，所对应的x ′即为m
0 0 2 0 0 0
的最大值．
解答：解：（I）∵y = x2﹣x+1= （x﹣1）2+ ，
1
∴抛物线C 的顶点坐标为（1， ）；
1
（II）①证明：根据题意得：点A（0，1），
∵F（1，1），
∴AB∥x轴，得AF=BF=1，
∴ + =2；
©2010-2012 菁优网② + =2成立．
理由：
如图，过点P（x
p
，y
p
）作PM⊥AB于点M，
则FM=1﹣x ，PM=1﹣y ，（0＜x ＜1），
p p p
∴Rt△PMF中，由勾股定理，
得PF2=FM2+PM2=（1﹣x ）2+（1﹣y ）2，
p p
又点P（x ，y ）在抛物线C 上，
p p 1
得y = （x ﹣1）2+ ，即（x ﹣1）2=2y ﹣1，
p p p p
∴PF2=2y ﹣1+（1﹣y ）2=y 2，
p p p
即PF=y ，
p
过点Q（x
Q
，y
Q
）作QN⊥AB，与AB的延长线交于点N，
同理可得：QF=y ，
Q
∵∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ，
∴△PMF∽△QNF，
∴ ，
这里PM=1﹣y =1﹣PF，QN=y ﹣1=QF﹣1，
p Q
∴ ，
即 =2；
（III）令y =x，
3
设其图象与抛物线C 交点的横坐标为x ，x ′，且x ＜x ′，
2 0 0 0 0
∵抛物线C 可以看作是抛物线y= x2左右平移得到的，
2
观察图象，随着抛物线C 向右下不断平移，x ，x ′的值不断增大，
2 0 0
∴当满足2＜x≤m，y ≤x恒成立时，m的最大值在x ′处取得．
2 0
可得：当x =2时，所对应的x ′即为m的最大值．
0 0
于是，将x =2代入 （x﹣h）2=x，
0
有 （2﹣h）2=2，
解得：h=4或h=0（舍去），
∴y = （x﹣4）2．
2
此时，由y =y ，得 （x﹣4）2=x，
2 3
解得：x =2，x ′=8，
0 0
∴m的最大值为8．
©2010-2012 菁优网点评：此题考查了二次函数的一般式与顶点式的转化，相似三角形的判定与性质以及最大值等问题．此题综合性很强，
解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
©2010-2012 菁优网参与本试卷答题和审题的老师有：
zcx；bjf；疯跑的蜗牛；kuaile；gbl210；sjzx；ZHAOJJ；马兴田；CJX；zhangCF；sd2011；MMCH；冯延鹏；zhqd。（排名不
分先后）
菁优网
2012年5月2日
©2010-2012 菁优网
