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北京七年级下册数学期末知识点总结
第五章 相交线与平行线
一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关
系的两个角，互为邻补角。
2.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两
条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
3.对顶角相等。
二、垂线
1.垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2.垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条
直线的垂线。
3.垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4.垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1.同位角：在两条直线的上方，又在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的两个
角叫同位角。
2.内错角：在在两条直线之间，又在直线EF 的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
3.同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF 的同侧，具有这种位置关系的两
个角叫同旁内角。
四、平行线
(一)平行线
1.平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。a∥b（在同一平
面内，不相交的两条直线叫做平行线。）
2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论：①平行于同一直线的两条直线互相平行。
②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
(二)平行线的判定：
1.同位角相等，两直线平行。
2.内错角相等，两直线平行。
3.同旁内角互补，两直线平行。
(三)平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。3.两条直线平行，同旁内角互补。
(四)命题、定理
1.命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
2.命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果...，那么...”
的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的
部分是结论。
3.真命题：正确的命题，题设是成立，结论一定成立。
4.假命题：错误的命题，题设是成立，不能保证结论一定成立。
5.定理：经过推理证实得到的真命题。(定理可做为继续推理的依据)
(五)平移
1.平移：平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的
图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形
的形状和大小完全相同。
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应
点。连接各组对应点的线段平行且相等。
第六章 实数
一、算术平方根
1.算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作√a。0的算术平方根为0；
2.平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根(或
二次方根)。
3.开平方：求一个数a的平方根的运算(与平方互为逆运算)
4.平方根性质：正数有2个平方根（一正一负），它们是互为相反数；负数没有
平方根。
二、立方根
1.立方根：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么数x就叫做a的立方根(或
三次方根)。
2.开立方：求一个数a的立方根的运算(与立方互为逆运算)。
3.立方根性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。0的立方根是0；
三、实数
1.无理数：无限不循环小数。如：π、√2、√3
2.实数：有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。
第七章 平面直角坐标系
一、平面直角坐标系
(一)有序数对
1.有序数对
用两个数来表示一个确定个位置，其中两个数各自表示不同的意义，我们把这种
有顺序的两个数组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）
2.坐标：数轴(或平面)上的点可以用一个数(或数对)来表示，这个数(或数对)叫做这个点的坐标。
(二)平面直角坐标系
1.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。这样我
们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。
2.X轴：水平的数轴叫X轴或横轴。向右方向为正方向。
3.Y轴：竖直的数轴叫Y轴或纵轴。向上方向为正方向。
4.原点：两个数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点。
5.在平面直角坐标系中对称点的特点：
①关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
②关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。
③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐
标互为相反数。
(三)象限
1.象限：X轴和Y轴把坐标平面分成四个部分，也叫四个象限。右上面的叫做第
一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般，在x轴和y
轴取相同的单位长度。
2.象限的特点：
①特殊位置的点的坐标的特点：
（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。
（2）第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上
的点横、纵坐标互为相反数。（3）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴；如
果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。
②点到轴及原点的距离：
点到x轴的距离为|y|；
点到y轴的距离为|x|；
点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号；
③各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律：
第一象限：（+，+）
第二象限：（-，+）
第三象限：（-，-）
第四象限：（+，-）。
x轴正方向：（+，0）
x轴负方向：（-，0）
y轴正方向：（0，+)
y轴负方向：(0，-）。
坐标原点：（0，0）
x轴上的点纵坐标为0，y轴横坐标为0。
二、坐标方法的简单应用
(一)用坐标表示地理位置的过程：
1.建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定X轴和Y轴的正方向。
2.根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度。
3.在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。(二)用坐标表示平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，
相应的新图形就把原图形向右(左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标
都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就把原图形向上(下)平移a 个单位长度。
第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.二元一次方程：含有两个未知数的方程并且所含未知项的最高次数是1，这样
的整式方程叫做二元一次方程。
2.方程组：有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知
数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
3.二元一次方程组的解：二元一次方程的两个方程的公共解叫二元一次方程组的
解
8.2 消元
二元一次方程组有两种解法：一种是代入消元法，一种是加减消元法.
1.代入消元法：把二元一次方程中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的
式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的
解。
2.加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个
方程的两边分别相加或向减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
第九章 不等式与不等式组9.1 不等式
一、不等式及其解集
1.不等式：用不等号(包括：>、<、≠)表示大小关系的式子。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
3.不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围，叫不等式的解的集合，简
称解集。
不等式的基本性质：
性质1：如果a>b，b>c，那么a>c(不等式的传递性).
性质2：不等式的两边同加(减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。如果a>b，
那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3：不等式的两边同乘(除以)同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两
边同乘(除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b，c>0，那么ac>bc;如果a>b，c<0，ac<bc.(不等式的乘法法则）
性质4：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.(不等式的加法法则)
性质5：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(可乘性)
性质6：如果a>b>0，n∈N，n>1，那么an>bn，且.当0<n<1 时也成立.(乘方法则)
9.2 实际问题与一元一次不等式
1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式。
2.解一元一次不等式的一般方法：
可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出以两条
不等式组成的不等式组为例，
①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小”
②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等
式组的解集，此乃“同大取大”
③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若
x表示不等式的解集，此时一般表示为a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃“相交取中
④若两个未知数的解集在数轴上向背，那么不等式组的解集就是空集，不等式组
无解。此乃“向背取空”
9.3 一元一次不等式组
1.不等式组：几个含有相同未知数的不等式合起来，叫做不等式组。
2.不等式组的解：几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的
解集。解不等式组就是求它的解集。
3.解不等式组：先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用
数轴可以直观地表示不等式的解集。
第十章 数据的收集、整理与描述
1.数据的整理:我们利用划记法整理数据
2.数据的描述：为了更直观地看出上表中的信息，我们还可以用条形统计图和扇
形统计图来描述数据。
3.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
4.抽样调查：抽样调查是，一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选
一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。显然，抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的
信息资料，因而，也可起到全面调查的作用。
5.抽样调查分类：根据抽选样本的方法，抽样调查可以分为概率抽样和非概率抽
样两类。
概率抽样是按照概率论和数理统计的原理从调查研究的总体中，根据随机原则来
抽选样本，并从数量上对总体的某些特征作出估计推断，对推断出可能出现的误
差可以从概率意义上加以控制。习惯上将概率抽样称为抽样调查。
6.总体：要考察的全体对象称为总体。
7.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
8.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。为了使样本能够正确反映总体情况，
对总体要有明确的规定；总体内所有观察单位必须是同质的；在抽取样本的过程
中，必须遵守随机化原则；样本的观察单位还要有足够的数量。又称“子样”。按
照一定的抽样规则从总体中取出的一部分个体。
9.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
10.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。也称次数。
在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各
组内的测量值的数目，即落在各类别（分组）中的数据个数。
如有一组测量数据，数据的总个数 N=148 最小的测量值 x =0.03，最大的
min
测量值 x =31.67，按组距为△x=3.000 将 148 个数据分为 11 组，其中分布
max
在 15.05～18.05 范围内的数据有 26 个，则称该数据组的频数为 26。
11.频率：频数与数据总数的比为频率。在相同的条件下，进行了 n 次试验，
在这 n次试验中，事件 A发生的次数 n(A)称为事件 A发生的频数。比值 nA/n称为事件 A 发生的频率，并记为 fn(A)。用文字表示定义为：每个对象出现
的次数与总次数的比值是频率。
（1）当重复试验的次数 n 逐渐增大时，频率 fn(A)呈现出稳定性，逐渐稳
定于某个常数，这个常数就是事件 A 的概率.这种“频率稳定性”也就是通常
所说的统计规律性。
（2）频率不等同于概率。由伯努利大数定理，当 n 趋向于无穷大的时候，
频率 fn(A)在一定意义下接近于概率 P（A）。频率公式：频数\总体数量=
频率
12.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组
的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
13.频数分布直方图
14.列频数分布表的注意事项
运用频数分布直方图进行数据分析的时候，一般先列出它的分布表，其中
有几个常用的公式：各组频数之和等于抽样数据总数；各组频率之和等于 1；
数据总数×各组的频率=相应组的频数。
画频数分布直方图的目的，是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表
示出来，其中组距、组数起关键作用，分组过少，数据就非常集中；分组过多，数据就非常分散，这就掩盖了分布的特征，当数据在 100 以内时，
一般分 5~12 组。
15.直方图的特点
通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为比是一个常数，为了
画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直
方图。
它能：①清楚显示各组频数分布情况；②易于显示各组之间频数的差别。
16.制作频数分布直方图的步骤
（1）找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差。
（2）决定组距和组数。
（3）确定分点。
（4）列出频数分布表。
（5）画频数分布直方图。
