文档内容
1.1-1.3 幂的运算
同底数幂的乘法
知识点一
am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算；
②是乘法运算，切不可与加法运算混淆
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数;②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）.
同底数幂的乘法技巧
①计算同底数幂时，要求底数必须完全一样。当底数不相同时，可以通过化异底为同底，然后计算；
②逆用法则： am+n =am×an
幂的乘方
知识点二
(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数; (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数.
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数.
积的乘方
知识点三
(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，
再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）
同底数幂的除法
知识点四
am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
任何不等于0的数的0次幂都等于1。题型一 幂的基本运算
【例题1】下列计算正确的是（ ）
A．x8÷x4＝x2 B．x3•x4＝x12
C．（x3）2＝x6 D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6
【分析】A，符合同底数幂相除法则；B，同底数幂相乘底数不变指数相加；C，符合幂的乘方运算法则；
D，指数是偶次幂结果为正．
【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；
B：原式＝x7，∴B不符合要求；
C：符合幂的乘方运算法则，∴C符合要求；
D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．
故选：C．
解题技巧提炼
根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；
利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。【变式1-1】下列运算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．（﹣2a）3＝﹣6a3
1
C．a6÷a2＝a3 D．a﹣1= （a≠0）
a
【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数对各项进行运算
即可得出结果．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
1
D、a﹣1= （a≠0），故D符合题意．
a
故选：D．
【变式1-2】下列运算正确的是（ ）
A．a2•a4＝a8 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a5÷a3＝a2
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据
积的乘方运算法则进行计算判断C，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断D．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，故此选项不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；
C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；
D、a5÷a3＝a2，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】下面计算正确的是（ ）
A．3a+2b＝5ab B．（π−√3）0＝1
C．（﹣2a2）3＝﹣6a6 D．x3÷x•x﹣1＝x3
【分析】A．由3a和2b不是同类项，不能合并可得结果；
B．任何非零数的零指数幂等于1，可得结果；
C．根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；
D．先计算同底数幂的除法计算，再利用同底数幂的乘法进行计算即可．
【解答】解：A．3a和2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B．（π−√3）0＝1，计算正确，符合题意；C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，计算错误，不符合题意；
D．x3÷x•x﹣1＝x，计算错误，不符合题意；
故选：B．
题型二 幂的运算法则逆用（比较大小）
3 1
【例题2】若a＝（− ）﹣2，b＝（− ）0，c＝0.75﹣1，则（ ）
4 2
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
3 16 1 4
【解答】解：a＝（− ）﹣2= ，b＝（− ）0＝1，c＝0.75﹣1= ，
4 9 2 3
故a＞c＞b．
故选：D．
解题技巧提炼
化简成底数或同指数后进行比较.
【变式2-1】若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
1
【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=− ，c＝（﹣5）0＝1，
25
∴c＞a＞b．
故选：B．
【变式2-2】已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；
b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；
∴3124＞3123＞3122，
即a＞b＞c．
故选：A．
【变式2-3】（1）填空： 2=64；（2）比较 与 的大小．
【分析】（1）直接根据幂的乘方的逆运算进行求解；（2）将 与 化为指数相同的数，进而得出结论．
【解析】解（1）填空： ，故答案为：8；
（2）解：∵ ， ，∵ ，∴ ．
【变式2-4】233、418、810的大小关系是（用＞号连接）_____．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．
【解析】∵ ， ，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．故答案为：418＞233＞810
【变式2-5】比较 和 的大小．
【分析】先将 和 化成同底数幂，再进行大小比较．
【解析】解： 故 ．
题型三 幂的运算法则逆用（求代数式的值）
【例题3】已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为 5 0 ．
【分析】把同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方运算法则逆用，变形103a+2b﹣1代入计算，即可求出结果．
【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，
∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，
故答案为：50．解题技巧提炼
根据幂的运算的基础公式推导出结果，主要培养孩子的逆向思维.
64
【变式3-1】已知am＝2，an＝3，则（a3m﹣n）2＝ ．
9
【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：∵am＝2，an＝3，
∴a3m＝（am）3＝23＝8，
64
∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷an）2＝（8÷3）2= ．
9
64
故答案为： ．
9
【变式3-2】已知2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．
【分析】根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到a、b、c之间的关系；
【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴ ，
又∵ =50= ，∴a+b=c．故答案为：a+b=c．
【变式3-3】若 ，用含x 的代数式表示y，则y＝__________．
【分析】根据题意，得到 ，然后代入 ，即可得到 与 的关系式．
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，故填： ．
【变式3-4】（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；
（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．
【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；
（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；
（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，
∴3m﹣2n＝4，
∴2n﹣3m＝﹣4，
1
∴（﹣3）2n﹣3m=(−3) −4= ．
81
【变式3-5】（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．
【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，
∴4m+4＝16，
解得m＝3；
（2）∵n为正整数，且x2n＝2，
∴（3x3n）2﹣4（x2）2n
＝9x6n﹣4（x2n）2
＝9（x2n）3﹣4（x2n）2
＝9×23﹣4×22
＝9×8﹣4×4
＝72﹣16
＝56．
【变式3-6】已知： ， ， ．
（1）求 的值．（2）求 的值．（3）直接写出字母 、 、 之间的数量关系．
【分析】（1）直接将 代入计算即可；（2）逆运用同底数幂乘法和除法公式变形后代入计算即可；
（3）结合（1）中 ，再观察 ， ， 易得9×8=72，利用幂的乘方和同底数幂
乘法变形即可得出 ．
【详解】解（1）∵ ，∴ ；（2）∵ ， ， ，∴ ；
（3）∵ ，∴ ，即 ．
题型四 幂的运算法则逆用（整体带入）
【例题4】若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于 8 ．
【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由 3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3
整体代入即可．
【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，
∴3x+2y＝3，
∴8x•4y
＝23x•22y
＝23x+2y
＝23
＝8．
故答案为：8．
解题技巧提炼
把题中的已知当作一个整体，将问题换成同底数幂的运算，进行计算.
【变式4-1】若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝ 100 0 ．
【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，变形为4x﹣3y＝3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可．
【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，
∴4x﹣3y＝3，
∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．
故答案为：1000．【变式4-2】若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．
【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则求
解即可．
【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，
∴2x+3y﹣4z＝﹣1，
∴9x•27y÷81z
＝32x×33y÷34z
＝32x+3y﹣4z
＝3﹣1
1
= ．
3
【变式4-3】先化简，再求值
（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
5 1
（3）若x、y满足x2+ y2= ，xy=− ，求下列各式的值．
4 2
①（x+y）2；
②x4+y4．
【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；
（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；
（3）根据完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）∵2x+y＝1，
∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）
＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4
＝4x+2y﹣3
＝2（2x+y）﹣3
＝2﹣3
＝﹣1；
（2）∵x2n＝4，
∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；5 1
（3）①∵x2+ y2= ，xy=− ，
4 2
5 1 5 1
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy= +2×(− )= −1= ；
4 2 4 4
5 1
②∵x2+ y2= ，xy=− ，
4 2
5 1 25 1 17
∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=( ) 2−2×(− ) 2= − = ．
4 2 16 2 16
题型五 幂的运算法则（混合运算）
【例题5】计算．
（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．
1
（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（− ）﹣3．
2
【分析】（1）把4转化成底数为2，再根据同底数幂的乘法的法则与同底数幂的除法的法则进行运算即
可；
（2）根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则对式子进行运算即可．
【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2
＝22×22n÷22n﹣2
＝22+2n﹣2n+2
＝24
＝16；
1
（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（− ）﹣3．
2
＝1×1﹣5﹣（﹣8）
＝1﹣5+8
＝4．解题技巧提炼
根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；
利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系.
【变式5-1】以下运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由积的乘方判断A，由积的乘方运算判断B，由同底数幂的运算判断C，由积的乘方运算判断
D．
【解析】解： 故A错误； 故B错误；
，故C错误； ，故 D正确；故选D．
【变式5-2】下列选项中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据幂的运算法则依次判断即可.
【解析】A. ，故错误； B. ，故错误；
C. ，故错误； D. ，正确；故选D.
【变式5-3】计算：
（1）﹣22+20210+|﹣3|；
（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．
【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；
（2）分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】（1）原式＝﹣4+1+3
＝0；
（2）原式＝a6+a6﹣a6
＝a6．【变式5-4】计算：
1
（1）( ) −1−(5−π) 0−|−3|+2；
2
（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．
【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；
（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2
＝0；
（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6
＝2x6．
【变式5-5】计算：
（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；
1 1
（2）﹣（3×2﹣2）0+（− ）﹣3﹣4﹣2×（− ）﹣3．
2 4
【分析】（1）直接将原式化为同底数，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）
＝﹣（x﹣y）2；
1
（2）原式＝﹣1﹣8− ×（﹣64）
16
＝﹣1﹣8+4
＝﹣5．
【变式5-6】计算：（1） ；（2） ．
【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．
【解析】解：（1）原式 ；
（2）原式
题型六 幂的运算法则逆用（新定义问题）【例题6】规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果am＝b，那么a※b＝m．
例如：因为52＝25，所以5※25＝2；因为50＝1，所以5※1＝0．
1
（1）根据上述规定填空：2※16＝ 4 ；3※ = ﹣ 3 ．
27
（2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10＝8※90成立．
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴2※16＝4；
1
∵3−3= ，
27
1
∴3※ =−3．
27
故答案为：4；﹣3；
（2）设8※9＝x，8※10＝y，则8x＝9，8y＝10，
8x×8y＝8x+y＝90，
∴8※90＝x+y，
∵8※9+8※10＝x+y，
∴8※9+8※10＝8※90．
解题技巧提炼
利用题中已经给的运算规则进行计算.
【变式6-1】我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0 ，m、n为正整数），类似地我们规
定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）
=3×3=9，若h（2）=k（k≠0 ），那么h（2n）·h（2020）的结果是（ ）
A．2k+2020 B．2k+1010 C．kn+1010 D．1022k
【分析】根据h（2）=k（k≠0），以及定义新运算：h（m+n）=h（m）•h（n）将原式变形为kn•k1010，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
【解析】解：∵h（2）=k（k≠0），h（m+n）=h（m）•h（n），∴h（2）= h（1+1）=h(1) •h(1)=k（k≠0）
∴h（2n）= kn；
∴h（2n）•h（2020）=kn•k1010=kn+1010．故选：C．
【变式6-2】如果 ，则 ，例如： ，则， ．（1）根据上述规定，若 =
x，则x=_______；（2）记 ，求 之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意得到 ，求出x的值；（2）根据题意得到 ， ， ，再用
同底数幂的乘法运算法则进行列式，找到a、b、c的数量关系．
【解析】解：（1）根据定义的公式，由 得 ，
∵ ，∴ ，解得 ，故答案是：3；
（2）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，由 ，得 ，即 ，∴ ．
【变式6-3】先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若 且 ， ，则 叫做以 为底 的对数，记为 （即 ．
，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ．（1）计算以下各对数的值：
， ， ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系
式， 、 、 之间又满足怎样的关系式?（3）猜想一般性的结论：
且 ， ， ．
【分析】（1）根据材料叙述，结合22＝4，24＝16，26＝64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log 4、log 16、log 64之间满足的关系式；（3）设logM＝b，logN＝b，则ab1＝M，ab2＝N，分别表示出
2 2 2 a 1 a 2
MN及b＋b 的值，即可得出猜想．
1 2
【解析】（1）log 4＝2，log 16＝4，log 64＝6；（2）log 4＋log 16＝log 64；
2 2 2 2 2 2
（3）猜想logM＋logN＝log（MN）．证明：设logM＝b，logN＝b，则ab1＝M，ab2＝N，
a a a a 1 a 2
故可得MN＝ab1•ab2＝ab1＋b2，b＋b＝log（MN），即logM＋logN＝log（MN）．
1 2 a a a a
【变式6-4】规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因
为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ 5 ；
1
②若(x， )=−4，则x＝ ± 2 ．
16
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．
【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；
因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；
②由新定义的运算可得，
1
x﹣4= ，
16
1 1
因为（±2）﹣4= = ，
(±2) 4 16
所以x＝±2，
故答案为：①3，5；②±2；
（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，
因为5×6＝30，
所以4a•4b＝4c，
所以a+b＝c．
【变式6-5】规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为
23＝8，所以（2，8）＝3．
1
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ 3 ；（5，1）＝ 0 ；（2， ）＝ ﹣ 2 ；
4（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数 n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下
的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）
＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．
（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．
【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；
（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；
（3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）
＝x﹣y，从而得证．
【解答】解：（1）∵53＝125，
∴（5，125）＝3；
∵50＝1，
∴（5，1）＝0；
1
∵2−2= ，
4
1
∴（2， ）＝﹣2．
4
故答案为：3，0，﹣2；
（2）（16，10000）﹣（64，1000000）
＝（24，104）﹣（26，106）
＝（2，10）﹣（2，10）
＝0；
（3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y，
则3x＝20，3y＝4，
∴3x÷3y，
＝20÷4，
＝5，
∴3x﹣y＝5，
∴（3，5）＝x﹣y，
又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y，
∴（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）
