1.4整式的乘法-题型·技巧培优系列2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(北师大版)（解析版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（旧版）赠送

1.4 整式的乘法 单项式×单项式 知识点一 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式。 注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。 单项式×多项式 知识点二 根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：p(a+b+c)=pa+pb+pc 注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算， 仍应先算乘方，在算乘法。 多项式×多项式 知识点三 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。 注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需 要合并同类项，化为最简形式。题型一 整式乘法中的求值问题 【例题1】已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ） A．37 B．13 C．20 D．36 【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可． 【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq， ∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36， ∴p+q＝m，pq＝36， ∵36＝4×9，则p+q＝13， 36＝1×36，则p+q＝37， 36＝2×18，则p+q＝20， 36＝3×12，则p+q＝15， 36＝6×6，则p+q＝12， ∴p+q不可能为36，即m不可能为36． 故选：D． 解题技巧提炼 p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 【变式1-1】（1）已知： 则 的值是_____ （2）如果记 那么 _____ （3）若 则x=_____（4）若 则 _____ 【分析】（1）根据题意，得到 ；再将原式进行变形即可得出答案 （2）先设原式等于m，利用2m－m求出原式的值，最后将a代入即可 （3）根据幂的乘方运算公式对原式进行变形，然后进而的出答案 （4）采用赋值法进行计算 【解析】（1）由题意得： ； ∴ = = = = = =2001 （2）设 ，则 ； ∴ ，即 ∴原式= （3） = ∙ = =192 ∴ ∴ ∴ （4）当x=1时，1= ……① 当x=﹣1时， = ……② 当x=0时， 1= ①＋②= = 即 = ∴ = ＋1=﹣120 【变式1-2】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ） A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到 a、b的值，代入计算出代数式ab ﹣a+b的值． 【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10， ∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10． ∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10． ∴a＝2，b＝﹣3． ∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11． 故选：A． 【变式1-3】若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ． 【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可． 【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y） ＝1﹣2y﹣2x+4xy ＝1﹣2（x+y）+4xy， 当x+y＝2，xy＝﹣1时 原式＝1﹣2×2+4×（﹣1） ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【变式1-4】在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了 ﹣a，得到结果：2x2+14x+20． （1）求出a，b的值； （2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果． 【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝ 2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可； （2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可． 【解答】解：（1）甲错把b看成了6， （2x+a）（x+6） ＝2x2+12x+ax+6a ＝2x2+（12+a）x+6a ＝2x2+8x﹣24， ∴12+a＝8， 解得：a＝﹣4； 乙错把a看成了﹣a， （2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab ＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab ＝2x2+14x+20， ∴2b﹣a＝14， 把a＝﹣4代入，得b＝5； （2）当a＝﹣4，b＝5时， （2x+a）（x+b） ＝（2x﹣4）（x+5） ＝2x2+10x﹣4x﹣20 ＝2x2+6x﹣20． 题型二 整式乘法中的不含某项问题 【例题2】关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项． （1）分别求m，n的值． （2）求m2020n2021的值． 【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论． （2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值． 【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n， ＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2， 由题意 2m+1＝0，n﹣2＝0， 1 ∴m=− ，n＝2． 2 （2）原式＝m2020•n2020•n， ＝（m•n）2020•n， 1 由（1）得m=− ，n＝2， 2 1 原式＝（− ×2）2020×2， 2 ＝2．解题技巧提炼 先按照多项式乘以多项式将括号打开，再根据不含项的系数为0得到方程，解方 程即可得到答案. 【变式2-1】已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为( ) A．1 B．－1 C．－ D．0 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【解析】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0，解得m=0，故选：D． 【变式2-2】若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值． 【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得． 【解答】解：由题意： （x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n） ＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n ＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n． ∵乘积中不含x2和x3的项， ∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0． ∴m＝3，n＝17． ∴m+n＝20． 【变式2-3】已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项． （1）求m、n的值； （2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含 x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值； （2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然 后将（1）中所求m、n的值代入计算即可． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， { m+4=0 根据展开式中不含x2和x3项得： ， n−3m=0 {m=−4 解得： ． n=−12 即m＝﹣4，n＝﹣12； （2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 当m＝﹣4，n＝﹣12时， 原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792． 【变式2-4】【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的 值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关， 所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值； （2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值； 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方 形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S ，左下角的面积为S ，当AB的长变 1 2 化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 1 2 【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣ 3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简 3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案； （3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a），即可得到S ﹣S 关于x的代数式，根据 1 2 1 2 取值与x可得a＝2b． 【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m， ∵其值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， 3 解得，m= ， 2 3 答：当m= 时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关； 2 （2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1， ∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6 ＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6 ＝15xy﹣6x﹣9 ＝3x（5y﹣2）﹣9， ∵3A+6B的值与x无关， 2 ∴5y﹣2＝0，即y= ； 5 （3）设AB＝x，由图可知S ＝a（x﹣3b），S ＝2b（x﹣2a）， 1 2 ∴S ﹣S ＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab， 1 2 ∵当AB的长变化时，S ﹣S 的值始终保持不变． 1 2 ∴S ﹣S 取值与x无关， 1 2 ∴a﹣2b＝0 ∴a＝2b． 【变式2-5】先化简，再求值：已知代数式 化简后，不含有x2项和常数项.（1） 求a、b的值；（2）求 的值. 【分析】（1）先算多项式乘多项式，再合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可；（2）先化简原式，然后将a与b的值代入求出即可． 【解析】解：原式=2ax2+4ax-6x-12-x2-b= ， ∵代数式（ax-3）（2x+4）-x2-b化简后，不含有x2项和常数项．， ∴2a-1=0，-12-b=0， ∴ , ； (2) 解：∵a= ，b=-12， ∴（b-a）（-a-b）+（-a-b）2-a（2a+b）=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2-ab=ab= ×（-12）=-6． 题型三 整式乘法的计算 【例题3】计算： 1 3 1 （1）−12x2y⋅( x3y2− x2y+ ) 3 4 6 （2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2） 【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可． 1 3 1 【解答】解：（1）−12x2y⋅( x3y2− x2y+ ) 3 4 6 1 3 1 =−12x2y⋅ x3y2+12x2y⋅ x2y−12x2y⋅ 3 4 6 ＝﹣4x5y3+9x4y2﹣2x2y； （2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2） ＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10） ＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20 ＝5x+19．解题技巧提炼 根据整式乘法的法则，进行计算. 【变式3-1】计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据单项式乘以单项式法则求出即可． 【解析】解：2a2b3•（−3a）＝−6a3b3，故选：A． 【变式3-2】化简5a•（2a2﹣ab），结果正确的是（ ） A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b 【分析】按照单项式乘以多项式的运算法则进行运算即可． 【解析】解：5a•（2a2﹣ab）＝10a3﹣5a2b，故选：B． 【变式3-3】计算： 1 （1）2x2y（x− y+1）； 2 （2）（x﹣2y）（y﹣x）． 【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每 一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y； （2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy ＝3xy﹣x2﹣2y2． 【变式3-4】计算： （1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）． 【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y ＝﹣4x3+10x2y； （2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2． 【变式3-5】小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的 “﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9． （1）求a的值． （2）请计算出这道题的正确结果． 【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值； （2）列出正确的算式，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9； ∴1+4a＝13， 解得：a＝3； （2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9． 题型四 整式乘法的应用 【例题4】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均 显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）． 例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a． （1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ． （2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值． 【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25； B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16； （2）（﹣2a+25）（6a﹣16） ＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400， 当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400 ＝﹣84． 解题技巧提炼 根据题意列出代数式；再利用整式乘法法则进行计算 【变式4-1】我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系， 对几何图形做出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积 来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图 ①或图②等图形的面积表示． (1)填一填：请写出图③所表示的代数恒等式：______________________________； (2)画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2. 【分析】（1）由题意，等号的左边表示的是长方形的面积，等号的右边表示的是长方形里面的小图形的 面积和；故问题可求．（2）由（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2可知，图形的两个边长为a+b和a+3b；里边的 小图形有八个，一个面积为a2，4个面积为ab，3个面积为b2． aabbababa2 b2a2ababb2abab， 【解析】 (1)由题意,可得： 2aba2b2a2 5ab2b2. 2aba2b2a2 5ab2b2. 整理,得： 故答案为 aba3ba2 4ab3b2 (2)由 .可知,图形的两个边长为a+b和a+3b;里边的小图形有八个,一个面积 为a2,4个面积为ab,3个面积为b2.画图如下(答案不唯一)．【变式4-2】我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有 助于探索解决问题的思路． （1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为 a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ 的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ； （2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式． 【分析】（1）根据各部分的面积以及两种方式的面积相等的关系即可解答； （2）将（x+a）（x+b）展开即可；画一个长为x+b，宽x+a的长方形即可． (ab)(ab)a2 b2 a2 b2 【解析】解：（1） ，故答案为 ； (xa)(xb) x2 axbxab x2 axbxab （2） ，故答案为： ，画图如下： x b x x2 bx a ax ab 【变式 4-3】为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所 ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方 形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪． （1）求铺设草坪的面积是多少平方米； （2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可； （2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案． 【解答】解：（1）草坪的面积为： （3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2 ＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2 ＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）； （2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）． 【变式4-4】（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至 少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？ （2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方 米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除 门、窗所占的面积，忽略墙的厚度） 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖 的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求 出需要的钱数即可． 【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y） ＝3y2+4xy﹣2y2 ＝y2+4xy（平方米）． ∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）． （2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh， 两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh， ∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米）， ∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）． 【变式4-5】已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S ，S ． 1 2 （1）S 与S 的大小关系为：S S ． 1 2 1 2 （2）若一个正方形的周长与甲的周长相等． ①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）． ②若该正方形的面积为S ，试探究：S 与S 的差（即S ﹣S ）是否为常数？若为常数，求出这个常数， 3 3 2 3 2 如果不是，请说明理由． 【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解； （2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解； ②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解． 【解答】解：（1）由题意： S ＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12， 1 S ＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15， 2 ∵S ﹣S ＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0， 1 2 ∴S ＜S ， 1 2 故答案为：＜， （2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16， ∵正方形的周长与甲的周长相等，4m+16 ∴正方形的边长为 =m+4， 4 ②由①可得，正方形的面积S ＝（m+4）2， 3 ∴S ﹣S ＝（m+4）2﹣（m2+8m+15） 3 2 ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15 ＝1， ∴S 与S 的差（即S ﹣S ）是常数，这个常数是1． 3 2 3 2 题型五 整式乘法中的规律探究 【例题5】观察下列各式 （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 … （1）分解因式：x5﹣1＝ ； （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）； （3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）． 【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可； （2）利用得出的规律计算即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）； （2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1； （3）原式＝351﹣1． 故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn﹣1 解题技巧提炼 根据题目中的已知总结出一定的规律，进而解题【变式5-1】阅读下文，回答问题： 已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______; （1）计算上式并填空； （2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ； （3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）. 【分析】(1)根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；(2)观察式子特点可得规律（1-x）（1+x+x2+… 1xn1 +xn）= ；(3)根据（2）中的规律先计算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得结果. 1x3 1x4 【解析】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2- x-x2- x3= ;（1-x）（1+x+x2+x3）= ; 1xn1 （2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ； 3100 1 （3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)= 13100∴399+398+397…+32+3+1= 2 【变式5-2】探究规律，解决问题： （1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ． （2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程． （3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1 项多项式） （4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值． 【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案； （4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可． 【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1； （m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1； 故答案为：m2﹣1；m3﹣1； （2）（m﹣1）（m3+m2+m+1） ＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1 ＝m4﹣1； （3）（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…m2+m+1）＝mn+1﹣1； 故答案为：mn+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得： 1+3+32+33+…+3100 3101−1 = ， 3−1 3101−1 = ． 2 【变式5-3】观察以下等式： （x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1 （x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27 （x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216 … （1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3 （2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立． （3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2） 【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； （2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多 项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案； （3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可． 【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3； 故答案为：a2﹣ab+b2； （2）（a+b）（a2﹣ab+b2） ＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3 ＝a3+b3； （3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2） ＝x3+y3﹣（x3﹣y3） ＝2y3． 【变式5-4】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3 ＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始， 第2018个智慧数是_____． 【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智 慧数=m2-n2=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【解析】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1， 有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”． 对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）． 即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”． 对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数， 当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除； 当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾． 所以不存在自然数x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”． 因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693． 【变式5-5】探究应用： （1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ． （2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ． （3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ． A．（m+2）（m2+2m+4） B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2） C．（3﹣n）（9+3n+n2） D．（m﹣n）（m2+2mn+n2） （4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除． 【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可； （3）判断各选项是否符合公式的特点； （4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可． 【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1） ＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1 ＝x3﹣1； （2x﹣y）（4x2+2xy+y2） ＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3； 故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3； （2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3， 故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3； （3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意； B．最后一项应该是4n2，不符合题意； C．符合题意； D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意． 故选：C． （4）A＝109﹣1 ＝（103）3﹣1 ＝（103﹣1）（106+103+12） ＝999×1001001 ＝3×3×3×37×1001001， ∴A能被37整除