文档内容
1.4 整式的乘法
单项式×单项式
知识点一
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
单项式×多项式
知识点二
根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，
仍应先算乘方，在算乘法。
多项式×多项式
知识点三
先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需
要合并同类项，化为最简形式。题型一 整式乘法中的求值问题
【例题1】已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）
A．37 B．13 C．20 D．36
解题技巧提炼
p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
【变式1-1】（1）已知： 则 的值是_____
（2）如果记 那么 _____
（3）若 则x=_____
（4）若 则 _____
【变式1-2】若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）
A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55
【变式1-3】若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．
【变式1-4】在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了
﹣a，得到结果：2x2+14x+20．
（1）求出a，b的值；
（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．
题型二 整式乘法中的不含某项问题
【例题2】关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．
（1）分别求m，n的值．
（2）求m2020n2021的值．解题技巧提炼
先按照多项式乘以多项式将括号打开，再根据不含项的系数为0得到方程，解方
程即可得到答案.
【变式2-1】已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为( )
A．1 B．－1 C．－ D．0
【变式2-2】若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．
【变式2-3】已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【变式2-4】【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
【理解应用】
（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；
（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方
形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S ，左下角的面积为S ，当AB的长变
1 2
化时，S ﹣S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
1 2【变式2-5】先化简，再求值：已知代数式 化简后，不含有x2项和常数项.（1）
求a、b的值；（2）求 的值.
题型三 整式乘法的计算
【例题3】计算：
1 3 1
（1）−12x2y⋅( x3y2− x2y+
)
3 4 6
（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）
解题技巧提炼
根据整式乘法的法则，进行计算.
【变式3-1】计算 的结果是（ ）A． B． C． D．
【变式3-2】化简5a•（2a2﹣ab），结果正确的是（ ）
A．﹣10a3﹣5ab B．10a3﹣5a2b C．﹣10a2+5a2b D．﹣10a3+5a2b
【变式3-3】计算：
1
（1）2x2y（x− y+1）；
2
（2）（x﹣2y）（y﹣x）．
【变式3-4】计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【变式3-5】小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的
“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．
（1）求a的值．
（2）请计算出这道题的正确结果．
题型四 整式乘法的应用
【例题4】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均
显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．
（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．解题技巧提炼
根据题意列出代数式；再利用整式乘法法则进行计算
【变式4-1】我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，
对几何图形做出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的．课本上由拼图用几何图形的面积
来验证了乘法公式，一些代数恒等式也能用这种形式表示，例如(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图
①或图②等图形的面积表示．
(1)填一填：请写出图③所表示的代数恒等式：______________________________；
(2)画一画：试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a＋b)(a＋3b)＝a2＋4ab＋3b2.
【变式4-2】我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有
助于探索解决问题的思路．
（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为
a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，
Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ
的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ；（2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式．
【变式 4-3】为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所
ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方
形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．
（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；
（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？
【变式4-4】（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至
少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方
米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除
门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【变式4-5】已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S ，S ．
1 2
（1）S 与S 的大小关系为：S S ．
1 2 1 2
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S ，试探究：S 与S 的差（即S ﹣S ）是否为常数？若为常数，求出这个常数，
3 3 2 3 2
如果不是，请说明理由．
题型五 整式乘法中的规律探究
【例题5】观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
（1）分解因式：x5﹣1＝ ；（2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．
解题技巧提炼
根据题目中的已知总结出一定的规律，进而解题
【变式5-1】阅读下文，回答问题：
已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;
（1）计算上式并填空；
（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）= ；
（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的式子表示）.
【变式5-2】探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1
项多项式）
（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
【变式5-3】观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
【变式5-4】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3
＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，
第2018个智慧数是_____．
【变式5-5】探究应用：
（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为：
．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．
A．（m+2）（m2+2m+4）
B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）
C．（3﹣n）（9+3n+n2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．
