北京八年级下册数学知识点_24秋《初中各科知识点梳理》_初中数学《知识梳理》7-9年级上下册_北师大版数学7-9年级上下册知识点汇总_北师大数学7-9年级下册知识点汇总

北京数学八年级下册知识点 第十六章 二次根式 1.一般地，把形如 a ((a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 (一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。) 2.二次根式的性质：( a )2=a(a≥0)， a(a＞0) a2  a  0 (a=0)； a(a＜0) 3.因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用 它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分 解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因 式平方后移到根号里面。@ 4.二次根式的乘法法则： a × b = ab (a≥0,b≥0) 二次根式的乘法法则逆用： ab = a × b (a≥0,b≥0) a a 5.二次根式的除法法则： = (a≥0,b＞0) b b a a 二次根式的除法法规逆用： = (a≥0,b＞0) b b 6.最简二次根式：必须同时满足下列条件：①被开方数不含分母；②被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含根式@。 7.二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并。10.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就是同类二次根式。 11.有理数的加法交换律.结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以 及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。@ 第十七章 勾股定理 1.勾股定理 (命题1)如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那 么a2+b2=c2 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其 主要应用： (1)已知直角三角形的两边求第三边@ 在△ABC 中，∠C=90º，则c= a2  b2 ，a= c2 - b2 ，b= c2 - a2 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2.勾股定理的逆定理 (直角三角形的判定)(命题2)如果三角形的三边长 a.b.c，满 足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形@ 要点诠释： @简单初中生 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： (1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； (2)验证c 2 与 a 2 +b 2 是否具有相等关系，若 a 2 +b 2 =c 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2 > a 2 +b 2 ，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c 2 ﹤a 2 +b 2 ，则△ABC 为锐角三角形)。 (定理中 a 2 +b 2 =c 2 只是一种表现形式， 2 2 2 不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a + c = b ，那么以a，b， c为三边的三角形也是直角三角形，但是b为斜边) 3.命题2与命题1的题设.结论正好相反，这两个命题叫做互为逆命题，如果把其 中一个叫做原命题，@那么另一个叫做它的逆命题。 4.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 5.常见的勾股定理三边的组合@： 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 9 40 41 10 24 26 11 60 61 第十八章 平行四边形 四边形知识点： 一、关系结构图：二.知识点讲解： 1.平行四边形的性质(重点)： （1）两组对边分别平行；  （2）两组对边分别相等； D C   ABCD是平行四边形（ 3）两组对角分别相等； O  （  4）对角线互相平分； A B （ 5）邻角互补 .  2.平行四边形的判定(难点)： D C O A B .3.矩形的性质： （1）具有平行四边形的所有通性; D C  （ 2）四个角都是直角; 因为ABCD是矩形 O （  3）对角线相等. A B （  4）是轴对称图形，它有两条对称轴 4.矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； D C (3)对角线相等的平行四边形； A B (4)对角线相等且互相平分的四边形． 5.菱形的性质： D （1）具有平行四边形的所有通性；  因为ABCD是菱形 （  2）四个边都相等； A O C  （3）对角线垂直且平分对角.  B 6. 菱形的判定： D （1）平行四边形  一组邻边等  （2）四条边都相等  四边形ABCD 是菱形. A O C  （3）对角线垂直的平行四边形  B 7.正方形的性质： D C （1）具有平行四边形的所有通性；  ABCD是正方形（ 2）四个边都相等，四个角都是直角； O  （  3）对角线相等垂直且平分对角. A B D C 8. 正方形的判定： A B（1）平行四边形  一组邻边等一个直角  （2）菱形一个直角  四边形ABCD是正方形。  （3）矩形 一组邻边等  9.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线之间的距离。 10.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 11.三角形的中线: @三角形的一边中点与这边所对顶点的连线叫做三角形的中 线。 12.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行行三角形的第三边，并且等于第 三边的一半。 名称 定义 性质 判定 面积 两组对 1 对边平行； ①定义； S=ah(a为一边 边分别 ②对边相等； ②两组对边分别相等 长，h为这条边 平 平行的 ③对角相等； 的四边形； 上的高) 行 四边形 ④邻角互补； ③一组对边平行且相 四 叫做平 ⑤对角线互相平分； 等的四边形； 边 行四边 ⑥是中心对称图形 ④两组对角分别相等 形 形。 的四边形； ⑤对角线互相平分的 四边形。有一个 除具有平行四边形的性质 ①有三个角是直角的 S=ab(a为一边 角是直 外，还有：①四个角都是 四边形是矩形；②对 长，b为另一边 矩 角的平 直角；②对角线相等；③ 角线相等的平行四边 长) 形 行四边 既是中心对称图形又是轴 形是矩形；③有一个 形叫做 对称图形@。 角是直角的平行四边 矩形 形。 有一组 除具有平行四边形的性质 ①四条边相等的四边 ①S=ah(a为一 邻边相 外，还有①四边形相等； 形是菱形；②对角线 边长，h为这条 等的平 ②对角线互相垂直，且每 垂直的平行四边形是 边上的高)； 菱 行四边 一条对角线平分一组对 菱形；③有一组邻边 形 ② (b.c 形叫做 角；③既是中心对称图形 相等的平行四边形。 为两条对角线 又是轴对称图形 菱形。 的长)有一组 具有平行四边形.矩形.菱 ①有一组邻边相等的 ① (a为 邻边相 形的性质：①四个角是直 矩形是正方形；②有 边长)； 等且有 角，四条边相等；②对角 一个角是直角的菱形 ② (b 正 一个角 线相等，互相垂直平分， 是正方形；③有一个 为对角线长) 方 是直角 每一条对角线平分一组对 角是直角的平行四边 形 的平行 角；③既是中心对称图形 形且邻边相等。 四边形 又是轴对称图形@ 叫做正 方形 第十九章 一次函数 函数 1.变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2.函数：一般的，在一个变化过程中，@如果有两个变量 x和 y，并且对于x的 每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量 ，y是因变量，y是x的函数。 一个X对应两个Y值是错误的 *判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值 与之对应 3.定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4.确定函数定义域的方法： (1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数； (2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零； (3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； (4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； (5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，@使之有意义。5.函数的解 析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式。 6.函数的图像(函数图像上的点一定符合函数表达式,符合函数表达式的点一定在 函数图像上) 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横。 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 运用：求解析式中的参数、求函数解释式 7.描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值)； 函数表达式为y=3x -2 -1 -2 0 1 2 -6 -3 -6 0 3 6 第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐 标，描出表格中数值对应的各点)@； 第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起 来)。8.函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量 与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依 关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系@。（一）一次 函数 1.一次函数的定义 一般地，形如ykxb(k，b是常数(其中 k与 b 的形式较为灵活，但只要抓住函 数基本形式，准确找到 k 与b,根据题意求的常数的取值范围)，且k 0)的函数， 叫做一次函数，其中 x是自变量。当b0时，一次函数ykx，又叫做正比例函 数。 (1)一次函数的解析式的形式是 ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是 判断是否能化成以上形式。 (2)当b0，k 0时，ykx仍是一次函数。 (3)当b0，k 0时，它不是一次函数。 (4)正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。 2.正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，@其中k叫做比例系 数。 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零)①k不为零②x指数为1③b取零 当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0 时，直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。 (1)解析式：y=kx(k 是常数，k≠0) (2)必过点：(0，0)、(1，k) (3)走向：k>0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，图像经过二、四象限 (4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小 (5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 3.一次函数及性质 一般地，形如 y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数。当b=0时， y=kx＋b 即y=kx，@所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零)① k 不为零②x 指数为 1 ③ b 取任意 实数 b 一次函数y=kx+b 的图象是经过(0，b)和(- ，0)两点的一条直线，我们称它为直 k 线 y=kx+b，它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到。(当 b>0 时，向上 平移；当b<0 时，向下平移)y=kx +b 其中 b实际就是函数图象与坐标轴 Y 轴的 交点即当 x=0时。 b (1)解析式：y=kx+b(k.b是常数，k0) (2)必过点：(0，b)和(- ，0) k (3)走向： k  0 k  0  直线经过第一、二、三象限  直线经过第一、三、四象限 b  0 b  0 k  0 k  0  直线经过第一、二、四象限  直线经过第二、三、四象限 b  0 b  0 (4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；@k<0，y随x增大而减小。(5)倾斜度： |k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于 x轴。(6)图像的平移： 一次 k kxbk 0 函数 k，b k 0 k0 符号 b0 b0 b0 b0 b0 b0 图象 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 4.一次函数 y=kx＋b 的图象的画法. 在实际做题中只需要俩点就可以确定函数图像，一般我们令X=0 求出 Y的值， 再令Y=0求出X的值。如图 y=kx+b @简单初中生 (0,b) 解析：(两点确定一条直线，这两点我们 般确定在坐标轴上，因为X轴上所有坐 标点的纵坐标为0即(x,0)Y 轴上所有点的 (-b/k,0) 横坐标为0即(0，y)这样作图既快又准确 5.正比例函数与一次函数之间的关系 一次函数 y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx 平移|b|个单位 长度而得到(当b>0 时，向上平移；当b<0 时，向下平移) 6.正比例函数和一次函数及性质(正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数 是一次函数 b=0 的情况，所以可以说正比例函数是一次函数而一次函数未必是正比例函数) 正比例函数 一次函数 一般地，形如 y=kx(k 一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数， 是常数，k≠0)的函数叫 k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0 概 念 做正比例函数，其中k 时，是 y=kx，所以说正比例函数是一 叫做比例系数 种特殊的一次函数. 自变量 X为全体实数 范 围 图 象 一条直线 b 必过点 (0，0)、(1，k) (0，b)和(- ，0) k k>0 时，直线经过 k＞0，b＞0直线经过第一、二、三象限 一、三象限； k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限 k<0 时，直线经过 k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限 走 向 二、四象限 k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限 (k＞0 一、三 k＜0 二、四) (b＞0 一、二 b＜0 三、四) k>0，y随x的增大而增大；(从左向右上升) 增减性 k<0，y随x的增大而减小。(从左向右下降) 倾斜度 |k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 图像的 个单位；b<0 将直线y=kx 的图象向下平 平 移 移 b6.直线y  k xb (k  0)与 y  k xb (k  0)的位置关系 1 1 1 2 2 2 (1)两直线平行 k  k 且b  b (2)两直线相交 k  k 1 2 1 2 1 2 (3)两直线重合 k  k 且b b (4)两直线垂直 k k  1 1 2 1 2 1 2 7.用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； (2)将 x.y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定 系数为未知数的方程； (3)解方程得出未知系数的值； (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。 第二十章 数据的分析 一.数据的代表 1.算术平均数： 把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。 x  x  x 公式： 1 2 n n 使用：当所给数据x ，x ，…，x 中各个数据的重要程度相同时，一般使用该 1 2 n 公式计算平均数. 2.加权平均数： 若n个数x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，…，w ，则 1 2 n 1 2 n x w  x w  x w 1 1 2 2 n n ，叫做这n个数的加权平均数。 w w w 1 2 n 使用：当所给数据x ，x ，…，x 中各个数据的重要程度(权)不同时，一般选用 1 2 n加权平均数计算平均数。 权的意义：权就是权重即数据的重要程度。 常见的权：1)数值、2)百分数、3)比值、4)频数等。 3.组中值： 数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，统计中 常用各组的组中值代表各组的实际数据。 4.中位数： 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则 处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个 数据的平均数就是这组数据的中位数。 意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半。 5.众数： 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 特点：可以是一个也可以是多个。 用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量。 6.平均数、中位数、众数的区别：@简单初中生 平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易 受极端值的影响，但不能充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人 们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义。 二.数据的波动 1.极差： 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。2.方差： 各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2。用“先平均，再求差，然后平 方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差， 计算公式是：   1  2  2  2 s2  x  x  x  x  x  x n 1 2 n 意义：方差(s2)越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小。 结论：①当一组数据同时加上一个数a时，其平均数、中位数、众数也增加a, 而其方差不变； ②当一组数据扩大k倍时，其平均数、中位数和众数也扩大k倍，其方差扩大k2 倍。 3.标准差： 标准差是方差的算术平方根。  2  2  2 x  x  x  x  x  x s  1 2 n n