文档内容
2013年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（4分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣|﹣2|＝﹣2 B．（a2）3＝a5
C．2x2+3x2＝5x2 D．
3．（4分）如图所示的是三通管的立体图，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
5．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣2），则k的值为（ ）
A．4 B．﹣ C．﹣4 D．﹣2
6．（4分）下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
第1页（共20页）C． D．
7．（4分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的
坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
8．（4分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径
为（ ）
A．2 cm B．1.5cm C． cm D．1cm
9．（4分π）一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的π卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外
有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的
两张卡片上的数能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
AD是∠BAC的平分线； ∠ADC＝60°； 点D在AB的中垂线上； S△DAC ：S△ABC ＝
①1：3． ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
第2页（共20页）二、填空题：本大题共5个小题，每小题共4分，共20分，把答案填在题中的横线上．
11．（4分）我国南海海域的面积约为3600000km2，该面积用科学记数法应表示为
km2．
12．（4分）如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1＝
18°，那么∠2的度数是 ．
13．（4分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 边形．
14．（4分）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长
度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格
点上，则图中阴影部分的面积约是 ．（ ≈3.14，结果精确到0.1）
π
15．（4分）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按
照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 ．
三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算：|﹣3|+ ．
17．（7分）先化简，再求值： ，其中a＝ ．
18．（7分）解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来．
第3页（共20页）四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且
DE＝DF．求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
20．（9分）2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震．某厂接到在规
定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效
率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？
21．（9分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和
渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两
艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一
时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求
此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）
五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分）
22．（10分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各
选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的 5名选手的
决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
第4页（共20页）（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
初中部 85
高中部 85 100
23．（10分）四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会
安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B
两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量
和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件
是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均
按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应
是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y（元）和y（元）与参演男生人数x
1 2
之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．
六、（本大题2个小题，第24题10分，第25题12分，共22分）
24．（10分）如图，在 O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交 O于
点G，交过C的直⊙线于F，∠1＝∠2，连结CB与DG交于点N． ⊙
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）求证：△ACM⊙∽△DCN；
（3）若点M是CO的中点， O的半径为4，cos∠BOC＝ ，求BN的长．
⊙
第5页（共20页）25．（12分）如图，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0， ）．直线y
＝kx 过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y＝ x2+bx+c与直线y＝kx 的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行
线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC
是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与
x的函数关系式，并求出l的最大值．
第6页（共20页）2013年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求
1．【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】A、利用绝对值的代数意义计算得到结果，即可做出判断；
B、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、合并同类项得到结果，即可做出判断；
D、化为最简二次根式得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故A选项正确；
B、（a2）3＝a6，故B选项错误；
C、2x2+3x2＝5x2，故C选项正确；
D、 ＝2 ，故D选项正确．
故选：B．
【点评】此题考查了幂的乘方及积的乘方，绝对值，算术平方根，以及合并同类项，熟练掌
握运算法则是解本题的关键．
3．【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，结合选项进行判断即可．
【解答】解：所给图形的俯视图是A选项所给的图形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握俯视图是从上往下看得
到的视图．
4．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到
的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故A选项错
误；
第7页（共20页）B、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故B选项错误；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故C选项错误；
D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故
D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查
的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义
或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
5．【分析】把点（2，﹣2）代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣2），
∴k＝xy＝2×（﹣2）＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵
坐标的积应等于比例系数．
6．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋
转180度后与原图形重合．
7．【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特
征即可求解．
【解答】解：∵将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，
∴点A′的坐标为（﹣1，2），
∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．
故选：C．
第8页（共20页）【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于y轴对
称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减．
8．【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2 r＝ ，
π
解得：r＝1cm．
故选：D．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇
形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．【分析】先通过列表展示所有4种等可能的结果数，利用三角形三边的关系得到其中三个
数能构成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3共三种可能，然后根据概率的定义计算即可．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4
2，3 1，2，3 2，2，3 3，2，3 4，2，3
共有4种等可能的结果数，其中三个数能构成三角形的有2，2，3；3，2，3；4，2，3．
所以这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：先通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果
数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的定义计算这个事件的概率＝
．也考查了三角形三边的关系．
10．【分析】 根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
利用角平①分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度
②数；
利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质
③可以证明点D在AB的中垂线上；
利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面
④积之比．
【解答】解： 根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
第9页（共20页）
①故 正确；
①
如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
②∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝ ∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．
故 正确；
②
∵∠1＝∠B＝30°，
③∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故 正确；
③
∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，
④∴CD＝ AD，
∴BC＝CD+BD＝ AD+AD＝ AD，S△DAC ＝ AC•CD＝ AC•AD．
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ AC• AD＝ AC•AD，
∴S△DAC ：S△ABC ＝ AC•AD： AC•AD＝1：3．
故 正确．
综④上所述，正确的结论是： ，共有4个．
故选：D． ①②③④
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题
第10页（共20页）时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题共4分，共20分，把答案填在题中的横线上．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3600000用科学记数法表示为3.6×106．
故答案为3.6×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】根据三角形内角和定理可得∠1+∠3＝30°，则∠3＝30°﹣18°＝12°，由于
AB∥CD，然后根据平行线的性质即可得到∠2＝∠3＝12°．
【解答】解：如图，
∵∠1+∠3＝90°﹣60°＝30°，
而∠1＝18°，
∴∠3＝30°﹣18°＝12°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝12°．
故答案为12°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．
13．【分析】这个多边形的内角和是1260°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形
的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝1260，
解得n＝9．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
14．【分析】扇形BAB'的面积减去△BB'C'的面积即可得出阴影部分的面积．
第11页（共20页）【解答】解：由题意可得，AB＝BA'＝ ＝ ，∠ABA'＝90°，
S扇形BAA '＝ ＝ ，S△BA'C '＝ BC'×B'C'＝3，
则S阴影 ＝S扇形BAA '﹣S△BA'C '＝ ﹣3≈7.2．
故答案为：7.2．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是求出扇形的半径，及阴影部分面
积的表达式．
15．【分析】观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n
个图形的火柴棒的根数即可．
【解答】方法一：
解：第1个图形有8根火柴棒，
第2个图形有14根火柴棒，
第3个图形有20根火柴棒，
…，
第n个图形有6n+2根火柴棒．
故答案为：6n+2．
方法二：
当n＝1时，s＝8，当n＝2时，s＝14，当n＝3时，s＝20，
经观察，此数列为一阶等差，
∴设s＝kn+b，
，
∴ ，
∴s＝6n+2．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，查出前三个图形的火柴棒的根数，并观察出后一
个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键．
三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根等考点．针对每个考点
第12页（共20页）分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝3+ × ﹣2﹣1
＝3+1﹣2﹣1
＝1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、
立方根等考点的运算．
17．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ + •
＝ +
＝ ，
当a＝1+ 时，原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
18．【分析】分别解两个不等式得到x＞1和x≤﹣4，然后根据大于小的小于大的取中间确定
不等式组的解集，最后用数轴表示解集．
【解答】解： ，
由 得：x＞1
由①得：x≤4
所②以这个不等式的解集是1＜x≤4，
用数轴表示为
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取
大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
也考查了用数轴表示不等式的解集．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
第13页（共20页）19．【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得出∠A＝∠C，进而利用全等三角形的判定得
出即可；
（2）根据菱形的判定得出即可．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A＝∠C，
∵在△AED和△CFD中
∴△AED≌△CFD（AAS）；
（2）∵△AED≌△CFD，
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠A＝∠C
是解题关键．
20．【分析】设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，根据原来的时
间比实际多4天建立方程求出其解即可．
【解答】解：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，据题意得：
，
解得：x＝100．
经检验，x＝100是原分式方程的解．
答：该厂原来每天生产100顶帐篷．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据
第14页（共20页）生产过程中前后的时间关系建立方程是关键．
21．【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．
由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20× ＝10 （海里），
在Rt△BCD中，BC＝ ＝ ＝20 （海里）．
答：此时船C与船B的距离是20 海里．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并
利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
五、（本大题2个小题，每小题10分，共20分）
22．【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回
答；
（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；
（3）分别求出初中、高中部的方差即可．
【解答】解：（1）填表：初中平均数为： （75+80+85+85+100）＝85（分），
众数85（分）；高中部中位数80（分）．
（2）初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
第15页（共20页）（3）∵ ＝ [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
＝ [（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．
∴ ＜ ，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从
小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中
出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再
除以数据的个数．
23．【分析】（1）根据总费用＝男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就
可以分别表示出y （元）和y （元）与男生人数x之间的函数关系式；
1 2
（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当
y ＝y 时，当y ＜y 时，求出x的范围就可以求出结论．
1 2 1 2
【解答】解：（1）总费用y（元）和y（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：
1 2
y ＝0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200＝224x﹣4800，
1
y ＝0.8[100（3x﹣100）]＝240x﹣8000（x≥50）；
2
（2）由题意，得
当y ＞y 时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200
1 2
当y ＝y 时，即224x﹣4800＝240x﹣8000，解得：x＝200
1 2
当y ＜y 时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200
1 2
答：当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；
当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；
当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．
【点评】本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，
解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点．
六、（本大题2个小题，第24题10分，第25题12分，共22分）
24．【分析】（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO＝90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3＝∠2，∠4＝∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；
（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用
（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可．
第16页（共20页）【解答】（1）证明：∵△BCO中，BO＝CO，
∴∠B＝∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B＝90°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCO＝90°，
即∠FCO＝90°，
∴CF是 O的切线；
⊙
（2）证明：∵AB是 O直径，
∴∠ACB＝∠FCO＝9⊙0°，
∴∠ACB﹣∠BCO＝∠FCO﹣∠BCO，
即∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠D，
∴△ACM∽△DCN；
（3）解：∵ O的半径为4，即AO＝CO＝BO＝4，
在Rt△COE中⊙，cos∠BOC＝ ，
∴OE＝CO•cos∠BOC＝4× ＝1，
由此可得：BE＝3，AE＝5，由勾股定理可得：
CE＝ ＝ ＝ ，
AC＝ ＝ ＝2 ，
BC＝ ＝ ＝2 ，
∵AB是 O直径，AB⊥CD，
∴由垂径
⊙
定理得：CD＝2CE＝2 ，
∵△ACM∽△DCN，
∴ ＝ ，
第17页（共20页）∵点M是CO的中点，CM＝ AO＝ ×4＝2，
∴CN＝ ＝ ＝ ，
∴BN＝BC﹣CN＝2 ﹣ ＝ ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知
识，根据已知得出△ACM∽△DCN是解题关键．
25．【分析】（1）将A，B两点分别代入y＝ x2+bx+c进而求出解析式即可；
（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得
出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM＝CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求
出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：（1）∵y＝ x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0， ），
∴由此得 ，
解得 ．
∴抛物线的解析式是y＝ x2﹣ x+ ，
∵直线y＝kx﹣ 经过点A（2，0）
∴2k﹣ ＝0，
第18页（共20页）解得：k＝ ，
∴直线的解析式是y＝ x﹣ ，
（2）设P的坐标是（x， x2﹣ x+ ），则M的坐标是（x， x﹣ ）
∴PM＝（ x2﹣ x+ ）﹣（ x﹣ ）＝﹣ x2﹣ x+4，
解方程 得： ， ，
∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7 ），由y＝ x﹣ 得点C的坐标是（0，﹣
），
∴CE＝﹣ ﹣（﹣7 ）＝6，
由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM＝CE，即﹣ x2﹣ x+4＝6
解这个方程得：x ＝﹣2，x ＝﹣4，
1 2
符合﹣8＜x＜2，
当x＝﹣2时，y＝﹣ ×（﹣2）2﹣ ×（﹣2）+ ＝3，
当x＝﹣4时，y＝﹣ ×（﹣4）2﹣ ×（﹣4）+ ＝ ，
因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的
坐标是（﹣2，3）和（﹣4， ）；
（3）在Rt△CDE中，DE＝8，CE＝6 由勾股定理得：DC＝
∴△CDE的周长是24，
∵PM∥y轴，
第19页（共20页）∵∠PMN＝∠DCE，
∵∠PNM＝∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
化简整理得：l与x的函数关系式是：l＝﹣ x2﹣ x+ ，
l＝﹣ x2﹣ x+ ＝﹣ （x+3）2+15，
∵﹣ ＜0，
∴l有最大值，
当x＝﹣3时，l的最大值是15．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交
点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出 PM＝CE进而得出等式是解题
关键．
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