文档内容
2015年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣ 的倒数为（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．﹣1
2．（3分）为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了10台进行实验，在这个问题中样
本是（ ）
A．抽取的10台电视机 B．这一批电视机的使用寿命
C．10 D．抽取的10台电视机的使用寿命
3．（3分）中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（ ）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，
若∠BNE＝30°，则∠EMG等于（ ）
A．15° B．30° C．75° D．150°
5．（3分）下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为
6
6．（3分）如图，已知 O的周长为4 ， 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙ π π
A． ﹣2 B． ﹣ C． D．2
第1页（共30页）
π π π7．（3分）某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是（ ）
A．200 cm3 B．500 cm3 C．1000 cm3 D．2000 cm3
8．（3分）将π抛物线y＝﹣x2+2x+3π在x轴上方的部分沿x轴π翻折至x轴下方，图象π的剩余部分
不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（ ）
种．
A．6 B．5 C．4 D．3
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线
的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
10．（3分）如图，在一次函数y＝﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点
B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则
∠DCB＝（ ）
第2页（共30页）A．150° B．160° C．130° D．60°
12．（3分）已知m＝x+1，n＝﹣x+2，若规定y＝ ，则y的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：a3﹣a＝ ．
14．（3分）不等式组 的解集为 ．
15．（3分）在某次军事夏令营射击考核中，甲、乙两名同学各进行了5次射击，射击成绩如图
所示，则这两人中水平发挥较为稳定的是 同学．
16．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为
正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P ，P ，P ，…，P ，使OP ＝1，P P ＝3，
1 2 3 n 1 1 2
P 2 P 3 ＝5，…，P n﹣1 P n ＝2n﹣1（n为正整数），分别过点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n 向射线OA作垂线
段，垂足分别为点Q ，Q ，Q ，…，Q ，则点Q 的坐标为 ．
1 2 3 n n
17．（3分）下列四个命题中，正确的是 （填写正确命题的序号）
第3页（共30页）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；
①
函数y＝（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a＝ ；
②
半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；
③若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．
④三、解答题（共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：2﹣1+tan45°﹣|2﹣ |+ ÷ ．
19．（7分）如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且
∠ABM＝2∠BAM．
（1）求证：AG＝BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG ＝1，求三角形ADG的面积．
20．（11分）希望学校八年级共有4个班，在世界地球日来临之际，每班各选拔10名学生参加
环境知识竞赛，评出了一、二、三等奖各若干名，校学生会将获奖情况绘制成如图所示的
两幅不完整的统计图，请依据图中信息解答下列问题：
（1）本次竞赛获奖总人数为 人；获奖率为 ；
第4页（共30页）（2）补全折线统计图；
（3）已知获得一等奖的4人为每班各一人，学校采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加
上级团委组织的“爱护环境、保护地球”夏令营，请用列举法求出抽到的两人恰好来自二、
三班的概率．
21．（10分）如图，直线y＝x+1和y＝﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A
的双曲线y＝ （x＞0）与直线y＝﹣x+3的另一交点为点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
第5页（共30页）22．（10分）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里
料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡
季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套
的利润不低于30元．
设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润＝销售价﹣布料成本﹣固定费用）
①进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础
②上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对
VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个 VIP客户用9120元批发外套的
件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．
第6页（共30页）23．（11分）如图，已知BC是 O的弦，A是 O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，
M为 O上一点，并且∠B⊙MC＝60°． ⊙
（1）求⊙证：AB是 O的切线；
（2）若E，F分别是⊙边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°， O的半径为2，试问BE+CF
的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理⊙由．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y
轴交于点C，且OC＝OB．
第7页（共30页）（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求
出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好
也落在此抛物线上，求点P的坐标．
第8页（共30页）2015 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣ 的倒数为（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．﹣1
【考点】17：倒数．
【分析】直接根据倒数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵（﹣ ）×（﹣3）＝1，
∴﹣ 的倒数为﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2．（3分）为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了10台进行实验，在这个问题中样
本是（ ）
A．抽取的10台电视机
B．这一批电视机的使用寿命
C．10
D．抽取的10台电视机的使用寿命
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．
【分析】根据样本的定义即可得出答案．
【解答】解：根据样本的定义可知为了考察一批电视机的使用寿命，从中任意抽取了10台进
行实验，
则10台电视机的使用寿命是样本，
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的有关定义，掌握样本、总体、个体、样本容量等概念是解
题的关键．
3．（3分）中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（ ）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
第9页（共30页）【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：370000＝3.7×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于N，M两点，MG平分∠EMD，
若∠BNE＝30°，则∠EMG等于（ ）
A．15° B．30° C．75° D．150°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠MND的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠BNE＝30°，
∴∠DME＝∠BNE＝30°．
∵MG是∠EMD的角平分线，
∴∠EMG＝ ∠EMD＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5．（3分）下列事件发生的概率为0的是（ ）
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm
D．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为
6
【考点】X3：概率的意义．
第10页（共30页）【专题】11：计算题．
【分析】找出不可能事件，即为概率为0的事件．
【解答】解：事件发生的概率为0的是画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm．
故选：C．
【点评】此题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解本题的关键．
6．（3分）如图，已知 O的周长为4 ， 的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙ π π
A． ﹣2 B． ﹣ C． D．2
【考点】π MN：弧长的计算；MπO：扇形面积的计算．π
【分析】首先根据 O的周长为4 ，求出 O的半径是多少；然后根据 的长为 ，可得 的
⊙ π ⊙ π
长等于 O的周长的 ，所以∠AOB＝90°；最后用 O的面积的 减去△AOB的面积，求
⊙ ⊙
出图中阴影部分的面积为多少即可．
【解答】解：∵ O的周长为4 ，
∴ O的半径是⊙r＝4 ÷2 ＝2，π
∵⊙ 的长为 ， π π
π
∴ 的长等于 O的周长的 ，
⊙
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影 ＝ ＝ ﹣2．
π
故选：A．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关
键是要明确求阴影面积常用的方法： 直接用公式法； 和差法； 割补法．
7．（3分）某商品的外包装盒的三视图如①图所示，则这个包②装盒的体积③是（ ）
第11页（共30页）A．200 cm3 B．500 cm3 C．1000 cm3 D．2000 cm3
【考点】Uπ3：由三视图判断几何π体． π π
【分析】首先根据商品的外包装盒的三视图确定几何体的形状是圆柱，然后根据圆柱的体积
＝底面积×高，求出这个包装盒的体积是多少即可．
【解答】解：根据图示，可得
商品的外包装盒是底面直径是10cm，高是20cm的圆柱，
∴这个包装盒的体积是：
×（10÷2）2×20
π＝ ×25×20
＝π500 （cm3）．
故选：πB．
【点评】（1）此题主要考查了由三视图想象几何体的形状，首先分别根据主视图、俯视图和左
视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）此题还考查了圆柱的体积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：圆柱的体积＝
底面积×高．
8．（3分）将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分
不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（ ）
种．
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】首先根据题意画出函数图象，然后平移直线y＝k+b，找出两函数图象的交点个数即可．
【解答】解：如图1，所示：函数图象没有交点．
第12页（共30页）如图2所示：函数图象有1个交点．
如图3所示，图象有两个交点．
如图4所示函数图象有3个交点．
第13页（共30页）如图5所示，图象有4个交点．
综上所述，共有5种情况．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数图象的交点问题，根据题意画出函数图
象是解答此类问题的常用方法．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线
的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
第14页（共30页）【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；P2：轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CED＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三
角形的性质可得∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED＝
60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对
称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，
∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠B＝ ∠CED＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，等边
三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED＝60°．
10．（3分）如图，在一次函数y＝﹣x+6的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点
B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分两种情况： 当0＜x＜6时， 当x＜0时列出方程，分别求解即可．
【解答】解： 当0＜x①＜6时，设点P（x②，﹣x+6），
∴矩形PBOA的①面积为5，
∴x（﹣x+6）＝5，化简x2﹣6x+5＝0，解得x ＝1，x ＝5，
1 2
∴P （1，5），P （5，1），
1 2
当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），
②
第15页（共30页）∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x（﹣x+6）＝5，化简x2﹣6x﹣5＝0，解得x ＝3﹣ ，x ＝3+ （舍去），
3 4
∴P （3﹣ ，3+ ），
3
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，解题的关键是要分两种情况讨论求解．
11．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则
∠DCB＝（ ）
A．150° B．160° C．130° D．60°
【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质；L3：多边形内角与外角．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等
边三角形的三个角都是60°可得∠EAD＝60°，再求出∠BAD＝60°，然后根据等腰三角形
两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠E＝180°﹣∠EAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∴∠BAD＝∠EAB﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD＝ （360°﹣∠BAD）＝ （360°﹣60°）＝150°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角
形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是
解题的关键．
第16页（共30页）12．（3分）已知m＝x+1，n＝﹣x+2，若规定y＝ ，则y的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】F5：一次函数的性质．
【专题】16：压轴题；23：新定义．
【分析】根据x+1≥﹣x+2和x+1＜﹣x+2得出x的取值范围，列出关系式解答即可．
【解答】解：因为m＝x+1，n＝﹣x+2，
当x+1≥﹣x+2时，可得：x≥0.5，则y＝1+x+1+x﹣2＝2x，则y的最小值为1；
当x+1＜﹣x+2时，可得：x＜0.5，则y＝1﹣x﹣1﹣x+2＝﹣2x+2，则y＞1，
故选：B．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据题意列出关系式分析．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：a3﹣a＝ a （ a + 1 ）（ a ﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】44：因式分解．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分
解，注意要分解彻底．
14．（3分）不等式组 的解集为 ﹣ 1 ＜ x ≤ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
由 得x＞﹣1，
由①得x≤3．
②
第17页（共30页）故原不等式组的解集为﹣1＜x≤3．
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】此题考查的是解一元一次方程组的方法，解一元一次方程组应遵循的法则：“同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
15．（3分）在某次军事夏令营射击考核中，甲、乙两名同学各进行了5次射击，射击成绩如图
所示，则这两人中水平发挥较为稳定的是 甲 同学．
【考点】VC：条形统计图；W7：方差．
【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲和乙的平均数，
甲
＝
乙
＝7；再根据方差的计算
公式S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]计算出它们的方差，然后根据方差的意义
1 2 n
即可确定答案．
【解答】解：∵
甲
＝ （6+7+6+8+8）＝7，
乙
＝ （5+7+8+8+7）＝7；
∴S2
甲
＝ [（6﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2＝ ，
S2
乙
＝ [（5﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2＝ ；
∴S2
甲
＜S2
乙
，
∴甲在射击中成绩发挥比较稳定．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差的定义和意义：数据x ，x ，…x ，其平均数为 ，则其方差S2＝ （[ x
1 2 n 1
﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]；方差反映了一组数据在其平均数的左右的波动大小，方
2 n
差越大，波动越大，越不稳定；方差越小，波动越小，越稳定．
16．（3分）如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为
第18页（共30页）正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P ，P ，P ，…，P ，使OP ＝1，P P ＝3，
1 2 3 n 1 1 2
P 2 P 3 ＝5，…，P n﹣1 P n ＝2n﹣1（n为正整数），分别过点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n 向射线OA作垂线
段，垂足分别为点Q ，Q ，Q ，…，Q ，则点Q 的坐标为 （ n 2 ， n 2 ） ．
1 2 3 n n
【考点】D5：坐标与图形性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】2A：规律型．
【分析】利用特殊直角三角形求出OP 的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Q 的坐标．
n n
【解答】解：∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，
∴∠AOC＝30°，
又∵P n﹣1 P n ＝2n﹣1，P n Q n ⊥OA，
∴OQ n ＝ （OP 1 +P 1 P 2 +P 2 P 3 +…+P n﹣1 P n ）＝ （1+3+5+…+2n﹣1）＝ n2，
∴Q 的坐标为（ n2•cos60°， n2•sin60°），
n
∴Q 的坐标为（ n2， n2）．
n
故答案为：（ n2， n2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确的求出OQ 的值．
n
17．（3分）下列四个命题中，正确的是 （填写正确命题的序号）
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的①交④点；
①
函数y＝（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a＝ ；
②
半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为3；
③若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1．
④【考点】O1：命题与定理．
【专题】16：压轴题．
【分析】根据三角形的外心定义对 进行判断；利用分类讨论的思想对 进行判断；根据
① 第19页（共30页） ②③不等式的性质对 进行判断．
【解答】解：三角形④的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以 正确；
①
函数y＝（1﹣a）x2﹣4x+6与x轴只有一个交点，则a＝ 或1，所以 错误；
②
半径分别为1和2的两圆相切，则两圆的圆心距为1或3；
若对于任意x＞1的实数，都有ax＞1成立，则a的取值范围是a≥1，所以 正确．
故答案为： ． ④
【点评】本题①考④查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结
论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
三、解答题（共69分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（6分）计算：2﹣1+tan45°﹣|2﹣ |+ ÷ ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指数幂的计算法则分别计算
出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
【解答】解：原式＝ +1﹣（3﹣2）+3 ÷2
＝ ﹣1+
＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负整数指
数幂的计算法则是解答此题的关键．
19．（7分）如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且
∠ABM＝2∠BAM．
（1）求证：AG＝BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG ＝1，求三角形ADG的面积．
【考点】L8：菱形的性质．
第20页（共30页）【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD＝∠CBD，再根据∠ABM＝
2∠BAM，得出∠ABD＝∠BAM，然后根据等角对等边证明即可．
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABM＝2∠BAM，
∴∠ABD＝∠BAM，
∴AG＝BG；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴ ＝ ，
∵点M为BC的中点，
∴ ＝2，
∴ ＝（ ）2＝4
∵S△BMG ＝1，
∴S△ADG ＝4．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性
质定理是解题的关键．
20．（11分）希望学校八年级共有4个班，在世界地球日来临之际，每班各选拔10名学生参加
环境知识竞赛，评出了一、二、三等奖各若干名，校学生会将获奖情况绘制成如图所示的
两幅不完整的统计图，请依据图中信息解答下列问题：
（1）本次竞赛获奖总人数为 2 0 人；获奖率为 50% ；
（2）补全折线统计图；
（3）已知获得一等奖的4人为每班各一人，学校采取随机抽签的方式在4人中选派2人参加
上级团委组织的“爱护环境、保护地球”夏令营，请用列举法求出抽到的两人恰好来自二、
三班的概率．
第21页（共30页）【考点】VB：扇形统计图；VD：折线统计图；X6：列表法与树状图法．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）先利用扇形统计图计算出一等奖所占的百分比，然后用一等奖的人数除以它所
占百分比即可得到获奖总人数，再计算获奖率；
（2）分别计算出二、三等奖的人数，然后补全折线统计图；
（3）利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：（1）本次竞赛获奖总人数＝4÷ ＝20（人），获奖率＝ ×100%＝50%；
故答案为20；50%；
（2）三等奖的人数＝20×50%＝10（人），二等奖的人数＝20﹣4﹣10＝6（人），
折线统计图为：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两人恰好来自二、三班的有2种情况，
第22页（共30页）所以抽到的两人恰好来自二、三班的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
也考查了折线统计图和扇形统计图的应用，根据题意结合图形得出正确信息是解题关键．
21．（10分）如图，直线y＝x+1和y＝﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A
的双曲线y＝ （x＞0）与直线y＝﹣x+3的另一交点为点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△BCD的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）先通过解方程组 得A（1，2），然后把A（1，2）代入y＝ 中求出k的值即
可得到反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题，通过解方程组 得D（2，1），再利用x
轴上点的坐标特征确定B点和C点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）解方程组 得 ，
则A（1，2），
把A（1，2）代入y＝ 得k＝1×2＝2，
所以反比例函数解析式为y＝ ；
第23页（共30页）（2）解方程组 得 或 ，
则D（2，1），
当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，则B（﹣1，0）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则C（3，0），
所以△BCD的面积＝ ×（3+1）×1＝2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐
标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则
两者无交点．
22．（10分）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里
料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；
（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡
季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套
的利润不低于30元．
设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润＝销售价﹣布料成本﹣固定费用）
①进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础
②上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对
VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个 VIP客户用9120元批发外套的
件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．
【考点】8A：一元一次方程的应用；B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据成本为76元列方程
求解即可；
（2）设打折数为m，根据利润大于等于30元列不等式求解即可；
（3）设vip客户享受的降价率为x，然后根据VIP客户与普通用户批发件数相同列方程求解即
可．
【解答】解：（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米．
根据题意得：0.8x+1.2（2x+10）＝76．
解得：x＝20．
2x+10＝2×20+10＝50．
第24页（共30页）答：面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米．
（2）设打折数为m．
根据题意得：150× ﹣76﹣14≥30．
解得：m≥8．
∴m的最小值为8．
答：m的最小值为8．
（3）150×0.8＝120元．
设vip客户享受的降价率为x．
根据题意得： ，
解得：x＝0.05
经检验x＝0.05是原方程的解．
答；vip客户享受的降价率为5%．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程、一元一次不等式、分式方程的应用，找出题目的相
等关系和不等关系是解题的关键．
23．（11分）如图，已知BC是 O的弦，A是 O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，
M为 O上一点，并且∠B⊙MC＝60°． ⊙
（1）求⊙证：AB是 O的切线；
（2）若E，F分别是⊙边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°， O的半径为2，试问BE+CF
的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理⊙由．
【考点】KK：等边三角形的性质；MD：切线的判定．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）连结OB、OD、OC，如图1，由于D为BC的中点，根据垂径定理的推理得
OD⊥BC，∠BOD＝∠COD，再根据圆周角定理得∠BOD＝∠M＝60°，则∠OBD＝30°，所
以∠ABO＝90°，于是根据切线的判定定理得AB是 O的切线；
第25页（共30页）⊙（2）作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，根据等边三角形三角形的性质得AD
平分∠BAC，∠BAC＝60°，则利用角平分线性质得DH＝DN，根据四边形内角和得∠HDN
＝120°，由于∠EDF＝120°，所以∠HDE＝∠NDF，接着证明△DHE≌△DNF得到HE＝
NF，于是BE+CF＝BH+CN，再计算出BH＝ BD，CN＝ DC，则BE+CF＝ BC，于是可
判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半，再计算BC的长即可．
【解答】（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，
∵D为BC的中点，
∴OD⊥BC，∠BOD＝∠COD，
∴∠ODB＝90°，
∵∠BMC＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝∠M＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝60°
∴∠ABO＝60°+30°＝90°，
∴AB⊥OB，
∴AB是 O的切线；
（2）解⊙：BE+CF的值是为定值．
作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，
∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴DH＝DN，∠HDN＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠HDE＝∠NDF，
在△DHE和△DNF中，
，
∴△DHE≌△DNF，
∴HE＝NF，
第26页（共30页）∴BE+CF＝BH﹣EH+CN+NF＝BH+CN，
在Rt△DHB中，∵∠DBH＝60°，
∴BH＝ BD，
同理可得CN＝ OC，
∴BE+CF＝ DB+ DC＝ BC，
∵BD＝OB•cos30°＝ ，
∴BC＝2 ，
∴BE+CF的值是定值，为 ．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
也考查了等边三角形的性质．
24．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y
轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求
第27页（共30页）出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好
也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法
即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计
算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的
面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐
标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF
的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形
BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE的最
大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴
于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直
角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM
＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，
即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
第28页（共30页）∴OC＝3，
∴c＝3，
∴ ，
解得： ，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S四边形BOCE ＝ BF•EF+ （OC+EF）•OF，
＝ （a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）•（﹣a），
＝﹣ ﹣ a+ ，
＝﹣ （a+ ）2+ ，
∴当a＝﹣ 时，S四边形BOCE 最大，且最大值为 ．
此时，点E坐标为（﹣ ， ）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
当m≥0时，
①∴PA＝PA
1
，∠APA
1
＝90°，
如图3，过A 作A N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
1 1
∴∠NPA +∠MPA＝∠NA P+∠NPA ＝90°，
1 1 1
∴∠NA P＝∠NPA，
1
在△A NP与△PMA中，
1
第29页（共30页），
∴△A NP≌△PMA，
1
∴A N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
1
∴A （m﹣1，m+2），
1
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
当m＜0时，要使P A＝P A， ，由图可知A 点与B点重合，
2 2 2 2
②∵∠AP
2
A
2
＝90°，∴MP
2
＝MA＝2，
∴P （﹣1，﹣2），
2
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四
边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
第30页（共30页）
