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2013年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的。
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
2．（3分）已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小数表示为（ ）
A．0.000124 B．0.0124 C．﹣0.00124 D．0.00124
3．（3分）如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的
某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．三棱柱
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（2x）3÷x＝8x2
C．a÷a• ＝a D．
5．（3分）如图， O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于（ ）
⊙
A．10° B．20° C．40° D．80°
6．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高
楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（
）
第1页（共27页）A． B． C． D．
7．（3分）某校八年级二班的10名团员在“情系芦山”的献爱心捐款活动中，捐款情况如下
（单位：元）：10，8，12，15，10，12，11，9，13，10．则这组数据的（ ）
A．众数是10.5 B．方差是3.8 C．极差是8 D．中位数是10
8．（3分）适合不等式组 的全部整数解的和是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．（3分）如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长
可能是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
10．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长
线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝ ，则△CEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了
200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成
绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量
是200，其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．l个
12．（3分）如图，在 O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与
⊙
第2页（共27页）PB的延长线交于点Q，已知： O半径为 ，tan∠ABC＝ ，则CQ的最大值是（ ）
⊙
A．5 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分，将答案填在答卡对应的号后的横线上）
13．（3分）从1～9这9个自然数中任取一个，是3的倍数的概率是 ．
14．（3分）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 ．
15．（3分）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围是 ．
16．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的
半径为 ．
17．（3分）若 ，则 ＝ ．
18．（3分）已知二次函数的y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论： abc＜0；
b＜a+c； 4a+2b+c＞0； 2c＜3b； a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中①正确结论
②的序号有 ③ ． ④ ⑤
三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）计算： ．
第3页（共27页）20．（10分）为了了解学生对体育活动的喜爱情况，某校对参加足球、篮球、乒乓球、羽毛球这
四个课外活动小组的人员分布情况进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不
完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下里面问题：
（1）此次共调查了多少名同学？
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中的篮球部分的圆心角的度数；
（3）如果该校共有1000名学生参加这四个课外活动小组，而每个教师最多只能辅导本组
20名学生，请通过计算确定每个课外活动小组至少需要准备多少名教师？
21．（10分）如图，直线y＝kx+k（k≠0）与双曲线 交于C、D两点，与x轴交于点A．
（1）求n的取值范围和点A的坐标；
（2）过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC ＝4，求双曲线的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若AB＝ ，求点C和点D的坐标，并根据图象直接写出反比
例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．
第4页（共27页）22．（11分）一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20
天恰好完成任务，请问：
（1）乙队单独做需要多少天能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x天，乙队做另一部分工程用了
y天，若x、y都是整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实
际各做了多少天？
23．（14分）如图，已知AB是 O直径，BC是 O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过
点C作 O的切线与ED的⊙延长线交于点P⊙．
（1）求⊙证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO
三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知 O的半径为5，若点O到BC的距离为 时，求弦ED的
长． ⊙
第5页（共27页）24．（14分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴
上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点
上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax2+bx+c经过B、H、D三
点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作
PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM ＝S△BPM ？如果存在，
求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第6页（共27页）2013 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的。
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A．5 B． C．﹣ D．﹣5
【考点】15：绝对值．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义和性质，解题的关键是掌握绝对值的性质．
2．（3分）已知空气的单位体积质量为1.24×10﹣3克/厘米3，1.24×10﹣3用小数表示为（ ）
A．0.000124 B．0.0124 C．﹣0.00124 D．0.00124
【考点】1K：科学记数法—原数．
【专题】12：应用题．
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）．本题把数据“1.24×10﹣3
中1.24的小数点向左移动3位就可以得到．
【解答】解：把数据“1.24×10﹣3中1.24的小数点向左移动3位就可以得到为0.001 24．故
选D．
【点评】本题考查写出用科学记数法表示的原数．
将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n
位所得到的数．
把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作
为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
3．（3分）如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的
某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（ ）
第7页（共27页）A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．三棱柱
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【专题】1：常规题型．
【分析】几何体可分为柱体，锥体，球体三类，按分类比较即可．
【解答】解：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；球的三种视图都是圆
形．
故选：C．
【点评】本题考查几何体的分类和三视图的概念．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（2x）3÷x＝8x2
C．a÷a• ＝a D．
【考点】4C：完全平方公式；4H：整式的除法；6A：分式的乘除法；73：二次根式的性质与化
简．
【专题】11：计算题．
【分析】A、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；
B、先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式除单项式法则计算得到结果，即可作出
判断；
C、先计算除法运算，再计算乘法运算得到结果，即可作出判断；
D、利用平方根的定义化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，本选项错误；
B、（2x）3÷x＝8x3÷x＝8x2，本选项正确；
C、a÷a• ＝1• ＝ ，本选项错误；
D、 ＝|﹣4|＝4，本选项错误，
故选：B．
【点评】此题考查了整式的除法，完全平方公式，分式的乘除法，以及二次根式的化简，熟
练掌握公式及法则是解本题的关键．
第8页（共27页）5．（3分）如图， O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于（ ）
⊙
A．10° B．20° C．40° D．80°
【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理．
【分析】根据垂径定理得出弧DF＝弧DE，求出弧DE的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵ O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，
∴弧DF＝弧DE⊙，且弧的度数是40°，
∴∠DOE＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的
度数．
6．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高
楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（
）
A． B． C． D．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义
求得BD和CD，再根据BC＝BD+CD即可求解．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，
第9页（共27页）∴BD＝AD•tan30°＝120× ＝40 m，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，
∴CD＝AD•tan60°＝120× ＝120 m，
∴BC＝BD+CD＝40 +120 ＝160 m．
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角
形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
7．（3分）某校八年级二班的10名团员在“情系芦山”的献爱心捐款活动中，捐款情况如下
（单位：元）：10，8，12，15，10，12，11，9，13，10．则这组数据的（ ）
A．众数是10.5 B．方差是3.8 C．极差是8 D．中位数是10
【考点】W4：中位数；W5：众数；W6：极差；W7：方差．
【分析】根据众数、方差、极差、中位数的定义和公式分别进行计算，即可得出答案．
【解答】解：这组数据10，8，12，15，10，12，11，9，13，10中，10出现了3次，出现的次数最
多，
则众数是10；
平均数是（10+8+12+15+10+12+11+9+13+10）÷10＝11，
则方差＝ [3×（10﹣11）2+（8﹣11）2+2×（12﹣11）2+（15﹣11）2+（11﹣11）2+（9﹣11）
2+（13﹣11 ）2]＝3.8；
极差是：15﹣8＝7；
把这组数据从小到大排列为：8，9，10，10，10，11，12，12，13，15，
最中间两个数的平均数是（10+11）÷2＝10.5；
故选：B．
【点评】此题考查了众数、方差、极差、中位数，方差公式S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+
1 2
第10页（共27页）（x ﹣ ）2]，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或
n
最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．
8．（3分）适合不等式组 的全部整数解的和是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解，再相加即可．
【解答】解： ，
∵解不等式 得：x＞﹣ ，
①
解不等式 得：x≤1，
②
∴不等式组的解集为﹣ ＜x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，
﹣1+0+1＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的应用，关键是求出不等
式组的整数解．
9．（3分）如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长
可能是（ ）
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
【考点】K6：三角形三边关系；KX：三角形中位线定理．
【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于8，原三角形的周长大于10小
于16，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于 5而
小于8，看哪个符合就可以了．
【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a＝3，b＝5，
∴2＜c＜8，
∴10＜三角形的周长＜16，
∴5＜中点三角形周长＜8．
故选：A．
第11页（共27页）【点评】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周
长范围是解题的关键．
10．（3分）如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长
线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝ ，则△CEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE＝∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE
＝∠BEA，等量代换后可证得AB＝BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合
一”的性质得出AE＝2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE
的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比
的平方即可得到答案．
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE＝∠BAE，
∴AB＝BE＝6，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE＝2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB＝90°，AB＝6，BG＝4 ，
∴AG＝ ＝2，
∴AE＝2AG＝4；
∴S△ABE ＝ AE•BG＝ ×4×4 ＝8 ．
∵BE＝6，BC＝AD＝9，
∴CE＝BC﹣BE＝9﹣6＝3，
第12页（共27页）∴BE：CE＝6：3＝2：1．
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S△ABE ：S△CEF ＝（BE：CE）2＝4：1，
则S△CEF ＝ S△ABE ＝2 ．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌
握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
11．（3分）为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了
200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成
绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量
是200，其中说法正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．l个
【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中
所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分这四个概念时，
首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，
最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：本题中的个体是每个考生的数学会考成绩，样本是200名考生的数学会考成绩，
故（2）和（3）错误；
总体是我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，样本容量是200．故
（1）和（4）正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是确定总体、个体和样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表
示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”
第13页（共27页）12．（3分）如图，在 O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与
⊙
PB的延长线交于点Q，已知： O半径为 ，tan∠ABC＝ ，则CQ的最大值是（ ）
⊙
A．5 B． C． D．
【考点】M5：圆周角定理；M6：圆内接四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据圆周角定理的推论由AB为 O的直径得到∠ACB＝90°，再根据正切的定义
⊙
得到 tan∠ABC＝ ＝ ，然后根据圆周角定理得到∠A＝∠P，则可证得
△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ＝ •PC＝ PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最
长，然后把PC＝5代入计算即可．
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴AB＝5，∠ACB＝90⊙°，
∵tan∠ABC＝ ，
∴ ＝ ，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ＝90°，
而∠A＝∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴ ＝ ，
第14页（共27页）∴CQ＝ •PC＝ PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为 O的直径时，CQ最大，此时CQ＝ ×5＝ ．
⊙
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．
二、填空题（每小题3分，共18分，将答案填在答卡对应的号后的横线上）
13．（3分）从1～9这9个自然数中任取一个，是3的倍数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
【专题】11：计算题．
【分析】先从1～9这九个自然数中找出是3的倍数的有3、6、9共3个，然后根据概率公式
求解即可．
【解答】解：1～9这九个自然数中，是3的倍数的数有：3、6、9，共3个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是3的倍数的概率是：3÷9＝ ．
故答案为 ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
14．（3分）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 5 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到
边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于108°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣108°＝72°，
∴边数n＝360°÷72°＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．
15．（3分）已知关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围是 m ＞﹣ 6 且 m ≠﹣ 4
第15页（共27页）．
【考点】B2：分式方程的解．
【分析】首先求出关于x的方程 的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取
值范围．
【解答】解：解关于x的方程 得x＝m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关
键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
16．（3分）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的
半径为 ．
【考点】MN：弧长的计算．
【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得．
【解答】解： ，解得r＝ ．
故答案为： ．
【点评】解答本题的关键是有确定底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的
弧长公式和圆的周长公式求值．
17．（3分）若 ，则 ＝ 6 ．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；4C：完全平方公式．
【专题】11：计算题；16：压轴题；36：整体思想．
【分析】根据非负数的性质先求出a2+ 、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵ ，
第16页（共27页）∴ +（b+1）2＝0，
∴a2﹣3a+1＝0，b+1＝0，
∴a+ ＝3，
∴（a+ ）2＝32，
∴a2+ ＝7；
b＝﹣1．
∴ ＝7﹣1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出a2+
的值．
18．（3分）已知二次函数的y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论： abc＜0；
b＜a+c； 4a+2b+c＞0； 2c＜3b； a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中①正确结论
②的序号有 ③ ． ④ ⑤
①③④
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
【专题】16：压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根
据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解： 由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；
当x＝﹣1时①，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
③
第17页（共27页）当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣ ＝1，
④
即a＝﹣ ，代入得9（﹣ ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
⑤而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故 正确．
故①答案③为④： ．
【点评】此题①主③要④考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符
号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算乘方，化简二次根式，去掉绝对值符号，然后进行乘法，加减即可．
【解答】解：原式＝﹣1+4﹣3 +3+3× ，
＝﹣1+4+3，
＝6．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握二次根式的化简，正确记忆特殊角的三角函数值．
20．（10分）为了了解学生对体育活动的喜爱情况，某校对参加足球、篮球、乒乓球、羽毛球这
四个课外活动小组的人员分布情况进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不
完整的统计图，请根据图中提供信息，解答下里面问题：
（1）此次共调查了多少名同学？
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中的篮球部分的圆心角的度数；
（3）如果该校共有1000名学生参加这四个课外活动小组，而每个教师最多只能辅导本组
20名学生，请通过计算确定每个课外活动小组至少需要准备多少名教师？
第18页（共27页）【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）用足球小组的人数除以对应的百分比即可求解；
（2）用总人数减去其他三个小组的人数可求得参加羽毛球项目的人数，从而将条形统计图
补充完整；用篮球项目人数与总人数的百分比，再乘以360度即可求出扇形统计图中的篮
球部分的圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体的方法求出各小组的人数，再除以20即可解答．
【解答】解：（1）90÷45%＝200．
故此次共调查了200名同学；
（2）由200﹣20﹣30﹣90＝60为参加羽毛球项目的学生数，所以补全的条形图如下所示；
参加篮球项目的学生数占20÷200＝10%，所以扇形统计图中篮球部分的圆心角的度数为：
360°×10%＝36°；
（3）足球组：1000×45%÷20＝22.5，至少需要准备23名教师；
篮球组：1000×10%÷20＝5，至少需要准备5名教师；
乒乓球组：30÷200×1000÷20＝7.5，至少需要准备8名教师；
羽毛球组：60÷200×1000÷20＝15人，至少需要准备15名教师．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
第19页（共27页）21．（10分）如图，直线y＝kx+k（k≠0）与双曲线 交于C、D两点，与x轴交于点A．
（1）求n的取值范围和点A的坐标；
（2）过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC ＝4，求双曲线的解析式；
（3）在（1）（2）的条件下，若AB＝ ，求点C和点D的坐标，并根据图象直接写出反比
例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】11：计算题．
【分析】（1）由反比例函数图象位于第二、四象限，得到比例系数小于0列出关于n的不等
式，求出不等式的解集即可得到n的范围，对于直线解析式，令y＝0求出x的值，确定出A
的坐标即可；
（2）设C（a，b），表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积列出关于a与b的关系式，利
用反比例函数k的几何意义即可求出k的值，确定出反比例解析式；
（3）由CB垂直于y轴，得到B，C纵坐标相同，即B（0，b），在直角三角形AOB中，由AB
与OA的长，利用勾股定理求出OB的长，确定出B坐标，进而确定出C坐标，将C代入直
线解析式求出k的值，确定出一次函数解析式，与反比例解析式联立求出D的坐标，由C，
D两点的横坐标，利用图象即可求出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量x的取
值范围．
【解答】解：（1）由图象得：n+1＜0，
解得：n＜﹣1，
由y＝kx+k，令y＝0，解得：x＝﹣1，
则A坐标为（﹣1，0）；
第20页（共27页）（2）设C（a，b），
∵S△ABC ＝ a•（﹣b）＝4，
∴ab＝﹣8，
∵点C在双曲线上，
∴y＝﹣ ；
（3）∵CB⊥y轴，∴B（0，b），
在Rt△AOB中，AB＝ ，OA＝1，
根据勾股定理得：OB＝4，
∴B（0，﹣4），
∴C（2，﹣4），
将C代入直线y＝kx+k中，得：2k+k＝﹣4，即k＝﹣ ，
∴直线AC解析式为y＝﹣ x﹣ ，
联立直线与反比例解析式得： ，
解得： 或 ，
∴D（﹣3， ），
则由图象可得：当x＜﹣3或0＜x＜2时，反比例函数的值小于一次函数的值．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待
定系数法是解本题的关键．
22．（11分）一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20
天恰好完成任务，请问：
（1）乙队单独做需要多少天能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x天，乙队做另一部分工程用了
y天，若x、y都是整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实
第21页（共27页）际各做了多少天？
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】（1）根据题意，甲工作20天完成的工作量+乙工作50天完成的工作量＝1．
（2）根据 甲完成的工作量+乙完成的工作量＝1 得x与y的关系式；根据x、y的取值范围
得不等式，求整数解．
【解答】解：（1）设乙队单独做需要m天完成任务．
根据题意得 ×20+ ×（30+20）＝1．
解得m＝100．
经检验m＝100是原方程的解．
答：乙队单独做需要100天完成任务．
（2）根据题意得 + ＝1．
整理得 y＝100﹣ x．
∵y＜70，∴100﹣ x＜70．
解得 x＞12．
又∵x＜15且为整数，
∴x＝13或14．
当x＝13时，y不是整数，所以x＝13不符合题意，舍去．
当x＝14时，y＝100﹣35＝65．
答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天．
【点评】此题考查分式方程的应用及不定方程求特殊解，综合性强，难度大．
23．（14分）如图，已知AB是 O直径，BC是 O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过
点C作 O的切线与ED的⊙延长线交于点P⊙．
（1）求⊙证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO
三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知 O的半径为5，若点O到BC的距离为 时，求弦ED的
长． ⊙
第22页（共27页）【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG＝90°，由ED⊥AB
得∠B+∠BGF＝90°，而∠B＝∠OCG，所以∠PCG＝∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF＝
∠PGC，
于是∠PGC＝∠PCG，所以PC＝PG；
（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG＝CG，易证得
Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF＝BO：BG，即BG2＝BO•BF，把BG用CG代换得到CG2
＝BO•BF；
（3）解：连结OE，OG＝OG＝ ，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG＝2 ，再利
用BG2＝BO•BF可计算出BF，从而得到OF＝1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF
＝2 ，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF＝DF，于是有DE＝2EF＝4 ．
【解答】（1）证明：连结OC，如图，
∵PC为 O的切线，
∴OC⊥P⊙C，
∴∠OCG+∠PCG＝90°，
∵ED⊥AB，
∴∠B+∠BGF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCG，
∴∠PCG＝∠BGF，
而∠BGF＝∠PGC，
∴∠PGC＝∠PCG，
∴PC＝PG；
第23页（共27页）（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2＝BO•BF．理由如下：
连结OG，如图，
∵点G是BC的中点，
∴OG⊥BC，BG＝CG，
∴∠OGB＝90°，
∵∠OBG＝∠GBF，
∴Rt△BOG∽Rt△BGF，
∴BG：BF＝BO：BG，
∴BG2＝BO•BF，
∴CG2＝BO•BF；
（3）解：连结OE，如图，
由（2）得OG⊥BC，
∴OG＝ ，
在Rt△OBG中，OB＝5，
∴BG＝ ＝2 ，
由（2）得BG2＝BO•BF，
∴BF＝ ＝4，
∴OF＝1，
在Rt△OEF中，EF＝ ＝2 ，
∵AB⊥ED，
∴EF＝DF，
∴DE＝2EF＝4 ．
第24页（共27页）【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了垂径定理以及
推论、勾股定理以及三角形相似的判定与性质．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴
上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点
上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
（1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax2+bx+c经过B、H、D三
点，求抛物线解析式；
（3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作
PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM ＝S△BPM ？如果存在，
求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先由折叠性质得到∠CBD＝∠DBE＝∠ABE＝30°，然后解直角三角形得到
点D、点B的坐标，最后用待定系数法求出直线BD的解析式；
（2）点B、D坐标已经求出，关键是求出点H的坐标．在Rt△FGE中，解直角三角形求出点
H的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）由S△BNM ＝S△BPM ，且这两个三角形等高，所以得到PM＝MN．由此结论，列出方程求
出点P的坐标．
【解答】解：（1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD＝∠DBE．
又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE＝∠ABE．
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠ABE＝30°．
第25页（共27页）在Rt△DOE中，∠ODE＝60°，∴DE＝CD＝2OD．
∵OC＝OD+CD＝6，∴OD+2OD＝6，
∴OD＝2，D（0，2），
∴CD＝4．
在Rt△CDB中，BC＝CD•tan60°＝ ，∴B（ ，6）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
由题意得： ，解得 ，
∴直线BD的解析式为：y＝ x+2．
（2）在Rt△FGE中，∠FEG＝60°，FE＝AE．
由（1）易得：OE＝ ，
∴FE＝AE＝ ．
∴FG＝3，GE＝ ．∴OG＝ ．
∵H是FG的中点，
∴H（ ， ）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B、H、D三点，
∴ ，解得 ，
∴y＝ x2 x+2．
（3）存在．
∵P在抛物线上，
∴设P（x， x2 x+2），M（x， x+2），N（x，6）．
∵S△BNM ＝S△BPM ，
∴PM＝MN．
第26页（共27页）即：﹣ x2+ x＝4﹣ x，
整理得：x2﹣6 x+24＝0，
解得：x＝ 或x＝ ．
当x＝ 时，y＝ x2 x+2＝2；
当x＝ 时，y＝ x2 x+2＝6，与点B重合，不符合题意，舍去．
∴P（ ，2）．
∴存在点P，使S△BNM ＝S△BPM ，点P的坐标为（ ，2）．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、
解直角三角形、翻折（折叠）性质、矩形性质等知识点．试题难度不是很大，但图形较为复
杂，注意理清头绪．第（1）问的要点是翻折（折叠）性质，第（2）问的要点是求出点H的坐
标，第（3）问的要点是由S△BNM ＝S△BPM 推出PM＝MN．
第27页（共27页）
