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2017年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共36分）在每小题给出的四个
选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017•德阳）6的相反数是（ ）
1 1
A．﹣6 B．- C．6 D．
6 6
2．（3分）（2017•德阳）如图，已知AB∥CE，∠A=110°，则∠ADE的大小为
（ ）
A．110° B．100° C．90° D．70°
3．（3分）（2017•德阳）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3=x6 B．﹣2x2+3x2=﹣5x2
C．（﹣3ab）2=9a2b2 D．（a+b）2=a2+b2
4．（3分）（2017•德阳）截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的 8位数学
家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这
组数据的中位数是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
5．（3分）（2017•德阳）已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数
根，则常数c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
6．（3分）（2017•德阳）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分
∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
第1页（共33页）A．15° B．20° C．25° D．30°
7．（3分）（2017•德阳）下列说法中，正确的有（ ）
①一组数据的方差越大，这组数据的波动反而越小；
②一组数据的中位数只有一个；
③在一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（3分）（2017•德阳）一个圆柱的侧面展开图是边长为 a的正方形，则这个
圆柱的体积为（ ）
a3 a3 a3 3a3
A． B． C． D．
4π 2π π 2
9．（3分）（2017•德阳）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．任意多边形的外角和为360°
B．在△ABC 和△A′B′C′中，若 AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，则
△ABC≌△A′B′C′
C．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边
D．同弧所对的圆周角和圆心角相等
10．（3分）（2017•德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的
AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
√3
A．√3 B．√2 C．1 D．
2
11．（3 分）（2017•德阳）如图，将△ABC 沿 BC 翻折得到△DBC，再将
△DBC 绕 C 点逆时针旋转 60°得到△FEC，延长 BD 交 EF 于 H．已知
∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为（ ）
第2页（共33页）√3 √3 √3 √3
A． B． C． D．
12 6 3 2
1
12．（3分）（2017•德阳）当 ≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点
2
1
在函数y= 的图象下方，则b的取值范围为（ ）
x
9 9
A．b＞2√2B．b＜ C．b＜3 D．2√2＜b＜
2 2
二、填空题（每小题 3分，共15分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线
上）
13．（3分）（2017•德阳）计算：（x+3）（x﹣3）= ．
14．（3分）（2017•德阳）某校欲招聘一名数学老师，甲、乙两位应试者经审
查符合基本条件，参加了笔试和面试，他们的成绩如右表所示，请你按笔试成
绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩较高的应试者是 ．
应试者 笔试成绩 面试成绩
甲 80 90
乙 85 86
15．（3 分）（2017•德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，
AE、DF为梯形的高，其中迎水坡 AB的坡角α=45°，坡长AB=6√2米，背水坡
CD的坡度i=1：√3（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
第3页（共33页）2na+a a
16．（3 分）（2017•德阳）若抛物线 y=﹣ax2+ x﹣ 与 x 轴交于
n(n+1) n(n+1)
A 、B 两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用S 表示A 、B 两点间的
n n n n n
距离，则S +S +…+S = ．
1 2 2017
17．（3 分）（2017•德阳）如图，已知⊙C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足
OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，
∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为 ．
三、解答题（共69分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
1
18．（6分）（2017•德阳）计算：（2√5﹣√2）0+|2﹣√5|+（﹣1）2017﹣ ×√45
3
．
19．（7分）（2017•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、
BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．
（1）证明：△CFG≌△AEG．
（2）若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长．
第4页（共33页）20．（11分）（2017•德阳）为了解学生的课外阅读情况，某市教育局在某校学
生中随机抽取了100名学生进行调研，获得了他们一周的课外阅读时间的相关
数据，通过整理得到如下的频数分布直方图．
（1）已知阅读时间在8≤x＜10之间的学生的频率为0.4，求a、b的值．
（2）在样本数据中，从阅读时间在0≤x＜2之间与在4≤x＜6之间的两个时间段
内的学生中随机选取2名学生，请用列举法求出任选的 2人中恰有1人一周阅
读时间在0≤x＜2之间的概率．
（3）该校规定一周课外阅读时间在 10小时及以上的学生，可申请“博闻阅
读”项目的资助，如果该校共有学生3000名，用样本估计该校可申请“博闻阅
读”项目资助的学生人数．
第5页（共33页）21．（10分）（2017•德阳）为了吸引游客，某景区通过加强对服务人员的培训、
增建索道和开发新景点等措施，对景区品质进行提档升级，升级后游客人数平
均每月是升级前的1.1倍还多3000人，且在t个月时间内，升级前只能达 36万
游客，而升级后可达43.2万游客．
（1）问升级前和升级后平均每月各有多少万游客？
（2）现在景区内去极险峰的索道票价为80元/张，为了确保景区索道运营有利
润，又要保障游客安全，需使每天卖出的索道票总金额超过2万元而票数不超
过1000张，问景区每天卖出的索道票数的范围．
22．（10分）（2017•德阳）如图，函数y={&2x，(0≤x≤3) 的图象与双曲线
&-x+9，(x＞3)
k
y= （k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．
x
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．
第6页（共33页）23．（11分）（2017•德阳）如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切
线，过 AO 上一点 N 作 NM⊥DF 于 M，连结 DN 并延长交⊙O 于点 E，连结
CE．
（1）求证：△DMN∽△CED．
（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半
径为3，求DN2+GN2的值．
第7页（共33页）24．（14 分）（2017•德阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：
1
y=mx2+n（m≠0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴的负半轴交于点 C，其中 A
（﹣1，0），C（0，﹣1）．
（1）求抛物线C 及直线AC的解析式．
1
（2）沿直线AC由A至C 的方向平移抛物线C ，得到新的抛物线 C ，C 上
1 2 2
的点D为C 上的点C的对应点，若抛物线C 恰好经过点B，同时与x轴交于另
1 2
一点E，连接OD、DE，试判断△ODE的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于
F，PG⊥OD于点G，设PF=h ，PG=h ．试判断h •h 的值是否存在最大值？若
1 2 1 2
存在，求出这个最大值，并求出此时点P的坐标；如不存在，请说明理由．
第8页（共33页）第9页（共33页）2017 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共36分）在每小题给出的四个
选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017•德阳）6的相反数是（ ）
1 1
A．﹣6 B．- C．6 D．
6 6
【考点】14：相反数．
【分析】根据相反数定义可得答案．
【解答】解：6的相反数是﹣6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为
相反数．
2．（3分）（2017•德阳）如图，已知AB∥CE，∠A=110°，则∠ADE的大小为
（ ）
A．110° B．100° C．90° D．70°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可得到∠ADE的大小．
【解答】解：∵AB∥CE，
∴∠A=∠ADE，
又∵∠A=110°，
∴∠ADE=110°，
故选：A．
第10页（共33页）【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相
等．
3．（3分）（2017•德阳）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3=x6B．﹣2x2+3x2=﹣5x2
C．（﹣3ab）2=9a2b2 D．（a+b）2=a2+b2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；
4C：完全平方公式．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运
算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、x2•x3=x5，故此选项错误；
B、﹣2x2+3x2=﹣x2，故此选项错误；
C、（﹣3ab）2=9a2b2，正确；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项和积的乘方运算
等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）（2017•德阳）截至2010年“费尔兹奖”得主中最年轻的 8位数学
家获奖时的年龄分别为29，28，29，31，31，31，29，31，则由年龄组成的这
组数据的中位数是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【考点】W4：中位数．
【分析】根据中位数的定义即可解答．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：28，29，29，29，31，31，31，31，
29+31
最中间的两个数的平均数是： =30，
2
则这组数据的中位数是30；
故选C．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
第11页（共33页）新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位
数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．（3分）（2017•德阳）已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数
根，则常数c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于c的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣4）2﹣4（c+1）=12﹣4c=0，
解得：c=3．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数
根”是解题的关键．
6．（3分）（2017•德阳）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分
∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【考点】K7：三角形内角和定理．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角
互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，
第12页（共33页）∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图
中各角度之间的关系是解题的关键．
7．（3分）（2017•德阳）下列说法中，正确的有（ ）
①一组数据的方差越大，这组数据的波动反而越小；
②一组数据的中位数只有一个；
③在一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】W7：方差；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据方差、众数与中位数的意义分别对每一项进行解答即可．
【解答】解：①一组数据的方差越大，则这组数据的波动越大，故本选项错误；
②一组数据的中位数只有一个，故本选项正确；
③在一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，故本选项正确；
其中正确的有②③；
故选C．
【点评】本题考查了方差、众数与中位数的意义，方差是用来衡量一组数据波
动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越
不稳定；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的
那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现
次数最多的数据叫做众数．
8．（3分）（2017•德阳）一个圆柱的侧面展开图是边长为 a的正方形，则这个
圆柱的体积为（ ）
a3 a3 a3 3a3
A． B． C． D．
4π 2π π 2
【考点】I6：几何体的展开图．
【专题】11 ：计算题；55F：投影与视图．
【分析】根据圆柱的侧面展开图确定出圆柱的底面半径与高，即可求出其体积．
第13页（共33页）a a3
【解答】解：根据题意得：（ ）2π×a= ，
2π 4π
故选A
【点评】此题考查了几何体的展开图，弄清圆柱侧面展开图与圆柱之间的关系
是解本题的关键．
9．（3分）（2017•德阳）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．任意多边形的外角和为360°
B．在△ABC 和△A′B′C′中，若 AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，则
△ABC≌△A′B′C′
C．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边
D．同弧所对的圆周角和圆心角相等
【考点】O1：命题与定理．
【分析】利用圆周角定理，多边形的外角和定理，全等三角形的判定，三角形
三边关系，分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、任意多边形的外角和为 360°，故正确，是真命题，不符合题
意；
B、在△ABC和△A′B′C′中，若AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′=90°，由（HL）
可得△ABC≌△A′B′C′，故正确，是真命题，不符合题意；
C、在一个三角形中，任意两边之差小于第三边，故正确，是真命题，不符合
题意；
D、同弧所对的圆周角是圆心角的一半，错误，是假命题，符合题意．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定
理，全等三角形的判定，三角形三边关系，圆周角定理及其推论，难度不大．
10．（3分）（2017•德阳）如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的
AB、AC边上的中点，若⊙O的半径为2，则DE的长等于（ ）
第14页（共33页）√3
A．√3 B．√2 C．1 D．
2
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KK：等边三角形的性质；KX：三角形
中位线定理．
【分析】连接 BO 并延长交⊙O 于 F，连接 CF，则 BF 为⊙O 的直径，得到
∠BCF=90°，根据圆周角定理得到∠F=∠A=60°，解直角三角形得到 BC=2√3，
根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【解答】解：连接BO并延长交⊙O于F，连接CF，
则BF为⊙O的直径，
∴∠BCF=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠F=∠A=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BF=4，
∴BC=2√3，
∵点D、E分别是AB、AC边上的中点，
1
∴DE= BC=√3，
2
故选A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，直角三角形
第15页（共33页）的性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关
键．
11．（3 分）（2017•德阳）如图，将△ABC 沿 BC 翻折得到△DBC，再将
△DBC 绕 C 点逆时针旋转 60°得到△FEC，延长 BD 交 EF 于 H．已知
∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，则四边形CDHF的面积为（ ）
√3 √3 √3 √3
A． B． C． D．
12 6 3 2
【考点】R2：旋转的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
【专题】11 ：计算题．
【分析】利用解直角三角形得到BC=2AC=2，AB=√3，再利用翻折、旋转的性
质知 AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，CE=CB=2，EF=BD=AB=√3
√3 √3
，∠E=∠ABC=30°，则 DE=1，接着计算出 DH= DE= ，然后利用 S
四边形
3 3
=S ﹣S 进行计算．
CDHF △CEF △DEH
【解答】解：∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，AC=1，
∴BC=2AC=2，
∴AB=√BC2-AC2=√3，
由翻折、旋转的性质知AC=CD=CF=1，∠ACB=∠BCD=∠FCE=60°，
∴∠ACF=180°，即点 A、C、F 三点共线，CE=CB=2，EF=BD=AB=√3，
∠E=∠ABC=30°，
∴DE=2﹣1=1，
√3 √3
在Rt△DEH中，DH= DE= ，
3 3
第16页（共33页）1 1 √3 √3
S =S ﹣S = ×1×√3﹣ ×1× = ．
四边形CDHF △CEF △DEH 2 2 3 3
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋
转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了折叠的
性质和含30度的直角三角形三边的关系．
1
12．（3分）（2017•德阳）当 ≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点
2
1
在函数y= 的图象下方，则b的取值范围为（ ）
x
9 9
A．b＞2√2B．b＜ C．b＜3 D．2√2＜b＜
2 2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F7：一次函数图象与系数的关
系．
【分析】先根据x的取值，求得直线与双曲线的交点坐标，再根据函数 y=﹣
1
2x+b的图象上至少有一点在函数y= 的图象下方，即可得到b的取值范围．
x
1 1 1
【解答】解：在函数y= 中，令x=2，则y= ；令x= ，则y=2；
x 2 2
1
若直线y=﹣2x+b经过（2， ），则
2
1 9
=﹣4+b，即b= ；
2 2
1
若直线y=﹣2x+b经过（ ，2），则
2
2=﹣1+b，即b=3，
9
∵直线y=﹣2x+ 在直线y=﹣2x+3的上方，
2
1
∴当函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函数 y= 的图象下方时，直线 y=﹣
x
9
2x+b在直线y=﹣2x+ 的下方，
2
第17页（共33页）9
∴b的取值范围为b＜ ．
2
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数图象上
点的坐标特征以及一次函数与系数的关系，解题时注意：由于 y=kx+b与y轴交
于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；
当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
二、填空题（每小题 3分，共15分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线
上）
13．（3分）（2017•德阳）计算：（x+3）（x﹣3）= x 2 ﹣ 9 ．
【考点】4F：平方差公式．
【分析】可直接用平方差公式计算．
【解答】解：（x+3）（x﹣3）=x2﹣9．
【点评】本题考查了平方差公式，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项
的平方减去相反项的平方．
14．（3分）（2017•德阳）某校欲招聘一名数学老师，甲、乙两位应试者经审
查符合基本条件，参加了笔试和面试，他们的成绩如右表所示，请你按笔试成
绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩较高的应试者是 甲 ．
应试者 笔试成 面试成
绩 绩
甲 80 90
乙 85 86
【考点】W2：加权平均数．
【分析】根据题意先算出甲、乙两人的加权平均数，再进行比较，即可得出答
案．
【解答】解：甲的平均成绩为：80×40%+90×60%=86（分），
乙的平均成绩为：85×40%+86×60%=85.6（分），
因为甲的平均分数最高．
故答案为：甲．
第18页（共33页）【点评】本题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按 40%和
60%进行计算．
15．（3 分）（2017•德阳）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD，
AE、DF为梯形的高，其中迎水坡 AB的坡角α=45°，坡长AB=6√2米，背水坡
CD的坡度i=1：√3（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 1 2 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】由题意可得四边形AEFD是矩形，由AB的坡角α=45°，得出AE的长，
利用背水坡CD的坡度i=1：√3（i为DF与FC的比值）得出∠C的度数，即可
求解．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=6√2米，
∴AE=6√2×sin45°=6（m），
∵背水坡CD的坡度i=1：√3（i为DF与FC的比值），
1 √3
∴tan∠C= = ，
√3 3
∴∠C=30°，
则DC=2DF=2AE=12m，
故答案为：12．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并
借助于解直角三角形的知识求解是关键．
2na+a a
16．（3 分）（2017•德阳）若抛物线 y=﹣ax2+ x﹣ 与 x 轴交于
n(n+1) n(n+1)
A 、B 两点（a为常数，a≠0，n为自然数，n≥1），用S 表示A 、B 两点间的
n n n n n
2017
距离，则S +S +…+S = ．
1 2 2017 2018
第19页（共33页）【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，找出点A 、B 的坐标，进而可得出
n n
1 1
S = ﹣ ，将其代入S +S +…+S 中即可求出结论．
n n n+1 1 2 2017
2na+a a 1 1
【解答】解：∵y=﹣ax2+ x﹣ =﹣a（x﹣ ）（x﹣ ）=0，
n(n+1) n(n+1) n+1 n
1 1
∴点A 的坐标为（ ，0），点B 的坐标为（ ，0）（不失一般性，设点A
n n+1 n n n
在点B 的左侧），
n
1 1
∴S = ﹣ ，
n n n+1
1 1 1 1 1
∴S +S +…+S =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣
1 2 2017 2 2 3 2017 2018
1
=1﹣
2018
2017
= ．
2018
2017
故答案为： ．
2018
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及利用因式分解法解一元二次方程，
利用因式分解法解一元二次方程，找出点A 、B 的坐标是解题的关键．
n n
17．（3 分）（2017•德阳）如图，已知⊙C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足
OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，
∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为 4 ．
【考点】M5：圆周角定理；*B：几何问题的最值．
【专题】55A：与圆有关的位置关系．
【分析】先连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，OC=5，PC=3，即可得到当
第20页（共33页）点O，P，C三点共线时，OP最短，依据OA=OB，∠APB=90°，可得点P在以
O 为圆心，AB 为直径的圆上，进而得到⊙O 与⊙C 相切时，OP 最短，根据
OP=5﹣3=2，可得AB=2OP=4．
【解答】解：如图，连接OP，PC，OC，
∵OP+PC≥OC，OC=5，PC=3，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最短，
如图，∵OA=OB，∠APB=90°，
∴点P在以O为圆心，AB为直径的圆上，
∴⊙O与⊙C相切时，OP最短，
∵OC=5，CP=3，
∴OP=5﹣3=2，
∴AB=2OP=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了几何问题的最值，解题时注意：三角形两边和必大于
第三边，两边差必小于第三边，解题的关键是得到点 O，P，C三点共线时，
OP最短．
三、解答题（共69分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
第21页（共33页）1
18．（6分）（2017•德阳）计算：（2√5﹣√2）0+|2﹣√5|+（﹣1）2017﹣ ×√45
3
．
【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据零指数幂的意义和绝对值的意义进行计算．
【解答】解：原式=1+√5﹣2﹣1﹣√5
=﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根
式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
19．（7分）（2017•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、
BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．
（1）证明：△CFG≌△AEG．
（2）若AB=4，求四边形AGCD的对角线GD的长．
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到 AB=AC，AC=BC，得到
AB=AC=BC，求得∠B=60°，于是得到∠BAF=∠BCE=30°，根据全等三角形的
判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的判断对了得到 ▱ABCD 是菱形，求得∠ADC=∠B=60°，
AD=CD，求得∠ADG=30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，
∴AB=AC，AC=BC，
∴AB=AC=BC，
∴∠B=60°，
第22页（共33页）∴∠BAF=∠BCE=30°，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴AE=CF，
{
&∠CFG=∠AEG=90°
在△CFG≌△AEG中， &CF=AE ，
&∠FCG=∠EAG
∴△CFG≌△AEG；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴▱ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠B=60°，AD=CD，
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴AF⊥AD，CE⊥CD，
∵△CFG≌△AEG，
∴AG=CG，
∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA=GC，
∴GD平分∠ADC，
∴∠ADG=30°，
∵AD=AB=4，
AD 8√3
∴DG= = ．
cos30° 3
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判断和性质，全等三角形的判
定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20．（11分）（2017•德阳）为了解学生的课外阅读情况，某市教育局在某校学
生中随机抽取了100名学生进行调研，获得了他们一周的课外阅读时间的相关
数据，通过整理得到如下的频数分布直方图．
第23页（共33页）（1）已知阅读时间在8≤x＜10之间的学生的频率为0.4，求a、b的值．
（2）在样本数据中，从阅读时间在0≤x＜2之间与在4≤x＜6之间的两个时间段
内的学生中随机选取2名学生，请用列举法求出任选的 2人中恰有1人一周阅
读时间在0≤x＜2之间的概率．
（3）该校规定一周课外阅读时间在 10小时及以上的学生，可申请“博闻阅
读”项目的资助，如果该校共有学生3000名，用样本估计该校可申请“博闻阅
读”项目资助的学生人数．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分
布直方图．
【分析】（1）根据所占人数=总人数×频率，频数之和等于总人数即可解决问
题；
（2）利用列举法可得：任选的 2人的所有可能：AB、AC、AD、AE、BC、
BD、BE、CD、CE、DE．共10种情形，恰有1人一周阅读时间在0≤x＜2之间
的有AC、AD、AE、BC、BD、BE，共6种情形，根据概率公式计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
【解答】解：（1）b=100×0.4=40，
a=100﹣2﹣2﹣23﹣40﹣25﹣5=3．
（2）在0≤x＜2之间与在 4≤x＜6之间的两个时间段内的学生，分别记为 A、
B、C、D、E．
任选的2人的所有可能：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE．
共10种情形，
恰有1人一周阅读时间在0≤x＜2之间的有AC、AD、AE、BC、BD、BE，共6
第24页（共33页）种情形，
6 3
所以任选的2人中恰有1人一周阅读时间在0≤x＜2之间的概率为 = ．
10 5
30
（3）3000× =900（人），
100
答：该校可申请“博闻阅读”项目资助的学生人数约为900人．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布直方图、样本估计总体等知识，
解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
21．（10分）（2017•德阳）为了吸引游客，某景区通过加强对服务人员的培训、
增建索道和开发新景点等措施，对景区品质进行提档升级，升级后游客人数平
均每月是升级前的1.1倍还多3000人，且在t个月时间内，升级前只能达 36万
游客，而升级后可达43.2万游客．
（1）问升级前和升级后平均每月各有多少万游客？
（2）现在景区内去极险峰的索道票价为80元/张，为了确保景区索道运营有利
润，又要保障游客安全，需使每天卖出的索道票总金额超过2万元而票数不超
过1000张，问景区每天卖出的索道票数的范围．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】（1）设升级前和升级后平均每月分别有x万游客和y万游客，依据升
级后游客人数平均每月是升级前的 1.1倍还多3000人，且在t个月时间内，升
级前只能达36万游客，而升级后可达43.2万游客，可得方程组，进而得到结果．
（2）设景区每天卖出的索道票数为a，依据每天卖出的索道票总金额超过2万
元而票数不超过1000张，可得不等式组，进而得到景区每天卖出的索道票数的
范围．
【解答】解：（1）设升级前和升级后平均每月分别有x万游客和y万游客，依
题意得
{
& y=1.1x+0.3
&tx=36 ，
&ty=43.2
第25页（共33页）{
&x=3
解得 & y=3.6，
&t=12
答：升级前和升级后平均每月分别有3万游客和3.6万游客；
（2）设景区每天卖出的索道票数为a，依题意得
{&a≤1000
，
&80a＞20000
解得250＜a≤1000，
答：景区每天卖出的索道票数要大于250且要不大于1000．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组依据二元一次方程的应用，当问题
较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．
无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．对具有多种不等关系的问题，
考虑列一元一次不等式组，并求解．
{&2x，(0≤x≤3)
22．（10分）（2017•德阳）如图，函数y= 的图象与双曲线
&-x+9，(x＞3)
k
y= （k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．
x
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式；PA：轴对称﹣最短路线问题．
【专题】534：反比例函数及其应用．
第26页（共33页）k
【分析】（1）把A（3，m）代入y=2x，可得m的值，把A（3，6）代入y=
x
{
& y=-x+9
18
，可得双曲线的解析式为y= ；解方程组 18 ，可得点B的坐标；
x & y=
x
（ 2 ） 作 点 A 关 于 y 轴 的 对 称 点 A' （ ﹣ 3 ， 6 ） ， 连 接 A'P ， 依 据
PA+PB=A'P+BP≥A'B，可得当A'，P，B三点共线时，PA+PB的最小值等于A'B
1
的长，求得A'B的解析式为y=﹣ x+5，令x=0，则y=5，即可得出点P的坐标
3
为（0，5）．
【解答】解：（1）把A（3，m）代入y=2x，可得
m=2×3=6，
∴A（3，6），
k
把A（3，6）代入y= ，可得k=3×6=18，
x
18
∴双曲线的解析式为y= ；
x
{
& y=-x+9
当x＞3时，解方程组 18 ，可得
& y=
x
{&x=6 {&x=3
或 （舍去），
& y=3 & y=6
∴点B的坐标为（6，3）；
（2）如图所示，作点 A 关于 y 轴的对称点 A'（﹣3，6），连接 A'P，则
A'P=AP，
∴PA+PB=A'P+BP≥A'B，
∴当A'，P，B三点共线时，PA+PB的最小值等于A'B的长，
设A'B的解析式为y=ax+b，
把A'（﹣3，6），B（6，3）代入，可得
{&6=-3a+b
，
&3=6a+b
第27页（共33页）{ 1
&a=-
解得 3，
&b=5
1
∴A'B的解析式为y=﹣ x+5，
3
令x=0，则y=5，
∴点P的坐标为（0，5）．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数解析式的确定，轴对称等知识的综
合应用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称
变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
23．（11分）（2017•德阳）如图，已知AB、CD为⊙O的两条直径，DF为切
线，过 AO 上一点 N 作 NM⊥DF 于 M，连结 DN 并延长交⊙O 于点 E，连结
CE．
（1）求证：△DMN∽△CED．
（2）设G为点E关于AB对称点，连结GD、GN，如果∠DNO=45°，⊙O的半
径为3，求DN2+GN2的值．
第28页（共33页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；P2：轴对称的性
质．
【分析】（1）先利用直径所对的圆周角是直角和切线的性质得：
∠DEC=∠NMD=90°，再证明CD∥NM，可得∠MND=∠EDC，根据两角对应相
等可得两三角形相似；
（2）先证明△GND 是直角三角形，再根据△EGN 是等腰直角三角形得
∠GEN=45°，证明△GOD是直角三角形，利用勾股定理可得结论．
【解答】证明：（1）∵DF为⊙O的切线，
∴DF⊥CD，
∵NM⊥DF，
∴NM∥CD，
∴∠MND=∠EDC，
∵CD为⊙O的直径，NM⊥DF，
∴∠DEC=∠NMD=90°，
∴△DMN∽△CED；
（2）连接GE，CG，OC，
∵G为点E关于AB对称点，
∴AO垂直平分EG，
∴GN=EN，∠GNA=∠ENA，
∵∠DNO=45°，
∴∠ENA=45°，
∴∠GNE=90°，
第29页（共33页）∴∠GND=180°﹣90°=90°，
∴△GND是直角三角形，
∴DN2+GN2=DG2，
∵△EGN是等腰直角三角形，
∴∠GEN=45°，
∴∠C=∠GEN=45°，
∵OG=OC，
∴∠CGO=∠C=45°，
∴∠GOD=90°，
∴△GOD是直角三角形，
∴DG2=OG2+OD2=32+32=18，
∴DN2+GN2=DG2=18．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性
质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等知识，第 2问有难度，证明
∠C=45°是解决第（2）小题的关键．
24．（14 分）（2017•德阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：
1
y=mx2+n（m≠0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴的负半轴交于点 C，其中 A
（﹣1，0），C（0，﹣1）．
（1）求抛物线C 及直线AC的解析式．
1
（2）沿直线AC由A至C 的方向平移抛物线C ，得到新的抛物线 C ，C 上
1 2 2
的点D为C 上的点C的对应点，若抛物线C 恰好经过点B，同时与x轴交于另
1 2
第30页（共33页）一点E，连接OD、DE，试判断△ODE的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若P为线段OE（不含端点）上一动点，作PF⊥DE于
F，PG⊥OD于点G，设PF=h ，PG=h ．试判断h •h 的值是否存在最大值？若
1 2 1 2
存在，求出这个最大值，并求出此时点P的坐标；如不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C 及直线AC的解析式；
1
（2）△ODE是等腰三角形，根据D在直线AC上，所以D（a，﹣a﹣1），由
△AOC是等腰直角三角形，可得△HCD是等腰直角三角形，则CH=DH=a，即
点 C 平移到 D 处：向下平移 a 个单位，再向右平移 a 个单位，所以抛物线
C ：y=（x﹣a）2﹣1﹣a，因为
2
抛物线 C 恰好经过点 B，把 B（1，0）代入可得 a 的值，分别求得：
2
OD=OE=5；
（3）如图2，用面积法，分别表示h 、h 的长，相乘求最大值即可．
1 2
【解答】解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
{&b=-1
把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入得： ，
&-k+b=0
{&k=-1
解得： ，
&b=-1
∴AC的解析式为：y=﹣x﹣1；
把A（﹣1，0），C（0，﹣1）代入y=mx2+n得，
{&m+n=0
∵ ，
&n=-1
第31页（共33页）{&m=1
∴ ，
&n=-1
∴抛物线C ：y=x2﹣1；
1
（2）△ODE是等腰三角形，理由是：
∵A、B对称，
∴B（1，0），
如图1，设D（a，﹣a﹣1），过D作DH⊥y轴于H，
∵OA=OC=1，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠HCD=∠ACO=45°，
∴△HCD是等腰直角三角形，
∴CH=DH=a，
由平移得：抛物线 C ：y=（x﹣a）2﹣1﹣a，
2
把B（1，0）代入得：0=（1﹣a）2﹣1﹣a，
a（a﹣3）=0，
a =0（舍），a =3，
1 2
∴抛物线 C ：y=（x﹣3）2﹣4，
2
∴D（3，﹣4），E（5，0），
∴OE=5，
由勾股定理得：OD=√32+42=5，
∴OD=OE，
∴△ODE是等腰三角形；
（3）如图2，设P（x，0），连接PD，则OP=x，PE=5﹣x，
1 1
S = ×5h = ×4x，
△OPD 2 2 2
4x
h = ，
2 5
由勾股定理得：DE=√22+42=2√5，
1 1
S = ×2√5h = ×4(5-x)，
△PDE 2 1 2
第32页（共33页）2(5-x)
h = ，
1
√5
4x 2(5-x) 8√5 8√5 8√5 5
h •h = ⋅ =﹣ x2+ x=﹣ (x- ) 2+2√5，
1 2 5 √5 25 5 25 2
5 5
当x= 时，h •h 的值最大，是2√5，此时点P（ ，0）．
2 1 2 2
【点评】本题考查二次函数的有关知识，一次函数的有关知识，矩形的性质，
解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会运用平移的规律表示
二次函数的解析式，并利用面积法将最值问题转化为二次函数的最值问题，属
于中考压轴题．
第33页（共33页）
