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四川省德阳市 2021 年中考数学真题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有
且仅有一项是符合题目要求的．
1. -2的倒数是（ ）
.
A -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是-
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2. 第七次全国人口普查显示，我国人口已达到141178万．把这个数据用科学记数法表示为（ ）
A. 1.41178×107 B. 1.41178×108
C. 1.41178×109 D. 1.41178×1010
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；
当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：141178万=1411780000=1.41178×109，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a3+a4＝a7 B. a3•a4＝a12
C. （a3）4＝a7 D. （﹣2a3）4＝16a12
【答案】D
【解析】【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的法则计算即可．
【详解】解：A、a3与a4不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、a3•a4=a7，故错误，不符合题意；
C、（a3）4=a12，故错误，不符合题意；
D、（-2a3）4=16a12，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，熟记法则是解题的关键．
4. 如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠C＝120°，则∠MPB＝（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠EFP=∠CEF=120°，
∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°，
∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°，
故选：D．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B. 了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C. 购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的概念、全面调查和抽样调查的概念判断即可．
【详解】解：A、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，本选项说法错误，不符合题
意；B、了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查，本选项说法正确，符合题意；
C、购买一张体育彩票中奖是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念、全面调查和抽样调查．必然事件指在一
定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件
是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定
正确的是（ ）
A. AB＝AD B. OE AB C. ∠DOE＝∠DEO D. ∠EOD＝∠EDO
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质可得 AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得 OE=DE=CE= CD=
AB，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE=DE=CE= CD= AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
7. 对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是（ ）
A. 平均数是2 B. 众数是1 C. 中位数是3 D. 方差是1.6
【答案】C【解析】
【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为1，1，1，3，4，
所以这组数据的平均数为 ×（1+1+1+3+4）=2，
中位数为1，众数为1，
方差为 ×[3×（1-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=1.6，
故选：C．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
8. 图中几何体的三视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，
按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线的表示．
【详解】解：该几何体的三视图如下：
故选：A．
【点睛】此题主要考查三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法．
9. 下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）
A. y＝﹣2x B. y＝﹣2x+3C. y （x＜0） D. y＝﹣x2+4x+3（x＜2）
【答案】D
【解析】
【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＞0时，在每一个象
限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．
【详解】解：A．一次函数y=-2x中的a=-2＜0，y随x的增大而减小，故不符合题意．
B．一次函数y=-2x+3中的a=-2＜0，y随自变量x增大而减小，故不符合题意．
C．反比例函数y= （x＜0）中的k=2＞0，在第三象限，y随x的增大而减小，故不符合题意．
D．二次函数y=-x2+4x+3（x＜2），对称轴x= =2，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，故符
合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性；熟练掌握一次函数、二次函数、反比例
函数的性质是关键．
10. 已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式
即可求解．
【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π，
设圆心角的度数是n度，
则 =2π，
解得：n=120．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本
题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．11. 关于x，y的方程组 的解为 ，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取
值范围是（ ）
A. k＞1 B. k＞﹣1 C. k＜1 D. k＜﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可．
【详解】解：解方程组 可得，
，
∵点P（a，b）总在直线y=x上方，
∴b＞a，
∴ ，
解得k＞-1，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据
点在一次函数上方列出不等式求解．
12. 如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴
正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，
顶点D的坐标为（ ）A. （ ， ） B. （ ， ） C. （ ， ） D. （ ， ）
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接 ， ．首先确定点 的坐标，再根据6次一个循环，由 ，推
出经过第2025次旋转后，顶点 的坐标与第三次旋转得到的 的坐标相同，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ， ．
在正六边形 中， ， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
， ，
将正六边形 绕坐标原点 顺时针旋转，每次旋转 ，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点 的坐标与第三次旋转得到的 的坐标相同，
与 关于原点对称，
， ，
经过第2025次旋转后，顶点 的坐标 ， ，
故选：A．【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律
的方法，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横
线上）
13. 已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．
【答案】6
【解析】
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14. 要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统
计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体；③3被抽取的300名
学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 __________________．
【答案】②④
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分
个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，
首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样
本确定出样本容量．
【详解】解：①1500名学生的心理健康评估报告是总体，故①不符合题意；
②每名学生的心理健康评估报告是个体，故②符合题意；
③被抽取的300名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故③不符合题意；
④300是样本容量，故④符合题意；为
故答案 ：②④．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是
明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包
含的个体的数目，不能带单位．
15. 如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
【答案】70
【解析】
【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据
圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．
【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°．
故答案为70．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
16. 我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许
多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形，边
AB的长度为 1，则该矩形的周长为 __________________．
【答案】 或4
【解析】【分析】分两种情况：①边 为矩形的长时，则矩形的宽为 ，求出矩形的周长即可；
②边 为矩形的宽时，则矩形的长为 ，求出矩形的周长即可．
【详解】解：分两种情况：
①边 为矩形的长时，则矩形的宽为 ，
矩形的周长为： ；
②边 为矩形的宽时，则矩形的长为： ，
矩形的周长为 ；
综上所述，该矩形的周长为 或4，
故答案为： 或4．
【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
17. 已知函数y 的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最
大值与最小值的和为 _____．
【答案】17
【解析】
【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只
有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最
小值是解题的关键．
18. 在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是
__________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图， 为 的弦， ，证明 为等边三角形得到 ，则根据
圆周角定理得到 ，作直径 、 ，连接 、 ，则 ，当点 在
上（不含 、 点）时， 为锐角三角形，易得 ，当 点为 的中点时，
点到 的距离最大，即 最大，延长 交 于 ，如图，根据垂径定理得到 ，所以
， ，则 ，然后写出 的范围．
【详解】解：如图， 为 的弦， ，
，
，
为等边三角形，
，
，
作直径 、 ，连接 、 ，则 ，
当点 在 上（不含 、 点）时， 为锐角三角形，在 中， ，
，
当 点为 的中点时， 点到 的距离最大，即 最大，
延长 交 于 ，如图，
点为 的中点，
，
，
，
，
，
的范围为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理
和勾股定理．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. 计算：（﹣1）3+| 1|﹣（ ）﹣2+2cos45° ．【答案】-6
【解析】
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性
质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的
性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌
握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完整的统计表和频数分布直方图．
分数x 频数
频率
（分） （人）
90≤x＜
80 a
100
80≤x＜
60 0.3
90
70≤x＜
0.18
80
.
60≤x＜
b 012
70
（1）请直接写出表中a，b的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生中再次选拔出
演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学参加，请利用画树状图或列表
的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．【答案】（1）a=0.4、b=24，补全图形见解答；（2）2450名；（3）
【解析】
【分析】（1）先由80≤x＜90的频数及频率求出样本容量，再根据频率=频数÷样本容量求解即可；
（2）总人数乘以样本中竞赛成绩在80分以上（含80分）的频率和即可；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到一男一女的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）样本容量为60÷0.3=200，
∴a=80÷200=0.4，b=200×0.12=24，
70≤x＜80对应的频数为200×0.18=36，
补全图形如下：
（2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为3500×（0.4+0.3）=2450（名）；
（3）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的有4种结果，
所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y （x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2
个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y （x＞0）的图象上，过A，B两点
的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
【答案】（1）k=12，C（0，9）；（2）4
【解析】
【分析】（1）由点 求出反比例函数的解析式为 ，可得 值，进而求得 ，由待定系
数法求出直线 的解析式为 ，即可求出 点的坐标；
（2）由（1）求出 ，根据 可求得结论．
【详解】解：（1）把点 代入 ， ，反比例函数的解析式为 ，
将点 向右平移2个单位，
，
当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，
由题意可得 ，
解得 ，
，
当 时， ，
；
（2）由（1）知 ，
．
【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，
求得直线 的解析式是解题的关键．
22. 如图，点E是矩形ABCD的边BC上一点，将△ABE绕点A逆时针旋转至△ABE 的位置，此时E、
1 1
B、E 三点恰好共线．点M、N分别是AE和AE 的中点，连接MN、NB ．
1 1 1 1（1）求证：四边形MEB N是平行四边形；
1
（2）延长EE 交AD于点F，若EB＝EF， ，判断△AEF与△CB E是否全等，并说明理由．
1 1 1 1 1
【答案】（1）见解析；（2）全等，理由见解析
【解析】
【分析】（1）可证B 是EE 的中点，则EB= EE，根据M、N分别是AE和AE 的中点，则MN∥EB，
1 1 1 1 1 1
MN= EE，即可证明；
1
（2）由S =S ，可得AF=EC．然后通过SAS可证明结论．
EAF FEC
△ △
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵△ABE 是 ABE旋转所得的，
1 1
∴AE=AE
1
，∠△AB
1
E
1
=∠AB
1
E=∠B=90°，
∴B 是EE 的中点，
1 1
∴EB= EE，
1 1
∵M、N分别是AE和AE 的中点，
1
∴MN∥EB，MN= EE，
1 1
∴EB=MN，
1
∴四边形MEB N为平行四边形，
1
（2） AEF≌△CEB，
1 1
证明：△连接FC，
∵EB=BE=EF，
1 1 1 1
∴ = S ，
EAF
△同理， = S ，
FEC
∵ =S ，
EB1C
△
∴S =S ，
EAF FEC
△ △
∵AF∥EC，
∴△AEF底边AF上的高和 FEC底边上的高相等．
∴AF=EC． △
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，
在 AEF和 CEB 中，
1 1
△ △
，
∴△AEF≌△CEB（SAS）．
1 1
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，以及全等三角形的判定与
性质等知识，证明S =S 是解题的关键．
EAF FEC
△ △
23. 今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多
的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和
条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用
4800元购买条形椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加
1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
【答案】（1）弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；（2）购进150张弧形椅，150张条形椅最
节省费用，最低费用是42000元
【解析】
【分析】（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据“用8000元购买弧形椅的数量比
用4800元购买条形椅的数量多10张”列分式方程解答即可；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，根据“一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，
景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位”列不等式求出m的取值范围；设购买休闲椅
所需的费用为W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：
，
解得x=160，
经检验，x=160是原方程的解，且符合题意，
∴0.75x=120，
的
答：弧形椅 单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300-m）张，由题意得：
5m+3（300-m）≥1200，
解得m≥150；
设购买休闲椅所需的费用为W元，
则W=160m+120（300-m），
即W=40m+36000，
∵40＞0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=150时，W有最小值，W =40×150+36000=42000，
最小
300-m=300-150=150；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，由图象得出正确
信息是解题关键，学会利用不等式确定自变量取值范围，学会利用一次函数性质解决最值问题，属于中考
常考题型．
24. 如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF
∠BOE．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝4 ，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长．【答案】（1）见解析；（2） ，
【解析】
【分析】（1）连结 ， ，根据“圆周角定理”及“直径所对的圆周角等于 ”得到 ，即
，即可判定 是 的切线；
（2）过点 作 于点 ，连结 ，解直角三角形得出 ， ， ，
由 判定 ，得出 ，即可求出 ， ，再根据勾股定理求
出 ， ，最后根据特殊角的三角函数即可得解．
【详解】解：（1）证明：连结 ， ，
， ，
，
为 的直径，
，
，
，
即 ，
，
是 的切线；（2）解：过点 作 于点 ，连结 ，
，
，
在 中， ，
，
，
， ，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，为 的直径，
，
又 ，
，
即 ，
，
．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，熟记切线的判定与性质、圆周角定理及作出合理的
辅助线是解题的关键．
25. 如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点
M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合条件的点M，M的坐标为 ， ， ，
【解析】
【分析】（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线与点P，根据对称性可知P为所求的点；
（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC
列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．
【详解】解：（1）把点 ， 代入 ，
得到方程组： ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，则 ，连接 并延长与抛物线交与点 ，由图形的对称性可
知 为所求的点，
设直线 的解析式为 ，
由题意得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，解得 （舍去）或 ，
；
（3）存在点 ，
过点 作 轴的垂线，由勾股定理得 ，
同理可求得 ， ，
， ，
，
，
，
，
设点 ，则 ，
解得 或 ，
当 时， ，
， ，
当 ， ，， ，
存在符合条件的点 ， 的坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角
形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作 关于 轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相
等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等．
