文档内容
2011 年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）数据0.000 031 4用科学记数法表示为（ ）
A．31.4×10﹣4 B．3.14×10﹣5 C．3.14×10﹣6 D．0.314×10﹣6
3．（3分）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体
的表面展开图，那么图中x的值是 （ ）
A．2 B．8 C．3 D．﹣2
4．（3分）现有12个同类产品，其中有10个正品，2个次品，从中任意抽取3个，则下列事件
为必然事件的是（ ）
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
5．（3分）一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．﹣3＜x＜11 D．x＞3
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．3x2•4x3＝12x6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣x3）2＝x6
7．（3分）两条平行线被第三条直线所截，如果一对同旁内角的度数之比为3：7，那么这两个
角的度数分别是（ ）
A．30°，70° B．60°，l40° C．54°，l26° D．64°．ll6°
8．（3分）顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形
9．（3分）随机安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天，则按“乙、甲、丙”的先
后顺序值班的概率（ ）
第1页（共25页）A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），如果将线段AB绕点B顺时
针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（ ）
A．（﹣b，b+a） B．（﹣b，b﹣a） C．（﹣a，b﹣a） D．（b，b﹣a）
11．（3分）如图，有一块△ABC材料，BC＝10，高AD＝6，把它加工成一个矩形零件，使矩形
的一边GH在BC上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，那么矩形EFHG的周长l的取
值范围是（ ）
A．0＜l＜20 B．6＜l＜10 C．12＜l＜20 D．12＜l＜26
12．（3分）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2 000应该排在从上向下数
的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
A．110 B．109 C．108 D．107
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）化简： ＝ ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移
2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是 ．
15．（3分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AB的高CD与腰AC的夹角为30°，且CD＝
，则底边BC的长为 ．
第2页（共25页）16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝ ，E为AC的中点，
那么sin∠EDC的值为 ．
17．（3分）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是
．
18．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12．BC＝16，点O为△ABC的内心，
点M为斜边AB的中点，则OM的长为 ．
三、解答题（共6小题，满分66分）
19．（7分）计算： ．
第3页（共25页）20．（10分）从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本考查竞赛成绩的分布情况，
将样本分成A，B，C，D，E五个组，绘制成如下频数分布直方图，图中从左到右A，B，C，D，
E各小组的长方形的高的比是l：4：6：3：2，且E组的频数是10，请结合直方图提供的信息，
解答下列问题：
（1）样本的容量是多少？
（2）通过计算说明样本数据中，中位数落在哪个组，并求该小组的频率；
（3）估计全校在这次竞赛中，成绩高于70分的学生人数占参赛人数的百分率．
21．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+1与反比例函数 的图象相交于A，B两点，且点
A的坐标为（2，t）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）直线y＝﹣x+1与x轴相交于点C，点C关于y轴的对称点为C'，求△BCC'的外接圆的
周长．
第4页（共25页）22．（11分）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进
的数量和所用资金见下表：
购进数量（件） 所用资金（元）
第一批 x 16000
第二批 2x 34000
（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？
（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，
第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天
少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件
电子产品的售价至少应为多少元？
23．（14分）如图，AB是 O的直径，AC切 O于点A，AD是 O的弦，OC⊥AD于F交 O
于E，连接DE，BE，⊙BD．AE． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）如果AB＝10，tan∠BAD＝ ，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB＝10，求四边形AEDB的面积．
24．（14分）如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于
第5页（共25页）点C，直线y＝2x+1经过抛物线上一点B（m，﹣3），且与y轴、直线x＝2分别交于点D，E．
（1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求证：CD⊥BE；
（3）在对称轴x＝2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形？如果存在，请求出点P的坐
标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2011 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解：∵﹣2×（ ）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选：D．
【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个
数互为倒数，属于基础题．
2．（3分）数据0.000 031 4用科学记数法表示为（ ）
A．31.4×10﹣4 B．3.14×10﹣5 C．3.14×10﹣6 D．0.314×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 031 4＝3.14×10﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体
的表面展开图，那么图中x的值是 （ ）
A．2 B．8 C．3 D．﹣2
第7页（共25页）【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“﹣8”与面“y”相对，
面“x”与面“﹣2”相对，“3”与面“﹣3”相对．
∵正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，
∴x＝2，y＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，
分析及解答问题．
4．（3分）现有12个同类产品，其中有10个正品，2个次品，从中任意抽取3个，则下列事件
为必然事件的是（ ）
A．3个都是正品 B．至少有一个是次品
C．3个都是次品 D．至少有一个是正品
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A，B，C的概率都不为1，为不确定事件，即随机事件，不符合题意．
而D项的概率为1．当任意抽取3个产品时，因为次品总数为2个，所以一定可以取得一
个正品，所以事件“至少有一个正品”一定能够发生，则D为必然事件．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件的定义，关键是理解必然事件就是一定发生的事件．解
决此类型的问题，一定要用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学
素养．
5．（3分）一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．﹣3＜x＜11 D．x＞3
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出x的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为4，7，x，
∴7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差
小于第三边．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．3x2•4x3＝12x6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣x3）2＝x6
第8页（共25页）【分析】根据完全平方公式，单项式乘单项式，同底数幂的除法，积的乘方，对各选项分析
判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
B、应为3x2•4x3＝12x5，故本选项错误；
C、应为a6÷a2＝a4，故本选项错误；
D、（﹣x3）2＝x6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，单项式乘单项式，同底数幂的除法，积的乘方，理清指
数的变化是解题的关键．
7．（3分）两条平行线被第三条直线所截，如果一对同旁内角的度数之比为3：7，那么这两个
角的度数分别是（ ）
A．30°，70° B．60°，l40° C．54°，l26° D．64°．ll6°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可设这两个角为3x，7x，列出方程求解即可．
【解答】解：设这两个角为3x，7x，
∵两直线平行，
∴3x+7x＝180°，
解得x＝18°，
∴3x＝54°，7x＝126°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
8．（3分）顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形
【分析】菱形的对角线互相垂直，连接个边中点可得到四边形的特征．
【解答】解：是矩形．
证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E，F，G，H是中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，
∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
第9页（共25页）故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质与判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位线定理．
9．（3分）随机安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班一天，则按“乙、甲、丙”的先
后顺序值班的概率（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得：所有的排法共有六种，只有一种排法符合要求，进而根据有关公式
求出答案即可．
【解答】解：因为甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，
所以所有的情况为：甲乙丙；甲丙乙；丙甲乙，乙丙甲，丙乙甲，乙甲丙共有6种排法，
值班的情况为乙、甲、丙，只有一种排法．
按“乙、甲、丙”的先后顺序值班的概率是： ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了可能事件的概率，解题关键是列举出所有情况，再根据概率公式
计算即可．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），如果将线段AB绕点B顺时
针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（ ）
A．（﹣b，b+a） B．（﹣b，b﹣a） C．（﹣a，b﹣a） D．（b，b﹣a）
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，根据旋转的性质可以证明∠CBD＝∠BAO，然后证明
△ABO与△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD、CD的长度，然后求出OD的
长度，最后根据点C在第二象限写出坐标即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
第10页（共25页）∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO与△BCD中， ，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝OB，BD＝AO，
∵点A（a，0），B（0，b），
∴CD＝b，BD＝a，
∴OD＝OB﹣BD＝b﹣a，
又∵点C在第二象限，
∴点C的坐标是（﹣b，b﹣a）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的关系，作出辅助线利用全等三角形求
出BD、CD的长度是解题的关键．
11．（3分）如图，有一块△ABC材料，BC＝10，高AD＝6，把它加工成一个矩形零件，使矩形
的一边GH在BC上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，那么矩形EFHG的周长l的取
值范围是（ ）
A．0＜l＜20 B．6＜l＜10 C．12＜l＜20 D．12＜l＜26
【分析】设FH＝y，根据矩形的性质得出EF∥BC，得出相似三角形，推出比例式，求出EF
的值，根据EF＝GH＜BC，求出y的范围，求出周长的值，根据不等式的性质即可推出周
长的范围．
【解答】解：设FH＝y，
∵矩形EFGH，
第11页（共25页）∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝10﹣ y，
∴l＝2（EF+FH）＝2（10﹣ y+y）＝20﹣ y，
∵矩形EFHG在△ABC内，
∴0＜EF＜BC，
0＜10﹣ y＜10，
解得：0＜y＜6，
两边都乘以﹣ 得：
∴0＞﹣ y＞﹣8，
两边都加20得：
∴20＞20﹣ y＞12，
即12＜l＜20，
故选：C．
【点评】本题综合考查了相似三角形的性质和判定，不等式的性质，矩形的性质等知识点，
此题有一点难度，对学生提出较高要求，但题型较好．
12．（3分）下面是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2 000应该排在从上向下数
的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（ ）
第12页（共25页）A．110 B．109 C．108 D．107
【分析】每行的最后一个数是这个行的行数n的平方，第n行的数字的个数是 2n﹣1，所以
2000在第45行，45行最后一个数字是2025，45行有89个数字，第一个数字是2025﹣
89+1＝1937，进而得出2000是第64个数据，从而得出答案．
【解答】解：∵每行的最后一个数是这个行的行数n的平方，
第n行的数字的个数是 2n﹣1，
∵442＝1936，
所以2000在第45行，
∵452＝2025，
∴45行最后一个数字是2025，
第45行有2×45﹣1＝89个数字，第一个数字是2025﹣89+1＝1937，进而得出2000是第
64个数据，
∴m＝45，n＝64，
∴m+n＝109．
故选：B．
【点评】此题考查了规律型：数字的变化．解题关键是确定第44行的最后一个数字和第45
行的第一个数字．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）化简： ＝ ．
【分析】先把除法转换成乘法进行计算，再通分计算减法．
【解答】解：原式＝1﹣ ×
＝1﹣
＝
第13页（共25页）＝﹣ ，
故答案是﹣ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是注意把分式的分子、分母因式分解．
14．（3分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣3x2的图象不动，将x轴、y轴分别向下、向右平移
2个单位，那么在新坐标系下抛物线的顶点坐标是 （﹣ 2 ， 2 ） ．
【分析】先判断出原抛物线的顶点，然后根据题中所述的平移规律求出新抛物线的顶点即
可．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），
∵把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位，
∴新抛物线的顶点为（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
【点评】考查二次函数的平移问题，得到新抛物线的顶点是解决本题的易错点和关键点，
可通过实际操作来辅助解题．
15．（3分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AB的高CD与腰AC的夹角为30°，且CD＝
，则底边BC的长为 4 或 ．
【分析】分类讨论：当等腰三角形ABC为锐角三角形，由CD⊥AB，∠ACD＝30°，得∠A＝
60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DC＝ AD，AC＝2AD，则易得AC＝4，
根据等腰三角形的性质由∠A＝60°得△ABC为等边三角形，即可得到BC＝4；当等腰三角
形ABC为钝角三角形，由CD⊥AB，∠ACD＝30°，得∠DAC＝60°，而AB＝AC，则∠B＝
30°，在Rt△BCD中根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到BC的长．
【解答】解：当等腰三角形ABC为锐角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，∠ACD＝30°，
∴∠A＝60°，
∴DC＝ AD，AC＝2AD，
而CD＝ ，
∴AD＝2，
∴AC＝4，
又∵AB＝AC，而∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝4；
第14页（共25页）当等腰三角形ABC为钝角三角形，如图2，
∵CD⊥AB，∠ACD＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∵AC＝AB，
∴∠B＝30°，
在Rt△BCD中，∠B＝30°，CD﹣2 ，
∴BC＝2CD＝4 ．
∴BC为4或4 ．
故答案为：4或4 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等．也考查了含30度的直角
三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
16．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝ ，E为AC的中点，
那么sin∠EDC的值为 ．
【分析】根据AD⊥BC于D，BD＝9，cosB＝ 求得AB＝15，由勾股定理得AD＝12、AC＝
13，再利用直角三角形的性质求得∠EDC＝∠ECD，从而利用sin∠EDC＝sin∠ECD求解．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，BD＝9，cosB＝ ，
第15页（共25页）∴AB＝BD÷cosB＝9× ＝15，
∴由勾股定理得AD＝12，
∵DC＝5，
∴AC＝13，
∵E为AC的中点，
∴ED＝ ＝EC
∴∠EDC＝∠ECD
∴sin∠EDC＝sin∠ECD＝ ＝ ；
故答案为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线及勾股定理的知识，考查的
知识点比较多且碎．
17．（3分）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是
2 ．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变．
【解答】解：由题意知，原数据的平均数为 ，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为
+1，
则原来的方差S 2＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]＝2，
1 1 2 5
现在的方差S 2＝ [（x +1﹣ ﹣1）2+（x +1﹣ ﹣1）2+…+（x +1﹣ ﹣1）2]
2 1 2 5
＝ [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]＝2，
1 2 5
所以方差不变．
故答案为2．
【点评】本题考查了方差，注意：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数
据的波动情况不变．
18．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12．BC＝16，点O为△ABC的内心，
点M为斜边AB的中点，则OM的长为 ．
第16页（共25页）【分析】首先利用切线长定理求出AF的长，进而求出FO，FM，即可求出MO的长度．
【解答】解：作△ABC的内切圆 O，
设 O与△ABC相切于点E，D，⊙F，设AF＝x，
∵⊙∠C＝90°，AC＝12．BC＝16，
∴AB＝20，
∴BD＝BF＝20﹣x，DC＝EC＝12﹣x，
∴20﹣x+12﹣x＝16，
解得：x＝8，
∵点M为斜边AB的中点，
∴AM＝10，
∴FM＝2，
∵FO是△ABC内切圆半径，
∴FO＝ ＝4，
∴OM＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了内切圆的性质以及切线长定理，利用已知得出FM的长是解题关
键．
三、解答题（共6小题，满分66分）
19．（7分）计算： ．
【分析】先化简 ＝4 ，然后根据a0＝1（a≠0）、特殊角的三角函数值以及负整数指数
第17页（共25页）的意义得到原式＝4 ﹣1+|2× ﹣2|+（﹣1），再去绝对值合并即可．
【解答】解：原式＝4 ﹣1+|2× ﹣2|+（﹣1）
＝4 ﹣1+2﹣ ﹣1
＝3 ．
【点评】本题考查了实数的运算：先计算乘方与开方，再进行乘除运算，然后进行加减运算．
也考查了a0＝1（a≠0）以及负整数指数的意义．
20．（10分）从某校参加科普知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本考查竞赛成绩的分布情况，
将样本分成A，B，C，D，E五个组，绘制成如下频数分布直方图，图中从左到右A，B，C，D，
E各小组的长方形的高的比是l：4：6：3：2，且E组的频数是10，请结合直方图提供的信息，
解答下列问题：
（1）样本的容量是多少？
（2）通过计算说明样本数据中，中位数落在哪个组，并求该小组的频率；
（3）估计全校在这次竞赛中，成绩高于70分的学生人数占参赛人数的百分率．
【分析】（1）根据E组的频数是10，以及各小组的长方形的高的比求出即可；
（2）利用样本容量以及长方形的高求出各组频数即可；
（3）利用样本容量得出成绩高于70分的学生人数占参赛人数的百分率．
【解答】解：（1）设样本容量为x，
由题意得 ，
解得：x＝80，
答：样本的容量是80．
（2）A、B、C、D各组的频数分别为
第18页（共25页）A： ，B： ，C： ，D： ．
由以上频数知：中位数落在C组；
C组的频数为30，频率为 （或0.375）．
（3）样本中成绩高于70的人数为30+15+10＝55，
估计学校在这次竞赛中成绩高于70的人数占参赛人数的百分率为 ×100%＝68.75%．
【点评】此题主要考查了频数直方图的应用以及利用样本估计总体，根据已知得出样本容
量是解题关键．
21．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣x+1与反比例函数 的图象相交于A，B两点，且点
A的坐标为（2，t）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）直线y＝﹣x+1与x轴相交于点C，点C关于y轴的对称点为C'，求△BCC'的外接圆的
周长．
【分析】（1）点A在一次函数的图象上，可得出A点的坐标，然后代入反比例函数的解析
式即可求出答案；
（2）先求出点C和C′的坐标，继而可证明△BCC'是直角三角形，△BCC'的外接圆的直径
即为BC，继而即可求出周长．
【解答】解：（1）∵点A（2，t）在直线y＝﹣x+1上，
∴t＝﹣2+1＝﹣1，
∴点A（2，﹣1）．
又∵点A（2，﹣1）在函数 的图象上，
∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，
第19页（共25页）∴反比例函数的解析式为 ．
解方程组 ，得 ， ，
∴点B的坐标为（﹣1，2）．
（2）∵直线y＝﹣x+1与x轴的交点C的坐标为（1，0），
∴点C关于y轴的对称点C'的坐标为（﹣1，0），
∵B（﹣1，2），C'（﹣1，0），C（1，0），
∴BC'⊥x轴于C'，且BC'＝2，CC'＝2，
∴△BCC'是直角三角形，
∴BC＝ ，
∴△BCC'的外接圆的半径为 ，
∴△BCC'的外接圆的周长＝ ．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题，
难度适中，解答第二问的关键是证明出△BCC'是直角三角形．
22．（11分）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进
的数量和所用资金见下表：
购进数量（件） 所用资金（元）
第一批 x 16000
第二批 2x 34000
（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？
（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，
第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天
少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件
电子产品的售价至少应为多少元？
【分析】（1）根据已知第二批单价比第一批单价多10元，得出等式方程求出即可；
（2）利用商场每件电子产品的售价为y元，表示出利润，进而得出即可．
【解答】解：（1）由题意得 ﹣ ＝10，
第20页（共25页）解这个方程得x＝100，
经检验x＝100是原方程的根且符合题意，2x＝200，
∴x+2x＝100+200＝300．
答：该商场两次共购进这种电子产品300件．
（2）设该商场每件电子产品的售价为y元，
∵第一批产品共销售 天，
第二批产品共销售需 天，
由题意得
解这个不等式得y≥207．
答：该商场每件电子产品的售价至少应为207元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，根据已知得出等式方程求出是解题关键．
23．（14分）如图，AB是 O的直径，AC切 O于点A，AD是 O的弦，OC⊥AD于F交 O
于E，连接DE，BE，⊙BD．AE． ⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）如果AB＝10，tan∠BAD＝ ，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB＝10，求四边形AEDB的面积．
【分析】（1）根据切线性质、垂直的性质、直角三角形的两个锐角互余的性质求得
∠C+∠AOC＝∠AOC+∠BAD＝90°，即∠C＝∠BAD；然后由圆周角定理推知∠BED＝
∠BAD；最后由等量代换证得∠C＝∠BED；
（2）根据锐角三角函数的定义求AC的长；
（3）根据已知条件推知AE＝BD＝DE，然后由圆的弧、弦、圆心角间的关系知 ，
从而求得∠BAD＝30°；然后由直径AB所对的圆周角∠ADB＝90°可以求得直角三角形
第21页（共25页）ABD中30°所对的直角边是斜边的一半BD＝ AB＝5，DE＝5；最后（过点D作DH⊥AB
于H）在直角三角形HDA中求得高线DH的长度，从而求得梯形ABDE的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是 O的直径，CA切 O于A，
∴∠C+∠AOC＝90°； ⊙ ⊙
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA＝90°，
∴∠AOC+∠BAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD．
又∵∠BED＝∠BAD，
∴∠C＝∠BED．
（2）解：由（1）知∠C＝∠BAD，tan∠BAD＝ ，
∴tan∠C＝ ．
在Rt△OAC中，tan∠C＝ ，且OA＝ AB＝5，
∴ ，解得 ．
（3）解：∵OC⊥AD，∴ ，∴AE＝ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠EDA，∴ ，
∴AE＝BD，
∴AE＝BD＝DE，
∴ ，
∴∠BAD＝30°，
又∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴BD＝ AB＝5，DE＝5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD＝ ，
过点D作DH⊥AB于H，
第22页（共25页）∵∠HAD＝30°，∴DH＝ AD＝ ，
∴四边形AEDB的面积＝ ．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数的定义．解题
时，注意知识的综合利用．
24．（14分）如图，已知抛物线经过原点O，与x轴交于另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于
点C，直线y＝2x+1经过抛物线上一点B（m，﹣3），且与y轴、直线x＝2分别交于点D，E．
（1）求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求证：CD⊥BE；
（3）在对称轴x＝2上是否存在点P，使△PBE是直角三角形？如果存在，请求出点P的坐
标，并求出△PAB的面积；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由对称轴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，由直线y＝2x+1经过点B（m，
﹣3），可以求出m的值，求出B点的坐标，从而可以求出抛物线的解析式．
（2）利用直线BE的解析式和对称轴求出E的坐标，求出CE的值，过点B作BF垂直于x
轴于F，作BH垂直于直线x＝2于H，交y轴于点Q，利用勾股定理可以求得△BCE是等
腰三角形，且BD＝DE，由等腰三角形的性质就得出结论．
（3） 当∠BPE＝90°时，点P与（2）中的点H重合，可以求出P点的坐标，△PAB的面积；
当∠①EBP＝90°时，设点P（2，y），利用△BHP∽△EHB可以求出点P的坐标，从而求出
△PAB的面积．
第23页（共25页）【解答】（1）解：∵已知抛物线的对称轴为x＝2，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
又∵直线y＝2x+1经过点B（m，﹣3），
∴﹣3＝2m+1，解得，m＝﹣2，
∴点B（﹣2，﹣3），
又∵二次函数y＝a（x﹣2）2+k的图象经过0（0，0），B（﹣2，﹣3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）证明：由题意解方程组 ，
得
∴点E的坐标为（2，5），∴CE＝5．
过点B作BF垂直于x轴于F，作BH垂直于直线x＝2于H，交y轴于点Q，
∵点B（﹣2，﹣3），D（0，1），
∴BF＝3，BH＝4，CH＝BF＝3，OD＝1，EH＝8，DQ＝4．
在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中，
由勾股定理得BE＝ ，BD＝ ，BC＝
∴BD＝ BE，
又∵EC＝5，
∴BC＝CE，
∴CD⊥BE．
（3）解：结论：存在点P，使△PBE是直角三角形．
当∠BPE＝90°时，点P与（2）中的点H重合，
① 第24页（共25页）∴此时点P的坐标为（2，﹣3）；
延长BH与过点A（4，0）且与x轴垂直的直线交于M，
则 ；
当∠EBP＝90°时，设点P（2，y），
②∵E（2，5），H（2，﹣3），B（﹣2，﹣3）），
∴BH＝4，EH＝8，PH＝﹣3﹣y．
在Rt△PBE中，BH⊥PE，
可证得△BHP∽△EHB， ，即 ，
解得y＝﹣5，
此时点P的坐标为（2，﹣5）．
过点P与x轴平行的直线与FB的延长线交于点N，
则 ．
综合 ， 知点P的坐标为（2，﹣3），△PAB的面积为6；或点P的坐标为（2，﹣5），
△PA①B的面②积为12．
【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的
面积，勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质．
第25页（共25页）
