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2019年四川省德阳市中考数学试卷
一.选择题（本大题共12个小题.每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，有且仅有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3y+5y＝8y2 B．3y﹣5y＝﹣2 C．3y×5y＝15y2 D．3y÷5y＝ y
3．（3分）已知直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点O，且∠BOE＝140°．直线l平分∠BOE
交CD于点G，那么∠CGO＝（ ）
A．110° B．105° C．100° D．70°
4．（3分）在九年级一次数学单元测验中，某班一个学习小组6人的成绩（单位：分）分别为：
85、87、98、70、84、87．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．86和89 B．85和86 C．86和87 D．87和87
5．（3分）若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率为1
B．平均数和方差都不易受极端值的影响
C．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
D．可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
7．（3分）一个正方体的相对表面上所标的数字相等，如图，是这个正方体的表面展开图，那
么x+y＝（ ）
第1页（共27页）A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高
一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为
三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
9．（3分）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．无解
1 2
10．（3分）已知 ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD是等边三角形，且AD＝4，则
AB等于（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
11．（3分）对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中： 当x＜2时．y随x的增大而减
小； 若函数的图象与x轴有交点，则a≥9； 若a＝8，则①二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜
4）的②图象在x轴的下方； 若将此函数的图③象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的④函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图，已知 O 与 O 的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为 O 上一点，
1 2 1
∠AO O ＝30°，点P⊙为线段⊙O O 上的一个动点，过P作O A的平行线l，如果⊙在 O 上有
1 2 1 2 1 2
⊙
且仅有2个点到直线l的距离为 ，则O P的取值范围是（ ）
1
第2页（共27页）A． ＜O P≤ B． ＜O P＜3 C． ＜O P≤ D． ＜O P＜
1 1 1 1
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）2019年“世界无烟日”的主题是“烟草与肺部健康“，据世界卫生组织权威统计
信息，全球每年因吸烟而死亡的人数高达 7030000 人，若用科学记数法表示数据
7030000，应当为 ．
14．（3分）某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况随机抽取10株树苗测
量其高度，统计结果如表：
高度（cm） 40 50 60 70
株数 2 4 3 1
由此估计这批树苗的平均高度为 cm．
15．（3分）将直线y＝﹣x+8向下平移m个单位后，与直线y＝3x+6的交点在第二象限，则m
的取值范围是 ．
16．（3分）给出下列结论：
三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点；
①圆内接四边形的对角相等；
②圆心角为120°，半径为4的扇形的面积是 ；
③
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，它与原
④图形的相似比为3，那么与原图形上的点P（1，2）对应的位似图形上点P'的坐标为（3，6）
或（﹣3，﹣6）．
其中正确的结论是 （填写正确结论的编号）
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（x ，y ）、P（x ，y ）、P（x ，y ），……，P
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n
（x ，y ）均在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点Q 、Q 、Q 、……、Q 均在x轴的正半轴
n n 1 2 3 n
上，且△OP 1 Q 1 、△Q 1 P 2 Q 2 、△Q 2 P 3 Q 3 、…、△Q n﹣1 P n Q n 均为等腰直角三角形，OQ 1 、Q 1 Q 2 、
Q 2 Q 3 、……、Q n﹣1 Q n 分别为以上等腰直角三角形的底边，则y 1 +y 2 +y 3 +…+y 2019 的值等于
．
第3页（共27页）三、解答题（共69分）.
18．（6分）计算：﹣12+（2﹣ ）0﹣4cos60°﹣ ．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝ AD，点E为AD的中点，点F为AE的
中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
20．（11分）某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：
（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为 辆．在图2中，
2月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 ．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G 、G 、G 表示，合
1 2 3
资车分别用H 、H 表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举
1 2
法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
21．（10分）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为A型发电机和B型发电
机共45台，其中A型发电机数量比B型发电机数量多5台．
（1）问甲车间每天生产A、B两种型号发电机各多少台？
第4页（共27页）（2）乙车间每天产量为50台，其中A型发电机20台，B型发电机30台，现有一订单需A
型发电机720台和B型发电机M台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂
里决定由甲乙两车间先后用30天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于
甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参加此订单生产，求出M所有的可能值．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝ 的图象与双曲线
y＝ （x＞0）交于A、B、C三点，其中C点的坐标为（6，n），且点A的横坐标为 ．
（1）求此双曲线的解析式；
（2）求m的值及交点B的坐标．
23．（11分）如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，OE⊥BC于点H，交 O于点E，点D
为OE的延长线上一⊙点，DC的延长线与⊙BA的延长线交于点F，且∠BOD⊙＝∠BCD，连结
BD、AC、CE．
（1）求证：DF为 O的切线；
（2）过E作EG⊥⊙FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝ ，求EG的长．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两
第5页（共27页）点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝ ，B、C两点的坐标分别
为B（2 ，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重
合）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？
如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点
M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？
如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
第6页（共27页）2019年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12个小题.每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，有且仅有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣6的倒数是（ ）
A．﹣6 B．6 C． D．
【分析】根据倒数的定义求解．
【解答】解：﹣6的倒数是﹣ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义，解题的关键是熟记定义．
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3y+5y＝8y2 B．3y﹣5y＝﹣2 C．3y×5y＝15y2 D．3y÷5y＝ y
【分析】分别按照单项式的加减乘除法运算法则验证即可．
【解答】解：选项A：3y+5y＝8y，故A错误；
选项B：3y﹣5y＝﹣2y，故B错误；
选项C：3y×5y＝15y2，故C正确；
选项D：3y÷5y＝ ，故D错误．
综上，只有C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的加减乘除混合运算，属于基础知识的考查，比较简单．
3．（3分）已知直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点O，且∠BOE＝140°．直线l平分∠BOE
交CD于点G，那么∠CGO＝（ ）
A．110° B．105° C．100° D．70°
第7页（共27页）【分析】由角平分线性质得出∠1＝ ∠BOE＝70°，利用平行线的性质知∠DGO＝∠1＝
70°，根据邻补角概念可得答案．
【解答】解：如图，
∵直线l平分∠BOE，且∠BOE＝140°，
∴∠1＝ ∠BOE＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠DGO＝∠1＝70°，
∴∠CGO＝110°，
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质．
4．（3分）在九年级一次数学单元测验中，某班一个学习小组6人的成绩（单位：分）分别为：
85、87、98、70、84、87．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．86和89 B．85和86 C．86和87 D．87和87
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均
数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：70，84，85，87，87，98，
则众数为：87，
中位数为：（85+87）÷2＝86．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将
一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间
位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
就是这组数据的中位数．
5．（3分）若一个多边形的内角和为其外角和的2倍，则这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是360°×2＝720°．设这个多边形是n边形，内角
第8页（共27页）和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）•180°＝360°×2，
解得：n＝6，即这个多边形为六边形．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理和外角和．能够根据多边形的内角和定理和外角
和的特征，把求边数的问题就可以转化为解方程的问题是解题的关键．
6．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率为1
B．平均数和方差都不易受极端值的影响
C．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
D．可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率
【分析】利用概率的意义、算术平均数及方差的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意；
B、平均数和方差都受极端值的影响，故原命题错误，符合题意；
C、抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度，正确，不符合
题意；
D、可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，正确，不符合题
意，
故选：B．
【点评】考查了概率的意义、算术平均数及方差的知识，解题的关键是了解有关统计的知
识，难度不大．
7．（3分）一个正方体的相对表面上所标的数字相等，如图，是这个正方体的表面展开图，那
么x+y＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x”与面“1”相对，面
第9页（共27页）“y”与面“2”相对，“3”与面“无字”相对．
∵正方体的相对表面上所标的数字相等，
∴x＝1，y＝2．
∴x+y＝1+2＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字．解题的关键是明确找正方体相对两个面
上的文字的方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
8．（3分）《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高
一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为
三尺．问折断处高地面的距离为（ ）
A．5.45尺 B．4.55尺 C．5.8尺 D．4.2尺
【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：
AC2+BC2＝AB2，
即：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
故选：B．
【点评】考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不
大．
9．（3分）分式方程 ＝ 的解是（ ）
A．x ＝﹣2，x ＝1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．无解
1 2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+1）＝2，即x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2，
经检验x＝1是增根，分式方程的解为x＝﹣2，
第10页（共27页）故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
10．（3分）已知 ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD是等边三角形，且AD＝4，则
AB等于（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【分析】根据等边三角形的性质得出AD＝OA＝OD，利用平行四边形的性质和矩形的判定
解答即可．
【解答】解：∵△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝OD＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝ AC，OD＝ BD，
∴AC＝BD＝8，
∴四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABD中，AB＝ ，
故选：D．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答即可．
11．（3分）对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中： 当x＜2时．y随x的增大而减
小； 若函数的图象与x轴有交点，则a≥9； 若a＝8，则①二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜
4）的②图象在x轴的下方； 若将此函数的图③象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的④函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向可判断函数的增减变化；根据判别式△可得a的
取值范围；当a＝8时，解方程可得其与x轴的交点坐标；将原抛物线解析式写成顶点式，
得其顶点坐标，则易得旋转180°之后的函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝3，且开口向上
∴当x＜2时．y随x的增大而减小，故 正确；
当△＝36﹣4a≥0，即a≤9时，函数图①象与x轴有交点，故 错误；
当a＝8时，y＝x2﹣6x+8，解方程x2﹣6x+8＝0，得x
1
＝2，x②2 ＝4
∴函数图象与x轴交于（2，0）、（4，0）
第11页（共27页）∵函数图象开口向上
∴当2＜x＜4时，函数图象在x轴下方，故 正确；
y＝x2﹣6x+a＝（x﹣3）2+a﹣9
③
∴顶点坐标为（3，a﹣9）
函数图象绕坐标原点旋转180°后，顶点坐标为（﹣3，9﹣a），故 正确．
综上，正确的有 ④
故选：C． ①③④
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，明确二次函数的对称性及其与x轴的交
点与一元二次方程的根的关系，同时明确二次函数的顶点式及其旋转后的顶点变化等知
识点，这是解题的关键．
12．（3分）如图，已知 O 与 O 的半径分别为2和1，且两圆外切，点A为 O 上一点，
1 2 1
∠AO O ＝30°，点P⊙为线段⊙O O 上的一个动点，过P作O A的平行线l，如果⊙在 O 上有
1 2 1 2 1 2
⊙
且仅有2个点到直线l的距离为 ，则O P的取值范围是（ ）
1
A． ＜O P≤ B． ＜O P＜3 C． ＜O P≤ D． ＜O P＜
1 1 1 1
【分析】过点O 作O B⊥直线l于B．求出两种特殊情形的O P的值即可判断．
2 2 1
【解答】解：过点O 作O B⊥直线l于B．
2 2
当O B＝1+ ＝ 时， O 上有且只有一个点到直线l的距离为 ，
2 2
⊙
∵AO ∥PB，
1
∴∠BPO ＝∠AO P＝30°，
2 1
∴PO ＝2O B＝ ，
2 2
∴O P＝O O ﹣O P＝3﹣ ＝ ，
1 1 2 2
当O B′＝1﹣ ＝ 时，同法可得P′O ＝2O B′＝ 此时O P′＝3﹣ ＝ ，
2 2 2 1
第12页（共27页）观察图象可知： ＜O P＜ ，
1
故选：D．
【点评】本题考查相切两圆的性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是性
质寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）2019年“世界无烟日”的主题是“烟草与肺部健康“，据世界卫生组织权威统计
信息，全球每年因吸烟而死亡的人数高达 7030000 人，若用科学记数法表示数据
7030000，应当为 7.03×1 0 6 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：7 030 000＝7.03×106，
故答案为：7.03×106．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）某学校科学兴趣小组为了了解自己育种的树苗的生长情况随机抽取10株树苗测
量其高度，统计结果如表：
高度（cm） 40 50 60 70
株数 2 4 3 1
由此估计这批树苗的平均高度为 5 3 cm．
【分析】根据表格中的数据和加权平均数的计算方法可以计算出这批树苗的平均高度．
【解答】解：这批树苗的平均高度为： ＝53（cm），
故答案为：53．
【点评】本题考查加权平均数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确加权平均数的计
算方法．
15．（3分）将直线y＝﹣x+8向下平移m个单位后，与直线y＝3x+6的交点在第二象限，则m
第13页（共27页）的取值范围是 2 ＜ m ＜ 1 0 ．
【分析】将直线y＝﹣x+8向下平移m个单位后可得：y＝﹣x+8﹣m，求出直线y＝﹣x+8﹣
m与直线y＝3x+6的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．
【解答】解：将直线y＝﹣x+8向下平移m个单位后可得：y＝﹣x+8﹣m，
联立两直线解析式得： ，
解得： ，
即交点坐标为（ ， ），
∵交点在第二象限，
∴ ，
解得：2＜m＜10．
故答案为2＜m＜10．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的
横坐标小于0、纵坐标大于0．
16．（3分）给出下列结论：
三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点；
①圆内接四边形的对角相等；
②
圆心角为120°，半径为4的扇形的面积是 ；
③
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，它与原
④图形的相似比为3，那么与原图形上的点P（1，2）对应的位似图形上点P'的坐标为（3，6）
或（﹣3，﹣6）．
其中正确的结论是 （填写正确结论的编号）
【分析】根据三角形的①重③心的④概念、圆内接四边形的性质、扇形面积公式、位似变换的性质
判断，得到答案．
【解答】解：三角形的重心是三角形三条边上的中线的交点， 正确；
圆内接四边形的对角互补，不一定相等， 错误； ①
第14页（②共27页）圆心角为120°，半径为4的扇形的面积＝ ＝ ， 正确；
③
以原点为位似中心画出一个与原图形位似的图形，它与原图形的相似比为3，那么与原图
形上的点P（1，2）对应的位似图形上点P'的坐标为（1×3，2×3）或（﹣1×3，﹣2×3），即（3，
6）或（﹣3，﹣6）， 正确；
故答案为： ．④
【点评】本题①考③查的④是命题的真假判断，掌握三角形的重心的概念、圆内接四边形的性质、
扇形面积公式、位似变换的性质是解题的关键．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（x ，y ）、P（x ，y ）、P（x ，y ），……，P
1 1 1 2 2 2 3 3 3 n
（x ，y ）均在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，点Q 、Q 、Q 、……、Q 均在x轴的正半轴
n n 1 2 3 n
上，且△OP 1 Q 1 、△Q 1 P 2 Q 2 、△Q 2 P 3 Q 3 、…、△Q n﹣1 P n Q n 均为等腰直角三角形，OQ 1 、Q 1 Q 2 、
Q 2 Q 3 、……、Q n﹣1 Q n 分别为以上等腰直角三角形的底边，则y 1 +y 2 +y 3 +…+y 2019 的值等于
．
【分析】过点P 分别向x轴作垂线，交x轴于点H ，构造等腰直角三角形，利用反比例函数
n n
建立方程，可求出y ，y ，…，从而找出规律即可．
1 2
【解答】解：如解图，过点P 分别向x轴作垂线，交x轴于点H ，
n n
∵点P ．在反比例函数 的图象上，且构造成等腰直角三角形
n
∴ ，∴OH ＝3，∴OQ ＝6，
1 1
令P H ＝y
2 2 2
第15页（共27页），则有y （6+y ）＝9，
2 2
解得 （舍去） ，
则 ＝ y （2y +2y +y ）＝9，
3 1 2 3
解得 ，
则
＝ ，
根据规律可得y +y +y +…+y ＝ ．
1 2 3 2019
故答案为
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，反比例函数的性质，过点P 分别向x轴作垂
n
线，构造等腰直角三角形是本题的关键．
三、解答题（共69分）.
18．（6分）计算：﹣12+（2﹣ ）0﹣4cos60°﹣ ．
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及立方根定义计算
即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣1+1﹣4× ﹣（﹣2）
＝﹣1+1﹣2+2
＝0．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则
是解本题的关键．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝ AD，点E为AD的中点，点F为AE的
中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．
第16页（共27页）【分析】（1）四边形ADCE是菱形，根据点E是AD的中点，得到AE＝ AD．由BC＝
AD，可知AE＝BC．因此四边形ABCE是平行四边形，又AC⊥CD，点E是AD的中点，所
以CE＝AE＝DE，得到四边形ABCE是菱形；
（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形，求出AF＝ AE＝2，当PA+PF最小时，△PAF的周长
最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，易证△ACE是等边三角
形．，AC＝AE＝CE＝4．由勾股定理CF＝2 ，所以△PAF的周长最小＝CF+AF＝2
．
【解答】解：（1）四边形ADCE是菱形，理由如下：
∵点E是AD的中点，
∴AE＝ AD．
∵BC＝ AD，
∴AE＝BC．
∵BC∥AD，即BDC∥AE．
∴四边形ABCE是平行四边形
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形
（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称
∵点F是AE的中点，AF＝ AE＝2
∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小
即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，
此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，
在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，．
第17页（共27页）∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
∴AC＝AE＝CE＝4．
∵AF＝EF，CF⊥AE
∴CF＝ ＝2
△PAF的周长最小＝CF+AF＝2 ．
【点评】本题考查了菱形的判定和轴对称﹣最短路线问题，熟练运用菱形的判定方法与勾
股定理是解题的关键．
20．（11分）某汽车销售公司一位销售经理1～5月份的汽车销售统计图如下：
（1）已知1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，则1月的销售量为 7 辆．在图2中，2
月的销售量所对应的扇形的圆心角大小为 36 ° ．
（2）补全图1中销售量折线统计图．
（3）已知4月份销售的车中有3辆国产车和2辆合资车，国产车分别用G 、G 、G 表示，合
1 2 3
资车分别用H 、H 表示，现从这5辆车中随机抽取两辆车参加公司的回馈活动，请用列举
1 2
法（画树状图或列表）求出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【分析】（1）依据3月的销量以及百分比，即可得到1～5月份汽车销售总量，进而得出1
月和2月的销售量以及对应的扇形的圆心角大小；
（2）依据1月和2月的销售量即可补全图1中销售量折线统计图；
（3）通过列举法即可得到共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，
进而得出“抽到的两辆车都是国产车“的概率．
【解答】解：（1）1～5月份汽车销售总量为2÷10%＝20（辆），
∴1～2月份共销售汽车20﹣2﹣5﹣4＝9（辆），
∵1月的销售量是2月的销售量的3.5倍，
∴2月的销售量为9÷4.5＝2（辆），1月的销售量为2×3.5＝7（辆），
第18页（共27页）2月销售量所对应的扇形圆心角为 ＝36°，
故答案为：7，36°；
（2）补全图1中销售量折线统计图：
（3）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中两辆车都是国产车的情况有6种，
∴“抽到的两辆车都是国产车“的概率P＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（10分）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为A型发电机和B型发电
机共45台，其中A型发电机数量比B型发电机数量多5台．
（1）问甲车间每天生产A、B两种型号发电机各多少台？
（2）乙车间每天产量为50台，其中A型发电机20台，B型发电机30台，现有一订单需A
型发电机720台和B型发电机M台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂
里决定由甲乙两车间先后用30天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于
甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参加此订单生产，求出M所有的可能值．
【分析】（1）设甲车间每天生产A型号发电机x台，则每天生产B型号发电机（45﹣x）台，
根据甲车间每天生产的A型发电机数量比B型发电机数量多5台，即可得出关于x的一
元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设甲车间需安排生产m天，则乙车间需安排生产（30﹣m）天，根据工作总量＝工作效
第19页（共27页）率×工作时间结合生产A型发电机不少于720台，即可得出关于m的一元一次不等式，解
之即可得出m的取值范围，结合甲车间最多安排27天参加生产可得出甲车间可能生产的
天数，再结合M＝900﹣10m即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲车间每天生产A型号发电机x台，则每天生产B型号发电机（45﹣x）
台，
依题意，得：x﹣（45﹣x）＝5，
解得：x＝25，
∴45﹣x＝20．
答：甲车间每天生产A型号发电机25台，每天生产B型号发电机20台．
（2）设甲车间需安排生产m天，则乙车间需安排生产（30﹣m）天，
依题意，得：25m+20（30﹣m）≥720，
解得：m≥24，
∴甲车间至少安排生产24天．
∵甲车间最多安排27天参加生产，
∴甲车间可以生产的天数为24，25，26，27．
∵M＝20m+30（30﹣m）＝900﹣10m，
∴M所有的可能值为660，650，640，630．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y＝ 的图象与双曲线
y＝ （x＞0）交于A、B、C三点，其中C点的坐标为（6，n），且点A的横坐标为 ．
（1）求此双曲线的解析式；
（2）求m的值及交点B的坐标．
第20页（共27页）【分析】（1）先把C（6，n）代入y＝ x﹣1求出n得到C（6，2），然后利用待定系数法求反
比例函数的解析式；
（2）利用反比例函数解析式得到A（ ，9），再把把A点代入y＝﹣3x+m中可求得m＝13，
然后通过解方程组 得B点坐标．
【解答】解：（1）把C（6，n）代入y＝ x﹣1得n＝ ×6﹣1＝2，则C（6，2），
设反比例函数的解析式为y＝ ，
把C（6，2）代入得k＝6×2＝12，
所以反比例函数解析式为y＝ ；
（2）当x＝ 时，y＝ ＝9，则A（ ，9），
把A（ ，9）代入y＝﹣3x+m得﹣4+m＝9，解得m＝13，
解方程组 得 或 ，
所以B点坐标为（3，4），
即m的值为13，交点B的坐标为（3，4）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
23．（11分）如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，OE⊥BC于点H，交 O于点E，点D
⊙ ⊙ ⊙
第21页（共27页）为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F，且∠BOD＝∠BCD，连结
BD、AC、CE．
（1）求证：DF为 O的切线；
（2）过E作EG⊥⊙FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；
（3）如果AF＝1，sin∠FCA＝ ，求EG的长．
【分析】（1）连结OC，证明∠OBH+∠BOD＝90°，可得∠BCD+∠OCB＝90°，则结论得证；
（2）证得∠ECG＝∠HCE，根据AAS可证明△CHE≌△CGE；
（3）由条件可得∠ACF＝∠ABC，设AC＝ a，则AB＝3a，由勾股定理得BC＝ a，证明
△ACF∽△CFB，可得 ＝ ，求出CF＝ ，BF＝2，AB＝1，则OC＝ ，BC＝ ，则
HE＝EG可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连结OC，
∵OE⊥BC，
∴∠OHB＝90°，
∴∠OBH+∠BOD＝90°，
∵OB＝OC，
第22页（共27页）∴∠OBH＝∠OCB，
∵∠BOD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴OC⊥CD，
∵点C为 O上一点，
∴DF为 ⊙O的切线；
⊙
（2）解：∵∠OCD＝90°，
∴∠ECG+∠OCE＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∴∠ECG+∠OEC＝90°，
∵∠OEC+∠HCE＝90°，
∴∠ECG＝∠HCE，
在△CHE和△CGE中， ，
∴△CHE≌△CGE（AAS）；
（3）解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵DF为 O的切线，
∴∠OCA⊙+∠FCA＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FCA＝∠ABC，
∴sin∠ABC＝sin∠FCA＝ ，设AC＝ a，则AB＝3a，
∴BC＝ ＝ ＝ a，
∵∠FCA＝∠ABC，∠AFC＝∠CFB，
∴△ACF∽△CFB，
第23页（共27页）∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵AF＝1，
∴CF＝ ，
∴BF＝ ＝2，
∴BF﹣AF＝AB＝1，
∴OC＝ ，BC＝ ，
∵OE⊥BC，
∴CH＝ BC＝ ，
∴OH＝ ＝ ＝ ，
∴HE＝OE﹣OH＝ ﹣ ，
∵△CHE≌△CGE，
∴EG＝HE＝ ﹣ ．
【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾
股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形
解决问题．
24．（14分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两
点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝ ，B、C两点的坐标分别
为B（2 ，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重
合）．
第24页（共27页）（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？
如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点
M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？
如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）将点B（2 ，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式，再结合﹣ ＝ ，联立即
可求a、b、c的值；
（2）设P（m， m2﹣ m﹣3），由S△PBC ＝S四边形OCPB ﹣S△BOC ，分别求出S四边形OCPB 和
S△BOC 的面积得到S△PBC ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，即可求△PBC面积的最大值；
（3）先求出A（﹣ ，0），在Rt△AOC中，tan∠OAC＝ ＝ ，求出∠MAC＝60°，由ME
＝NE＝AE＝DE，可得点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，由圆周角定理可得∠MEN＝
2∠MAC＝120°．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝ ，
∴﹣ ＝ ，
∵B（2 ，0），C（0，﹣3）在抛物线上，
∴ ，
第25页（共27页）解得 ，
∴y＝ x2﹣ x﹣3；
（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，
设P（m， m2﹣ m﹣3），
连接OP，则S△POC ＝ ×OC×m＝ m，
S△POB ＝ ×OB×（﹣ m2+ m+3）＝﹣ m2+ m+3 ，
∴S四边形OCPB ＝S△OPC +S△POB ＝﹣ m2+3m+3 ，
∵S△OBC ＝ ×OC×OB＝3 ，
∴S△PBC ＝S四边形OCPB ﹣S△BOC ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，△PBC的面积最大，最大值为 ，此时点P的坐标为（ ，﹣3）；
（3）∠MEN为定值．
当y＝0时， x2﹣ x﹣3＝0，
解得x＝﹣ 或x＝2 ，
∴A（﹣ ，0），
在Rt△AOC中，tan∠OAC＝ ＝ ，
∴∠MAC＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，
∴ME＝NE＝AE＝DE，
∴点M、A、D、N在以E为圆心的圆上，
由圆周角定理可得∠MEN＝2∠MAC＝120°，
∴∠MEN为定值．
第26页（共27页）【点评】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握待定系数法求
函数解析式的方法，结合直角三角形与圆的知识综合解题是关键．
第27页（共27页）
