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2016年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项
中，有且仅有一项是符合题目要求的．
1．（3分）|﹣2|=（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（3分）下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形其内角和为361°
B．任意做一个矩形，其对角线相等
C．任取一个实数，其相反数之和为0
D．外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格
品
3．（3分）将235000000用科学记数法表示为（ ）
A．235×106B．2.35×107C．2.35×108D．0.235×109
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点，E、F，将l绕
点E逆时针旋转40°后，与直线AB相较于点G，若∠GEC=80°，那么∠GFE=（
）
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．（3分）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成构成这个
几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第1页（共33页）6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．处于中间位置的数为这组数的中位数
B．中间两个数的平均数为这组数的中位数
C．想要了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用全面调查的方法
D．公司员工月收入的众数是3500元，说明该公司月收入为3500元的员工最多
7．（3分）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜4B．x＜ C．x≤4 D．x≤
8．（3分）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的
底面半径是（ ）
A． B．1 C． D．
9．（3分）如图，AP为☉O的切线，P为切点，若∠A=20°，C、D为圆周上两点，且
∠PDC=60°，则∠OBC等于（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
10．（3分）已知关于x的分式方程 ﹣1= 的解是正数，则m的取值范围是（
）
A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3 D．m＞5且m≠6
11．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=3，AC= ，点 D 是 BC 边上的一点，
AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r ，r ，那么 =（ ）
1 2
第2页（共33页）A．2 B． C． D．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的个数为
（ ）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞ 时，y随x的增大而减小．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（3分）一组数据10，10，9，8，x的平均数是9，则这列数据的极差是 ．
14．（3分）若实数x，y满足（2x+3）2+|9﹣4y|=0，则xy的立方根为 ．
15．（3分）已知x﹣ =4，则x2﹣4x+5的值为 ．
16．（3分）如图所示，已知∠AOB=60°，☉O 与∠AOB的两边都相切，沿OO 方
1 1
向做☉O 与∠AOB的两边相切，且与☉O 外切，再作☉O 与∠AOB的两边相切
2 1 3
且与☉O 外切，…，如此作下去，☉O 与∠AOB的两边相切，且与☉O 外切，设
2 n n﹣1
☉O 的半径为r ，已知r =1则r = ．
n n 1 2016
第3页（共33页）17．（3分）如图，在△ABC中，BC=3 ，AC=5，∠B=45°，则下面结论正确的是
．
①∠C一定是钝角；②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA= ；④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是 ．
三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）计算：（ ）﹣1﹣6cos30°﹣（ ）0+ ．
19．（7分）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是
点E关于AC所在直线的对称点．
（1）证明：四边形CFAE为菱形；
（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．
第4页（共33页）20．（11分）某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取了部分学生家
庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问卷，将收回的调
查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图：
代号 情况分类 家庭数
A 带孩子玩且关心其作业完成情况 8
B 只关心其作业完成情况 m
C 只带孩子玩 4
D 既不带孩子玩也不关心其作业完成情况 n
（1）求m，n的值；
（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在B、C、D类家庭中抽取家长组成
培训班，其比例为B类20%，C、D类各取60%，请你估计该培训班的家庭数；
（3）若在C类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出C
类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．
第5页（共33页）21．（10分）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350
元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，
①最多可采购甲商品多少件？
②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的 ，请给出所有购买方案，并求
出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
22．（10分）如图，一次函数y=﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），且与y轴相
较于点C，与双曲线y= 相交于点P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S =4，求双曲线的解析式．
△MPC
第6页（共33页）23．（11分）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点．M是BD上一点，且满
足DM=DC，点E是AC与BD的交点．
（1）求证：CM∥AD；
（2）如果AD=1，CM=2．求线段BD的长及△BCE的面积．
24．（14分）如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7）且与
直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求
出点T的坐标；若不存在请说明理由．
第7页（共33页）第8页（共33页）2016 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项
中，有且仅有一项是符合题目要求的．
1．（3分）（2016•德阳）|﹣2|=（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2，
故选A．
【点评】本题主要考查了绝对值的定义，掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是
它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解答此题的关键．
2．（3分）（2016•德阳）下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形其内角和为361°
B．任意做一个矩形，其对角线相等
C．任取一个实数，其相反数之和为0
D．外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格
品
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【解答】解：A、画一个三角，形其内角和为361°是不可能事件，故A错误；
B、任意做一个矩形，其对角线相等是必然事件，故B错误；
C、任取一个实数，其相反数之和为0是必然事件，故C错误；
D、外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格
品是随机事件，故D正确；
故选D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随
第9页（共33页）机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一
定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能
发生也可能不发生的事件．
3．（3分）（2016•德阳）将235000000用科学记数法表示为（ ）
A．235×106B．2.35×107C．2.35×108D．0.235×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的
位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负
数．
【解答】解：235 000 000=2.35×108，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2016•德阳）如图，已知直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点，
E、F，将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相较于点G，若∠GEC=80°，那么
∠GFE=（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】求出∠FED，根据平行线的性质得出∠GFE=∠FED，即可得出选项．
【解答】解：∵将l绕点E逆时针旋转40°后，与直线AB相较于点G，
∴∠GEF=40°，
∵∠GEC=80°，
∴∠FED=180°﹣40°﹣80°=60°，
∵AB∥CD，
第10页（共33页）∴∠GFE=∠FED=60°，
故选A．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质得出
∠GFE=∠FED是解此题的关键．
5．（3分）（2016•德阳）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则
构成构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为4，也可以根据画三
视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来．
【解答】解：由三视图可得，需要的小正方体的数目：1+2+1=4．如图：
故选B．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对
空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视
图拆违章”就能容易得到答案了．
6．（3分）（2016•德阳）下列说法正确的是（ ）
A．处于中间位置的数为这组数的中位数
B．中间两个数的平均数为这组数的中位数
C．想要了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用全面调查的方法
D．公司员工月收入的众数是3500元，说明该公司月收入为3500元的员工最多
【分析】利用众数，算术平均数，以及中位数定义判断即可．
【解答】解：A、将一组数据按照从小到大顺序排列，然后前面一个后面一个划去，
第11页（共33页）剩下的数即为中位数，错误；
B、将一组数据按照从小到大顺序排列，然后前面一个后面一个划去，剩下的数即
为中位数，错误；
C、想要了解一批电磁炉的使用寿命，适合采用抽样调查的方法，错误；
D、公司员工月收入的众数是3500元，说明该公司月收入为3500元的员工最多，
正确，
故选D
【点评】此题考查了众数，全面调查与抽样调查，算术平均数，以及中位数，熟练掌
握各自的定义是解本题的关键．
7．（3分）（2016•德阳）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜4B．x＜ C．x≤4 D．x≤
【分析】被开方数是非负数，由此得到4﹣3x≥0，通过解不等式求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：4﹣3x≥0，
解得x≤ ．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面
考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次
根式时，被开方数为非负数．
8．（3分）（2016•德阳）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为
2，则圆锥的底面半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得
圆锥的底面半径即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得：
2π×r×2÷2=2×πr2，
第12页（共33页）解得：r=1．
故选B．
【点评】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键
是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的
弧长．
9．（3分）（2016•德阳）如图，AP为☉O的切线，P为切点，若∠A=20°，C、D为圆
周上两点，且∠PDC=60°，则∠OBC等于（ ）
A．55° B．65° C．70° D．75°
【分析】连接OP、OC，由圆周角定理可求得∠POC，再直角三角形可求得∠AOP，
则可求得∠BOC，再利用等腰三角形的性质可求得∠OBC．
【解答】解：
连接OP、OC，
∵AP为⊙O的切线，
∴OP⊥AP，
∴∠APO=90°，
∴∠AOP=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°，
∵∠PDC=60°，
∴∠POC=2∠PDC=120°，
∴∠BOC=∠POC﹣∠AOP=120°﹣70°=50°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB= =65°，
故选B．
第13页（共33页）【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线的性质和圆周角定理求得∠BOC的
度数是解题的关键．
10．（3分）（2016•德阳）已知关于x的分式方程 ﹣1= 的解是正数，则m的
取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3B．m＜4 C．m≤4且m≠3 D．m＞5且m≠6
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2=0，
解得x=4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选A．
【点评】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相
等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
11．（3分）（2016•德阳）如图，在△ABC中，AB=3，AC= ，点D是BC边上的一点，
AD=BD=2DC，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r ，r ，那么 =（ ）
1 2
第14页（共33页）A．2 B． C． D．
【分析】如图，设⊙O与△ABC内切于E、F、G．首先证明AE=BE=BF=AG= ，设
DF=DG=m，由AD=2DC，推出CD= （ +m），由S ：S =BD：DC=2：1，
△ABD △ADC
可得 ： [ + ]•r =2：1，由此即可得出结论．
2
【解答】解：如图，设⊙O与△ABC内切于E、F、G．
∵DA=DB，DG=DF，
∴BF=AG=BE=AE，
∵AB=3，
∴AE=BE=BF=AG= ，设DF=DG=m，
∵AD=2DC，
∴CD= （ +m），
∵S ：S =BD：DC=2：1，
△ABD △ADC
∴ ： [ + ]•r =2：1，
2
第15页（共33页）∴（6+2m）•r ： （2+2m）•r ═2：1，
1 2
∴r ：r =3：2．
1 2
故选C．
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、三角形的面积公式：S=
（a+b+c）•（r r为内切圆半径）等知识，解题的关键是灵活运用切线长定理，学会利
用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．（3分）（2016•德阳）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论
正确的个数为（ ）
①c＞0；②a＜b＜0；③2b+c＞0；④当x＞ 时，y随x的增大而减小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设y=ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，左边为A，右边为B，A（x ，0），B
1
（x ，0），那么抛物线方程可写为y=a（x﹣x ）（x﹣x ），那么b=﹣a（x +x ），从图中
2 1 2 1 2
可知，因为x +x ＞﹣1，因此b=﹣a（x +x ）＞（﹣a）×（﹣1）=a，所以a＜b＜0，故
1 2 1 2
②正确，其余不难判断．
【解答】解：由图象可知，a＜0，c＞0，a+b+c=0，a﹣b+c＞0，故①正确，
设y=ax2+bx+c与x轴的交点为A，B，左边为A，右边为B，A（x ，0），B（x ，0），那
1 2
么抛物线方程可写为y=a（x﹣x ）（x﹣x ），那么b=﹣a（x +x ），从图中可知，因为
1 2 1 2
x +x ＞﹣1，因此b=﹣a（x +x ）＞（﹣a）×（﹣1）=a，
1 2 1 2
所以a＜b＜0，故②正确，
∵a+b+c=0，a＜b＜0，
∴2b+c＞0，故③正确，
由图象可知，当x＞ 时，y随x的增大而减小，故④正确．
第16页（共33页）故选D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数关系、解题的关键是判定a＜b＜0，题目有
点难，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共15分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．（3分）（2016•德阳）一组数据10，10，9，8，x的平均数是9，则这列数据的极差
是 8 ．
【分析】先根据平均数求出x，再根据极差定义可得答案．
【解答】解：由题意知 =9，
解得：x=8，
∴这列数据的极差是10﹣8=2，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查平均数和极差，熟练掌握平均数的计算得出x的值是解题
的关键．
14．（3分）（2016•德阳）若实数x，y满足（2x+3）2+|9﹣4y|=0，则xy的立方根为
﹣ ．
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出立方
根即可．
【解答】解：∵（2x+3）2+|9﹣4y|=0，
∴2x+3=0，解得x=﹣ ，
9﹣4y=0，解得y= ，
xy=﹣ × =﹣ ，
∴xy的立方根为﹣ ．
故答案为：﹣ ．
第17页（共33页）【点评】本题考查了偶次方和绝对值，方程的思想，立方根的应用，关键是求出x、
y的值．
15．（3分）（2016•德阳）已知x﹣ =4，则x2﹣4x+5的值为 6 ．
【分析】首先根据x﹣ =4，求出x2﹣4x的值是多少，然后把求出的x2﹣4x的值代
入x2﹣4x+5，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵x﹣ =4，
∴x2﹣1=4x，
∴x2﹣4x=1，
∴x2﹣4x+5=1+5=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，注意代入法的应用．
16．（3分）（2016•德阳）如图所示，已知∠AOB=60°，☉O 与∠AOB的两边都相
1
切，沿OO 方向做☉O 与∠AOB的两边相切，且与☉O 外切，再作☉O 与∠AOB
1 2 1 3
的两边相切，且与☉O 外切，…，如此作下去，☉O 与∠AOB的两边相切，且与
2 n
☉O 外切，设☉O 的半径为r ，已知r =1则r = 3 201 5 ．
n﹣1 n n 1 2016
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据相似三角形的性质分别求半径r 、r 、…、
2 3
并找规律，得出结论．
【解答】解：设⊙O 、⊙O 、⊙O 与边OA的切点为G、M、N，
1 2 3
连接O G、O M、O N，
1 2 3
则O G⊥OA、O M⊥OA、O N⊥OA，
1 2 3
第18页（共33页）∴O G∥O M∥O N，
1 2 3
∵⊙O 与∠AOB的两边都相切，∠AOB=60°，
1
∴∠AOO =∠BOO =30°，
1 1
∵OG=r =1，
1
∴OO =2，
1
∵O G∥O M，
1 2
∴△OO G∽△OO M，
1 2
∴ = ，
∴ = ，
∴r =3，
2
同理得： = ，
∴r =9=32，
3
…
∴r =32015，
2016
故答案为：32015．
【点评】本题考查了切线长定理和切线的性质，本题可以看作是从圆外一点引圆
的两条切线，可以得它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的
夹角．根据这此结论与平行相似的判定结合，利用相似三角形的性质依次求圆的
半径即可．
17．（3分）（2016•德阳）如图，在△ABC中，BC=3 ，AC=5，∠B=45°，则下面结
论正确的是 ①③④ ．
第19页（共33页）①∠C一定是钝角；
②△ABC的外接圆半径为3；
③sinA= ；
④△ABC外接圆的外切正六边形的边长是 ．
【分析】如图1，作辅助线，构建三角形的高线，根据∠B=45°得△BDC是等腰直角
三角形，求出BD和CD的长，利用勾股定理求出AD的长，计算∠A的正弦值，
对③作出判断；
利用计算AE的长，从而计算BE的长，与BC比较可以得出∠C为钝角，对①作
出判断；
如图2，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得：△AOC是等腰直角三角形，
根据斜边AC=5，可计算半径OA的长，对②作出判断；
如图3，利用正六边形的特殊性质得：△OEF是等边三角形，从而根据半径OA的
长，计算DF的长，得出边长EF，对④作出判断．
【解答】解：如图1，过C作CD⊥AB于D，过A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵BC=3 ，
∴BD=CD=3，
由勾股定理得：AD= = =4，
∴sin∠BAC= = ，
所以③正确；
第20页（共33页）由S = AB•CD= CB•AE，
△ABC
∴7×3=3 AE，
AE= ，
在Rt△ABE中，BE= = = ＞BC=3 = ，
∴∠ACB＞90°，
即∠C一定是钝角；
所以①正确；
如图2，设△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA、OC，
∵∠B=45°，
∴∠AOC=2∠B=90°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴OA= = ，
则△ABC的外接圆半径为 ；
所以②不正确；
如图3，此正六边形是△ABC的外接圆的外切正六边形，
Rt△ODF中，由②得：OD= ，
由题意得：△OEF是等边三角形，
∴∠OFE=60°，
tan60°= = ，
∴DF= = ，
∴EF=2DF= ，
第21页（共33页）则△ABC外接圆的外切正六边形的边长是 ，
所以④正确，
故本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了等边三角形、正六边形、外接圆、内切圆等知识点，解题的关键
是正确地利用正六边形中相等的元素和圆的性质．
三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）（2016•德阳）计算：（ ）﹣1﹣6cos30°﹣（ ）0+ ．
【分析】根据锐角三角函数，负整数和零指数幂的法则，二次根式的性质即可求出
第22页（共33页）答案．
【解答】解：=2﹣6× ﹣1+3
=2﹣3 ﹣1+3
=1，
【点评】本题考查实数运算，涉及锐角三角函数，二次根式的性质，属于基础题型．
19．（7分）（2016•德阳）如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中
点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
（1）证明：四边形CFAE为菱形；
（2）连接EF交AC于点O，若BC=10，求线段OF的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE= AB=EA，根据轴对称的性质得到
AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得
到答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，
∴CE= AB=EA，
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE=AF，CE=CF，
∴CE=EA=AF=CF，
∴四边形CFAE为菱形；
（2）解：∵四边形CFAE为菱形；
∴OA=OC，OE=OF，
第23页（共33页）∴OE= BC=5，
∴OF=5．
【点评】本题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边
形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．
20．（11分）（2016•德阳）某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取
了部分学生家庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问
卷，将收回的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计
图：
代号 情况分类 家庭数
A 带孩子玩且关心其作业完成情况 8
B 只关心其作业完成情况 m
C 只带孩子玩 4
D 既不带孩子玩也不关心其作业完成情况 n
（1）求m，n的值；
（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在B、C、D类家庭中抽取家长组成
培训班，其比例为B类20%，C、D类各取60%，请你估计该培训班的家庭数；
（3）若在C类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出C
类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．
【分析】（1）根据扇形统计图来计算；
（2）C、D所占的百分比=1﹣20%﹣65%=15%，据此计算该培训班的家庭数；
（3）设城镇家庭为A ，农村家庭为B ，B ，B ，画树状图，根据树状图来计算概率．
1 1 2 3
【解答】解：（1）参与调查的家庭数= =40（个）．
B所占的百分比= =65%，
第24页（共33页）所以m=65%×40=26（个），n=40﹣（8+26+4）=2（个）；
（2）C、D所占的百分比=1﹣20%﹣65%=15%，
培训班家庭数=500×65%×20%+500×15%×60%=110（个）
答：该培训班的家庭数是110个；
（3）设城镇家庭为A ，农村家庭为B ，B ，B ，画树状图如下：
1 1 2 3
所有可能结果有12种，其中有一个城镇家庭的结果有6种，设随机抽查2个家庭，
其中有一个是城镇家庭为事件E，则P（E）= = ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
21．（10分）（2016•德阳）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15
件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，
①最多可采购甲商品多少件？
②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的 ，请给出所有购买方案，并求
出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
第25页（共33页）【解答】解：（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，
，
解得， ，
即甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）①设采购甲商品m件，
17m+12（30﹣m）≤460，
解得，m≤20，
即最多可采购甲商品20件；
②由题意可得，
，
解得， ，
∴购买方案有四种，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12=460（元），
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12=455（元），
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12=450（元），
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12=445（元），
即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是
明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（10分）（2016•德阳）如图，一次函数y=﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，
0），且与y轴相较于点C，与双曲线y= 相交于点P．
（1）求b的值；
（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S =4，求双曲线的解析式．
△MPC
第26页（共33页）【分析】（1）将点P的坐标代入一次函数解析式中即可得出关于b的一元一次方
程，解之即可得出b值；
（2）过点P作PB⊥MC于点B，由一次函数图象上点的坐标特征即可找出点C的
坐标，由此可得出OC=OA，进而找出∠ACO=45°、△PMC为等腰直角三角形，根
据等腰直角三角形的性质结合三角形的面积即可求出PB的长度，再根据点P的
位置结合一次函数图象上点的坐标特征即可找出点P的坐标，由点P的坐标利用
反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，此题的解．
【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），
∴b+2+b=0，
解得：b=﹣1．
（2）过点P作PB⊥MC于点B，如图所示．
将b=﹣1代入一次函数解析式，得：y=﹣x﹣1．
当x=0时，y=﹣1，
∴点C的坐标为（0，﹣1），
∴OC=1，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1=OC，
∴∠ACO=45°．
∵PM⊥PC，
∴△PMC为等腰直角三角形，
∵PB⊥MC，
∴PB= MC，
第27页（共33页）∴S = CM•PB=PB2，
△PMC
∵S =4，
△PMC
∴PB2=4，即PB=2或PB=﹣2（舍去），
∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标为﹣2，
当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）﹣1=1，
∴点P的坐标为（﹣2，1）．
∵双曲线y= 经过点P，
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴双曲线的解析式为y=﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐
标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，根据三角
形的面积结合一次函数图象上点的坐标特征求出点P的坐标是解题的关键．
23．（11分）（2016•德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点．M是BD
上一点，且满足DM=DC，点E是AC与BD的交点．
（1）求证：CM∥AD；
（2）如果AD=1，CM=2．求线段BD的长及△BCE的面积．
第28页（共33页）【分析】（1）根据△ABC是正三角形，得出∠ADB=∠BDC=60°，再根据DM=DC，
得到DM=CM=CD，最后根据∠ADB=∠DMC判定CM∥AD；
（2）先根据△ADC≌△BMC，得出BD=3，再根据△ADE∽△CME，得到DE= ，
ME= ，且AE= AC，最后判定△ABE∽△DCE，得出 = ，即 = ，求得
AB= =BC，EC= ，再过点 E 作 BC 边上的高，交 BC 于点 H，根据
EH=CEsin60°，求得S 即可．
△BCE
【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴ = ，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
又∵DM=DC，
∴DM=CM=CD，
∴∠DMC=60°，
∴∠ADB=∠DMC=60°，
∴CM∥AD；
（2）∵∠DAC=∠DBC，∠BMC=∠ADC=120°，而AC=BC，
∴△ADC≌△BMC，
∴BM=AD=1，
∴BD=BM+MD=1+2=3，
由（1）可得，△ADE∽△CME，
第29页（共33页）∴ = = ，
∴ = ，
又∵MD=2，
∴DE= ，ME= ，且AE= AC，
又∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ABD=∠ACD，
∴△ABE∽△DCE，
∴ = ，
∴ = ，
又∵AB=AC，
∴AB2=7，即AB= =BC，
又∵ = ，
∴AE= ，
∴EC= ，
过点E作BC边上的高，交BC于点H，则
EH=CEsin60°= = ，
∴S = × × = ．
△BCE
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质以及解直角
三角形的综合应用，解决问题的关键是作三角形的高，根据三角形面积计算公式
第30页（共33页）进行求解．
24．（14分）（2016•德阳）如图，抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和
（﹣2，7）且与直线y=kx﹣2k﹣3相交于点P（m，2m﹣7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx﹣2k﹣3与抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求
出点T的坐标；若不存在请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），求
得a，b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），求得点P的坐标，再根据直线
y=kx﹣2k﹣3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得
点Q的坐标；
（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：
∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方
程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+1；
第31页（共33页）（2）∵抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），
∴2m﹣7= m2﹣2m+1，
解得m =m =4，
1 2
∴点P的坐标为（4，1），
∵直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，
∴4k﹣2k﹣3=1，
解得k=2，
∴直线的解析式为y=2x﹣7，
∵y= x2﹣2x+1= （x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴在y=2x﹣7中，当x=2时，y=2×2﹣7=﹣3，
∴点Q的坐标为（2，﹣3）；
（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，根据题意得：
TM= PQ，即TM=PM=QM，
∴点T在以PQ为直径的圆上，
∴∠PTQ=90°，
∴△PQT为直角三角形，
同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，
作PA⊥y轴于A，交直线x=2于点C，QB⊥y轴于B，则AT=|1﹣t|，BT=|﹣3﹣t|，
∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，
∴PQ= = =2 ，
①当∠PTQ=90°时，
∵PQ2=TQ2+TP2=BT2+QB2+PA2+AT2
=|﹣3﹣t|2+22+|1﹣t|2+42=20，
∴2t2+4t+10=0，即（t+1）2=﹣4，
∵（t+1）2≥0，
∴此方程无解；
第32页（共33页）②当∠PQT=90°时，PQ2+QT2=PT2，
∴（2 ）2+22+|﹣3﹣t|2=42+|1﹣t|2，
解得t=﹣2；
③当∠QPT=90°时，TQ2=PT2+PQ2，
∴QB2+BT2=PA2+AT2+（2 ）2，
∴4+|﹣3﹣t|2=16+|1﹣t|2+20，
解得t=3，
综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，﹣2），使△PQT的一边
中线等于该边的一半．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，分类讨
论是解题的关键．
第33页（共33页）
