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2012年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（4分）﹣3的绝对值是（ ）
A． B．﹣3 C．3 D．﹣
2．（4分）下面的计算正确的是（ ）
A．3x2•4x2＝12x2 B．x3•x5＝x15
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
3．（4分）某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，则这组数据的中位数和众数分
别是（ ）
A．4，5 B．5，4 C．6，4 D．10，6
4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形
的周长为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
6．（4分）下列几何体中，正视图是等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（4分）若 O 、 O 的半径分别为4和6，圆心距O O ＝8，则 O 与 O 的位置关系是（
1 2 1 2 1 2
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
第1页（共20页））
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
8．（4分）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，则a的取值范围是（
）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＞4 D．a＜4
9．（4分）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣2）
B．图象在二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．图象关于原点成中心对称
10．（4分）如图，点G是△ABC的重心，BG、CG的延长线分别交AC、AB边于点E、D，则
△DEG和△CBG的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．1：3 D．2：9
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）
11．（4分）据中新社北京2011年12月8日电：2011年中国粮食总产量达到546400000吨，用
科学记数法表示为 吨．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于y轴对称的点的坐标为 ．
13．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学都参加了毕业考试前的5次数学模拟测试，每人这5次成
绩的平均数都是125分，方差分别是 ， ， ， ，测
试成绩最稳定的是 ．
14．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两
点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是 ．
第2页（共20页）15．（4分）如图，这是由边长为1的正六边形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第
2012个图形的周长是 ．
三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）计算： ﹣2sin45°+（2﹣ ）0﹣ ．
π
17．（7分）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（7分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足为D．将△ADC绕点D逆时针旋转
90°后，点A落在BD上点A 处，点C落在DA延长线上点C 处，A C 与AB交于点E．
1 1 1 1
求证：△A BE≌△AC E．
1 1
20．（9分）经过建设者三年多艰苦努力地施工，贯通我市的又一条高速公路“遂内高速公
路”于2012年5月9日全线通车．已知原来从遂宁到内江公路长150km，高速公路路程缩
短了30km，如果一辆小车从遂宁到内江走高速公路的平均速度可以提高到原来的1.5倍，
需要的时间可以比原来少用1小时10分钟．求小汽车原来和现在走高速公路的平均速度
第3页（共20页）分别是多少？
21．（9分）小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小
伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i＝1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通
讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF＝2米，CE＝13米，CH
＝2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁
塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据 ≈1.41， ≈1.73供选用，结果保留整数）
五、（本大题共2小题，每小题10共20分）
22．（10分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级
14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅
不完整的统计图．
（1）王老师采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4
个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多
第4页（共20页）少件？
（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．
现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求写
出用树状图或列表分析过程）
23．（10分）我市新都生活超市准备一次性购进A、B两种品牌的饮料100箱，此两种饮料每
箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获
得的总利润为y元．
品牌 A B
进价（元/箱） 65 49
售价（元/箱） 80 62
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）由于资金周转原因，用于超市购进A、B两种饮料的总费用不超过5600元，并要求获
得利润不低于1380元，则从两种饮料箱数上考虑，共有哪几种进货方案？（利润＝售价﹣
进价）
六、（本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，共22分）
24．（10分）已知：如图，AB是 O的直径，D是弧AC的中点，弦AC与BD相交于点E，AD＝
，DE＝2． ⊙
（1）求直径AB的长；
（2）在图2中，连接DO，DC，BC．求证：四边形BCDO是菱形；
（3）求图2中阴影部分的面积．
25．（12分）已知：如图，直线y＝mx+n与抛物线 交于点A（1，0）和点B，与抛
物线的对称轴x＝﹣2交于点C（﹣2，4），直线f过抛物线与x轴的另一个交点D且与x轴
垂直．
（1）求直线y＝mx+n和抛物线 的解析式；
（2）在直线f上是否存在点P，使 P与直线y＝mx+n和直线x＝﹣2都相切．若存在，求出
⊙第5页（共20页）圆心P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在线段AB上有一个动点M（不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点
N，当MN的长为多少时，△ABN的面积最大，请求出这个最大面积．
第6页（共20页）2012年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．【分析】根据绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．则﹣3的绝
对值就是表示﹣3的点与原点的距离．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，关键是掌握：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝
对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判断．
【解答】解：A、3x2•4x2＝12x4，故本选项错误；
B、x3•x5＝x8，故本选项错误；
C、正确；
D、（x5）2＝x10，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等多个运算性质，需
同学们熟练掌握．
3．【分析】中位数是将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．本题中应是第3个数．
众数是指一组数据中出现次数最多的数据．4出现2次．
【解答】解：∵数据由低到高排序为：4，4，5，6，10，
∴中位数为5；
∵4出现了2次，次数最多，
∴众数是4．
故选：B．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，比较简单．一组数据中出现次数最多的
数据叫做众数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个
数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不
第7页（共20页）把数据按要求重新排列，就会出错．
4．【分析】根据余弦等于邻边比斜边求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴cosB＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于
邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
5．【分析】作AE⊥BC，DF⊥BC，根据等腰梯形的性质求得BE，AB的长，从而再根据周长公
式即可求得其周长．
【解答】解：如下图，作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵AD＝EF＝2，又BE＝CF
∴BE＝CF＝（8﹣2）÷2＝3
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴AB＝6
∵梯形ABCD是等腰梯形
∴AB＝CD＝6
∴周长为6+6+2+8＝22，
故选：D．
【点评】等腰梯形的问题可以通过作高线转化为直角三角形的问题来解决．
6．【分析】根据正视图是几何体从正面看所得到的图形，分别求出每个选项中几何体的正视
图，即可判断．
【解答】解：A、正视图是长方形，故本选项错误；
B、正视图是梯形，故本选项错误；
C、正视图是等腰三角形，故本选项错误；
D、正视图是正方形，故本选项错误．
第8页（共20页）故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，正视图即主视图，是从物体的正面看得到的视图．
7．【分析】根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．注意相交，则R﹣r＜P＜R+r；
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【解答】解：∵ O 、 O 的半径分别为4和6，圆心距O O ＝8，
1 2 1 2
又∵6﹣4＝2，6⊙+4＝10⊙，
∴6﹣4＜8＜6+4，
∴ O 与 O 的位置关系是相交．
1 2
故⊙选：B．⊙
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系
是解此题的关键．
8．【分析】将方程组中两方程相加，表示出x+y，代入x+y＜2中，即可求出a的范围．
【解答】解： ，
+ 得：4x+4y＝a+4，即x+y＝ ，
① ②
∵x+y＝ ＜2，
∴a＜4．
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，表示出x+y是解本题的关
键．
9．【分析】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大
而减小，是中心对称图形，原点是对称中心．
【解答】解：A、把点（1，﹣2）代入反比例函数y＝ ，得﹣2＝1不成立，故选项错误；
B、∵k＝2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项错误；
C、当k＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误；
D、图象关于原点成中心对称，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数y＝ （k≠0）的性质：
当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
第9页（共20页）
①当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的
②增大而增大．
反比例函数是中心对称图形，原点是对称中心．
10．③【分析】根据点G是△ABC的重心得出DE是△ABC的中位线，推出DE＝ BC，
DE∥BC，求出 ＝ ，△DEG∽△CBG，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求
出即可．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，DE∥BC，
∴ ＝ ，△DEG∽△CBG，
∴ ＝ ＝（ ）2＝1：4．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，三角形的重心等知识点，
注意：三角形的重心是三角形的三条中线的交点，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：546 400 000＝5.464×108，
故答案为：5.464×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】此类题要注意对称点与直角坐标系的结合，根据平面直角坐标系中两个关于坐标
轴成轴对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），所以点P（﹣3，4）关于y轴对
称的点的坐标为（3，4）．
第10页（共20页）【点评】考查平面直角坐标系点的对称性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为
相反数．
13．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴S丁 2＜S丙 2＜S乙 2＜S甲 2，
∴测试成绩最稳定的是丁．
故答案为丁．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14．【分析】先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点
的距离相等可得BD＝AD，再求出△BCD的周长＝AC+BC，然后代入数据进行计算即可
得解．
【解答】解：根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD＝AD，
则△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AC＝6，BC＝4.5，
∴△BCD的周长＝6+4.5＝10.5．
故答案为：10.5．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的
关键．
15．【分析】根据图形特点，把图形分成类似三角形的三条边，然后根据周长定义写出前四个
图形的周长，从而得到规律并写出第n个图形的周长，然后把n＝2012代入进行计算即可
得解．
【解答】解：如图，第1个图形的周长是：3×2＝6，
第2个图形的周长是：3×4＝12，
第3个图形的周长是：3×6＝18，
第4个图形的周长是：3×8＝24，
…，
第11页（共20页）依此类推，第n个图形的周长是：3×2n＝6n，
所以，第2012个图形的周长是：6×2012＝12072．
故答案为：12072．
【点评】本题是对图形变化规律的考查，把图形类似于三角形分成三部分求和得到变化规
律表达式是解题的关键．
三、（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝ ．
【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟
练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；
任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．
17．【分析】原式第一项第一个因式分母利用平方差公式分解因式，第二个因式分子利用完全
平方公式分解因式，约分后去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算，即可求出值．
【解答】解：原式＝ • ﹣2x+2＝x﹣2x+2＝2﹣x，
当x＝2﹣ 时，原式＝2﹣x＝2﹣（2﹣ ）＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简
公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母
出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
18．【分析】先移项，得x2+4x＝2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．
【解答】解：移项，得x2+4x＝2，
两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，
即（x+2）2＝6，
利用开平方法，得 或 ，
第12页（共20页）∴原方程的根是 ， ．
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难
度适中．
四、（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．【分析】根据等腰三角形性质得出∠B＝∠C，BD＝CD，根据旋转的性质得出A D＝AD，
1
C D＝CD，∠C ＝∠C．求出∠B＝∠C ，BD＝C D，BA ＝C A，根据AAS证出
1 1 1 1 1 1
△A BE≌△AC E即可．
1 1
【解答】证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C，BD＝CD，
∵△A D C 是由△ADC旋转而得，
1 1
∴A D＝AD，C D＝CD，∠C ＝∠C．
1 1 1
∴∠B＝∠C ，BD＝C D．
1 1
∴BD﹣A D＝C D﹣AD，即BA ＝C A．
1 1 1 1
∵在△A BE和△A C E中，
1 1
，
∴△A BE≌△AC E （AAS）．
1 1
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识点的应用．
20．【分析】首先设小汽车原来的平均速度为x千米/时，则现在走高速公路的平均速度是1.5x
千米/时，由题意可得等量关系：原来从遂宁到内江走高速公路所用的时间﹣现在从遂宁
到内江走高速公路所用的时间＝1小时10分钟，根据等量关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：设小汽车原来的平均速度为x千米/时，则现在走高速公路的平均速度是1.5x
千米/时，
根据题意，得 ，
解这个方程，得x＝60．
经检验x＝60是所列方程的解，这时1.5x＝1.5×60＝90且符合题意．
答：小汽车原来的平均速度是60千米/时，走高速公路的平均速度是90千米/时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是首先弄清题意，找出题目中的等量关系，
第13页（共20页）设出未知数列出方程，此题用到的公式是：行驶时间＝路程÷速度．
21．【分析】先根据斜坡的坡度是i＝1：2.5，EF＝2，求出FD的长，再根据CE＝13，CE＝GF，
求出GD的长，在Rt△DBG和Rt△DAN中，根据∠GDB＝45°和∠NAD＝60°，分别求出
BG＝GD和ND的长，从而得出AN＝ND•tan60°，最后再根据AM＝AN﹣MN＝AN﹣BG，
即可得出答案．
【解答】解：∵斜坡的坡度是i＝ ＝ ，EF＝2，
∴FD＝2.5EF＝2.5×2＝5，
∵CE＝13，CE＝GF，
∴GD＝GF+FD＝CE+FD＝13+5＝18，
在Rt△DBG中，∠GDB＝45°，
∴BG＝GD＝18，
在Rt△DAN中，∠NDA＝60°，
∴ND＝NG+GD＝CH+GD＝2+18＝20，
AN＝ND•tan60°＝20× ＝20 ，
∴AM＝AN﹣MN＝AN﹣BG＝20 ﹣18≈17（米）．
答：铁塔高AM约17米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，要掌握坡度、仰角、俯角的定义，关键是能借助
仰角和俯角构造直角三角形，并解直角三角形．
五、（本大题共2小题，每小题10共20分）
22．【分析】（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据C在扇形图中的角度求出所占的
份数，再根据C的人数是5，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数
即为B的件数；
（2）求出平均每一个班的作品件数，然后乘以班级数14，计算即可得解；
（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）抽样调查，
所调查的4个班征集到作品数为：5÷ ＝12件，
B作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2＝3件，
故答案为：抽样调查；12；3；
把图2补充完整如下：
第14页（共20页）（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品 ＝12÷4＝3（件），
所以，估计全年级征集到参展作品：3×14＝42（件）；
（3）画树状图如下：
列表如下：
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
所以，P（一男一女）＝ ＝ ，
即恰好抽中一男一女的概率是 ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
第15页（共20页）形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．【分析】（1）设购进A种饮料x箱，则购进B种饮料（100﹣x）箱，根据利润等于每箱的利
润×箱数就可以得出结论；
（2）根据题意可以表示出总费用为：65x+49（100﹣x）≤5600，由利润得：2x+1300≥1380．
由这两个不等式构成不等式组求出其解就可以了．
【解答】解：（1）由题意得：
y与x函数关系式是：y＝（80﹣65）x+（62﹣49）（100﹣x）
＝2x+1300，
即y＝2x+1300．
（2）根据题意，得：
，
解这个不等式组，得 ．
它的整数解是x＝40、41、42、43．
则该超市购进A、B两种品牌饮料，共有4种进货方案，分别是：
方案1：购进A品牌饮料40箱，B品牌饮料60箱；
方案2：购进A品牌饮料41箱，B品牌饮料59箱；
方案3：购进A品牌饮料42箱，B品牌饮料58箱；
方案4：购进A品牌饮料43箱，B品牌饮料57箱．
【点评】本题考查了运用利润＝售价﹣进价来确定一次函数的解析式的运用，列一元一次
不等式组解实际问题的运用，在解答时求出一次函数的解析式是关键．
六、（本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，共22分）
24．【分析】（1）证△ADE∽△BDA，推出 ＝ ，求出BD，根据勾股定理求出AB即可；
（2）求出AB＝2AD，求出AB＝2BC，推出OB＝OD＝BC＝CD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠DOB，求出菱形BCDO和扇形DOB的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵D是弧AC的中点，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
第16页（共20页）∴ ＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝6，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°．
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝4 ．
（2）∵在Rt△ABD中，AB＝4 ，AD＝2 ，
∴AB＝2AD，
∴∠ABD＝30°，∠DAB＝60°，
∴∠ABD＝∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴CD＝BC，
∵在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC，
∴OB＝OD＝BC＝CD，
∴四边形BCDO是菱形．
（3）连接OC，
∵OD＝OB，∠DBA＝30°，
∴∠ODB＝∠OBD＝30°，
∴∠DOB＝120°，
∵四边形BCDO是菱形，
∴BD⊥OC，
∴菱形BCDO的面积是S＝ BD×OC＝ ×6×2 ＝6 ，
∵扇形BCD的面积是S′＝ ＝4 ，
π
∴S阴影 ＝S′﹣S＝4 ﹣6 ．
π
第17页（共20页）【点评】本题综合考查了相似三角形的性质和判定，扇形的面积，菱形的性质和判定，含30
度角的直角三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，圆周角定理等知识点的
应用，有一定的难度．
25．【分析】（1）利用待定系数法可以求出直线y＝mx+n的解析式；在解二次函数的解析式时，
可由其对称轴方程求出b的值，再代入A点的坐标可以求出c的值．
（2）此题需要从图形入手，显然在直线AB的上下方各有一个符合条件的P点，那么可以
将图形进行简化（如解答部分的图示），在简化的图形中，△P E F≌△PEF 且
1 1
△PEF∽△ADF；圆的半径可由直线f和直线x＝﹣2的距离得出（即PE、P E 的长），AD、
1 1
FD的长不难得到，那么由相似三角形即可求出PF的长，进而能求出PD、P D的长，由此
1
求出圆心的坐标．
（3）点B的坐标不难求出，根据直线AB和抛物线的解析式，可以先用一个未知数表达出
点M、N的坐标，以MN为底，A、B点的横坐标差的绝对值为高（也可将△ABN分成两个三
角形来分析），即可得到关于△ABN的面积和未知数的函数解析式，根据函数的性质求解
即可．
【解答】解：（1）将A（1，0）、C（﹣2，4）代入直线y＝mx+n得：
，
解得： ，
故直线解析式为： ．
将A（1，0）代入抛物线 及对称轴为直线x＝﹣2得：
第18页（共20页），
解得： ，
故抛物线解析式为： ．
（2）存在．
如图1，图形简化为图2
直线f解析式：x＝﹣5，故圆半径R＝3，且F（﹣5，8）．
易得△PEF∽△ADF，△P E F≌△PEF，其中PE＝P E ＝R＝3，AD＝6，FD＝8，P F＝
1 1 1 1 1
PF．
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF＝10，由 得：PF＝5．
∴PD＝13，P D＝3．
1
∴P（﹣5，13）、P （﹣5，3）．
1
综上可得存在点P的坐标为（﹣5，13）或（﹣5，3）．
（3）如图3：
第19页（共20页）联立直线与抛物线解析式得： ，
解得交点B的坐标：（﹣9， ）．
设点M（q，﹣ q+ ），N（q， q2+ q﹣ ），
所以：MN＝（﹣ q+ ）﹣（ q2+ q﹣ ）＝﹣ q2﹣ q+3＝﹣ （q+4）2+ ．
S△ABN ＝S△AMN +S△BMN ＝ MN•AF+ MN•BE＝ MN（AF+BE）＝5MN＝﹣ （q+4）2+
．
当q＝﹣4时，S△ABN 有最大值 ；此时：MN＝ ．
【点评】此题考查了函数解析式的确定、直线和圆的位置关系、相似三角形以及全等三角
形的应用、三角形面积的求法等重要知识点；（2）题中，对图形进行简化能使得繁杂的题
目更加直观；最后一题是二次函数综合题中考查频率比较大的一种类型题，需要牢固掌握．
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