文档内容
2021年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，
有且仅有一项是符合题目要求的.
1．（4分）（2021•德阳） 的倒数是
A． B． C．2 D．
2．（4分）（2021•德阳）第七次全国人口普查显示，我国人口已达到 141178万．把这个
数据用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（4分）（2021•德阳）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4．（4 分）（2021•德阳）如图，直线 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．（4分）（2021•德阳）下列说法正确的是
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
6．（4分）（2021•德阳）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 是
第1页（共27页）中点，连接 ，则下列结论中不一定正确的是
A． B． C． D．
7．（4分）（2021•德阳）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是
A．平均数是2 B．众数是1 C．中位数是3 D．方差是1.6
8．（4分）（2021•德阳）图中几何体的三视图是
A． B．
C． D．
9．（4分）（2021•德阳）下列函数中， 随 增大而增大的是
A． B．
C． D．
10．（4分）（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图
的圆心角为
第2页（共27页）A． B． C． D．
11．（4 分）（2021•德阳）关于 ， 的方程组 的解为 ，若点
总在直线 上方，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
12．（4分）（2021•德阳）如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，
边 在 轴正半轴上，顶点 在 轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点 顺时
针旋转，每次旋转 ，那么经过第2025次旋转后，顶点 的坐标为
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的
横线上）
13．（4分）（2021•德阳）已知 ， ．则 的值为 ．
14．（4分）（2021•德阳）要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取
了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每
名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是
样本容量．其中正确的是 ．
15 ． （ 4 分 ） （ 2021• 德 阳 ） 如 图 ， 在 圆 内 接 五 边 形 中 ，
，则 度．
第3页（共27页）16．（4分）（2021•德阳）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给
我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了
黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形，边 的长度为 ，则该矩形的周
长为 ．
17．（4分）（2021•德阳）已知函数 的图象如图所示，若直线
与该图象有公共点，则 的最大值与最小值的和为 ．
18．（4分）（2021•德阳）在锐角三角形 中， ， ，设 边上的高
为 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）（2021•德阳）计算： ．
20．（12分）（2021•德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂
党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完
整的统计表和频数分布直方图．
分数 频数（人 频率
第4页（共27页）（分
80
60 0.3
0.18
0.12
（1）请直接写出表中 ， 的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少
名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生
中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学
参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．
21．（11分）（2021•德阳）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象
经过点 ，将点 向右平移2个单位，再向下平移 个单位得到点 ，点 恰好落在
反比例函数 的图象上，过 ， 两点的直线与 轴交于点 ．
（1）求 的值及点 的坐标；
（2）在 轴上有一点 ，连接 ， ，求 的面积．
第5页（共27页）22．（10分）（2021•德阳）如图，点 是矩形 的边 上一点，将 绕点 逆
时针旋转至△ 的位置，此时 、 、 三点恰好共线．点 、 分别是 和
的中点，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）延长 交 于点 ，若 ， ，判断△ 与△ 是否
全等，并说明理由．
23．（12分）（2021•德阳）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度
增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某
公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知
条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形
椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并
保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
24．（12分）（2021•德阳）如图，已知： 为 的直径， 交 于点 、 ，
第6页（共27页）点 为 的延长线上一点，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ， ，求 和 的长．
25．（14分）（2021•德阳）如图，已知：抛物线 与直线 交于点 ，
，与 轴另一交点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点 ，使 的内心在 轴上，求点 的坐标；
（3） 是抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ．在（2）的条
件下，是否存在点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
第7页（共27页）2021年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，
有且仅有一项是符合题目要求的.
1．（4分）（2021•德阳） 的倒数是
A． B． C．2 D．
【解答】解： ，
的倒数是 ，
故选： ．
2．（4分）（2021•德阳）第七次全国人口普查显示，我国人口已达到 141178万．把这个
数据用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】解：141178万 ，
故选： ．
3．（4分）（2021•德阳）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 与 不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
、 ，故错误，不符合题意；
、 ，故错误，不符合题意；
第8页（共27页）、 ，故正确，符合题意；
故选： ．
4．（4 分）（2021•德阳）如图，直线 ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
5．（4分）（2021•德阳）下列说法正确的是
A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择抽样调查
B．了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查
C．购买一张体育彩票中奖是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是必然事件
【解答】解： 、为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，本选项说法
错误，不符合题意；
、了解九年级（1）班同学的视力情况，应选择全面调查，本选项说法正确，符合题意；
、购买一张体育彩票中奖是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
、抛掷一枚质地均匀的硬币刚好正面朝上是随机事件，本选项说法错误，不符合题意；
故选： ．
6．（4分）（2021•德阳）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 是
中点，连接 ，则下列结论中不一定正确的是
第9页（共27页）A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ，故选项 不合题意，
点 是 的中点，
，故选项 不合题意；
，故选项 不合题意；
故选： ．
7．（4分）（2021•德阳）对于一组数据1，1，3，1，4，下列结论不正确的是
A．平均数是2 B．众数是1 C．中位数是3 D．方差是1.6
【解答】解：将这组数据重新排列为1，1，1，3，4，
所以这组数据的平均数为 ，
中位数为1，众数为1，
方差为 ，
故选： ．
8．（4分）（2021•德阳）图中几何体的三视图是
A． B．
第10页（共27页）C． D．
【解答】解：该几何体的三视图如下：
故选： ．
9．（4分）（2021•德阳）下列函数中， 随 增大而增大的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．一次函数 中的 ， 随 的增大而减小，故不符合题意．
．一次函数 中的 ， 随自变量 增大而减小，故不符合题意．
．反比例函数 中的 ，在第三象限， 随 的增大而减小，故不符合
题意．
．二次函数 ，对称轴 ，开口向下，当 时， 随
的增大而增大，故符合题意．
故选： ．
10．（4分）（2021•德阳）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图
的圆心角为
A． B． C． D．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是： ，
设圆心角的度数是 度，
则 ，
第11页（共27页）解得： ．
故选： ．
11．（4 分）（2021•德阳）关于 ， 的方程组 的解为 ，若点
总在直线 上方，那么 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：解方程组 可得，
，
点 总在直线 上方，
，
，
解得 ，
故选： ．
12．（4分）（2021•德阳）如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，
边 在 轴正半轴上，顶点 在 轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点 顺时
针旋转，每次旋转 ，那么经过第2025次旋转后，顶点 的坐标为
第12页（共27页）A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：如图，连接 ， ．
在正六边形 中， ， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
，
， ，
将正六边形 绕坐标原点 顺时针旋转，每次旋转 ，
次一个循环，
，
经过第2025次旋转后，顶点 的坐标与第三次旋转得到的 的坐标相同，
与 关于原点对称，
， ，
经过第2025次旋转后，顶点 的坐标 ， ，
故选： ．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的
第13页（共27页）横线上）
13．（4分）（2021•德阳）已知 ， ．则 的值为 6 ．
【解答】解：当 ， 时，
．
故选：6．
14．（4分）（2021•德阳）要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取
了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每
名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是
样本容量．其中正确的是 ②④ ．
【解答】解：①1500名学生的心理健康评估报告是总体，故①不符合题意；
②每名学生的心理健康评估报告是个体，故②符合题意；
③被抽取的300名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故③不符合题意；
④300是样本容量，故④符合题意；
故答案为：②④．
15 ． （ 4 分 ） （ 2021• 德 阳 ） 如 图 ， 在 圆 内 接 五 边 形 中 ，
，则 7 0 度．
【解答】解： 五边形 的内角和为 ，
，
，
，
四边形 为 的内接四边形，
，
．
故答案为70．
第14页（共27页）16．（4分）（2021•德阳）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给
我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了
黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形，边 的长度为 ，则该矩形的周
长为 或 4 ．
【解答】解：分两种情况：
①边 为矩形的长时，则矩形的宽为 ，
矩形的周长为： ；
②边 为矩形的宽时，则矩形的长为： ，
矩形的周长为 ；
综上所述，该矩形的周长为 或4．
17．（4分）（2021•德阳）已知函数 的图象如图所示，若直线
与该图象有公共点，则 的最大值与最小值的和为 1 7 ．
【解答】解：当直线经过点 时， ，解得 ；
第15页（共27页）当直线与抛物线只有一个交点时， ，
整理得 ，
，解得 或 （舍去），
的最大值是15，最小值是2，
的最大值与最小值的和为 ．
故答案为：17．
18．（4分）（2021•德阳）在锐角三角形 中， ， ，设 边上的高
为 ，则 的取值范围是 ．
【解答】解：如图， 为 的弦， ，
，
，
为等边三角形，
，
，
作直径 、 ，连接 、 ，则 ，
当点 在 上（不含 、 点）时， 为锐角三角形，
在 中， ，
，
当 点为 的中点时， 点到 的距离最大，即 最大，
延长 交 于 ，如图，
点为 的中点，
，
，
，
第16页（共27页），
，
的范围为 ．
故答案为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）（2021•德阳）计算： ．
【解答】解：原式
．
20．（12分）（2021•德阳）为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“传党情，颂
党恩”知识竞赛．为了解全校学生知识掌握情况，学校随机抽取部分竞赛成绩制定了不完
整的统计表和频数分布直方图．
分数 频数（人 频率
（分
80
60 0.3
0.18
0.12
（1）请直接写出表中 ， 的值，并补全频数分布直方图；
（2）竞赛成绩在80分以上（含80分）记为优秀，请估计该校3500名参赛学生中有多少
第17页（共27页）名学生成绩优秀；
（3）为了参加市上的“传党情，颂党恩”演讲比赛，学校从本次知识竞赛成绩优秀的学生
中再次选拔出演讲水平较好的三位同学，其中男生一位、女生两位，现从中任选两位同学
参加，请利用画树状图或列表的方法，求选中的两位同学恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）样本容量为 ，
， ，
对应的频数为 ，
补全图形如下：
（2）估计该校3500名参赛学生中成绩优秀的学生人数为 （名 ；
（3）画树状图如下：
第18页（共27页）由树状图知，共有6种等可能结果，其中选中的两位同学恰好是一男一女的有4种结果，
所以选中的两位同学恰好是一男一女的概率为 ．
21．（11分）（2021•德阳）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象
经过点 ，将点 向右平移2个单位，再向下平移 个单位得到点 ，点 恰好落在
反比例函数 的图象上，过 ， 两点的直线与 轴交于点 ．
（1）求 的值及点 的坐标；
（2）在 轴上有一点 ，连接 ， ，求 的面积．
【解答】解：（1）把点 代入 ， ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 向右平移2个单位，
，
当 时， ，
第19页（共27页），
设直线 的解析式为 ，
由题意可得 ，
解得 ，
，
当 时， ，
；
（2）由（1）知 ，
．
22．（10分）（2021•德阳）如图，点 是矩形 的边 上一点，将 绕点 逆
时针旋转至△ 的位置，此时 、 、 三点恰好共线．点 、 分别是 和
的中点，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）延长 交 于点 ，若 ， ，判断△ 与△ 是否
全等，并说明理由．
【解答】解：（1）证明： 四边形 是矩形，
第20页（共27页），
△ 是 旋转所得的，
， ，
是 的中点，
，
、 分别是 和 的中点，
， ，
，
四边形 为平行四边形，
（2）△ ，
证明：连接 ，
，
，
同理， ，
，
，
第21页（共27页），
底边 上的高和 底边上的高相等．
．
，
，
在△ 和 中，
，
△ ．
23．（12分）（2021•德阳）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度
增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某
公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知
条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形
椅的数量多10张．
（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？
（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并
保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设弧形椅的单价为 元，则条形椅的单价为 元，根据题意得：
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；
（2）设购进弧形椅 张，则购进条形椅 张，由题意得：
，
解得 ；
第22页（共27页）设购买休闲椅所需的费用为 元，
则 ，
即 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 有最小值， ，
；
答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．
24．（12分）（2021•德阳）如图，已知： 为 的直径， 交 于点 、 ，
点 为 的延长线上一点，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ， ，求 和 的长．
【解答】（1）证明：连结 ， ，
， ，
，
为 的直径，
，
，
，
第23页（共27页）即 ，
，
是 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，连结 ，
，
，
在 中， ，
，
，
， ，
在 中， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
第24页（共27页）在 中， ，
为 的直径，
，
又 ，
，
即 ，
，
．
25．（14分）（2021•德阳）如图，已知：抛物线 与直线 交于点 ，
，与 轴另一交点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点 ，使 的内心在 轴上，求点 的坐标；
（3） 是抛物线上一动点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ．在（2）的条
件下，是否存在点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【解答】解：（1）把点 ， 代入 ，
得到方程组： ，
第25页（共27页）解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，则 ，连接 并延长与抛物线交与点 ，由图
形的对称性可知 为所求的点，
设直线 的解析式为 ，
由题意得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得 （舍去）或 ，
；
（3）存在点 ，
过点 作 轴的垂线，由勾股定理得 ，
第26页（共27页）同理可求得 ， ，
， ，
，
，
，
，
设点 ，则 ，
解得 或 ，
当 时， ，
， ，
当 ， ，
， ，
存在符合条件的点 ， 的坐标为 ， ， ， ．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:17:52；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@xyh.com；学号：36810736
第27页（共27页）
