文档内容
2018年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）如果把收入100元记作+100元，那么支出80元记作（ ）
A．+20元 B．+100元 C．+80元 D．﹣80元
2．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3 B．（﹣2a2）3=﹣8a3
C．（a﹣3）（3+a）=a2﹣9 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．（3分）如图，直线a∥b，c，d是截线且交于点A，若∠1=60°，∠2=100°，则∠A=（
）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．2 = B． ﹣ = C．6 ÷2 =3 D．﹣3 =
5．（3分）把实数6.12×10﹣3用小数表示为（ ）
A．0.0612 B．6120 C．0.00612 D．612000
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨
B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件
D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
7．（3分）受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次
朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所
示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（
）
第1页（共32页）每天阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2
人数 8 9 10 3
A．2，1 B．1，1.5 C．1，2 D．1，1
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算这个几何体的表面积是
（ ）
A．16π B．12π C．10π D．4π
9．（3分）已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（
）
A．2 B．1 C． D．
10．（3分）如图，将边长为 的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分
的面积为（ ）
A．3 B． C．3﹣ D．3﹣
11．（3分）如果关于x的不等式组 的整数解仅有x=2、x=3，那么适合这
第2页（共32页）个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
12．（3分）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点
C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S ：S ：S =（ ）
△ABO △AOC △BOC
A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：2xy2+4xy+2x= ．
14．（3分）已知一组数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，则这组数据的方差
为 ．
15．（3分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三
个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子的数为 ．
3 a b c ﹣1 2 ……
16．（3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为
正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B= ，③∠ECD=∠DCB，④若
AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d ，d ，则d 2+d 2
1 2 1 2
的最小值是3．其中正确的结论是 （填写正确结论的番号）．
17．（3分）已知函数y= 使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a
的值为 ．
第3页（共32页）三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）计算： +（ ）﹣3﹣（3 ）0﹣4cos30°+ ．
19．（7 分）如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AD、AB 上一点，若
AE=DC=2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED=2，求AH的值．
第4页（共32页）20．（11分）某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工
做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司
监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的 5000
个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽
取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频
数分布直方图（如图）．
组别 单次营运里程“x”（公里） 频数
第一组 0＜x≤5 72
第二组 5＜x≤10 a
第三组 10＜x≤15 26
第四组 15＜x≤20 24
第五组 20＜x≤25 30
根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：
（1）①表中a= ；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为
；③请把频数分布直方图补充完整；
（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1
女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机
在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一
男一女”的概率．
第5页（共32页）21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx+b（k≠0）与双曲线y = （a≠0）
1 2
交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y 沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y ，直线y 与双曲线y 交于
1 3 3 2
D、E两点，当y ＞y 时，求x的取值范围．
2 3
22．（10分）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动
了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设
已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45
天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分
要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程
公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求
A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
23．（11分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，
第6页（共32页）AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH=DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O
的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
24．（14分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B
第7页（共32页）在y轴上，点C（3，1），二次函数y= x2+bx﹣ 的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的
面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直
角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说
明理由．
第8页（共32页）2018 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）如果把收入100元记作+100元，那么支出80元记作（ ）
A．+20元 B．+100元 C．+80元 D．﹣80元
【考点】11：正数和负数．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可．
【解答】解：如果收入100元记作+100元，那么支出80元记作﹣80元，
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关
键．
2．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3 B．（﹣2a2）3=﹣8a3
C．（a﹣3）（3+a）=a2﹣9 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】4I：整式的混合运算．
【专题】11：计算题；514：二次根式．
【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式
逐一判断可得．
【解答】解：A、a6÷a2=a4，此选项错误；
B、（﹣2a2）3=﹣8a6，此选项错误；
C、（a﹣3）（3+a）=a2﹣9，此选项正确；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的
乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．
3．（3分）如图，直线a∥b，c，d是截线且交于点A，若∠1=60°，∠2=100°，则∠A=（
）
第9页（共32页）A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
【专题】552：三角形．
【分析】依据∠2是△ABC的外角，即可得到∠A=∠2﹣∠1=40°．也可以利用平行
线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠A的度数．
【解答】解法一：如图，∵∠2是△ABC的外角，
∴∠A=∠2﹣∠1=100°﹣60°=40°，
故选：A．
解法二：如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3=60°，∠2=∠4=100°，
∴∠5=180°﹣∠4=80°，
∴∠A=180°﹣∠3﹣∠5=180°﹣60°﹣80°=40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ）
A．2 = B． ﹣ = C．6 ÷2 =3 D．﹣3 =
【考点】79：二次根式的混合运算．
第10页（共32页）【专题】11：计算题；514：二次根式．
【分析】根据二次根性质和运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：A、2 =2× = ，此选项错误；
B、 ﹣ =3 ﹣2 = ，此选项正确；
C、6 ÷2 =3 ，此选项错误；
D、﹣3 =﹣ ，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合
运算顺序和运算法则及二次根式的性质．
5．（3分）把实数6.12×10﹣3用小数表示为（ ）
A．0.0612 B．6120 C．0.00612 D．612000
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数；1K：科学记数法—原数．
【专题】511：实数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与
较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第
一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：6.12×10﹣3=0.00612，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨
B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式
C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件
D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大
【考点】V2：全面调查与抽样调查；W7：方差；X1：随机事件；X3：概率的意义．
【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】根据概率的意义，事件发生可能性的大小，可得答案．
【解答】解：A、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨，此选项错误；
第11页（共32页）B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，此选项错误；
C、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，此选项错误；
D、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义、随机事件，利用概率的意义，事件发生可能性的
大小是解题关键．
7．（3分）受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次
朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所
示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（
）
每天阅读时间（小时） 0.5 1 1.5 2
人数 8 9 10 3
A．2，1 B．1，1.5 C．1，2 D．1，1
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
【专题】54：统计与概率．
【分析】根据表格中的数据可知七年级2班有30人，从而可以得到全班学生平均
每天阅读时间的中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，
全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是1、1.5，
故选：B．
【点评】本题考查众数、加权平均数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一
组数据的众数和中位数．
8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算这个几何体的表面积是
（ ）
第12页（共32页）A．16π B．12π C．10π D．4π
【考点】MP：圆锥的计算；U3：由三视图判断几何体．
【专题】55：几何图形．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，
确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出
这个几何体应该是圆锥；
根据三视图知：该圆锥的母线长为6，底面半径为2，
故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π，
故选：A．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是由主视图和左视图
确定是柱体，锥体还是球体．
9．（3分）已知圆内接正三角形的面积为 ，则该圆的内接正六边形的边心距是（
）
A．2 B．1 C． D．
【考点】MM：正多边形和圆．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．
【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为 ，
所以圆的半径为 ，
第13页（共32页）所以该圆的内接正六边形的边心距 ×sin60°= ，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的
边心距．
10．（3分）如图，将边长为 的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分
的面积为（ ）
A．3 B． C．3﹣ D．3﹣
【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．
【专题】556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转与对称．
【分析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明△ABM≌△C′BM，得到
∠2=∠3=30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴
影部分面积=正方形面积﹣2△ABM的面积即可得到答案．
【解答】解：连接BM，
在△ABM和△C′BM中，
，
∴△ABM≌△C′BM，
∠2=∠3= =30°，
在△ABM中，
AM= ×tan30°=1，
S△ABM= = ，
第14页（共32页）正方形的面积为： =3，
阴影部分的面积为：3﹣2× =3﹣ ，
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质
证明两三角形全等是解决本题的关键．
11．（3分）如果关于x的不等式组 的整数解仅有x=2、x=3，那么适合这
个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；D1：点的坐标．
【专题】11：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1 ≤2、3 ＜4，求出2＜a≤4、
9≤b＜12，即可得出答案．
【解答】解：解不等式2x﹣a≥0，得：x≥ ，
解不等式3x﹣b≤0，得：x≤ ，
∵不等式组的整数解仅有x=2、x=3，
则1 ≤2、3 ＜4，
解得：2＜a≤4、9≤b＜12，
则a=3时，b=9、10、11；
当a=4时，b=9、10、11；
所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，
解此题的根据是求出a、b的值．
12．（3分）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点
C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S ：S ：S =（ ）
△ABO △AOC △BOC
第15页（共32页）A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2
【考点】L5：平行四边形的性质．
【专题】11：计算题．
【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．由FO：OC=3：1，BE=OB，
AF∥OE可得S =S =m，S = m，S = ，由此即可解决问题；
△OBF △AOB △OBC △AOC
【解答】解：连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．
∵FO：OC=3：1，BE=OB，AF∥OE
∴S =S =m，S = m，S = ，
△OBF △AOB △OBC △AOC
∴S ：S ：S =m： ： m=3：2：1
△AOB △AOC △BOC
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会
利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
13．（3分）分解因式：2xy2+4xy+2x= 2 x （ y+ 1 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】11：计算题；44：因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=2x（y2+2y+1）=2x（y+1）2，
故答案为：2x（y+1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
14．（3分）已知一组数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，则这组数据的方差
第16页（共32页）为 ．
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】先根据平均数为15列出关于x的方程，解之求得x即可知完整的数据，再
根据方差公式计算可得．
【解答】解：∵数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，
∴ =15，
解得：x=17，
则这组数据为10，15，10，17，18，20，
∴这组数据的方差是： [2×（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣
15）2]= ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查算术平均数、方差，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定
义与方差的计算公式．
15．（3分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三
个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子的数为 ﹣ 1 ．
3 a b c ﹣1 2 ……
【考点】19：有理数的加法；37：规律型：数字的变化类．
【专题】2A：规律型．
【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是
3可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除
以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴a+b+c=b+c+（﹣1），3+（﹣1）+b=﹣1+b+c，
∴a=﹣1，c=3，
∴数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b，
第17页（共32页）∵第9个数与第3个数相同，即b=2，
∴每3个数“3、﹣1、2”为一个循环组依次循环，
∵2018÷3=672…2，
∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及有理数的加法，仔细观察排列规律求出a、
b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．
16．（3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为
正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B= ，③∠ECD=∠DCB，④若
AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d ，d ，则d 2+d 2
1 2 1 2
的最小值是3．其中正确的结论是 ①③④ （填写正确结论的番号）．
【考点】KF：角平分线的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【专题】552：三角形．
【分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形
的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d 2+d 2=MN2=CP 2，根
1 2
据垂线段最短，可得CP的值即可求d 2+d 2的最小值，即可判断④．
1 2
【解答】解：∵D是AB中点
∴AD=BD
∵△ACD是等边三角形，E是AD中点
∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°
∴CD=BD
∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB
∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=
故①③正确，②错误
第18页（共32页）∵∠DCB=30°，∠ACD=60°
∴∠ACB=90°
若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d ，d ，
1 2
∴四边形PMCN是矩形
∴MN=CP
∵d 2+d 2=MN2=CP2
1 2
∴当CP为最小值，d 2+d 2的值最小
1 2
∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d 2+d 2的值最小
1 2
此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB
∴CP=
∴d 2+d 2=MN2=CP2=3
1 2
即d 2+d 2的最小值为3
1 2
故④正确
故答案为①③④
【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求
d 2+d 2的最小值是本题的关键．
1 2
17．（3分）已知函数y= 使y=a成立的x的值恰好只有3个时，a
的值为 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
【专题】31：数形结合．
【分析】首先在坐标系中画出已知函数y= 的图象，利用数形结
合的方法即可找到使y=a成立的x值恰好有3个的a值．
【解答】解：函数y= 的图象如图：
根据图象知道当y=2时，对应成立的x值恰好有三个，
∴a=2．
故答案：2．
第19页（共32页）【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解
方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
18．（6分）计算： +（ ）﹣3﹣（3 ）0﹣4cos30°+ ．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的
三角函数值．
【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式=3+8﹣1﹣4× +2
=10﹣2 +2
=10．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后
进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合
题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．（7 分）如图，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AD、AB 上一点，若
AE=DC=2ED，且EF⊥EC．
（1）求证：点F为AB的中点；
（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED=2，求AH的值．
第20页（共32页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KU：勾股定理的应用；LB：矩形的性质．
【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）根据全等三角形的判定，证得△AEF≌△DCE，再根据全等三角形的性
质，证得ED=AF，进而得证；
（2）根据全等三角形的判定方法，证明△AEF≌△BHF，进而求得HB=AB=AE=4，
再利用勾股定理求出AH的值即可．
【解答】（1）证明：∵EF⊥EC，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠AEF=∠DCE，∠AFE=∠DEC，
∵AE=DC，
∴△AEF≌△DCE．
∴ED=AF，
∵AE=DC=AB=2DE，
∴AB=2AF，
∴F为AB的中点；
（2）解：由（1）知AF=FB，且AE∥BH，
∴∠FBH=∠FAE=90°，∠AEF=∠FHB，
∴△AEF≌△BHF，
∴HB=AE，
∵ED=2，且AE=2ED，
∴AE=4，
∴HB=AB=AE=4，
第21页（共32页）∴AH2=AB2+BH2=16+16=32，
∴AH= ．
【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的综合应
用，解决此类问题的关键是能灵活运用相关的性质找出相等的线段．
20．（11分）某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工
做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司
监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的 5000
个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽
取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频
数分布直方图（如图）．
组别 单次营运里程“x”（公里） 频数
第一组 0＜x≤5 72
第二组 5＜x≤10 a
第三组 10＜x≤15 26
第四组 15＜x≤20 24
第五组 20＜x≤25 30
根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：
（1）①表中a= 4 8 ；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为 0.7 3
；③请把频数分布直方图补充完整；
（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1
女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机
在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一
男一女”的概率．
第22页（共32页）【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；
X6：列表法与树状图法．
【专题】1：常规题型；54：统计与概率．
【分析】（1）①由频数分布直方图可直接得出a的值；②用第一、二、三组的频数
和除以总数量可得；③根据分布表中数据即可得；
（2）用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20公里的次数所占比例即可得；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到一男一女的结果数，然后
根据概率公式求解．
【解答】解：（1）①由条形图知a=48；
②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为 =0.73；
③补全图形如下：
故答案为：①48；②0.73；
（2）估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数为5000×
=750次；
第23页（共32页）（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为6，
∴恰好抽到“一男一女”的概率为 = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事
件A或B的概率．也考查了统计图和统计表，要熟练从统计图表中得出解题所
需数据．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y =kx+b（k≠0）与双曲线y = （a≠0）
1 2
交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）把直线y 沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y ，直线y 与双曲线y 交于
1 3 3 2
D、E两点，当y ＞y 时，求x的取值范围．
2 3
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）把点B 代入双曲线求出a的值，即可得到双曲线的解析式；把点A代
入双曲线求出m的值，确定A点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，
即可解答；
第24页（共32页）（2）先求出y 的解析式，再解方程组求出点D点E的坐标，即可解答．
3
【解答】解：（1）∵点B（﹣1，﹣4）在双曲线y = （a≠0）上，
2
∴a=（﹣1）×（﹣4）=4，
∴双曲线的解析式为： ．
∵点A（m，2）在双曲线上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴点A的坐标为：（2，2）
∵点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）在直线y =kx+b（k≠0）上，
1
∴
解得：
∴直线的解析式为：y =2x﹣2．
1
（2）∵把直线y 沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y ，
1 3
∴y =2（x+2）﹣2=2x+2，
2
解方程组 得： 或 ，
∴点D（1，4），点E（﹣2，﹣2），
∴由函数图象可得：当y ＞y 时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
2 3
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解决本题的关键是求出直线
和双曲线的解析式．
22．（10分）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动
了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设
已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45
天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．
（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？
（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分
要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程
第25页（共32页）公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求
A、B两个工程公司各施工建设了多少天？
【考点】95：二元一次方程的应用；B7：分式方程的应用．
【专题】522：分式方程及应用．
【分析】（1）设B工程公司单独完成需要x天，根据题意列出关于x的分式方程，
求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到结果；
（2）根据题意列出关于m与n的方程，由m与n的范围，确定出正整数m与n的
值，即可得到结果．
【解答】解：（1）设B工程公司单独完成需要x天，
根据题意得：45× +54（ + ）=1，
解得：x=120，
经检验x=120是分式方程的解，且符合题意，
答：B工程公司单独完成需要120天；
（2）根据题意得：m× +n× =1，
整理得：n=120﹣ m，
∵m＜46，n＜92，
∴120﹣ m＜92，
解得42＜m＜46，
∵m为正整数，
∴m=43，44，45，
又∵120﹣ m为正整数，
∴m=45，n=90，
答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天．
【点评】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量
关系是解本题的关键．
23．（11分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心，
第26页（共32页）AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB．
（1）求证：DH=DB；
（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O
的直径为5．
①求证：EF为圆O的切线；
②求DF的长．
【考点】MR：圆的综合题．
【专题】15：综合题．
【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，进而判断出
∠DHB=∠DBH，即可得出结论；
（2））①先判断出OD∥AC，进而判断出OD⊥EF，即可得出结论；
②先判断出△CDE≌△BDG，得出 GB=CE=1，再判断出△DBG∽△ABD，求出
DB2=5，即DB= ，DG=2，进而求出AE=AG=4，最后判断出△OFD∽△AFE即
可得出结论．
【解答】解：（1）证明：连接HB，
∵点H是△ABC的内心，
∴∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH，
∵∠DBH=∠DBC+∠CBH，
∴∠DHB=∠DBH，
∴DH=DB；
第27页（共32页）（2）①连接OD，
∵∠DOB=2∠DAB=∠BAC
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，BC∥EF，
∴AC⊥EF，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；
②过点D作DG⊥AB于G，
∵∠EAD=∠DAB，
∴DE=DG，
∵DC=DB，∠CED=∠DGB=90°，
∴△CDE≌△BDG，
∴GB=CE=1，
在Rt△ADB中，DG⊥AB，
∴∠DAB=∠BDG，
∵∠DBG=∠ABD，
∴△DBG∽△ABD，
∴ ，
∴DB2=AB•BG=5×1=5，
∴DB= ，DG=2，
∴ED=2，
∵H是内心，
∴AE=AG=4，
∵DO∥AE，
∴△OFD∽△AFE，
∴ ，
第28页（共32页）∴ ，
∴DF= ．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形
的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB是解本题的关键．
24．（14分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B
在y轴上，点C（3，1），二次函数y= x2+bx﹣ 的图象经过点C．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的
面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直
角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题．
第29页（共32页）【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物
线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=a（x﹣h）2+k的形
式；
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA=CK，
OB=AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求
得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据△ABC扫过区域的
面积=S +S 求解即可；
四边形ABDE △DEH
（3）当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而
可得到点 P 的坐标，然后再判断点 P 是否在抛物线的解析式即可，当
∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判
断点P是否在抛物线的解析式即可．
【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上，
∴ x2+bx﹣ =1，解得：b=﹣ ，
∴二次函数的解析式为y= x2﹣ x﹣
y= x2﹣ x﹣ = （x2﹣ x+ ﹣ ）﹣ = （x﹣ ）2﹣
（2）作CK⊥x轴，垂足为K．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC．
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAK=90°．
又∵∠CAK+∠ACK=90°，
∴∠BAO=∠ACK．
第30页（共32页）在△BAO和△ACK中，∠BOA=∠AKC，∠BAO=∠ACK，AB=AC，
∴△BAO≌△ACK．
∴OA=CK=1，OB=AK=2．
∴A（1，0），B（0，2）．
∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2= m2﹣ m﹣ ，解得m=﹣3（舍去）或
m= ．
∴AB= = ．
∴△ABC扫过区域的面积=S
四边形ABDE
+S
△DEH
= ×2+ × × =9.5
（3）当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G．
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，∠PBA=90°．
∴∠PBG+∠BAO=90°．
又∵∠PBG+∠BPG=90°，
∴∠BAO=∠BPG．
在△BPG和△ABO中，∠BOA=∠PGB，∠BAO=∠BPG，AB=PB，
∴△BPG≌△ABO．
∴PG=OB=2，AO=BG=1，
∴P（﹣2，1）．
当x=﹣2时，y≠1，
∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．
当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
同理可知：△PAF≌△ABO，
∴FP=OA=1，AF=OB=2，
∴P（﹣1，﹣1）．
当x=﹣1时，y=﹣1，
∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
第31页（共32页）法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构
造全等三角形是解答本题的关键．
第32页（共32页）
