文档内容
2012年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣2
2．（3分）某厂2011年用于购买原材料的费用2350000元，实数2350000用科学记数法表示
为（ ）
A．2.35×105 B．23.5×105 C．0.235×105 D．2.35×106
3．（3分）使代数式 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B． C．x≥0且 D．一切实数
4．（3分）某物体的侧面展开图如图所示，那么它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）已知AB、CD是 O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝（ ）
⊙
A．45° B．60° C．90° D．30°
6．（3分）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20
海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP
＝（ ）
第1页（共30页）A． B．2 C． D．
7．（3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→
明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文
1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为
（ ）
A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
8．（3分）下列事件中，属于确定事件的个数是（ ）
（1）打开电视，正在播广告；
（2）投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；
（3）射击运动员射击一次，命中10环；
（4）在一个只装有红球的袋中摸出白球．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（3分）在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单
位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣2） D．（1，﹣1）
10．（3分）已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是（ ）
A．2.8 B． C．2 D．5
11．（3分）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与
点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同
侧），如果BD＝ AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
A． B． C． D．
第2页（共30页）12．（3分）设二次函数y＝x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c
的取值范围是（ ）
A．c＝3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
二、填空题：
13．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE＝5，则BC＝
．
14．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的 ，则这个多边形的边数是 ．
15．（3分）某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已
知乘公交车上学的学生有20人，骑自行车上学的学生有26人，则乘公交车上学的学生人
数在扇形统计图中对应的扇形所占的圆心角的度数为 ．
16．（3分）计算： ＝ ．
17．（3分）有下列计算：
（m2）3＝m6，
①
，
②
m6÷m2＝m3，
③ ，
④ ，
⑤其中正确的运算有 ．
18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2）， A的半径是2， P的半径是1，满足
与 A及x轴都相切的 P有 个． ⊙ ⊙
⊙ ⊙ 第3页（共30页）三、解答题（共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（11分）计算： ．
20．（11分）有A、B两个不透明的布袋，A袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字0和﹣
2；B袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣2、0和1．小明从A袋中随机取出一个
小球，记录标有的数字为x，再从B袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，这样确
定了点Q的坐标（x，y）．
（1）写出点Q所有可能的坐标；
（2）求点Q在x轴上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中， O的半径是2，求过点Q能作 O切线的概率．
⊙ ⊙
21．（11分）已知一次函数y ＝x+m的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于A、B两点．已知当
1 2
x＞1时，y ＞y ；当0＜x＜1时，y ＜y ．
1 2 1 2
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
第4页（共30页）22．（11分）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生
产A种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务．
（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，
请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知
建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
23．（11分）如图，已知点C是以AB为直径的 O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作 O的
切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，⊙连接AE并延长交BD于点F，直线CF⊙交AB
的延长线于G．
（1）求证：AE•FD＝AF•EC；
（2）求证：FC＝FB；
第5页（共30页）（3）若FB＝FE＝2，求 O的半径r的长．
⊙
24．（11分）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴
上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．
（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交
（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为 ，那么结论OF＝ DG能
成立吗？请说明理由；
（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点
Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．
第6页（共30页）2012 年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）实数﹣3的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．﹣2
【考点】28：实数的性质．
【专题】1：常规题型．
【分析】根据相反数的定义，只有符合不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
【点评】本题考查了互为相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
2．（3分）某厂2011年用于购买原材料的费用2350000元，实数2350000用科学记数法表示
为（ ）
A．2.35×105 B．23.5×105 C．0.235×105 D．2.35×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2350000用科学记数法表示为：2.35×106．
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）使代数式 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B． C．x≥0且 D．一切实数
【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件可得2x﹣1≠0，根据二次根式有意义的条件可得x≥0，解
出结果即可．
第7页（共30页）【解答】解：由题意得：2x﹣1≠0，x≥0，
解得：x≥0，且x≠ ，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，二次根式中的被开
方数是非负数；分式有意义的条件是分母不等于零．
4．（3分）某物体的侧面展开图如图所示，那么它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】I6：几何体的展开图；U1：简单几何体的三视图．
【专题】1：常规题型．
【分析】先根据侧面展开图判断出此物体是圆锥，然后根据左视图是从左面看到的视图解
答．
【解答】解：∵物体的侧面展开图是扇形，
∴此物体是圆锥，
∴圆锥的左视图是等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的展开图，与简单几何体的三视图，根据侧面展开图判断出此
物体是圆锥是解题的关键．
5．（3分）已知AB、CD是 O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝（ ）
⊙
第8页（共30页）A．45° B．60° C．90° D．30°
【考点】M5：圆周角定理．
【分析】利用同弧所对的圆周角相等得到∠B＝∠D，然后利用半径相等即可求得所求．
【解答】解：∵∠D与∠B所对的弧相同，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵OA＝OD
∴∠D＝∠A＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是根据图形发现同弧所对的角并利用圆周角
定理求解．
6．（3分）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20
海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，那么tan∠ABP
＝（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】根据题意作出图形后知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即
可．
【解答】解：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．
∴PA＝20海里，
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，
∴∠APB＝90°，BP＝60× ＝40海里，
∴tan∠ABP＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
第9页（共30页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据实际问题整理出直角三角形
并利用正切的定义求值．
7．（3分）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→
明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文
1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为
（ ）
A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【专题】16：压轴题．
【分析】已知结果（密文），求明文，根据规则，列方程组求解．
【解答】解：依题意，得
，
解得 ．
∴明文为：6，4，1，7．
故选：B．
【点评】本题考查了方程组在实际中的运用，弄清题意，列方程组是解题的关键．
8．（3分）下列事件中，属于确定事件的个数是（ ）
（1）打开电视，正在播广告；
（2）投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；
（3）射击运动员射击一次，命中10环；
（4）在一个只装有红球的袋中摸出白球．
第10页（共30页）A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】X1：随机事件．
【分析】确定事件就是一定发生的事件或一定不会发生的事件，根据定义即可确定．
【解答】解：（1）（3）属于随机事件；
（4）是不可能事件，属于确定事件；
（2）是必然事件，属于确定事件；
故属于确定事件的个数是2，
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（3分）在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单
位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣2） D．（1，﹣1）
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】易得原抛物线的顶点坐标，根据横坐标与纵坐标“左加右减”可得到平移后的顶
点坐标．
【解答】解：∵y＝2x2+4x+1＝2（x2+2x）+1＝2[（x+1）2﹣1]+1＝2（x+1）2﹣1，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∵将二次函数y＝2（x+1）2﹣1，的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下
平移1个单位长度，
∴y＝2（x+1﹣2）2﹣1﹣1＝2（x﹣1）2﹣2，
故得到图象的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数的平移，看顶点的平
移即可；上下平移只改变顶点的纵坐标，上加下减．
10．（3分）已知一组数据10，8，9，x，5的众数是8，那么这组数据的方差是（ ）
A．2.8 B． C．2 D．5
【考点】W5：众数；W7：方差．
【分析】根据众数的概念，确定x的值，再求该组数据的方差．
第11页（共30页）【解答】解：因为一组数据10，8，9，x，5的众数是8，所以x＝8．于是这组数据为10，8，9，
8，5．
该组数据的平均数为： （10+8+9+8+5）＝8，
方差S2＝ [（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（5﹣8）2]＝ ＝2.8．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数、众数、方差的意义．
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；
①众数是一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个；
②方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
11．③（3分）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与
点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同
侧），如果BD＝ AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行
四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD＝a，则AB＝4a，可求得BH＝PF＝3a，又
由S△HBC ＝S△PBC ，S△HBC ：S△ABC ＝BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．
【解答】解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵AP BE，
∴四边形APEB是平行四边形，
第12页（共30页）∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF＝BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD＝a，
∵BD＝ AB，
∴PE＝AB＝4a，
则PF＝PE﹣EF＝3a，
∵PH∥BC，
∴S△HBC ＝S△PBC ，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH＝PF＝3a，
∵S△HBC ：S△ABC ＝BH：AB＝3a：4a＝3：4，
∴S△PBC ：S△ABC ＝3：4．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，
注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
12．（3分）设二次函数y＝x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c
的取值范围是（ ）
A．c＝3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
【考点】H3：二次函数的性质．
【分析】因为当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，所以函数图象过（1，0）点，
即1+b+c＝0 ，由题意可知当x＝3时，y＝9+3b+c≤0 ，所以 联立即可求出c的取
① ② ①②
第13页（共30页）值范围．
【解答】解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c＝0 ，
∵当1≤x≤3时，总有y≤0， ①
∴当x＝3时，y＝9+3b+c≤0 ，
联立解得：c≥3， ②
①故选②：B．
【点评】本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过（1，0），
再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系．
二、填空题：
13．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE＝5，则BC＝
10 ．
【考点】KX：三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线定理得到BC＝2DE，代入DE的长即可求出BC．
【解答】解：∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∵DE＝5，
∴BC＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计
算是解此题的关键．
第14页（共30页）14．（3分）已知一个多边形的内角和是外角和的 ，则这个多边形的边数是 5 ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据内角和等于外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．
【解答】解：设该多边形的边数为n
则（n﹣2）×180＝ ×360
解得：n＝5
故答案为5．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
15．（3分）某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已
知乘公交车上学的学生有20人，骑自行车上学的学生有26人，则乘公交车上学的学生人
数在扇形统计图中对应的扇形所占的圆心角的度数为 144 ° ．
【考点】VB：扇形统计图．
【分析】先根据骑自行车上学的学生有26人占52%，求出总人数，再根据乘车部分所对应
的圆心角的度数为所占的比例乘以360度，即可求出答案；
【解答】解：根据题意得：
总人数是：26÷52%＝50人，
所以乘车部分所对应的圆心角的度数为360°× ＝144°；
故答案为：144°．
【点评】此题主要考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，列出算式
是解决问题的关键．
16．（3分）计算： ＝ x + 5 ．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】公分母为x﹣5，将分母化为同分母，再将分子因式分解，约分．
第15页（共30页）【解答】解： ＝ ﹣
＝
＝
＝x+5，
故答案为：x+5．
【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不
变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分
母分式，然后再相加减．
17．（3分）有下列计算：
（m2）3＝m6，
①
，
②
m6÷m2＝m3，
③ ，
④ ，
⑤其中正确的运算有 ．
【考点】47：幂的乘方与①积④的⑤乘方；48：同底数幂的除法；73：二次根式的性质与化简；75：二
次根式的乘除法；78：二次根式的加减法．
【专题】16：压轴题．
【分析】由幂的乘方，可得 正确；由二次根式的化简，可得 错误；由同底数的幂的除法，
可得 错误；由二次根式的①乘除运算，可求得 正确；由二次②根式的加减运算，可求得
正确③． ④ ⑤
【解答】解：∵（m2）3＝m6，∴ 正确；
①
∵ ＝ ＝|2a﹣1|＝ ，∴ 错误；
②
∵m6÷m2＝m4，∴ 错误；
∵ ③＝3 ×5 ÷ ＝15 ÷ ＝15，
第16页（共30页）∴ 正确；
∵④ ＝4 ﹣2 +12 ＝14 ，
∴ 正确．
∴⑤正确的运算有： ．
故答案为： ①．④⑤
【点评】此题①考④查了⑤幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以
及二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，注意运算需细心．
18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2）， A的半径是2， P的半径是1，满足
与 A及x轴都相切的 P有 4 个． ⊙ ⊙
【⊙考点】D5：坐标与图⊙形性质；MB：直线与圆的位置关系；MJ：圆与圆的位置关系．
【分析】分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到 P的个数．
【解答】解： ⊙
如图，满足条件的 P有4个，
故答案为4． ⊙
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考
虑到分内切和外切是解决本题的关键．
三、解答题（共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（11分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值特殊角的三角函数值等分别进行
计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解： ＝ +1﹣ +1+ ＝2．
第17页（共30页）【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目
的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值特殊角的三角函数值等考
点的运算．
20．（11分）有A、B两个不透明的布袋，A袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字0和﹣
2；B袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣2、0和1．小明从A袋中随机取出一个
小球，记录标有的数字为x，再从B袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，这样确
定了点Q的坐标（x，y）．
（1）写出点Q所有可能的坐标；
（2）求点Q在x轴上的概率；
（3）在平面直角坐标系xOy中， O的半径是2，求过点Q能作 O切线的概率．
【考点】D1：点的坐标；MB：直⊙线与圆的位置关系；X6：列表法⊙与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）由点Q在x轴上的有：（﹣2，0），（0，0），利用概率公式即可求得点Q在x轴上的概率；
（3）因为当点Q在圆上或在圆外时，过点Q能作 O切线，由在 O外的有（﹣2，1），（﹣
2，﹣2），在 O上的有（0，﹣2），（﹣2，0⊙），利用概率公⊙式即可求得答案．
【解答】解：⊙（1）画树状图得：
则点Q所有可能的坐标有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，﹣2），（﹣2，0），（﹣2，1）；
（2）∵点Q在x轴上的有：（﹣2，0），（0，0），
∴点Q在x轴上的概率为： ；
（3）∵ O的半径是2，
∴在 O⊙外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在 O上的有（0，﹣2），（﹣2，0），
⊙ ⊙
∴过点Q能作 O切线的概率为： ＝ ．
⊙
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度适中，注意列表法与树状
图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法
第18页（共30页）适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（11分）已知一次函数y ＝x+m的图象与反比例函数y ＝ 的图象交于A、B两点．已知当
1 2
x＞1时，y ＞y ；当0＜x＜1时，y ＜y ．
1 2 1 2
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）首先根据x＞1时，y ＞y ，0＜x＜1时，y ＜y 确定点A的横坐标，然后代入反
1 2 1 2
比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析
式解答；
（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从
而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD
的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，然后△ABC的面积＝△ACD
的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵当x＞1时，y ＞y ；当0＜x＜1时，y ＜y ，
1 2 1 2
∴点A的横坐标为1，
代入反比例函数解析式， ＝y，
解得y＝6，
∴点A的坐标为（1，6），
又∵点A在一次函数图象上，
∴1+m＝6，
解得m＝5，
∴一次函数的解析式为y ＝x+5；
1
第19页（共30页）（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，
∴点C的横坐标为3，
∴y＝ ＝2，
∴点C的坐标为（3，2），
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，
则点D的纵坐标为2，
∴x+5＝2，
解得x＝﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
∴CD＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
点A到CD的距离为6﹣2＝4，
联立 ，
解得 （舍去）， ，
∴点B的坐标为（﹣6，﹣1），
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
S△ABC ＝S△ACD +S△BCD ＝ ×6×4+ ×6×3＝12+9＝21．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出
点A的横坐标是解题的关键．
22．（11分）今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生
第20页（共30页）产A种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务．
（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，
请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知
建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：
板房 A种板材（m2） B种板材（m2） 安置人数
甲型 108 61 12
乙型 156 51 10
问这400间板房最多能安置多少灾民？
【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
【分析】（1）先设x人生产A种板材，根据题意得列出方程，再解方程即可；
（2）先设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，则安置人数为12y+10（400﹣y）＝
2y+4000，然后列出不等式组，解得：360≥y≥300，最后根据2大于零，即可求出答案．
【解答】解：（1）设x人生产A种板材，根据题意得；
x＝120．
经检验x＝120是分式方程的解．
210﹣120＝90．
故安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务；
（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，
安置人数为W，则W＝12y+10（400﹣y）＝2y+4000，
，
解得：300≤y≤360，
∵W＝2y+4000时随y的增大而增大，
∴当y＝360时安置的人数最多．
360×12+（400﹣360）×10＝4720．
故最多能安置4720人．
【点评】此题考查了一次函数的应用，用到的知识点是一次函数的性质、分式方程、一元一
次不等式组等，根据题意列出方程和不等式组是解题的关键．
第21页（共30页）23．（11分）如图，已知点C是以AB为直径的 O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作 O的
切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，⊙连接AE并延长交BD于点F，直线CF⊙交AB
的延长线于G．
（1）求证：AE•FD＝AF•EC；
（2）求证：FC＝FB；
（3）若FB＝FE＝2，求 O的半径r的长．
⊙
【考点】KH：等腰三角形的性质；KI：等腰三角形的判定；KP：直角三角形斜边上的中线；
KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】14：证明题；152：几何综合题；16：压轴题．
【分析】（1）由BD是 O的切线得出∠DBA＝90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得
出比例式即可； ⊙
（2）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根据直角三角形斜
边上中线性质得出CF＝DF＝BF即可；
（3）根据FE＝FB＝FC可推出△FAG是等腰三角形，进而BG就等于直径；根F是DB中
点可得OF∥AC，由平行线分线段成比例可算出FG，再由勾股定理算出BG即可．
【解答】（1）证明：∵BD是 O的切线，
∴∠DBA＝90°， ⊙
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴ ＝ ，
∴AE•FD＝AF•EC．
（2）证明：连接OC，BC，
第22页（共30页）∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵CE＝EH（E为CH中点），
∴BF＝DF，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
（3）解：连接OF，
∵FE＝FB＝2，
∴FC＝FE＝2，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵∠FCE+∠G＝∠FEC+∠FAB＝90°，
∴∠FAB＝∠G，
∴FA＝FG，
∴AB＝BG，
∵AO＝OB，
∴OF∥AC，
∴ ＝ ＝3，
∴FG＝3FC＝6，
第23页（共30页）∴由勾股定理得：BG＝4 ，
∴OA＝OB＝ AB＝ BG＝2 ，
即 O的半径r的长为2 ．
⊙
【点评】本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和
判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目
综合性比较强，有一定的难度．
24．（11分）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴
上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．
（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交
（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为 ，那么结论OF＝ DG能
成立吗？请说明理由；
（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点
Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．
第24页（共30页）【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】16：压轴题．
【分析】方法一：
（1）本题关键是求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式．如题图，可以证明
△BCD≌△BAE，则AE＝CD，从而得到E点坐标；
（2）首先求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x＝0，求得G点坐
标，进而得到线段CG、DG的长度；由△BCG≌△BAF，可得AF＝CG，从而求得OF的长
度．比较OF与DG的长度，它们满足OF＝ DG的关系，所以结论成立；
（3）本问关键在于分类讨论．△PFE为等腰三角形，如解答图所示，可能有三种情况，需逐
一讨论并求解．
方法二：
（1）通过△BCD≌△BAE，求出E点坐标，并求出抛物线表达式．
（2）通过点M的坐标求出BM的直线方程，并求出G点坐标，再通过BF⊥BG求出BF的
直线方程，并求出F点坐标．
（3）△PFE为等腰三角形，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式求解．
【解答】方法一：
解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，
∴∠DBC＝∠EBA．
在△BCD与△BAE中，
第25页（共30页），
∴△BCD≌△BAE（ASA），
∴AE＝CD．
∵OABC是正方形，OA＝4，D是OC的中点，
∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．
设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则有：
，
解得 ，
∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为：y＝ x2+ x+2．
（2）结论OF＝ DG能成立．理由如下：
由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，
∴AF＝CG．
∵x ＝ ，
M
∴y ＝ x 2+ x +2＝ ，∴M（ ， ）．
M M M
设直线MB的解析式为y ＝kx+b，
MB
∵M（ ， ），B（4，4），
∴ ，
解得 ，
第26页（共30页）∴y ＝ x+6，
MB
∴G（0，6），
∴CG＝2，DG＝4．
∴AF＝CG＝2，OF＝OA﹣AF＝2，F（2，0）．
∵OF＝2，DG＝4，
∴结论OF＝ DG成立．
（3）如图，△PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：
若PF＝FE．
①∵FE＝4，BC与OA平行线之间距离为4，
∴此时P点位于射线CB上，
∵F（2，0），
∴P（2，4），此时直线FP⊥x轴，
∴x ＝2，
Q
∴y ＝ x 2+ x +2＝ ，∴Q （2， ）；
Q Q Q 1
若PF＝PE．
②如图所示，∵AF＝AE＝2，BA⊥FE，
∴△BEF为等腰三角形，
∴此时点P、Q与点B重合，
∴Q （4，4）；
2
若PE＝EF．
③∵FE＝4，BC与OA平行线之间距离为4，
∴此时P点位于射线CB上，
∵E（6，0），
∴P（6，4）．
设直线y 的解析式为y ＝kx+b，
PF PF
∵F（2，0），P（6，4），
∴ ，
第27页（共30页）解得 ，
∴y ＝x﹣2．
PF
∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上，
∴ x2+ x+2＝x﹣2，化简得5x2﹣14x﹣48＝0，
（先移项合并得，﹣ x2+ x+4＝0，再去分母得，﹣5x2+14x+48＝0，即：5x2﹣14x﹣48＝
0）
解得x ＝ ，x ＝﹣2（不合题意，舍去）
1 2
∴x ＝ ，
Q
∴y ＝x ﹣2＝ ﹣2＝ ．
Q Q
∴Q （ ， ）．
3
综上所述，Q点的坐标为Q （2， ）或Q （4，4）或Q （ ， ）．
1 2 3
方法二：
（1）略．
（2）把M ＝ 代入抛物线得M ＝ ，
X Y
∴M（ ， ），
又B（4，4），
∴l ：y＝﹣ x+6，
BM
∴G（0，6），
∵BM⊥BF，
∴K •K ＝﹣1，
BM BF
∵K ＝K ＝﹣ ，
BM BG
∴K ＝2，
BF
∵B（4，4），
第28页（共30页）∴l ：y＝2x﹣4，
BF
把y＝0代入得x＝2，
∴OF＝2，
∵DG＝4，
∴OF＝ DG．
（3）若△PEF为等腰三角形，则PE＝PF，PE＝EF，PF＝EF，
设P（t，4），F（2，0），E（6，0），
∴（t﹣2）2+（4﹣0）2＝（2﹣6）2+（0﹣0）2，∴t＝2，
（t﹣6）2+（4﹣0）2＝（2﹣6）2+（0﹣0）2，∴t＝6，
（t﹣6）2+（4﹣0）2＝（t﹣2）2+（2﹣0）2，∴t＝4，
∴P （2，4），P （6，4），P （4，4），
1 2 3
∴PQ连线垂直x轴，
∴Q （2， ），
1
∴l ：y＝x﹣2，
PF
∴ ，
∴x ＝﹣2（舍），x ＝ ，
1 2
∴y＝ ，
综上所述，Q点的坐标为Q （2， ）或Q （4，4）或Q （ ， ）．
1 2 3
第29页（共30页）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数
的解析式、待定系数法求一次函数解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质以
及等腰三角形性质等知识点，考查内容涉及初中数学代数与几何的多个重要知识点，难度
较大．本题第（3）问需要针对等腰三角形△PFE的三种可能情况进行分类讨论，避免漏解．
第30页（共30页）
