文档内容
德阳市 2024 年初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试
数学试卷
说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷
及答题卡交回．
2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有
且仅有一项是符合题目要求的．）
的
1. 下列四个数中，比 小 数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：
正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案．
【详解】解：∵ 正数>0>负数， ，
∴
∴ ，
∴比 小的是 ．
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一
1进行判断即可．
【详解】解：A、 ，原选项计算错误；
B、 ，原选项计算正确；
C、 ，原选项计算错误；
D、 ，原选项计算错误；
故选B．
3. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ， ，则
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的
性质．首先根据平行线的性质得出 ，再根据垂直与三角形的内角和即可求出
．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故选：B．
24. 正比例函数 的图象如图所示，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当 ，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大
而增大；当 ，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质
得到 ，然后在此范围内进行判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，
∴ ，
∴选项A符合题意．
故选：A．
5. 分式方程 的解是（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．本题考查分式方程的解法，
掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．
【详解】解： ，
3去分母，得 ，
解得 ，
当 时， ，
∴ 是原方程的解．
故选D
6. 为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班
统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：
投中次数（个） 0 1 2 3 4 5
1
人数（人） 1 ● 17 ● 6
0
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，解题的关键是理解各个统计量的
实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征．先求被遮住投篮成绩的人数，然后根据众数的定义求出众
数，而中位数，平均数和方差与所有的数据有关，据此可得答案．
【详解】解：∵一共有50名同学，
∴被遮住投篮成绩的人数为 名，
∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，
∴这50名学生的投篮成绩的众数为3，出现17次，大于16，与被遮盖的数据无关，
∵中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，
∴把这50名学生的成绩从小到大排列，第25名和第26名的投篮成绩不能确定，与被遮盖的数据有关，而
平均数和方差都与被遮住的数据有关，
故选C．
7. 走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，
常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个
棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥
4如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．
【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；
故选A
8. 已知，正六边形 的面积为 ，则正六边形的边长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可．
【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为 ，故正六边形是由6个正
三角形构成的，过 点作 垂足是 ，
设正六边形的边长为 ，即
在正三角形 中，
∵ ，
5∴ ，
在 中，
一个正三角形的面积为： ，
正六边形的面积为： ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
9. 将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从
而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有 个数，
则第八行左起第1个数是 ，
故选：C．
10. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房 ，
6小李同学在小楼房楼底 处测得 处的仰角为 ，在小楼房楼顶 处测得 处的仰角为 ．（
在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（ ）米
A. 20 B. 15 C. 12 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过 作 于 ，则四边形 为矩形，
设 ，而 ，可得 ， ，结合
，再解方程即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
依题意，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
设 ，而 ，
7∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，且符合题意；
∴ ，
故选B
11. 宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取
得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩形． ，点 是边
上一点，则满足 的点 的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一
元二次方程解的情况是解题的关键．设 ， ，假设存在点 ，且 ，则 ，利
用勾股定理得到 ， ， ，
可得到方程 ，结合 ，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此
得解．
【详解】解：如图所示，四边形 是黄金矩形， ， ，
8设 ， ，假设存在点 ，且 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
，即 ，
整理得 ，
，又 ，即 ，
，
， ，
，
方程无解，即点 不存在．
故选：D．
12. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位： ）的正方形纸片 ，他在边
和 上分别取点 和点 ，使 ，又在线段 上任取一点 （点 可与端点
重合），再将 沿 所在直线折叠得到 ，随后连接 ．小王同学通过多次实践得到以下
结论：
9①当点 在线段 上运动时，点 在以 为圆心的圆弧上运动；
②当 达到最大值时， 到直线 的距离达到最大；
③ 的最小值为 ；
④ 达到最小值时， ．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
的
【分析】由折叠可得 ，可得点 到点 距离恒为2，即可判断①；连接 ，由勾
股定理得到在 中， ，由 ，即可判断③； 达到
最小值时，点 在线段 上，证得 ，得到 ，从而求得 ，通
过 即可判断④．在 中， 随着 的增大而增大，而当 最
大时， 有最大值， 有最大值，此时点N与点D重合．过点 作 于点G，作
于点P，可得四边形 是矩形，因此 ，当 取得最大值时，
有最小值，在 中， 有最大值， 有最大值，
即可判断②．
10【详解】解：∵正方形纸片 的边长为 ，
∴ ，
由折叠的性质可知， ，
∴当点 在线段 上运动时，点 在以 为圆心的圆弧上运动．故①正确．
连接 ，
∵在正方形 中， ， ， ，
∴在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．故③正确；
如图，
达到最小值时，点 在线段 上，
由折叠可得 ，
∴ ，
11∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故④错误．
在 中， ， ，
∴ 随着 的增大而增大，
∵ ，
∴当 最大时， 有最大值， 有最大值，此时，点N与点D重合，
过点 作 于点G，作 于点P，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
当 取得最大值时， 也是最大值，
12∵ ，
∴ 有最小值，
∴在 中， 有最大值，
即 有最大值，
∴点 到 的距离最大．故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故选：C
【点睛】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综
合运用相关知识是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的
横线上）
13. 化简： ＝__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式的性质“ ”进行计算即可得．
【详解】解： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．
14. 若一个多项式加上 ，结果是 ，则这个多项式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上 ，结果是 ”，
进行列出式子： ，再去括号合并同类项即可．
13【详解】解：依题意这个多项式为
．
故答案为：
15. 某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占 ，
面试占 ，试讲占 进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为______分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，解题关键是熟记加权平均数公式，准确进行计算．利用加权平均数公式
计算即可．
【详解】解：她的综合成绩为 （分）；
故答案为： ．
16. 如图，四边形 是矩形， 是正三角形，点 是 的中点，点 是矩形 内一点，
且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积与 的面积的比值是______．
14【答案】2
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个
面积是解题的关键．
作辅助线如图，设 ， ，根据性质和图形表示出面积即可得到答案．
【详解】解：如图，找 ， 中点为 ， ，连接 ， ，连接 ， ， 过 作
的
交 延长线于 点，延长 ，与 交于 点．
设 ， ，
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ 在 上，
∴ 到 的距离即为 ，
∴ ，
15在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
17. 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，
使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图
中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字即可）．
【答案】1##8
【解析】
【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共
有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出
现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于
1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．
【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中
任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只
剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
16位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
故答案为：1（或8）．
18. 如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位于0和1之间，则以
下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则 ；④若关于 的一
元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是______（请填写序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的
关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称
轴求出 ，根据图象可得当 时， ，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设
两点横坐标与对称轴的距离为 ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点
的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【详解】解：①∵抛物线 的顶点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
17由图可知，抛物线开口方向向下，即 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵直线 是抛物线的对称轴，
∴ ，
∴ ，
∴
由图象可得：当 时， ，
∴ ，即 ，故②正确，符合题意；
③∵直线 是抛物线的对称轴，
设 两点横坐标与对称轴的距离为 ，
则 ， ，
∴ ，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴ ，故③错误，不符合题意；
④如图，
18∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19. （1）计算： ；
（2）解不等式组：
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】（1）先计算立方根、负整数指数幂、锐角三角函数，再进行实数的加减混合运算即可．
（2）分别求出不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的确
定不等式组的解集即可．
【详解】（1）原式：
．
19（2）解：
由① ，得 ，
由② ，得 ，
∴不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查实数的混合运算、立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数、解一元一次不等式
组，熟练掌握立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
20. 2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名
选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友
近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速
赛，B：200米直道竟速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比
赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），
将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目 A B C D
关注人数 42 30 a b
（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大
约有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该
路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）
求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
20【答案】（1） ， ，
（2）D，4000 （3）
【解析】
【分析】本题考查统计表和扇形统计图，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键．
根据两个图标识图求解即可．
【小问1详解】
解：根据两图中A的数据可得总人数为： （人），
（人），
（人），
D所在扇形圆心角的度数为：
【小问2详解】
D：3000米绕标赛的关注人数最多，为 （人）
答：估计当天观看比赛的市民中关注D：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有4000人．
【小问3详解】
解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能得结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为： ．
21. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ．
21（1）求 的值和反比例函数 的解析式；
（2）将直线 向下平移 个单位长度 后得直线 ，若直线 与反比例
函数 的图象的交点为 ，求 的值，并结合图象求不等式 的解集．
【答案】（1） ；反比例函数的解析式为
（2） ；不等式 的解集为
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）把 代入 求出 ，得 ，从而可求出 的值；
（2）由平移得直线 与直线 平行，得 ，把点 代入 得
，得 ，代入 ，求出 ，得出 ；由图象得当 时，
在直线 的下方，故可求出不等式 的解集．
【小问1详解】
解：∵一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
22∴ ；
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ；
【小问2详解】
解：∵直线 是将直线 向下平移 个单位长度 后得到的，
∴直线 与直线 平行，
∴ ，
∴ ，
∵直线 与反比例函数 的图象的交点为 ，
把 代入 得， ，
解得， ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ，
∴ ；
由图象知，当 时， 在直线 的下方，
23∴不等式 的解集为
22. 如图，在菱形 中， ，对角线 与 相交于点 ，点 为 的中点，连接
与 相交于点 ，连接 并延长交 于点 ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知
识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键．
（1）先根据菱形的性质可得 ，再证出 是等边三角形，根据等边三角形的性质
可得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据 定理即可得证．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
24∵点 为 的中点，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
∴
∵ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
23. 罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产
的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提
升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其
中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售
价如下表：
价格 A B
进价
94 146
（元/件）
售价
120 188
（元/件）
25（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
（2）根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过
95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
【答案】（1）16元， 6元
（2）25件， 3590元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的应用和一次函数的性质，根据题意列出式子是本题的
关键．
（1）根据表格与“A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽”即可列方
程求解；
（2）设A种组合的数量，表示出B种组合数量，根据“两种组合的总件数不超过95件”列不等式求出A
种组合的数量的最大值，再根据题意表示出利润的表达式，根据一次函数的性质即可求得结果．
【小问1详解】
解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价 元，每个肉粽的进价 元．
根据题意可得：
，
解得：
，
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元．
【小问2详解】
解：设该超市应准备 件A种组合，则B种组合数量是 件，利润为W元，
根据题意得： ，
解得： ，
则利润 ，
的
可以看出利润 是 一次函数， 随着 的增大而增大，
∴当 最大时， 最大，
26即当 时， ，
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元．
24. 如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，求 的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，点 为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3） 的最小值为：
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求解 的对称轴为直线 ，而 ，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）求解 ， ，可得 ，求解直线 为 ，及 ，证明 在
直线 上，如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，可得 ，
27，证明 ，可得 ，可得
，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
【小问2详解】
解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ，
∴函数最小值为： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴函数值的范围为： ；
【小问3详解】
解：∵ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，
解得： ， ，
28∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 为 ，
∵拋物线的顶点向下平移 个单位长度得到点 ，而顶点为 ，
∴ ，
∴ 在直线 上，
如图，过 作 于 ，连接 ，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵对称轴与 轴平行，
∴ ，
∴ ，
29∴ ，
由抛物线的对称性可得： ， ，
∴ ，
当 三点共线时取等号，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解
线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
25. 已知 的半径为5， 是 上两定点，点 是 上一动点，且 的平分
线交 于点 ．
（1）证明：点 为 上一定点；
（2）过点 作 的平行线交 的延长线于点 ．
30①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 为锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）① 与 相切，理由见解析；② 的取值范围为 ．
【解析】
【分析】（1）由 的平分线交 于点 ， ，可得 ，结合 是 上两
定点，可得结论；
（2）①如图，连接 ，证明 ，结合 ，可得 ，从而可得结论；
②分情况讨论：如图，当 时，可得 ；如图，连接 ，当 ，可
得 ，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵ 的平分线交 于点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 上两定点，
∴点 为 的中点，是一定点；
【小问2详解】
解：①如图，连接 ，
31∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 是 的切线；
②如图，当 时，
∴ 为直径， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
32∵ ，
为
∴四边形 矩形，
∴ ；
如图，连接 ，当 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 为锐角三角形， 的取值范围为 ．
33【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性
质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
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