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2022年四川省德阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅
有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）（2022•德阳）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣
2．（4分）（2022•德阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）（2022•德阳）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B． ＝1
C．a÷a• ＝a D．（﹣ ab2）3＝﹣ a3b6
4．（4分）（2022•德阳）如图，直线m∥n，∠1＝100°，∠2＝30°，则∠3＝（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
5．（4分）（2022•德阳）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
第1页（共32页）C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
6．（4分）（2022•德阳）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿
的质量（单位：kg）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．6，6 B．4，6 C．5，6 D．5，5
7．（4分）（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是
5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．1km B．2km C．3km D．8km
8．（4分）（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（
）
A．16 B．52 C．36 D．72
π π π π
9．（4分）（2022•德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣ 在同一坐标系中的大致图象
是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上
的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
第2页（共32页）A．四边形EFGH是矩形
B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的
11．（4分）（2022•德阳）如果关于x的方程 ＝1的解是正数，那么m的取值范围是
（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＜﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣
2
12．（4分）（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于
点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝
120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横
线上）
13．（4分）（2022•德阳）分解因式：ax2﹣a＝ ．
14．（4分）（2022•德阳）学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论
知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制）．某同学本
次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学
的综合成绩是 分．
15．（4分）（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ ．
16．（4分）（2022•德阳）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，
连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么
CE＝ ．
第3页（共32页）17．（4分）（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与
数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2
＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第
三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 ．
18．（4分）（2022•德阳）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．
试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）（2022•德阳）计算： +（3.14﹣ ）0﹣3tan60°+|1﹣ |+（﹣2）﹣2．
20．（12分）（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳π钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾
焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在
第4页（共32页）云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于
2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光
溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专
题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了
解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，
分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士
和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女
的概率．
21．（11分）（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣ x+1与反比例函数y＝ 的图象在第二象限
交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求
点P的坐标．
第5页（共32页）22．（11分）（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，过点D作BC的
垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，
点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：
s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时
t的值；若不能，请说明理由．
23．（11分）（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振
兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了
发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B
种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单
价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费
用是多少元？
24．（12分）（2022•德阳）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过
点C作直线分别与AB，AD的延长⊙线交于点E，F，且⊙∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）如果AB＝10，⊙CD＝6，
第6页（共32页）①求AE的长；
②求△AEF的面积．
25．（14分）（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x ，x
1 2
（x ＜x ），求x +x 的值；
1 2 1 2
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左
侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求 的最
大值．
第7页（共32页）2022年四川省德阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅
有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）（2022•德阳）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣
【考点】绝对值．
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【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是2．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的
绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（4分）（2022•德阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
第8页（共32页）轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（4分）（2022•德阳）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B． ＝1
C．a÷a• ＝a D．（﹣ ab2）3＝﹣ a3b6
【考点】分式的乘除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
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【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算
即可进行判断．
【解答】解：A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故A选项错误，不符合题意；
B. ＝ ＝1，故B选项正确，符合题意；
C．a÷a• ＝1× ＝ ，故C选项错误，不符合题意；
D．（﹣ ab2）3＝﹣ a3b6，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解
决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．
4．（4分）（2022•德阳）如图，直线m∥n，∠1＝100°，∠2＝30°，则∠3＝（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【考点】平行线的性质．
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【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠5＝100°，再根据三角形的外角性质即可得解．
【解答】解：如图：
第9页（共32页）∵直线m∥n，∠1＝100°，
∴∠5＝∠1＝100°，
∵∠3＝∠4+∠5，∠4＝∠2＝30°，
∴∠3＝30°+100°＝130°．
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即三角形的外角性质是解题的
关键．
5．（4分）（2022•德阳）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷硬币时，正面朝上
B．明天太阳从东方升起
C．经过红绿灯路口，遇到红灯
D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”
【考点】随机事件．
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【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意；
C、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（4分）（2022•德阳）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿
的质量（单位：kg）分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
第10页（共32页）A．6，6 B．4，6 C．5，6 D．5，5
【考点】众数；中位数．
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【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可．
【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是5，共出现3次，因此众数是5，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5，
故选：D．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．
7．（4分）（2022•德阳）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是
5km和3km．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（ ）
A．1km B．2km C．3km D．8km
【考点】三角形三边关系．
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【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项．
【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为2km或8km，
当杨冲，李锐两家不在一条直线上时，
设李锐两家的直线距离为x，
根据三角形的三边关系得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
杨冲，李锐两家的直线距离可能为3km，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，两点间的距离，熟练掌握三角形的三边关系是解
题的关键．
8．（4分）（2022•德阳）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（
）
A．16 B．52 C．36 D．72
【考点π】圆锥的计算． π π π
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【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再根据扇形面积的计算公式S＝ 进行计
算即可．
【解答】解：如图，AB＝8，SA＝SB＝9，
所以侧面展开图扇形的弧BC的长为8 ，
由扇形面积的计算公式得， π
圆锥侧面展开图的面积为 ×8 ×9＝36 ，
π 第11π页（共32页）故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，扇形面积的计算，掌握弧长、扇形面积的计算公式是正确计
算的关键．
9．（4分）（2022•德阳）一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣ 在同一坐标系中的大致图象
是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
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【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，和a＜0，两方面分类讨论
得出答案．
【解答】解：分两种情况：
（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y＝﹣ 图象在
第二、四象限，无选项符合；
（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣ 图象在
第一、三象限，故B选项正确．
第12页（共32页）故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性
质才能灵活解题．
10．（4分）（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上
的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形EFGH是矩形
B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和
C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和
D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的
【考点】中点四边形；矩形的判定．
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【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．
【解答】解：A．如图，连接AC，BD，
在四边形ABCD中，
∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，
∴EH∥BD，EH＝ BD，FG∥BD，FG＝ BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；
B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；
C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，
∴EH＝ BD，FG＝ BD，
第13页（共32页）∴EH+FG＝BD，
同理：EF+HG＝AC，
∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；
D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的 ，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
11．（4分）（2022•德阳）如果关于x的方程 ＝1的解是正数，那么m的取值范围是
（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＜﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣
2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
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【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x＝﹣1﹣m，利用x＞0和
x≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m的范围．
【解答】解：两边同时乘（x﹣1）得，
2x+m＝x﹣1，
解得：x＝﹣1﹣m，
又∵方程的解是正数，且x≠1，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．
故答案为：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式，正确求得分式方程的解并考虑
产生增根的情形是解题的关键．
12．（4分）（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于
点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝
120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（
）
第14页（共32页）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆
与外心．
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【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角
形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB＝
∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．
【解答】解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；
第15页（共32页）∵∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∵点G为BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本
题的关键是掌握三角形的内心与外心．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横
线上）
13．（4分）（2022•德阳）分解因式：ax2﹣a＝ a （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣a，
＝a（x2﹣1），
＝a（x+1）（x﹣1）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直
到不能再分解为止．
第16页（共32页）14．（4分）（2022•德阳）学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论
知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制）．某同学本
次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学
的综合成绩是 8 8 分．
【考点】加权平均数．
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【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：85×20%+88×50%+90×30%＝88（分），
故答案为：88．
【点评】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正
确解答的关键．
15．（4分）（2022•德阳）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，则xy＝ 4 ．
【考点】完全平方公式．
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【分析】已知两式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝25，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝9，
∴两式相减得：4xy＝16，
则xy＝4．
故答案为：4
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．（4分）（2022•德阳）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，
连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB＝1，那么
CE＝ ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线．
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【分析】如图，设CE交AB于点O．证明∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，求出CO，证明CO
＝OE，可得结论．
【解答】解：如图，设CE交AB于点O．
第17页（共32页）∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴CO＝CB•cos30°＝ ，
∵DA＝DE，DA＝DC，
∴DC＝DE，
∵DO⊥CE，
∴CO＝OE＝ ，
∴CE＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活
运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（4分）（2022•德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与
数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：
第18页（共32页）其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1+2
＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第
三个正方形数是1+3+5＝9，……
……
由此类推，图④中第五个正六边形数是 4 5 ．
【考点】规律型：图形的变化类；数学常识．
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【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题．
【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是
1+2＝3，第三个三角形数是1+2+3＝6，……
图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1+3＝4，第
三个正方形数是1+3+5＝9，……
图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是1+4＝5，第
三个五边形数是1+4+7＝12，……
由此类推，图④中第五个正六边形数是1+5+9+13+17＝45．
故答案为：45．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，数学常识，解题的关键是找出变化规律．
18．（4分）（2022•德阳）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．
试探究：直线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 k ≤﹣ 3 或 k ≥
．
第19页（共32页）【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】利用临界法求得直线PA和PB的解析式即可得出结论．
【解答】解：当k＜0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），
∴﹣2k+k＝3，
∴k＝﹣3；
∴k≤﹣3；
当k＞0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），
∴2k+k＝1，
∴k＝ ．
∴k≥ ；
综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k≥ ．
故答案为：k≤﹣3或k≥ ．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，
利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（7分）（2022•德阳）计算： +（3.14﹣ ）0﹣3tan60°+|1﹣ |+（﹣2）﹣2．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂π；特殊角的三角函数值．
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【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，即可解决问题．
【解答】解：原式＝2 +1﹣3× + ﹣1+
第20页（共32页）＝2 +1﹣3 + ﹣1+
＝ ．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解决本
题的关键是利用以上知识准确计算．
20．（12分）（2022•德阳）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾
焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在
云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于
2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光
溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地．
学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专
题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了
解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图：
（1）设本次问卷调查共抽取了m名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是n度，
分别写出m，n的值；
（2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？
（3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士
和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女
的概率．
【考点】列表法与树状图法；调查收集数据的过程与方法；用样本估计总体；扇形统计图；
条形统计图．
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【分析】（1）利用图表信息解答即可；
（2）利用统计的基本方法，用样本的特性估计总体的相应特性即可；
第21页（共32页）（3）利用列表法解答即可．
【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人，
由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由图（1）可知：“比较了解”有100人，
∴“比较了解”所对应扇形的圆心角是180°，
由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的28%，
于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人．
（3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况列表如下：
由上表可知，一共有20种等可能，其中恰好抽到一男一女的情况有12中，
∴恰好抽到一男一女的概率为 ．
【点评】本题主要考查了调查搜集数据的过程和方法，用样本估计总体的统计方法，扇形
统计图，条形统计图，用列表法求事件的概率，熟练掌握统计的思想方法是解题的关键．
21．（11分）（2022•德阳）如图，一次函数y＝﹣ x+1与反比例函数y＝ 的图象在第二象限
交于点A，且点A的横坐标为﹣2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B的坐标是（﹣3，0），若点P在y轴上，且△AOP的面积与△AOB的面积相等，求
点P的坐标．
第22页（共32页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可；
（2）设P（0，m），构建方程求解．
【解答】解（1）∵一次函数y＝﹣ x+1与反比例函数y＝ 的图象在第二象限交于点A，点
A的横坐标为﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣ ×（﹣2）+1＝4，
∴A（﹣2，4），
∴4＝ ，
∴k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ；
（2）设P（0，m），
∵△AOP的面积与△AOB的面积相等，
∴ ×|m|×2＝ ×3×4，
∴m＝±6，
∴P（0，6）或（0，﹣6）．
【点评】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系
数法，属于中考常考题型．
22．（11分）（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，过点D作BC的
垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，
点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：
第23页（共32页）s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时
t的值；若不能，请说明理由．
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
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【分析】（1）根据平行线的判定定理得到EH∥FG，由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，推出四
边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形EFGH是矩形；
（2）根据菱形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝2 cm，求得∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB
＝2 cm，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵EH⊥BC，FG⊥BC，
∴EH∥FG，
由题意知BF＝2tcm，EH＝tcm，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴FG＝ BF＝t，
∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）△BFC与△DCE能够全等，
理由：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2 cm，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝2 cm，AB∥CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠CHD＝90°，
第24页（共32页）∴∠CDH＝90°﹣60°＝30°＝∠CBF，
在Rt△CDH中，cos∠CDH＝ ，
∴DH＝2 × ＝3，
∵BF＝2tcm，
∴EH＝tcm，
∴DE＝（3﹣t）cm，
∴当BF＝DE时，△BFC≌△DCE，
∴2t＝3﹣t，
∴t＝1．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定
定理是解题的关键．
23．（11分）（2022•德阳）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振
兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了
发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B
种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
（1）求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
（2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单
价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费
用是多少元？
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
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【分析】（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据条件“A种比B种每株多20元，
买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元”建立方程求出其解即可；
（2）设A种树苗购买a株，则B种树苗购买（36﹣a）株，根据条件A种树苗数量不少于B
种数量的一半建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
，
解得 ，
答：A种树苗每株4元，B种树苗每株5元；
第25页（共32页）（2）设购买A种树苗a株，则购买B种树苗（100﹣a）株，总费用为w元，
由题意得：a≤25，w≤480，
∵w＝4a+5（100﹣a）＝﹣a+500，
∴﹣a+500≤480，
解得：a≥20，
∴20≤a≤25，
∴a是整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴共有6种购买方案，
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株，
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株，
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株，
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株，
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株，
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株，
∵w＝﹣a+500，k＝﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝25时，w最小，
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费
用是475元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式的运用，关键是正确理
解题意，找出题目中的等量关系列出方程组，找出不等关系列出不等式．
24．（12分）（2022•德阳）如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过
点C作直线分别与AB，AD的延长⊙线交于点E，F，且⊙∠ECD＝2∠BAD．
（1）求证：CF是 O的切线；
（2）如果AB＝10，⊙CD＝6，
①求AE的长；
②求△AEF的面积．
第26页（共32页）【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
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【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和
圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①利用勾股定理和相似三角形的判定定理与性质定理解答即可；
②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，设FG＝4k，则FE＝5k，利用相似三角形的
判定与性质和平行线分线段成比例定理求得FG，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是 O的直径，AB⊥CD，
∴ ⊙，
∴∠CAB＝∠DAB．
∵∠COB＝2∠CAB，
∴∠COB＝2∠BAD．
∵∠ECD＝2∠BAD，
∴∠ECD＝∠COB．
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCH＝90°，
∴∠OCH+∠ECD＝90°，
第27页（共32页）∴∠OCE＝90°．
∴OC⊥CF．
∵OC是 O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解⊙：①∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5，
∵AB是 O的直径，AB⊥CD，
⊙
∴CH＝DH＝ CD＝3．
∴OH＝ ＝4，
∵OC⊥CF，CH⊥OE，
∴△OCH∽△OEC，
∴ ，
∴ ，
∴OE＝ ．
∴AE＝OA+OE＝5+ ＝ ；
②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，
∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，
∴△OCE∽△FGE．
∴ ，
设FG＝4k，则FE＝5k，
第28页（共32页）∴EG＝ ＝3k，
∵DH⊥AB，FG⊥AB，
∴DH∥FG．
∴ ，
∴ ，
解得：k＝ ．
∴FG＝4k＝5．
∴△AEF的面积＝ ×AE•FG＝ ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性
质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（14分）（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x ，x
1 2
（x ＜x ），求x +x 的值；
1 2 1 2
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左
侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求 的最
大值．
第29页（共32页）【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）求出点M，点F的坐标，设直线MF的解析式为y＝kx+b，构建方程组求出k，b
即可；
（2）说明抛物线与折线EMF有两个交点关于抛物线的对称轴对称，可得结论；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，
﹣t2+4t+5），由PT∥AM，推出 ＝ ＝ （t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，利用二
次函数的性质，可得结论．
【解答】解：（1）∵点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y＝kx+b，
则有 ，
解得 ，
∴射线MF的解析式为y＝x﹣2（x≥2）；
（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．
第30页（共32页）∵抛物线的对称轴x＝﹣ ＝2，点M（2，0），
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y＝﹣x+2，直线MF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线EM，直线MF关于直线x＝2对称，
∴P，Q关于直线x＝2对称，
∴2＝ ，
∴x +x ＝4；
1 2
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．
∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
第31页（共32页）∴A（﹣1，0），B（5，0），
设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴ ＝ ＝ （t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴ 有最大值，最大值为 ．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称等知
识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属
于中考压轴题．
第32页（共32页）
