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2012年四川省自贡市中考数学试卷
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
2．（3分）自贡市约330万人口，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．330×104 B．33×105 C．3.3×105 D．3.3×106
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．选举中，人们通常最关心的数据是众数
B．从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性比较大
C．数据3、5、4、1、﹣2的中位数是3
D．某游艺活动的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有6次会获奖
6．（3分）若反比例函数 的图象上有两点P （1，y ）和P （2，y ），那么（ ）
1 1 2 2
A．y ＜y ＜0 B．y ＜y ＜0 C．y ＞y ＞0 D．y ＞y ＞0
2 1 1 2 2 1 1 2
7．（3分）如图，矩形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接
BD、DF，则图中全等的直角三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．（3分）如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是（
第1页（共22页））
A．10 cm2 B．25 cm2 C．60 cm2 D．65 cm2
9．（3分）如π 图，在平行四边形ABπCD中，AD＝5，AB＝3，πAE平分∠BAD交BC边π 于点E，则线
段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4
10．（3分）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点
M 处，第二次从M 跳到OM 的中点M 处，第三次从点M 跳到OM 的中点M 处，如此
3 3 3 2 2 2 1
不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更
快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点
情况）大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图 是一个几何体的主视图和左视图．某班同学在探究它的俯视图时，画出了
如 图 的 几①个 图 形 ， 其 中 ， 可 能 是 该 几 何 体 俯 视 图 的 共 有 （ ）
②
第2页（共22页）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）函数y＝ + 中自变量x的取值范围是 ．
14．（4分）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧
DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是 ．
15．（4分）盒子里有3张分别写有整式x+1，x+2，3的卡片，现从中随机抽取两张，把卡片的
整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ．
16．（4分）某公路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，为节约用电，现计划全部
更换为新型节能灯，且相邻两盏灯的距离变为54米，则需更换新型节能灯 盏．
17．（4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持
AM⊥MN，当BM＝ cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．
18．（4分）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数是 ，
﹣1的差倒数为 ，现已知 ，x 是x 的差倒数，x 是x 的差倒数，x 是x
2 1 3 2 4 3
的差倒数，…，依此类推，则x ＝ ．
2012
三、解答题（共4个题，每题8分，共32分）
第3页（共22页）19．（8分）计算：2cos60° 0．
20．（8分）已知a＝ ，求代数式 的值．
21．（8分）画出如图所示立体图的三视图．
22．（8分）我市某化工厂从2008年开始节能减排，控制二氧化硫的排放．图 ，图 分别是
该厂2008﹣2011年二氧化硫排放量（单位：吨）的两幅不完整的统计图，③根据图④中信息回
答下列问题．
（1）该厂2008﹣2011年二氧化硫排放总量是 吨；这四年平均每年二氧化硫排放量
是 吨．
（2）把图中折线图补充完整．
（3）2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是 度，2011年二氧化硫的排放量
占这四年排放总量的百分比是 ．
四、解答题（共2个题，每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，
此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，
BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距
离CA的长？（参考数据： ，结果保留两位有效数字）
第4页（共22页）24．（10分）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不
能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．
求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量
相同？
五、解答题（共2个题，每题12分，共24分）
25．（12分）如图AB是 O的直径，AP是 O的切线，A是切点，BP与 O交于点C．
（1）若AB＝2，∠P＝⊙30°，求AP的长；⊙ ⊙
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是 O的切线．
⊙
26．（12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F
分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？
如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
六、解答题（本题满分14分）
27．（14分）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线
l沿y轴翻折得抛物线l ．
1
第5页（共22页）（1）求l 的解析式；
1
（2）在l 的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A 及C两点的距离差最大，并说出
1 1
理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l 于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，
1
求此圆的半径．
第6页（共22页）2012年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）
1．【分析】先计算|﹣3|＝3，再求3的倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是 ，
∴|﹣3|的倒数是 ．
故选：D．
【点评】本题考查了倒数、绝对值的概念，熟练掌握绝对值与倒数的意义是解题关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将330万＝3300000用科学记数法表示为：3.3×106．
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；
先把 化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对
D进行判断．
【解答】解：A、 与 不能合并，所以A选项不正确；
第7页（共22页）B、 × ＝ ，所以B选项不正确；
C、 ﹣ ＝2 ＝ ，所以C选项正确；
D、 ÷ ＝2 ÷ ＝2，所以D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并
同类二次根式．也考查了二次根式的乘除法．
5．【分析】由众数、中位数的定义，可得A与C正确，又由概率的知识，可得B正确，D错误．
注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、选举中，人们通常最关心的数据是众数，故本选项正确；
B、∵从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的概率为： ，取得偶数的概率为： ，
∴取得奇数的可能性比较大，
故本选项正确；
C、数据3、5、4、1、﹣2的中位数是3，故本选项正确；
D、某游艺活动的中奖率是60%，不能说明参加该活动10次就有6次会获奖，故本选项错
误．
故选：D．
【点评】此题考查了众数、中位数、概率的意义、可能性大小问题．此题比较简单，解题的关
键是理解并掌握定义．
6．【分析】把两点P（1，y ）和P（2，y ）分别代入反比例函数y＝ 求出y 、y 的值即可作出
1 1 2 2 2 1
判断．
【解答】解：把点P （1，y ）代入反比例函数y＝ 得，y ＝1；
1 1 1
点P （2，y ）代入反比例函数y＝ 求得，y ＝ ，
2 2 2
∵1＞ ＞0，
∴y ＞y ＞0．
1 2
故选：D．
【点评】本题比较简单，考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点
的坐标一定适合此函数的解析式．
7．【分析】先找出图中的直角三角形，再分析三角形全等的方法，然后判断它们之间是否全等．
第8页（共22页）【解答】 解：E是CD中点，DE＝EC，矩形ABCD，可得AD＝BC，AB＝CD，
∠DCB＝∠DCF＝90°，AD∥BF，∠DAE＝∠EFC，
图中全等的直角三角形有：∠DEA＝∠CEF，∠DAE＝∠EFC，DE＝EC，
在△AED和△FEC中
则△AED≌△FEC（AAS），
∴CF＝AD＝BC，
在△BDC和△FDC中
△BDC≌△FDC（SAS），
同理，△BDC≌△DBA，即，△BDC≌△FDC≌△DBA，
△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4对．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
AAS，ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须
有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．【分析】圆锥的母线AB＝13cm，圆锥的高AO＝12cm，圆锥的底面半径OB＝r，在Rt△AOB
中，利用勾股定理计算出r，然后根据圆的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，圆锥的母线AB＝13cm，圆锥的高AO＝12cm，圆锥的底面半径OB＝r，
在Rt△AOB中，
r＝ ＝ ＝5（cm），
∴S＝ r2＝ ×52＝25 cm2．
故选：πB．π π
第9页（共22页）【点评】本题考查了圆锥的有关计算，要理解圆锥的有关概念；也考查了勾股定理以及圆
的面积公式．
9．【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB＝BE，再由已知条件即可求解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠DAE
∵ ▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠DAE＝∠AEB
∴∠BAE＝∠BEA
∴AB＝BE＝3
∴EC＝AD﹣BE＝2
故选：B．
【点评】命题立意：考查平行四边形性质及等腰三角形的性质．
10．【分析】根据题意，得第一次跳动到OM的中点M 处，即在离原点的 处，第二次从M 点
3 3
跳动到M 处，即在离原点的（ ）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的 处．
2
【解答】解：由于OM＝1，
所有第一次跳动到OM的中点M 处时，OM ＝ OM＝ ，
3 3
同理第二次从M 点跳动到M 处，即在离原点的（ ）2处，
3 2
同理跳动n次后，即跳到了离原点的 处，
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解
答本题的关键是找出各个点跳动的规律，此题比较简单．
11．【分析】往返路程相同，先慢，速度小，时间长，后快，速度大，时间短，由此判断函数图象．
【解答】解：依题意，回家时，速度小，时间长，返校时，速度大，时间短，
第10页（共22页）故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析
得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
12．【分析】根据三视图的定义，以及已知条件判断即可．
【解答】解：由主视图和左视图看，a、b、c、d、e、f都有可能．
故选：D．
【点评】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了
对图形的想象力．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等
式求解．
【解答】解：2﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得，x≤2且x≠3．
故函数y＝ + 中自变量x的取值范围是x≤2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
x≤2的范围内没有x＝3，故不应该作强调．
14．【分析】弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算
公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
【解答】解：弧CD的长是 ＝ ，
弧DE的长是： ＝ ，
弧EF的长是： ＝2 ，
π
则曲线CDEF的长是： + +2 ＝4 ．
π π
故答案为：4 ．
【点评】本题考π查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径
分别是1，2，3是解题的关键．
15．【分析】首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与能组成分式
的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
第11页（共22页）【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能组成分式的有4种情况，
∴能组成分式的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与分式的定义．注意树状图法与列表法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合
两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．【分析】可设需更换的新型节能灯有x盏，根据等量关系：两种安装路灯方式的道路总长
相等，列出方程求解即可．
【解答】解：设需更换的新型节能灯有x盏，则
54（x﹣1）＝36×（106﹣1），
54x＝3834，
x＝71，
则需更换的新型节能灯有71盏．
故答案为：71．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
17．【分析】设 BM＝xcm，则 MC＝1﹣xcm，当 AM⊥MN 时，利用互余关系可证
△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用
二次函数的性质求面积的最大值．
【解答】解：设BM＝xcm，则MC＝1﹣xcm，
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠NMC＝90°，∠NMC+∠MNC＝90°，
∴∠AMB＝∠MNC，
又∵∠B＝∠C
第12页（共22页）∴△ABM∽△MCN，则 ，即 ，
解得CN＝ ＝x（1﹣x），
∴S四边形ABCN ＝ ×1×[1+x（1﹣x）]＝﹣ x2+ x+ ，
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ ＝ cm时，S四边形ABCN 最大，最大值是﹣ ×（ ）2+ × + ＝
cm2．
故答案是： ， ．
【点评】本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用
相似比求函数关系式．
18．【分析】分别求出x 、x 、x 、x ，…，寻找循环规律，再求x ．
2 3 4 5 2012
【解答】解：∵x ＝﹣ ，
1
∴x ＝ ＝ ，x ＝ ＝4，x ＝ ＝﹣ ，
2 3 4
∴差倒数为3个循环的数，
∵2012＝670×3+2，
∴x ＝x ＝ ，
2012 2
故答案为： ．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先
应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分
别用组数k表示出来．
三、解答题（共4个题，每题8分，共32分）
19．【分析】首先计算特殊角的三角函数值，去掉绝对值符号，把除法转化成乘法运算，然后进
行乘法运算，最后合并同类二次根式即可求解．
第13页（共22页）【解答】解：原式＝2× ﹣2﹣（2﹣ ）÷1
＝1﹣2﹣2+
＝1﹣4+
＝﹣3+ ．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同
类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大
的也可先化简，再相乘，灵活对待．
20．【分析】在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先把括号里式子通分，再进行分式的乘除．
【解答】解：原式＝ × ＝ ，
当a＝ 时，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．
21．【分析】从正面看下面是一个横着的长方形，上面是一个竖着的长方形；从左面看下面是
一个横着的长方形，上面是一个三角形；从上面看是一个大正方形中右上一个小正方形．
【解答】解：如图所示：
【点评】考查了作三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得
到的图形；在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来．
22．【分析】（1）根据扇形统计图折线统计图可求出该厂2008﹣2011年二氧化硫的排放总量，
然后分别求出这四年的排放量即可得出这四年平均每年二氧化硫排放量．
（2）根据求出的四年的排放量可补全折线图；
第14页（共22页）（3）根据2008年二氧化硫的排放量和这四年的排放总量即可求出对应扇形的圆心角以及
求出2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比．
【解答】解：（1）∵该厂2009年二氧化硫的排放量20吨，占2008﹣2011年二氧化硫的排放
总量的20%．
∴该厂2008﹣2011年二氧化硫的排放总量是 20÷20%＝100（吨），
∴2010年二氧化硫排放量是100×30%＝30（吨），
2011年二氧化硫排放量是100﹣40﹣20﹣30＝10（吨），
∴这四年二氧化硫排放量分别是40、20、30、10，
∴这四年二氧化硫排放量的平均数为：100÷4＝25（吨），
故答案为：100、25．
（2）正确补全折线图（如图所示），
；
（3）∵2008年二氧化硫的排放量是40吨，
∴2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是 360× ＝144°，
∵2011年二氧化硫的排放量是10吨，
∴2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是 ×100%＝10%．
故答案为：144、10%．
【点评】本题考查了扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比
等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
四、解答题（共2个题，每小题10分，共20分）
23．【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D
到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE＝EH即为AC长度．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
第15页（共22页），
∴BE＝8，AE＝6．
∵DG＝1.5，BG＝1，
∴DH＝DG+GH＝1.5+8＝9.5，
AH＝AE+EH＝6+1＝7．
在Rt△CDH中，
∵∠C＝∠FDC＝30°，DH＝9.5，tan30°＝ ，
∴CH＝9.5 ．
又∵CH＝CA+7，
即9.5 ＝CA+7，
∴CA≈9.435≈9.4（米）．
答：CA的长约是9.4米．
【点评】构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角
函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
24．【分析】（1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜
28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解；
（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解．
【解答】解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结．
依题意得： ，
解得：2＜x＜4．
∵x取正整数，
∴x＝3；x+2＝5，
答：弟弟每天编3个中国结，哥哥每天编5个中国结．
第16页（共22页）（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，
依题意得：3（m+2）＝5m，
解得：m＝3．
答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两
人所编中国结数量相同．
【点评】本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，
找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
五、解答题（共2个题，每题12分，共24分）
25．【分析】（1）首先根据切线的性质判定∠BAP＝90°；然后在直角三角形ABP中利用三角
函数的定义求得AP的长度；
（2）连接OC，OD、AC构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相
等推知∠OAD＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD．
【解答】（1）解：∵AB是 O的直径，AP是 O的切线，
∴AB⊥AP， ⊙ ⊙
∴∠BAP＝90°；
又∵AB＝2，∠P＝30°，
∴AP＝ ＝ ＝2 ，即AP＝2 ；
（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACP＝90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD＝CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD＝∠OCD（全等三角形的对应角相等）；
第17页（共22页）又∵AP是 O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP⊙，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即直线CD是 O的切线．
⊙
【点评】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法．
26．【分析】（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝
AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF 可得 S△ABE ＝S△ACF ，故根据 S 四边形AECF ＝S△AEC +S△ACF ＝
S△AEC +S△ABE ＝S△ABC 即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又
根据S△CEF ＝S四边形AECF ﹣S△AEF ，则△CEF的面积就会最大．
【解答】（1）证明：连接AC，如下图所示，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
第18页（共22页）理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE ＝S△ACF ，
故S四边形AECF ＝S△AEC +S△ACF ＝S△AEC +S△ABE ＝S△ABC ，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF ＝S△ABC ＝ BC•AH＝ BC• ＝4 ，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF ＝S四边形AECF ﹣S△AEF ，则此时△CEF的面积就会最大．
∴S△CEF ＝S四边形AECF ﹣S△AEF ＝4 ﹣ ×2 × ＝ ．
答：最大值是 ．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证
△ABE≌△ACF是解题的关键，有一定难度．
六、解答题（本题满分14分）
27．【分析】（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物
线l 的解析式；
1
（2）如图2所示，连接B C并延长，与对称轴x＝1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称
1
的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的
坐标，首先需要求出直线B C的解析式；
1
（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或
点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．
【解答】解：（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A 、B ，
1 1
依题意，由翻折变换的性质可知A （3，0），B （﹣1，0），C点坐标不变，
1 1
因此，抛物线l 经过A （3，0），B （﹣1，0），C（0，﹣3）三点，
1 1 1
设抛物线l 的解析式为y＝ax2+bx+c，则有：
1
第19页（共22页），
解得a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
故抛物线l 的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
1
（2）抛物线l 的对称轴为：x＝ ＝1，
1
如图2所示，连接B C并延长，与对称轴x＝1交于点P，则点P即为所求．
1
此时，|PA ﹣PC|＝|PB ﹣PC|＝B C．
1 1 1
设P′为对称轴x＝1上不同于点P的任意一点，则有：
|P′A ﹣P′C|＝|P′B ﹣P′C|＜B C（三角形两边之差小于第三边），
1 1 1
故|P′B ﹣P′C|＜|PA ﹣PC|，即|PA ﹣PC|最大．
1 1 1
设直线B C的解析式为y＝kx+b，则有：
1
，解得k＝b＝﹣3，
故直线B C的解析式为：y＝﹣3x﹣3．
1
令x＝1，得y＝﹣6，
故P（1，﹣6）．
（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．
当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，
①由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x＝1上，
则D（1，r），F（1+r，r）．
∵点F（1+r，r）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴r＝（1+r）2﹣2（1+r）﹣3，化简得：r2﹣r﹣4＝0
解得r ＝ ，r ＝ （舍去），
1 2
∴此圆的半径为 ；
当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为 ．
②
第20页（共22页）综上所述，此圆的半径为 或 ．
【点评】本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、
三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，注意是
“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训
第21页（共22页）练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其
次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径．
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