文档内容
2019年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求.）
1．（4分）﹣|﹣ |的值为（ ）
A． B．﹣ C．± D．2
2．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．2+ ＝2 B．（a2b3）2＝a4b6
C．（2a2+a）÷a＝2a D．5x2y﹣2x2y＝3
3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上
的数字
之积是（ ）
A．﹣12 B．0 C．﹣8 D．﹣10
4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校
100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（ ）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
5．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（
）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
6．（4分）如图，△ABC内接于 O，若∠A＝45°， O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（
） ⊙ ⊙
第1页（共22页）A．4 ﹣8 B．2 C．4 D．8 ﹣8
7．（4分π）如图， ▱ABCD中，对π角线AC、BD相交于点πO，OE⊥BD交AD于π点E，连接BE，
若 ▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A．28 B．24 C．21 D．14
8．（4分）关于x的方程 ﹣1＝ 的解为正数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4
9．（4分）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（
）
A．a＝4
B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）
C．当x＝﹣1时，b＞﹣5
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
10．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长
交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：
∠BPD＝135°； △BDP∽△HDB； DQ：BQ＝1：2； S△BDP ＝ ．
① ② ③ ④
第2页（共22页）其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空①题②（③本大题共5个小②题③，每④小题4分，共20①分③）④ ①②④
11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程﹣﹣港珠澳大桥正式建成通车，它全
长55000米，用科学记数法表示为 米．
12．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92
分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩
为 分．
14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，
把形如a+b（i a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．
它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝ ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别
位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角
线AC上的点P处，反比例函数y＝ 经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经
过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为 ．（填一般式）
第3页（共22页）三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）
16．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣2）﹣2+（3.14﹣ ）0﹣4cos30°+|2﹣ |
π
17．（7分）解不等式组： ，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
18．（7分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中a，b满足（a﹣2）2+ ＝
0．
19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于
点F，点F是CD的中点．求证：
（1）△ADF≌△ECF．
（2）四边形ABCD是平行四边形．
20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断
面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，
平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡
度i＝1： ，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留
根号）
第4页（共22页）21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一
批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的 倍，但进价
比第一批每件多了5元．
（1）第一批仙桃每件进价是多少元？
（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定
打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？
（利润＝售价﹣进价）
22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：
代号 活动类型
A 经典诵读与写作
B 数学兴趣与培优
C 英语阅读与写作
D 艺体类
E 其他
为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每
名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计
图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．
（1）此次共调查了 名学生．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为 ．
（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？
（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校
园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求
出刚好一男一女参加决赛的概率．
第5页（共22页）23．（10分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═ （k≠0）的图象交于点A与点
B（a，﹣4）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的
平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．
24．（10分）如图，△ABC内接于 O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，
⊙
连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝ ，BC
＝6．
（1）求证：∠COD＝∠BAC；
（2）求 O的半径OC；
（3）求⊙证：CF是 O的切线．
⊙
25．（12分）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，
OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
连接OP，当OP＝ MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
①
第6页（共22页）求证：∠BNM＝∠ONM．
②
第7页（共22页）2019年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求.）
1．【分析】根据实数的绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣|﹣ |＝﹣ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查绝对值和二次根式，掌握实数的绝对值的意义是解题的关键．
2．【分析】直接利用整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则、二次根式
的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、2+ ，无法计算，故此选项错误；
B、（a2b3）2＝a4b6，正确；
C、（2a2+a）÷a＝2a+1，故此选项错误；
D、故5x2y﹣2x2y＝3x2y，此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项、二次根式的加
减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．【分析】根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正
方形，所以数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣12．
【解答】解：数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣2×6＝﹣12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方体相对两个面上的文字，关键是掌握正方体展开图的特点．
4．【分析】总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所
抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、
样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据
的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对
全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．
第8页（共22页）故选：C．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样
本，关键是明确考察的对象．总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的
大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
5．【分析】直接把x＝0代入进而方程，再结合a﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，
∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，
则a的值为：a＝﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．
6．【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据扇形的面积和三角形的面积公式即
可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOC ﹣S△BOC ＝ ﹣ ×4×4＝4 ﹣8，
π
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握扇
形的面积公式是解题的关键．
7．【分析】先判断出EO是BD的中垂线，得出BE＝ED，从而可得出△ABE的周长＝AB+AD，
再由平行四边形的周长为24，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出
第9页（共22页）OE是线段BD的中垂线．
8．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到x的值，根据分式方程
解是正数，即可确定出k的范围．
【解答】解：分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，
解得：x＝ ，
根据题意得： ＞0，且 ≠2，
解得：k＞﹣4，且k≠4．
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
9．【分析】根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b
∴对称轴为直线x＝ ＝2
∴a＝4，故A选项正确；
当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8
∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；
当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0
即1+4+b＜0
∴b＜﹣5，故C选项不正确；
∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上
∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数
的关系，本题属于基础题型．
10．【分析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，
从而判断 ；证∠DBP＝∠DPB＝135°可判断 ；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝
x，CQ＝①2QE＝2x，CE＝ x，由CE+DE＝C②D求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可
判断 ，证DP＝DQ＝ ，根据S△BDP ＝ BD•PDsin∠BDP求解可判断 ．
③ ④
【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
第10页（共22页）∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故 正确；
∵∠CBD＝∠CDB＝45°， ①
∴∠DBP＝∠DPB＝135°，
又∵∠PDB＝∠BDH，
∴△BDP∽△HDB，故 正确；
如图，过点Q作QE⊥C②D于E，
设QE＝DE＝x，则QD＝ x，CQ＝2QE＝2x，
∴CE＝ x，
由CE+DE＝CD知x+ x＝1，
解得x＝ ，
∴QD＝ x＝ ，
∵BD＝ ，
∴BQ＝BD﹣DQ＝ ﹣ ＝ ，
则DQ：BQ＝ ： ≠1：2，故 错误；
③
∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，
∴∠PDQ＝30°，
又∵∠CPD＝75°，
∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，
∴DP＝DQ＝ ，
∴S△BDP ＝ BD•PDsin∠BDP＝ × × × ＝ ，故 正确；
④
第11页（共22页）故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正
方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是
易错点，由于55000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：55000＝5.5×104，
故答案为5.5×104．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
12．【分析】利用根的判别式进行计算，令△＞0即可得到关于k的不等式，解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13．【分析】根⇔据加权平均数的计算方法求值即可．
【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为：
92×40%+85×40%+90×20%
＝36.8+34+18
＝88.8
故答案为：88.8
【点评】本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
14．【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
【解答】解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
第12页（共22页）故答案为：7﹣i．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．
15．【分析】点C（0，3），反比例函数y＝ 经过点B，则点B（4，3），由勾股定理得：（4﹣x）2
＝4+x2，故点G（ ，0），将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解答】解：点C（0，3），反比例函数y＝ 经过点B，则点B（4，3），
则OC＝3，OA＝4，
∴AC＝5，
设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，
由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，
解得：x＝ ，故点G（ ，0），
将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故答案为：y＝ x2﹣ x+3．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形基本性质、反比例函数基本性质与
应用，其中用勾股定理求OG的长度，是本题解题的关键．
三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）
16．【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出
答案．
【解答】解：原式＝﹣1+ +1﹣4× +2 ﹣2
＝﹣1+ +1﹣2 +2 ﹣2
＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的
第13页（共22页）解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤： 求不等式组中每个不等式的解集； 利用数轴求公共部分．解集的规律：
同大取大；同①小取小；大小小大中间找；大大小小②找不到．
【解答】解：
解不等式 ，x＞﹣3，
解不等式①，x≤2，
∴﹣3＜x≤②2，
解集在数轴上表示如下：
∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键．
18．【分析】先化简分式，然后将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝﹣ ，
∵a，b满足（a﹣2）2+ ＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
a＝2，b＝﹣1，
原式＝ ＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根
据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判
定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
第14页（共22页）∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）；
（2）∵△ADF≌△ECF，
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行
四边形的判定定理是解题的关键．
20．【分析】过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，于是得到四边形EGHA是矩形，求
得EG＝AH，GH＝AE＝2，得到AH＝BH＝ ，求得BG＝BH﹣HG＝ ，得到FG
＝ ，根据梯形的面积公式求得梯形ABFE的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
【解答】解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，
则四边形EGHA是矩形，
∴EG＝AH，GH＝AE＝2，
∵斜坡AB的坡度i＝1：1，
∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，
∴BG＝BH﹣HG＝7，
∵斜坡EF的坡度i＝1： ，
∴FG＝9 ，
∴BF＝FG﹣BG＝9 ﹣7，
∴S梯形ABFE ＝ （2+9 ﹣7）×9＝ ，
第15页（共22页）∴共需土石为 ×200＝900（9 ﹣5）立方米．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角
三角形的知识求解是关键．
21．【分析】（1）设第一批仙桃每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，再根据等量关
系：第二批仙桃所购件数是第一批的 倍，列方程解答；
（2）设剩余的仙桃每件售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于
440元，可列不等式求解．
【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则 × ＝ ，
解得 x＝180．
经检验，x＝180是原方程的根．
答：第一批仙桃每件进价为180元；
（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．
则： ×225×80%+ ×225×（1﹣80%）×0.1y﹣3700≥440，
解得 y≥6．
答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出
方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
22．【分析】（1）由A类型人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人
数，据此可补全图形；
（3）用360°乘以B类型人数所占比例；
（4）总人数乘以前三项人数之和所占比例即可得；
（5）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学
第16页（共22页）生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案
【解答】解：（1）此次调查的总人数为40÷20%＝200（人），
故答案为：200；
（2）D类型人数为200×25%＝50（人），
B类型人数为200﹣（40+30+50+20）＝60（人），
补全图形如下：
（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为360°× ＝108°，
故答案为：108°；
（4）估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有2000× ＝1300（人）；
（5）画树状图如下：
，
由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有8种结果，
∴刚好一男一女参加决赛的概率 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图．用到的知识
点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可
求出其表达式；
（2）设点P的坐标为（m， ）（m＞0），用m表示出△POC的面积，从而列出关于m的方程，
解方程即可．
【解答】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1
∴B（﹣1，﹣4）
第17页（共22页）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═ （k≠0）中得：k＝4
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）如图：
设点P的坐标为（m， ）（m＞0），则C（m，m﹣3）
∴PC＝| ﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m
∴△POC的面积＝ m×| ﹣（m﹣3）|＝3
解得：m＝5或﹣2或1或2
∵点P不与点A重合，且A（4，1）
∴m≠4
又∵m＞0
∴m＝5或1或2
∴点P的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的
表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
24．【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF＝90°，根据平行线的性质得到AE⊥BC，根据圆
周角定理即可得到结论；
（2）设OE＝x，OC＝3x，得到CE＝3，根据勾股定理即可得到结论；
（3）由DF＝2OD，得到OF＝3OD＝3OC，求得 ，推出△COE∽△FOE，根据相
第18页（共22页）似三角形的性质得到∠OCF＝∠DEC＝90°，于是得到CF是 O的切线．
【解答】解：（1）∵AG是 O的切线，AD是 O的直径，⊙
∴∠GAF＝90°， ⊙ ⊙
∵AG∥BC，
∴AE⊥BC，
∴CE＝BE，
∴∠BAC＝2∠EAC，
∵∠COE＝2∠CAE，
∴∠COD＝∠BAC；
（2）∵∠COD＝∠BAC，
∴cos∠BAC＝cos∠COE＝ ＝ ，
∴设OE＝x，OC＝3x，
∵BC＝6，
∴CE＝3，
∵CE⊥AD，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴x2+32＝9x2，
∴x＝ （负值舍去），
∴OC＝3x＝ ，
∴ O的半径OC为
⊙
（3）∵DF＝2OD，
∴OF＝3OD＝3OC，
∴ ，
∵∠COE＝∠FOC，
∴△COE∽△FOC，
∴∠OCF＝∠DEC＝90°，
∴CF是 O的切线．
【点评】本⊙题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线
第19页（共22页）的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．【分析】（1）由于已知二次函数顶点坐标，故可设顶点式，再把点A代入求a即求得二次
函数关系式．
（2）设点B横坐标为b，用b表示直线OB的k值即得到直线OB解析式，把x＝3代入即用
b表示点M坐标．根据M、N关于点P对称，求得MP＝NP＝ MN，且能用b表示点N坐
标． 由OP＝ MN，可列得关于b的方程，求解即得到点B、N坐标．求OB2、ON2、BN2的
①
值得到OB2+ON2＝BN2，判断△NOB是等腰直角三角形． 有点B、N坐标求直线BN解析
式（含b），令y＝0求得直线BN与x轴交点D的坐标，发②现C为OD中点即直线NC垂直
平分OD，根据垂直平分线性质得ND＝NO，由等腰三角形三线合一得∠BNM＝∠ONM，
得证．
【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）
∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3
∵二次函数图象过点A（6，0）
∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣
∴二次函数的关系式为y＝﹣ （x﹣3）2+3＝﹣ x2+2x
（2）设B（b，﹣ b2+2b）（b＞3）
∴直线OB解析式为：y＝（﹣ b+2）x
∵OB交对称轴l于点M
∴当x ＝3时，y ＝（﹣ b+2）×3＝﹣b+6
M M
∴M（3，﹣b+6）
∵点M、N关于点P对称
∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，
∴y ＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）
N
第20页（共22页）∵OP＝ MN
①
∴OP＝MP
∴ ＝b﹣3
解得：b＝3+3
∴﹣ b2+2b＝﹣ ×（3+3 ）2+2×（3+3 ）＝﹣3
∴B（3+3 ，﹣3），N（3，3+3 ）
∴OB2＝（3+3 ）2+（﹣3）2＝36+18 ，ON2＝32+（3+3 ）2＝36+18 ，BN2＝（3+3
﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3 ）2＝72+36
∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3 ，﹣3）．
证明：如图，设直线BN与x轴交于点D
②
∵B（b，﹣ b2+2b）、N（3，b）
设直线BN解析式为y＝kx+d
∴ 解得：
∴直线BN：y＝﹣ bx+2b
当y＝0时，﹣ bx+2b＝0，解得：x＝6
∴D（6，0）
∵C（3，0），NC⊥x轴
∴NC垂直平分OD
∴ND＝NO
∴∠BNM＝∠ONM
第21页（共22页）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，对称的性质，勾股定
理逆定理，一元一次方程的解法，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．第（2）题
设点B横坐标为b后，即把b当常数进行求直线解析式和点坐标的运算，较多字母的运算
过程要抓清楚常量和变量．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/2/21 11:35:56；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
第22页（共22页）
