第33讲 直线方程
【知识点总结】
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线 中 的系数 （ ）叫做这条直线的斜率，垂直于 轴的直线，其斜率不存在。
轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角 ，规定与 轴平行或重合的
直线的倾斜角为0，倾斜角不是 的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用 表示，即 。
当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角 随的增大而减小；
二、基本公式
1. 两点间的距离公式
2. 的直线斜率公式
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率 存在且过 ，
注：①当 时， ；②当 不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率 存在且过 ，
（3）两点式： ，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注： 可表示经过两点 的所有直线
（4）截距式： 不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式： ，能表示平面上任何一条直线（其中，向量 是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定.两直线方程 平行 垂直
(斜率存在) 或 或 中有一个
为0，另一个不存在.
(斜率不存在)
四、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 .
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
2．点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点 到l的距离 ;若直线为l:y=n,则点 到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知 是两条平行线,求 间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设 ,则 与 之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）直线 经过点 ，在 轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
设直线的斜率为 ，则直线方程为 ，直线在 轴上的截距为1－ ，
令－3<1－ <3，解不等式得 或 .
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ，直线 恒过定点A，则点A到直线
的距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
恒过的点为 ，直线 变形为 ，恒过点 ，所以点
到直线 的距离最大值即为 的长，其中 .
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 到直线 的距离为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得 ．
解得 或 ． ， ．
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
【答案】ABD
【详解】依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为： ， ，
， ， ，由 得PQ∥SR，由 得PQ⊥PS，由 得PR⊥QS，而 得PS与
QS不平行，
即选项ABD正确，选项C不正确.
故选：ABD
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的对
称直线为 ，则直线 的方程为_______________．
【答案】 .
【详解】
由题意知 ，设直线 ，在直线 上取点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ， 解得 ，即 ，
将 代入 的方程得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点 关于直线 对称的点的坐标是________.
【答案】
【详解】
解：设原点 关于直线 对称的点的坐标是 ，
则中点坐标为 在直线 上，直线 的斜率为则 ，解得 ， ．
要求的对称的点的坐标是 ．
故答案为： ．【点睛】
本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线 与直线 之间的距离为__________．
【答案】
【详解】
化简直线 为 ，
根据平行线间的距离公式，可得 ，
即直线 与直线 之间的距离为 .
故答案为： .
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 ，试分别确定 的
值，使：
（1） 与 相交于一点 ；
（2） 且 过点 ；
（3） 且l 在y轴上的截距为 .
1
【解析】
（1）解：由于 与 相交于一点 ，故把点 代入 的方程
可得 ，联立解得 .
（2）解：当 时，可得 和 ，此时不满足 ；
当 时，因为 且 过点 ，可得 ，解得 或 .
（3）解：由 且l 在y轴上的截距为 ，可得 ，解得 .
1例9．（2022·全国·高三专题练习）已知 的三个顶点分别为 ， ， ，BC中点为
D点，求：
（1） 边所在直线的方程
（2） 边上中线AD所在直线的方程
（3） 边的垂直平分线的方程.
【解析】
（1） ，故 边所在直线的方程为： ，
化简得到 .
（2） 中点 为 ，即 ，故 ，
故AD所在直线的方程为 ，即 .
（3） ，故垂直平分线的斜率为 ，中点为 ，
故垂直平分线的方程为 ，即 .
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴
交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
【详解】
解：（1）由题意可设直线 的方程为 ，即 ，
则 ，解得 ．
故直线 的方程为 ，即 ；
（2） 直线 的方程为 ，， ，依题意 ，解得 ，
则 的面积为 ．
则 （当且仅当 时，等号成立）．
故 面积的最小值为 ．【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l，l，l 的斜率分别是k，k，k，则有（ ）
1 2 3 1 2 3
A．k<k<k B．k<k<k
1 2 3 3 1 2
C．k<k<k D．k<k<k
3 2 1 2 3 1
【答案】D
【分析】
根据图像可知 ， ， ，再由 与 倾斜角的大小得到 ，进而得到结果.
【详解】
由图可知 ， ， ，且直线 的倾斜角大于直线 的倾斜角，所以 .
综上可知 .
故选:D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】
由直线方程可得斜率 ，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】
由题设，直线 斜率 ，若直线 的倾斜角为 ，则 ，
∵ ，∴ .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 和 ，且直线 与
平行，则实数 的值为（ ）
A．0 B．1 C．6 D．0或6
【答案】C
【分析】
求出直线 的与 的斜率，利用两个斜率相等列方程即可求解.
【详解】
因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率为 ，
因为直线 经过点 和 ，所以直线 斜率为 ，
因为直线 与 平行，所以 ，解得： ，
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）若直线 的斜率 ，则直线 的倾斜角的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据斜率的取值范围，结合 来求得倾斜角的取值范围.
【详解】
设倾斜角为 ，因为 ，且 ，所以 .故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，且直线 与 平行，
则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【答案】D【分析】
分直线 与 的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于 的关系式，解之
即可.
【详解】
当直线 与 的斜率不存在，即 时，直线AB的方程为： ，直线CD的方程为： ，显然
，满足题意.
②当直线 与 的斜率存在，即 时，直线AB的斜率 ，直线CD的斜率
要使直线 与 平行，须 ，即 ，解得： 或 （舍）
当 时，直线AB的方程为： ，直线CD的方程为： ，显然 ，满足题意.故
.
综上所述， 或 .
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知两点A(-2，4)，B(2，3)，过点P（1，0）的直线 与线段AB有公共点，
则直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据直线的斜率，利用数形结合法求解.
【详解】
如图所示：由图象知：过点P（1，0）的直线 为直线PA，PB之间任意一条直线，
而 ，
因为直线 与线段AB有公共点，
所以 或 ，
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【分析】
直线 经过定点 ，利用斜率计算公式可得： ， ，根据直线 与线
段 相交，即可得出．
【详解】
解：直线 经过定点 ，
， ，
又直线 与线段 相交，，
故选： ．
8．（2021·云南昆明·模拟预测（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为 ，则该三角形另两条边所
在直线斜率为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为 ，且 ，由直线的到角公式即可求出.
【详解】
根据题意，设三角形另两条边所在直线的斜率为 ，且 ，
则有 ，解得 ， ，
故另两条边所在直线斜率为 ， .
故选：C.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是正确利用直线的夹角公式.
9．（2022·全国·高三专题练习）直线 的倾斜角为 ， 经过点 ， ，则直线 与直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合
【答案】D
【分析】求出直线 的斜率，根据 ， 的斜率关系，即可求解.
【详解】
由点 ， ，可求得直线 的斜率 ，
因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
则有 ，则直线 与直线 平行或重合.
故选： D.
10．（2022·全国·高三专题练习）直线 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
利用充分条件，必要条件和充要条件的定义判断.
【详解】
当 时，直线 ， ， ，所以 ，故充分；
当 时， ，解得 或 ，故不必要；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 平行，则实数 的值是（
）
A． B． C． 或 D．不存在
【答案】C
【分析】
先判断两条直线的斜率都存在，再根据两条直线平行的关系，得到 的方程，从而解得 的值.【详解】
因为直线 ， 互相平行
则两直线的斜率都应存在，所以由两直线平行得到
，
解得 或 ，
故选：C
12．（2022·全国·高三专题练习）直线 与直线 平行，那么 的值是（
）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】
根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.
【详解】
因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得： ，
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 垂直，则实数a
的值为（ ）
A． B． C． 或 D．不存在
【答案】C
【分析】
分为直线斜率存在和不存在两种情况直接求解即可.
【详解】
当 时，直线 ，直线 ，两直线垂直，符合题意；
当 时，由两直线垂直可得 ，解得 或1（舍去），
综上所述， 或 .
故选：C14．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则“ ”是“直线 与直线
垂直”的（ ）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据两直线垂直，求 的值，再根据充分必要条件的定义，判断选项.
【详解】
由题知，当 时，直线 的方程为 ，斜率 ，直线 的方程为 ，斜率
．因为 ，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线 与 垂直，则有
，解得 或 ，故必要性不成立.
故选：A．
15．（2022·上海·高三专题练习）过点 且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
结合图形可知，所求直线为过点 且与原点和点 连线垂直的直线，通过点斜式即可得结果.
【详解】
结合图形可知，所求直线为过点 且与原点和点 连线垂直的直线，其斜率为 ，直线方程为
，即 .
故选：A.16．（2022·全国·高三专题练习）过点 且垂直于 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.
【详解】
直线 的斜率为 ，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为 ，
于是有： ，即 ，
所以所求直线方程为 .
故选：B
17．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线 和直线 都过点 ，则过点
和点 的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把 坐标代入两条直线 和 得 , ,求出,再用两点式方程求过点 , 的直线的方程．
【详解】
把 坐标代入两条直线 和 ,得, ,
,
过点 , 的直线的方程是： ,
,则 ,
, ,
所求直线方程为： ．
故选 ：A.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，当 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
将直线方程整理为 ，从而可得直线所过的定点.
【详解】
可化为 ，∴直线过定点 ，
故选：D.
19．（2022·全国·高三专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A． B．
C． 或 D． 或【答案】D
【分析】
分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】
当直线过原点时，满足题意，方程为 ，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为 ，
∵直线过(1，2)，∴ ，∴ ，∴方程为 ，
故选：D﹒
20．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过点 ，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中
点时，直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设 ， ，利用中点坐标公式即可得出a，b，利用截距式即可得出直线l的方程.
【详解】
解：设 ， ，
∵P为AB中点，∴ ，
解得 ， ，
∴直线 的方程为： ，
化为： ，
故选：D.
21．（2022·全国·高三专题练习）经过两直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互
为相反数的直线方程是（ ）
A． 或 B． 或C． D．
【答案】B
【分析】
先求出两直线的交点为 ，再对直线是否经过原点分两种情况讨论得解.【详解】
解：由 ，求得 ，
可得两直线 与 的交点为 ．
当要求的直线经过原点时，直线的方程为 ，即 ．
当要求的直线不经过原点时，直线的方程为 ，
把 代入，可得 ， ，此时，直线的方程为 ．
综上可得，要求的直线方程为 或 ，
故选：B．
22．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线l：3x﹣y﹣1＝0，l：x＋2y﹣5＝0，l：x﹣ay﹣3＝0不能围成
1 2 3
三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【分析】
分析可得直线 一定相交，联立两方程，求得交点坐标为 ，当 时，直线 为 ，分析可得不
满足题意，当 时，当直线l 分别与直线l、l 平行时，以及过直线 交点 时，均满足题意，分
3 1 2
别求解，即可得答案.
【详解】
因为直线l 的斜率为3，直线l 的斜率为 ，所以直线 一定相交，交点坐标是方程组 的解，
1 2
解得交点坐标为： .
当 时，直线 与x轴垂直，方程为： 不经过点 ，所以三条直线能构成三角形；
当 时，直线 的斜率为： .当直线l 与直线l 的斜率相等时，即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
1 3
当直线l 与直线l 的斜率相等时，即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
2 3
当直线l 过直线 交点 时，三条直线不能构成三角形，即有 ，所以实数a的取
3
值不可能为1.故选：A
23．（2022·全国·高三专题练习）点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【详解】
解：设点 关于直线 的对称点是 ，
则有 ，解得 ， ，
故点 关于直线 的对称点是 .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：关于轴对称问题：
（1）点 关于直线 的对称点 ，则有 ；
（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
24．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，则点P(2，2)关于 对称的点 的坐标为
（ ）
A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)
【答案】C
【分析】
设点 ，根据对称得到 ,计算得到答案.【详解】设点 ，根据对称得到 ,解得： ，所以 (-1，5).
故选：C.
25．（2022·全国·高三专题练习）若入射光线所在直线的方程为 ，经x轴反射，则反射光线
所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意可得已知直线过点 ， ，由反射原理，反射光线必经过点 和点 关于 轴
的对称点 ，然后由求直线方程的方法可得答案．
【详解】
解：由已知直线方程 ，令 可得 ，令 可得 ，
即入射光线所在直线与 轴、 轴分别相交于点 ， ，
由反射原理，反射光线必经过点 和点 关于 轴的对称点 ，
故可得其斜率为： ，由斜截式方程可得，
所求反射光线所在直线方程为：
故选： ．26．（2022·全国·高三专题练习）两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出a，利用两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为两直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0平行，
所以 ，解得：a=6，所以ax+8y+11=0为6 x+8y+11=0，即 ，
由两平行线间的距离公式可得：
两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+11=0之间的距离为： .
故选：B.27．（2022·全国·高三专题练习）直线 关于点 对称的直线方程是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ,则其关于点 对称的点的坐标为 ，代入已知
直线即可求得结果.
【详解】
设对称的直线方程上的一点的坐标为 ，
则其关于点 对称的点的坐标为 ，
因为点 在直线 上，
所以 即 .
故选：D.
二、多选题
28．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点 且在 轴截距相等的直线方程为
B．直线 在y轴上的截距是 ；
C．直线 的倾斜角是
D．过点 并且倾斜角为 的直线方程为
【答案】BD
【分析】
求出截距相等的直线方程判断A，求出直线的纵截距判断B，由直线方程求得倾斜角判断C，根据倾斜角
得出直线方程判断D．
【详解】
解：对A：过点 且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为 ；当直线不过原点时，直线方程为 ，所以A错误.
对B：直线 在y轴上的截距，令 ，得 ，所以直线 在y轴上的截距为 ，所以
B正确.对C：直线 的斜率为 ，设倾斜角为 ，则 ，所以 ，所以C错
误.
对D：过点 并且倾斜角为 ，斜率不存在，所以直线方程为 ，即 ，所以D正确.
故选：BD.
29．（2022·全国·高三专题练习）对于直线 ： ，下列说法错误的是（ ）
A． 时直线 的倾斜角为 B．直线 斜率必定存在
C．直线 恒过定点 D． 时直线 与两坐标轴围成的三角形面积为
【答案】AB
【分析】
由斜率、倾斜角的定义判断AB，由方程可判断CD.
【详解】
当 时， 直线 的倾斜角为 ，故A错误；
当 时，直线 斜率不存在，故B错误；
由直线方程可知直线 恒过定点 ，故C正确；
当 时，直线 与两坐标轴交点为 ，所以直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，故D正
确.
故选：AB.
30．（2022·全国·高三专题练习）关于直线 ，下列说法正确的有（ ）
A．过点 B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在 轴上的截距为1
【答案】BC
【分析】
A. 当 时， ，所以该选项错误；B. 直线的斜率为 ，所以该选项正确；
C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当 时， ，所以该选项错误.【详解】
A. 当 时， ，所以直线不经过点 ，所以该选项错误；
B. 由题得 ，所以直线的斜率为 ，所以该选项正确；
C. 由于直线的斜率为 ，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确；
D. 当 时， ，所以直线在 轴上的截距不为1，所以该选项错误.
故选：BC
31．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线 过 ，且 ， 到直线 的距离相等，则 的
方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
由条件可知直线平行于直线 或过线段 的中点,当直线 时，利用点斜式求出直线方程；当直线
经过线段 的中点 时，利用点斜式可得直线方程.
【详解】
由条件可知直线 平行于直线 或过线段 的中点，
当直线 时， 的斜率为 ， 的方程是 ，
即 ；
当直线 经过线段 的中点 时， 的斜率为 ，
的方程是 ，即 ，
故选：AC
32．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）A．直线 与线段 有公共点
B．直线 的倾斜角大于
C． 的边 上的中线所在直线的方程为
D． 的边 上的高所在直线的方程为【答案】BCD
【分析】
因为 ， ，所以可以判断A错误；因为 ，所以直线 的倾斜角大于 ，B正确；
因为求出直线方程可判断C、D.
【详解】
、
因为 ， ，所以直线 与线段 无公共点，A错误；
因为 ，所以直线 的倾斜角大于 ，B正确；
因为线段 的中点为 ，所以 边上的中线所在直线的方程为 ，C正确；
因为 ，所以 上的高所在直线的方程为 ，即 ，D正确.
故选：BCD
33．（2022·全国·高三专题练习）(多选)若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为 ，则
实数c的值是（ ）
A．2 B．-4
C．5 D．-6
【答案】AD
【分析】
根据两直线平行先计算参数a的值，再运用两平行线间的距离公式计算参数c的值即可.【详解】依题意知， ，解得a＝-4，c≠-2，
即直线6x＋ay＋c＝0可化为 ，
又两平行线之间的距离为 ，根据两平行线间的距离公式可得：
，解得c＝2或-6.选项AD正确，选项BC错误.
故选：AD.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 过点 且与点 、 等距离，则直线 的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
设所求直线的方程为 ，解方程 即得解.
【详解】
设所求直线的方程为 ，即 ，
由已知及点到直线的距离公式可得 ，
解得 或 ，即所求直线方程为 或 ，
故选：BC.
35．（2022·全国·高三专题练习）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
分截距为零和不为零两种情况讨论即可.
【详解】当截距为0时，过点 和原点，直线方程为 ，即 ，
当截距不为0时，设直线方程为 ，可得 ，
∴ ，所以直线方程为 ,
故选：AC.
36．（2022·全国·高三专题练习）与直线 平行且到直线l的距离为2的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】
设所求直线方程为 ，由平行线间距离公式求得参数值，得直线方程．
【详解】
解：设所求直线方程为 ，由题意得 ，解得 或 .
故选：AB．
三、填空题
37．（2022·全国·高三专题练习）若直线经过点A(－ ,3)，且倾斜角为直线 x＋y＋1＝0的倾斜角的一
半，则该直线的方程为___________．
【答案】 x－y＋6＝0.
【分析】
由题设可得已知直线的倾斜角为120°，即知所求直线的斜率，结合所过的点，应用点斜式写出直线方程.
【详解】
由 x＋y＋1＝0得此直线的斜率为- ，
∴倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 ，又直线过点A(- ,3)，
∴所求直线方程为y－3＝ (x＋ )，即 x－y＋6＝0.
故答案为： x－y＋6＝038．（2022·江苏·高三专题练习）若经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，则 ________.
【答案】2
【分析】
由斜率公式与斜率的定义求解即可
【详解】
由题意可得： ，
解得 ，
故答案为：2
39．（2022·全国·高三专题练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直
线的斜率分别为______．
【答案】 和 .
【分析】
根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为 ，得到 ，得出对角线所在直线的斜率为 ，
结合两角和的正切公式，求得 ，再结合两直线的位置关系，即可求解.
【详解】
设正方形一边所在直线的倾斜角为 ，其斜率 ，
则其中一条对角线所在直线的倾斜角为 ，其斜率为 ，
根据题意值 ，可得 ，解得 ，
即正方形其中一边所在直线的斜率为 ，
又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为 .
故答案为： 和 .
40．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ，若直线 过点 与线段 相交，则直线 的斜率 的取值范围________
【答案】 或【分析】
求出 的斜率，利用 的斜率可求出结果.
【详解】
如图：
， ，
因为直线 过点 与线段 相交，
所以 或 .
故答案为： 或
41．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）直线 和直线 夹角的余弦值为
________．
【答案】
【分析】
由直线方程可得两直线斜率， ， ，利用 求出夹角正切值，再结合
同角三角函数可求其余弦值.
【详解】
设 的斜率为 ，由 得 ，
设 的斜率为 ，由 得 ，
设两直线夹角为 ，则 ，则 .故答案为：
42．（2022·全国·高三专题练习）若点 在直线 上，则 与 的位置关系
是________．【答案】垂直
【分析】
由点 在直线 上，求出 的值，再验证两直线的位置关系，可得答案.
【详解】
由点 在直线 上，得 ，解得
所以直线 ，则
又 ，则
则 ，所以
故答案为：垂直
43．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 则直线 与 的夹角是
________．
【答案】
【分析】
将直线方程化为斜截式方程，进而求得倾斜角，再求解夹角即可.
【详解】
解：将直线方程化为斜截式方程得 ，
所以直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，
所以直线 与 的夹角是
故答案为：
44．（2022·全国·高三专题练习）已知点 和点 ，P是直线 上的一点，则 的
最小值是__________．
【答案】3
【分析】由题意可得 两点在直线 的同侧，求出点 关于直线 的对称点 ，所以当点 为直线
与直线 的交点时， 取得最小值为
【详解】如图，可得 两点在直线 的同侧，设点 关于直线 的对称点 ，
则 ，
所以 的最小值为 ，
因为 ，直线为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的最小值是3
故答案为：3
45．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射
后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_________．【答案】2
【分析】求出 关于直线 和 的对称点，由两个对称点间距离得结论．
【详解】
设点P关于直线AB的对称点为 ，
直线 方程为 ，
因此 ．解得 ，即 ，
关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD＝2 ．
故答案为： ．
46．（2020·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称
的直线的方程为____________.
【答案】2x－3y－9＝0
【分析】
在l上任取两点，求出其关于点A的对称点坐标，再利用两点式即可求出直线l关于点A对称的直线的方程.
【详解】
法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如M（1,1），N（4,3），
则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上，
易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），
由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二设P（x，y）为l′上任意一点，
则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），
∵P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.故答案为：2x－3y－9＝0.
【点睛】
本题考查直线关于点的对称直线，关键是对称点的求解，是基础题.
47．（2022·全国·高三专题练习）直线 恒过定点 ，则直线 关于 点对称
的直线方程为_________．
【答案】
【分析】
根据直线过定点的求法可求得 点坐标，根据关于 对称的两条直线平行，且到 点距离相等可构造方
程求得结果.
【详解】
由 得： ，当 时， ， ；
设直线 关于 点对称的直线方程为 ，
，解得： 或 （舍），
直线 关于 点对称的直线方程为 .
故答案为： .
48．（2022·上海·高三专题练习）直线 关于直线 对称的直线方程是__________.
【答案】
【分析】
先求得两条直线的交点 坐标,再在直线 上取一个点 ,求得点 关于直线 的对称点,
即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程.
【详解】
因为直线 与直线
所以联立直线方程可得 ,解方程组可得即两条直线的交点 的坐标为
在直线 上取一个点 ,设 关于直线 的对称点为 ,由中点坐标
公式及斜率关系可得,解方程组可得
所以
则直线 方程的斜率为
由点斜式可得直线 的方程为
化简可得
即直线 关于直线 对称的直线方程为
故答案为:
【点睛】
本题考查了直线交点坐标的求法,点关于直线的对称点求法,两条垂直直线的斜率关系点斜式方程的用法,属
于基础题.
四、解答题
49．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试）已知 ， ，线段 的垂直平分线为直线 ．
（1）求直线 的一般式方程；
（2）若点 在直线 上，且 ，求点 坐标．
【答案】
（1）
（2） 或
【分析】
（1）由题意，求出线段 的中点坐标及直线 的斜率 ，然后利用点斜式写出直线方程，化简即
可得答案；（2）设点 坐标为 ，由题意，列出关于 的方程组求解即可得答案.
（1）
解：因为 ， ，所以线段 的中点为 ， ，又线段 的垂直平分线为直线 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 的一般式方程为 ；
（2）
解：设点 坐标为 ，
由题意有 ，解得 或 ，
所以点 坐标为 或 .
50．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：2x+y+3＝0，l：x﹣2y＝0．
1 2
(1) 求直线l 关于x轴对称的直线l 的方程，并求l 与l 的交点P；
1 3 2 3
(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2) 3x+4y+10＝0或x＝﹣2.
【分析】
(1)由对称关系求直线l 的方程，联立l 与l 的方程，求点P的坐标，(2)当直线m的斜率存在时，设直线m
3 2 3
的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m的方程，再检验过点P的斜率不存在
的直线是否满足要求.
【详解】
(1)由题意，直线l 与直线l 的倾斜角互补，
3 1
从而它们的斜率互为相反数，且l 与l 必过x轴上相同点 ，
1 3
∴直线l 的方程为2x﹣y+3＝0，
3
由 解得
∴P（﹣2，﹣1）．
(2)当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y+1＝k（x+2），
即kx﹣y+2k﹣1＝0，
∴原点O（0，0）到直线m距离为 ，解得 ，∴直线m方程为3x+4y+10＝0，
当直线m的斜率不存在时，直线x＝﹣2满足题意，综上直线m的方程为3x+4y+10＝0或x＝﹣2．
51．（2022·上海·高三专题练习）两平行线 ， 分别过点 与 ．
（1）若 与 距离为2，求两直线方程；
（2）设 与 之间距离是 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ， 或 ， ；（2）
【分析】
（1）根据直线的夹角的定义，结合点到直线的距离公式、直线的方向向量、锐角三角函数定义进行求解
即可；
（2）根据平行线的几何性质进行求解即可.
【详解】
（1） ，设直线 与这两平行直线的夹角为 ，则
，设直线 的一个方向向量为 ，
取两平行线的一个方向向量为 ，
则 ，
当 时， ， ；
当 时，取平行线的一个方向向量为 ，
则 ，
，
综上， ，
或 ， ；
（2）当平行线 ， 与直线 垂直时，两平行线的距离最大，即，所以， .
【点睛】
本题考查了已知平行线间的距离求平行线问题，考查了平行线问题距离最值问题，考查了数学运算能力.52．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l：y＝x－2关于直线l对称的直线l 的方程；
1 2
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
【答案】（1）7x－y－14＝0；（2）x＋2y－4＝0.
【分析】
（1）先求出两直线的交点P(2,0)，再求出 ，即得直线l 的方程；（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和
2
直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0，求出m的值即得解.
【详解】
（1）由 解得交点P(2,0)．
在l 上取点M(0，－2)，
1
M关于l的对称点设为N(a，b)，
则 ,
解得 ，所以 ，
又直线l 过点P(2,0)，
2
所以直线l 的方程为7x－y－14＝0.
2
（2）直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，
所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，
所以 ,所以m＝－4，
即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
【点睛】本题主要考查点和直线的对称问题，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.53．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 和直线 ，若直线 被 和 截得
的线段 的中点恰为坐标原点，求直线 的方程．
【答案】
【分析】
设 交 的交点为 ，则 交 的交点为 ，联立方程得到 ，根据直线的法向量
得到答案.
【详解】
设 交 的交点为 ，则由条件 交 的交点为 ，
则 在 上， 在 上，即 ，故 ．
又 过原点，则直线 的一个方向向量为 ，则直线 的一个法向量为 ．
所以直线 的方程为 ．
