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第33讲 直线方程
【知识点总结】
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线 中 的系数 （ ）叫做这条直线的斜率，垂直于 轴的直线，其斜率不存在。
轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角 ，规定与 轴平行或重合的
直线的倾斜角为0，倾斜角不是 的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用 表示，即 。
当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角 随的增大而减小；
二、基本公式
1. 两点间的距离公式
2. 的直线斜率公式
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率 存在且过 ，
注：①当 时， ；②当 不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率 存在且过 ，
（3）两点式： ，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注： 可表示经过两点 的所有直线
（4）截距式： 不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式： ，能表示平面上任何一条直线（其中，向量 是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定.两直线方程 平行 垂直
(斜率存在) 或 或 中有一个
为0，另一个不存在.
(斜率不存在)
四、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 .
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
2．点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点 到l的距离 ;若直线为l:y=n,则点 到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知 是两条平行线,求 间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设 ,则 与 之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）直线 经过点 ，在 轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】
设直线的斜率为 ，则直线方程为 ，直线在 轴上的截距为1－ ，
令－3<1－ <3，解不等式得 或 .
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ，直线 恒过定点A，则点A到直线
的距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
恒过的点为 ，直线 变形为 ，恒过点 ，所以点
到直线 的距离最大值即为 的长，其中 .
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 到直线 的距离为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意得 ．
解得 或 ． ， ．
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
【答案】ABD
【详解】依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为： ， ，
， ， ，由 得PQ∥SR，由 得PQ⊥PS，由 得PR⊥QS，而 得PS与
QS不平行，
即选项ABD正确，选项C不正确.
故选：ABD
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的对
称直线为 ，则直线 的方程为_______________．
【答案】 .
【详解】
由题意知 ，设直线 ，在直线 上取点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ， 解得 ，即 ，
将 代入 的方程得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点 关于直线 对称的点的坐标是________.
【答案】
【详解】
解：设原点 关于直线 对称的点的坐标是 ，
则中点坐标为 在直线 上，直线 的斜率为则 ，解得 ， ．
要求的对称的点的坐标是 ．
故答案为： ．【点睛】
本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线 与直线 之间的距离为__________．
【答案】
【详解】
化简直线 为 ，
根据平行线间的距离公式，可得 ，
即直线 与直线 之间的距离为 .
故答案为： .
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 ，试分别确定 的
值，使：
（1） 与 相交于一点 ；
（2） 且 过点 ；
（3） 且l 在y轴上的截距为 .
1
【解析】
（1）解：由于 与 相交于一点 ，故把点 代入 的方程
可得 ，联立解得 .
（2）解：当 时，可得 和 ，此时不满足 ；
当 时，因为 且 过点 ，可得 ，解得 或 .
（3）解：由 且l 在y轴上的截距为 ，可得 ，解得 .
1例9．（2022·全国·高三专题练习）已知 的三个顶点分别为 ， ， ，BC中点为
D点，求：
（1） 边所在直线的方程
（2） 边上中线AD所在直线的方程
（3） 边的垂直平分线的方程.
【解析】
（1） ，故 边所在直线的方程为： ，
化简得到 .
（2） 中点 为 ，即 ，故 ，
故AD所在直线的方程为 ，即 .
（3） ，故垂直平分线的斜率为 ，中点为 ，
故垂直平分线的方程为 ，即 .
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴
交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.
【详解】
解：（1）由题意可设直线 的方程为 ，即 ，
则 ，解得 ．
故直线 的方程为 ，即 ；
（2） 直线 的方程为 ，， ，依题意 ，解得 ，
则 的面积为 ．
则 （当且仅当 时，等号成立）．
故 面积的最小值为 ．【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l，l，l 的斜率分别是k，k，k，则有（ ）
1 2 3 1 2 3
A．k
