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2017年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．（3分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．（3分）随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2016年国民出境旅游
超过120 000 000人次，将120 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109 B．12×107 C．0.12×109 D．1.2×108
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）含30°角的直角三角板与直线l 、l 的位置关系如图所示，已知l ∥l ，∠ACD＝∠A，
1 2 1 2
则∠1＝（ ）
A．70° B．60° C．40° D．30°
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视，它正在播广告是必然事件
B．要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查
C．在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D．甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲 2＝2，S乙 2＝4，说明乙的射击成绩比甲稳定
6．（3分）若a2﹣ab＝0（b≠0），则 ＝（ ）
第1页（共27页）A．0 B． C．0或 D．1或 2
7．（3分）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相
关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD＝1.5米，且
AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高
点离地面的距离是（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
8．（3分）已知x+ ＝3，则下列三个等式： x2+ ＝7， x﹣ ， 2x2﹣6x＝﹣2中，
① ② ③
正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，
则m的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
10．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B
坐标为（6，4），反比例函数y＝ 的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将
△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y＝kx图象上，则k的值是（
）
A． B． C． D．
第2页（共27页）二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）3﹣2＝ ．
12．（3分）二元一次方程组 ＝ ＝x+2的解是 ．
13．（3分）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点
A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 ．
14．（3分）点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段
AB所在直线的距离是 ．
15．（3分）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事
物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语
言）：1＝ + + +…+ +…．
图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，过点C作CC ⊥AB于点C ，
1 1
再过点C 作C C ⊥BC于点C ，又过点C 作C C ⊥AB于点C ，如此无限继续下去，则可
1 1 2 2 2 2 3 3
将利△ABC分割成△ACC 1 、△CC 1 C 2 、△C 1 C 2 C 3 、△C 2 C 3 C 4 、…、△C n﹣2 C n﹣1 n 、…．假设
AC＝2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 ． ∁
16．（3分）对于函数y＝xn+xm，我们定义y'＝nxn﹣1+mxm﹣1（m、n为常数）．
第3页（共27页）例如y＝x4+x2，则y'＝4x3+2x．
已知：y＝ x3+（m﹣1）x2+m2x．
（1）若方程y′＝0有两个相等实数根，则m的值为 ；
（2）若方程y′＝m﹣ 有两个正数根，则m的取值范围为 ．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．（9分）计算：2sin60°+|1﹣ |+20170﹣ ．
18．（9分）求不等式组 的所有整数解．
19．（9分）如图，延长 ▱ABCD的边AD到F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连
结点A、E和C、F．求证：AE＝CF．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．（10分）化简：（ ﹣ ）÷ ．
21．（10分）为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学
生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问
题：
组别 分数段（分） 频数 频率
A组 60≤x＜70 30 0.1
B组 70≤x＜80 90 n
C组 80≤x＜90 m 0.4
D组 90≤x＜100 60 0.2
（1）在表中：m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（4）4个小组每组推荐1人，然后从4人中随机抽取2人参加颁奖典礼，恰好抽中A、C两
第4页（共27页）组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明．
22．（10分）如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C
与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°．若房屋的
高BC＝6米，求树高DE的长度．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．（10分）某公司从2013年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，
具体数据如下表：
年 度 2013 2014 2015 2016
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规
律，给出理由，并求出其解析式；
（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元．
预计生产成本每件比2016年降低多少万元？
①若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？
②（结果精确到0.01万元）．
24．（10分）如图，以AB边为直径的 O经过点P，C是 O上一点，连结PC交AB于点E，且
∠ACP＝60°，PA＝PD． ⊙ ⊙
第5页（共27页）（1）试判断PD与 O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧A⊙B的中点，已知AB＝4，求CE•CP的值．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．（12分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说
明理由．
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）如图3，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
26．（13分）如图1，抛物线C ：y＝x2+ax与C ：y＝﹣x2+bx相交于点O、C，C 与C 分别交x
1 2 1 2
轴于点B、A，且B为线段AO的中点．
（1）求 的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）抛物线C 的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：
2
点P为抛物线C 对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
2
①如图2，点E在抛物线C
2
上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大
②值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共27页）第7页（共27页）2017年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求．
1．【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
【解答】解：∵（﹣2）×（﹣ ）＝1，
∴﹣2的倒数是﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此
判断即可．
【解答】解：120 000 000＝1.2×108．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
4．【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的
度数．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝60°，
第8页（共27页）∵l ∥l ，
1 2
∴∠1＝∠CDB＝60°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线
平行，内错角相等．
5．【分析】根据随机事件的概念、全面调查和抽样调查的关系、方差的性质判断即可．
【解答】解：A、打开电视，它正在播广告是随机事件，A错误；
B、要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用全面调查，B错误；
C、在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确，C正确；
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为S甲 2＝2，S乙 2＝4，说明甲的射击成绩比乙稳定，D
错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件、全面调查和抽样调查、方差，掌握随机事件的概念、全面
调查和抽样调查的关系、方差的性质是解题的关键．
6．【分析】首先求出a＝0或a＝b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab＝0（b≠0），
∴a＝0或a＝b，
当a＝0时， ＝0．
当a＝b时， ＝ ，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0
的情况．
7．【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即
可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是 O的切线，
∴OF⊥B⊙D，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC∥BD，
∴OE⊥AC，EF＝AB，
第9页（共27页）设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE＝ ＝ ＝0.75米，
OE＝R﹣AB＝R﹣0.25，
∵AE2+OE2＝OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2＝R2，
解得R＝1.25．
1.25×2＝2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的
关键，注意勾股定理的灵活运用．
8．【分析】将x+ ＝3两边同时平方，然后通过恒等变形可对 作出判断，由x﹣ ＝±
①
可对 作出判断，方程2x2﹣6x＝﹣2两边同时除以2x，然后再通过恒等变
②
形可对 作出判断．
③
【解答】解：∵x+ ＝3，
∴（x+ ）2＝9，整理得：x2+ ＝7，故 正确．
①
x﹣ ＝± ＝± ，故 错误．
②
∵2x2﹣6x＝﹣2
∴x≠0
∴2x≠0．
方程2x2﹣6x＝﹣2两边同时除以2x得：x﹣3＝﹣ ，整理得：x+ ＝3，故 正确．
③
故选：C．
第10页（共27页）【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9．【分析】将二次函数配方成顶点式，分m＜﹣1、m＞2和﹣1≤m≤2三种情况，根据y的最
小值为﹣2，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，
若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，
①
解得：m＝﹣ ；
若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，
②
解得：m＝ ＜2（舍）；
若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，
③解得：m＝ 或m＝﹣ ＜﹣1（舍），
∴m的值为﹣ 或 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
10．【分析】根据矩形的性质得到，CB∥x轴，AB∥y轴，于是得到D（6，1），E（ ，4），根据勾
股定理得到ED＝ ＝ ，连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于
G，根据轴对称的性质得到BF＝B′F，BB′⊥ED求得BB′＝ ，设EG＝x，则BG＝
﹣x根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴CB∥x轴，AB∥y轴，
∵点B坐标为（6，4），
∴D的横坐标为6，E的纵坐标为4，
∵D，E在反比例函数y＝ 的图象上，
∴D（6，1），E（ ，4），
第11页（共27页）∴BE＝6﹣ ＝ ，BD＝4﹣1＝3，
∴ED＝ ＝ ，
连接BB′，交ED于F，过B′作B′G⊥BC于G，
∵B，B′关于ED对称，
∴BF＝B′F，BB′⊥ED，
∴BF•ED＝BE•BD，
即 BF＝3× ，
∴BF＝ ，
∴BB′＝ ，
设EG＝x，则BG＝ ﹣x，
∵BB′2﹣BG2＝B′G2＝EB′2﹣GE2，
∴（ ）2﹣（ ﹣x）2＝（ ）2﹣x2，
∴x＝ ，
∴EG＝ ，
∴CG＝ ，
∴B′G＝ ，
∴B′（ ，﹣ ），
∴k＝﹣ ．
或过点B′作x轴的平行线l，再过E、D作直线l的垂线段，垂足分别为M、N，利用
△EMB′与△B′ND相似，得到关于B′的横坐标和纵坐标的二元一次方程组，解方程组，
用纵坐标除以横坐标即可．
（或求出直线DE的解析式，再求出点B′的坐标即可解决问题）
第12页（共27页）故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是
解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．【分析】根据幂的负整数指数运算法则计算．
【解答】解：原式＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂
当成正的进行计算．
12．【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：原方程可化为： ，
化简为 ，
解得： ．
故答案为： ；
【点评】本题考查二元一次方程的解法，解题的关键是将原方程化为方程组，本题属于基
础题型．
13．【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点
A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝3，OD＝2，
∴AB＝2，
第13页（共27页）∴阴影部分的面积之和为3×2＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一
个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形．
14．【分析】连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，
利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC ＝3×3﹣ ×2×1﹣ ×2×1﹣ ×3×3﹣1＝9﹣1﹣1﹣ ﹣1＝ ，AB＝ ＝
，
∴ × h＝ ，
∴h＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之
和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
15．【分析】先根据AC＝2，∠B＝30°，CC
1
⊥AB，求得S△ACC1 ＝ ；进而得到 ＝
× ， ＝ ×（ ）2， ＝ ×（ ）3，根据规律可知
＝ ×（ ）n﹣1，再根据S△ABC ＝ AC×BC＝ ×2×2 ＝2 ，即可得到
等式．
【解答】解：如图2，∵AC＝2，∠B＝30°，CC ⊥AB，
1
∴Rt△ACC 中，∠ACC ＝30°，且BC＝2 ，
1 1
第14页（共27页）∴AC ＝ AC＝1，CC ＝ AC ＝ ，
1 1 1
∴S△ACC1 ＝ •AC
1
•CC
1
＝ ×1× ＝ ；
∵C C ⊥BC，
1 2
∴∠CC C ＝∠ACC ＝30°，
1 2 1
∴CC ＝ CC ＝ ，C C ＝ CC ＝ ，
2 1 1 2 2
∴ ＝ •CC •C C ＝ × × ＝ × ，
2 1 2
同理可得，
＝ ×（ ）2，
＝ ×（ ）3，
…
∴ ＝ ×（ ）n﹣1，
又∵S△ABC ＝ AC×BC＝ ×2×2 ＝2 ，
∴2 ＝ + × + ×（ ）2+ ×（ ）3+…+ ×（ ）n﹣1+…
∴2 ＝ ．
故答案为：2 ＝ ．
【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了
变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探
寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
第15页（共27页）16．【分析】根据新定义得到y′＝ x3+（m﹣1）x2+m2＝x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）由判别式等于0，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．
【解答】解：根据题意得y′＝x2+2（m﹣1）x+m2，
（1）∵方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有两个相等实数根，
∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4m2＝0，
解得：m＝ ，
故答案为： ；
（2）y′＝m﹣ ，即x2+2（m﹣1）x+m2＝m﹣ ，
化简得：x2+2（m﹣1）x+m2﹣m+ ＝0，
∵方程有两个正数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意
是解题的关键．
三、本大题共3小题，每小题9分，共27分.
17．【分析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：2sin60°+|1﹣ |+20170﹣
＝2× + ﹣1+1﹣3
＝﹣
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
第16页（共27页）有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算
律在实数范围内仍然适用．
18．【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：
解不等式 得：x＞1，
解不等式①得：x≤4，
所以，不②等式组的解集为1＜x≤4，
故不等式组的整数解为2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出
不等式组的解集是解此题的关键．
19．【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，再证出BE＝DF，得出AF＝EC，
进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF＝DC，BE＝BA，
∴BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相
等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
四、本大题共3小题，每小题10分，共30分．
20．【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（ ﹣ ）÷
＝
＝
第17页（共27页）＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
21．【分析】（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率＝频数÷总人数可得m、n
的值；
（2）根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）∵本次调查的总人数为30÷0.1＝300（人），
∴m＝300×0.4＝120，n＝90÷300＝0.3，
故答案为：120，0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，
而第150、151个数据的平均数均落在C组，
∴据此推断他的成绩在C组，
故答案为：C；
（4）画树状图如下：
第18页（共27页）由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A、C两组同学的有2种结果，
∴抽中A、C两组同学的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查列
表法或画树状图法求概率．
22．【分析】首先解直角三角形求得表示出AC，AD的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝6m，
∴ （m）；
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴ （m）；
在Rt△DEA中，∠EAD＝60°， ，
答：树DE的高为 米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
五、本大题共2小题，每小题10分，共20分.
23．【分析】（1）从题很容易看出x与y的乘积为定值，应为反比例关系，由此即可解决问题；
（2） 直接把x＝5万元代入函数解析式即可求解；
直接①把y＝3.2万元代入函数解析式即可求解；
②【解答】解：（1）：∵2.5×7.2＝18，3×6＝18，4×4.5＝18，4.5×4＝18，
第19页（共27页）∴x与y的乘积为定值18，
∴反比例函数能表示其变化规律，其解析式为y＝ ．
（2） 当x＝5万元时，y＝3.6．
4﹣3.6①＝0.4（万元），
∴生产成本每件比2016年降低0.4万元．
当y＝3.2万元时，3.2＝ ，
②
∴x＝5.625≈5.63，
5.63﹣5＝0.63万元
∴还需投入0.63万元．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，
从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值
求算对应的函数值．要注意用排除法确定函数的类型．
24．【分析】（1）连结OP，根据圆周角定理可得∠AOP＝2∠ACP＝120°，然后计算出∠PAD
和∠D的度数，进而可得∠OPD＝90°，从而证明PD是 O的切线；
（2）连结BC，首先求出∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝⊙45°，然后可得 AC长，再证明
△CAE∽△CPA，进而可得 ，然后可得CE•CP的值．
【解答】解：（1）如图，PD是 O的切线．
证明如下： ⊙
连结OP，
∵∠ACP＝60°，
∴∠AOP＝120°，
∵OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PAO＝∠D＝30°，
∴∠OPD＝90°，
∴PD是 O的切线．
⊙
第20页（共27页）（2）连结BC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°，
∵AB＝4， ．
∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠APC，
∴△CAE∽△CPA，
∴ ，
∴CP•CE＝CA2＝（2 ）2＝8．
【点评】此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，关键是掌握切线的判定
定理和相似三角形的判定与性质定理．
六、本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分.
25．【分析】（1）结论：AC＝AD+AB，只要证明AD＝ AC，AB＝ AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延
长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论： ．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等
腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
【解答】解：（1）AC＝AD+AB．
理由如下：如图1中，
第21页（共27页）在四边形ABCD中，∠D+∠B＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵∠B＝90°，
∴ ，同理 ．
∴AC＝AD+AB．
（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一
边交AB延长线于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠DCA＝∠BCE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠D＝∠CBE，∵CA＝CE，
∴△DAC≌△BEC，
第22页（共27页）∴AD＝BE，
∴AC＝AD+AB．
（3）结论： ．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B＝180°，∠DAB＝90°，
∴DCB＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝45°，
∴∠E＝45°．
∴AC＝CE．
又∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD＝BE，
∴AD+AB＝AE．
在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问
题，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的
中点可得到a和b之间的关系式；
（2）由抛物线解析式可先求得 C 点坐标，过 C 作 CD⊥x 轴于点 D，可证得
第23页（共27页）△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可
求得△OAC的面积；
（3） 连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；
设①出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，
②可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出
四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．
【解答】解：
（1）在y＝x2+ax中，当y＝0时，x2+ax＝0，x ＝0，x ＝﹣a，
1 2
∴B（﹣a，0），
在y＝﹣x2+bx中，当y＝0时，﹣x2+bx＝0，x ＝0，x ＝b，
1 2
∴A（b，0），
∵B为OA的中点，
∴b＝﹣2a，
∴ ；
（2）联立两抛物线解析式可得 ，消去y整理可得2x2+3ax＝0，解得x ＝0，
1
，
当 时， ，
∴ ，
过C作CD⊥x轴于点D，如图1，
第24页（共27页）∴ ，
∵∠OCA＝90°，
∴△OCD∽△CAD，
∴ ，
∴CD2＝AD•OD，即 ，
∴a ＝0（舍去）， （舍去）， ，
1
∴ ， ，
∴ ；
（3） 抛物线 ，
①
∴其对称轴 ，
点A关于l 的对称点为O（0，0）， ，
2
则P为直线OC与l 的交点，
2
设OC的解析式为y＝kx，
∴ ，得 ，
∴OC的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
设 ，E（m，﹣m2+ m）（0≤m≤ ），
②
则S△OBE ＝ × （﹣m2+ m）＝﹣ m2+ m，
而 ， ，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
第25页（共27页）由 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为 ，
过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，
则 ，即x＝ ，
∴EN＝ ，
∴
∴ S 四 边 形 OBCE ＝ S△ OBE +S△ EBC ＝ ＝
，
∵ ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称
的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A、B的
坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的
关键，在（3） 中确定出P点的位置是解题的关键，在（3） 中用E点坐标分别表示出
①
第26页（共27页）
②△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，
难度较大．
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