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考点 32 正弦定理、余弦定理的应用
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦
定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三
角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能
力、数学应用意识、数形结合思想等．
【基础知识回顾】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1． 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，
测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两
点的距离为____________．
A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
【答案】：D
【解析】：由正弦定理得，则AB＝50(m)．
2． 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条
平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若
此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m．
A．50 B．50 C．50 D．50
【答案】：C
【解析】连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，
由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，解得OC＝50(m)．
3． 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上
午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是
__________n mile/h．
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】：B
【解析】：设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile，∠BSA＝45°，
由正弦定理，得＝，
∴ v＝32 n mile/h．4． 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为
45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，
我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时．
A． B． C． D．1
【答案】：B
【解析】：如图，设舰艇在B′处靠近渔轮，所需的时间为t小时，则AB′＝21t，CB′＝9t．
在△AB′C中，根据余弦定理，则有
AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·B′Ccos120°，
可得212t2＝102＋81t2＋2·10·9t·．
整理得360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．
故舰艇需小时靠近渔轮．
考向一 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
例1、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．
现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝
45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长
度大约应该是A，B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？
【解析】：在△ACD中，由已知可得∠CAD＝30°，所以AC＝ km．
在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°．
sin75°＝sin(45°＋30°)＝．
由正弦定理，BC＝＝．
cos75°＝cos(45°＋30°)＝．
在△ABC中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA
＝2＋－2··cos75°＝5 ．
所以AB＝，故施工单位应该准备电线长为 km
变式1、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段
笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为
45°，30°和60°．
(1) 求烟囱AB的高度；
(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
【解析】：(1) 设AB的高度为h．在△CAB中，因为∠ACB＝45°，所以CB＝h．
在△OAB中，因为∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，
所以OB＝h，EB＝h．
由题意得h－＝10，解得h＝15．
故烟囱AB的高度为15 m．
(2) 在△OBC中，cos∠COB＝＝＝．
所以在△OCE中，CE2＝OC2＋OE2－2OC·OE·cos∠COE＝300＋300－600×＝100．
故CE的长为10 m．
变式2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1) nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°
的方向，距离A为2 nmile的C处的缉私船奉命以10 nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10
nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【解析】： 如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在
△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．
设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t，在△ABC中，
∵ AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴ 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos120°＝6，
∴ BC＝．
∵ cos∠CBA＝＝＝，
∴ ∠CBA＝45°，即B在C正东．
∵ ∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD＝＝＝，
∴ ∠BCD＝30°．
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．变式3、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小
时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用
2 h追上，此时到达C处．
(1) 求渔船甲的速度；
(2) 求sinα的值．
【解析】：(1) 依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，
∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．
所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．
(2) 在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝．
即sinα＝＝＝．
方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若
有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
考向二 正余弦定理在三角形中的运用
例2、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC
＝，DC＝，则AB＝________.
【答案】
【解析】、在△ACD中，因为AD＝2，AC＝，DC＝，所以cos∠ADC＝＝－，从而∠ADC＝135°，所以
∠ADB＝45°.在△ADB中，＝，所以AB＝＝
变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边
BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．
【答案】
【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝
∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．
解法1 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是
tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.
解法2 由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.
变式 2、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在 中，已知点 在边 上， ，
B
D
A C
(第15题)(第15题)
， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的长．
解析：（1）在 中， ， ，
所以 ．
同理可得， ．
所以
．
（2）在 中，由正弦定理得， ．
又 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得，
．
变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，
∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.
(1) 求CD的长；
(2) 求△BCD的面积．
解析： (1)因为tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝，cos∠ADC＝－.
所以sin∠ACD＝sin
＝sin
＝sin∠ADC·cos＋cos∠ADC·sin
＝，(6分)
在△ADC中，由正弦定理得CD＝＝
(2) 因为AD∥BC, 所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝，sin∠BCD＝sin∠ADC＝
在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，
得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7, (12分)
所以S ＝BC·CD·sin∠BCD＝×7××＝7.
△BCD
变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，AB·AC＝50.
(1) 求cos∠BAC的值；
(2) 求sin∠CAD的值；
(3) 求△BAD的面积．
解析： (1) 因为AB·AC＝cos∠BAC，
所以cos∠BAC＝＝＝.
(2) 在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝.
由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝.
因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝＝＝.
(3) 由(1)知，cos∠BAC＝.
因为∠BAC∈(0，π)，
所以sin∠BAC＝＝＝.
从而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)
＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD
＝×＋×＝.
所以S ＝AB·AD·sin∠BAD＝×13×5×
△BAD
方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就
要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然
后运用正余弦定理解决。
1、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．
为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点A
向北偏东 前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为
（ ）
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
【答案】A
【解析】
如图, 为“泉标”高度,设高为 米，由题意, 平面 , 米, ，．
在 中, ,在 中, ,
在 中, ，, ， ,
由余弦定理可得 ，
解得 或 (舍去),
故选：B.
2、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40 m，BC＝CD＝20 m，则该四边形ABCD
的面积等于__________m2．
【答案】：500
【解析】：连结BD，在△BCD中，BC＝CD＝20，∠BCD＝120°，
∴ ∠CBD＝30°，BD＝20，S ＝×20×20×sin120°＝100．
BCD
在△ABD中，∠ABD＝120°－△30°＝90°，AB＝40，BD＝20，
∴ S ＝AB·BD＝×40×20＝400，
ABD
∴ 四△边形ABCD的面积是500 m2．
3、 某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东
30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离
是________km．【答案】：3
【解析】：如题图，由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，
∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知＝，
∴BS＝＝3．
4、 如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点
M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角
为30°，则通信塔CD的高为________ m．
【答案】：60
【解析】：如图，在Rt△ABM中，
AM＝＝＝＝＝20 m．
又易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，
又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°．
在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40．
在Rt△CMD中，CD＝40×sin 60°＝60 m，故通信塔CD的高为60 m．
5、如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为50
m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为
________m．(取＝1.4，＝1.7)
【答案】：2 650
【解析】：：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝ 15°，
∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin 15°＝10 500(－)．
∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500(－)×＝10 500(－1)＝7 350．
故山顶的海拔高度h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
6、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A
北偏西105°方向且与A相距10海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．
(1) 求乙船每小时航行多少海里？
(2) 在C处北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，暗礁E周围海里范围内为航行危险区域．
问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；
如无危险，请说明理由．
【解析】：：(1) 如图，连结AD，由题知CD＝10，AC＝×30＝10，∠ACD＝60°，
∴ △ACD是等边三角形．
∴ AD＝10．
又∠DAB＝45°，在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝AD2＋AB2－2AB×ADcos45°＝100，
∴ BD＝10，v＝10×3＝30(海里)．
答：乙船的速度为每小时30海里．
(2) 在海平面内，以B点为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示平面直角
坐标系．危险区域在以E为圆心，半径为r＝的圆内．
∵ ∠DAB＝∠DBA＝45°，易知直线BD的方程为y＝x，
E的横坐标为ABcos15°－CEsin30°，纵坐标为ABsin15°＋CEcos30°＋AC，
求得A(5＋5，5－5)，C(5＋5，5＋5)，E．
点E到直线BD的距离为
D＝＝1<，故乙船有危险；
1
点E到直线AC的距离为D＝>，故甲船没有危险．
2
以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长分别为l＝2＝2，
乙船遭遇危险持续时间为t＝＝(小时)．
答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续小时后脱险．
7、【2020年江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
（2）由于 ， ，所以 .
.
由于 ，所以 ，所以
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
