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考点 3-4 函数与导数应用：零点
1．（2022·北京丰台·高三期末）已知函数 ，若函数 有两个不同的零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函数 有两个不同的零点，可转化为函数 与直线 有两个交点，作出函数图象，数
形结合可得实数 的取值范围.
【详解】
函数 有两个不同的零点，
即为函数 与直线 有两个交点，
函数 图象如图所示：
所以 ，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】当 时和 时，分别化简函数 的解析式可直接判断零点的个数.
【详解】当 时， ，所以不存在零点；
当 时， ，也不存在零点，所以函数 的零点个数为0.
故选：A.
3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 ， ， 的零点分
别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 ， ， 的零点看成函数 分别与 ， ， 的交点的横坐标，
分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成 与 的交点的横坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横
坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出 ， ， ， 的函数图象，如下图所示,
可知 ，
故选： .
4.（2019·全国·高考真题（文））函数 的零点个数为_________．
【答案】1
【分析】分 和 时，求函数的零点个数，可得答案.
【详解】
当 时， 有一个零点 ；
当 时， ，无零点，故函数 的零点个数为1个
故答案为：1
5．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数 的最大值为 ，若函数
有三个零点，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质求出 的最大值为 ，依题意可得函数 的图象
与直线 有三个交点，利用导数研究函数 的单调性与极值，即可得到函数图象，结合函数图象即
可求出参数 的取值范围；
【详解】
解：因为 ，
所以 的最大值为 ，
易知函数 有三个零点，
等价于函数 的图象与直线 有三个交点，
因为 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，所以 在 ， 上单调递减，
在 上单调递增，
所以 ， ，
又当 时， ；当 时， ，函数 的图象如下所示：结合函数图象可知，若函数 的图象与直线 有三个交点，则 ．
故答案为：
6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
令 ，得 或 ，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】
由 ，
得 或 ， ，
．
在 的零点个数是3，
故选B．
【点睛】
本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结
合和方程思想解题．
7．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数 有三个零点 ，且
，则 （ ）
A．8 B．1 C．－8 D．－27
【答案】D
【分析】根据题意可得： 有三解，令 ，由 的图像可得故 最
多只有两个解，所以 有两解 ， ， 有一解为 ，有两解为 ，代入即可得解.
【详解】
由 ，
即 有三解，
令 ，设 ，
，
当 ， 为增函数，
当 ， 为减函数，
图像如图所示：
故 最多只有两个解，
若要 有三解，
则 有两解，
， ，
故 有一解为 ，
有两解为 ，
，
故选：D
8．（2019·浙江·高考真题）已知函数 （ 且 ），若函数 的零点
有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 或 D． 或
【答案】D【分析】依题意函数 的零点即为方程 的根，对 分四种情况讨论，结合函数图
形即可得解；
【详解】
解：依题意函数 的零点即为方程 的根，
①当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有两个根 ， （ ， ），
而 对应2个根，所以需要 对应3个根，
所以 ，即 ，解得 ；
②当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有两个根 ， （ ， ），而 对应2个根，对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；
③当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有三个根 ， ， ，
从而 ， ， ，所对应2、2、1个根，
即共5个根，所以满足题意；
④当 时函数 的函数图象如下所示：
所以 有三个根 ， ， ，（ ， ， ），
而 ， ， 分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；
综上可得实数 的取值范围为 或 ；
故选：D
9.（2021·天津·高考真题）如果两个函数存在零点，分别为 ，若满足 ，则称两个函数互为“
度零点函数”.若 与 互为“2度零点函数”，则实数 的最大值为
___________.
【答案】
【分析】由 的零点为3得出 的零点 的范围， 得出 ，构造
，利用导数得出其最值，进而得出实数 的最大值.
【详解】
函数 的零点为3，设函数 的零点为 ，则 .
，令 ， ， ；
，即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，即
实数 的最大值为 .
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 是函数 的零点，则 _______．
【答案】2
【分析】根据零点定义可得 ，整理可得 ，根据此时可得 成立，
代入化简即可得解.
【详解】
根据题意可得 ，
整理可得 ，
可得当 ，即 成立，
又 ，代入可得 .
故答案为： .
11．（2022·广东·模拟预测）已知函数 ，若函数 在 内恰有5
个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知 ，对实数 的取值进行分类讨论，确定函数 在 上的零点个数，然后再
确定函数 在 上的零点个数，可得出关于实数 的不等式（组），综合可得出实数 的取值范围.
【详解】
当 时，对任意的 ， 在 上至多 个零点，不合乎题意，所以，
.
函数 的对称轴为直线 ， .
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
①当 时，即当 时，则函数 在 上无零点，
所以，函数 在 上有 个零点，
当 时， ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，此时 不存在；
②当 时，即当 时，函数 在 上只有一个零点，
当 时， ，则 ，则函数 在 上只有 个零点，此时，函数 在 上的零点个数为 ，不合乎题意；
③当 时，即当 时，函数 在 上有 个零点，
则函数 在 上有 个零点，
则 ，解得 ，此时 ；
④当 时，即当 时，函数 在 上有 个零点，
则函数 在 上有 个零点，
则 ，解得 ，此时， .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
12．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
【答案】C
当 时， 最多一个零点；当 时，
，利用导数研究函数的单调性，根据单
调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当 时， ，得 ； 最多一个零点；
当 时， ，
，
当 ，即 时， ， 在 ， 上递增， 最多一个零点．不合
题意；
当 ，即 时，令 得 ， ，函数递增，令 得 ， ，函数递减；函
数最多有2个零点；
根据题意函数 恰有3个零点 函数 在 上有一个零点，在 ， 上
有2个零点，
如图：
且 ，
解得 ， ， ．
故选 ．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，
这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
13．（2022·全国·高三专题练习）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】由 最多有2个根，可得 至少有4个根，分别讨论当
和 时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】
最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是分成 和 两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
14．（2022·广东广州·三模）已知 且 ，函数 在 上有且仅有两个零点，则 的
取值范围是__________.
【答案】 且【分析】函数 在 上有且仅有两个零点，等价于 有两个交点，即 有两个
交点，令 则 有两个交点，利用导数得出答案．
【详解】
解：因为函数 在 上有且仅有两个零点，所以 有两个交点，
即 有两个交点，
令 ，则 有两个交点，
，
所以在区间 上， ， 单调递增，
在区间 上， ， 单调递减且 ，
，
有两个交点，
，
所以 且 ．
故答案为： 且 ．
15．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由 可得出 ，考查直线 与曲线 的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】
对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，
求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
