文档内容
考点 30 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
【命题解读】
三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，
先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、
周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主
【基础知识回顾】
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋
φ)(A＞0，
ω＞0)，x∈R
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ _ωx＋φ_ _φ_
2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
ωx＋φ __0__ __π__ __2π__
y＝Asin(ωx
0 A 0 －A 0
＋φ)
3. 函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：
4、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有：
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
2．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
3、 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则f的值为( )
第1题图
A. － B. － C. － D. －1
4、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横
坐标分别是，，，则实数ω的值为________．
5、(2018镇江期末） 函数y＝3sin的图象两相邻对称轴的距离为________．
6、（2020江苏镇江期中考试）设函数 为参数，且
的部分图象如图所示，则 的值为______．
7、 已知函数 的图象C 向左平移 个单位得到图象C ，则C 在[0，π]上的单调减区间
1 2 2
是________．考向一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换
设函数 的周期为 ．
(1) 求它的振幅、初相；
(2) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3) 说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
变式1、已知函数y＝2sin.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
变式2、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数 的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
变式3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线 上各点的横坐标伸长到原来的
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C． D．
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数 的图象向右平移
个单位得到函数 的图象，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：1．y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐
标．
2．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸
缩后平移”．
考向二 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2、下图为函数 的一段图象．
(1) 请写出这个函数的一个解析式；
(2) 求与(1)中函数图象关于直线 对称的函数图象的解析式．变式1、(2019苏北四市期末） 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB＝5，则ω的值为
________．
变式2、(1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(
)
A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离
为2，且过点，则函数f(x)＝________________.
方法总结：确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法有以下2种：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降
区间上)或把图象的最高点或最低点代入；确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
考向三 三角函数图象与性质的综合问题例3、（多选题）（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数 ，则下列结论
正确的是（ ）
A． 是 的一个周期 B． 的图象可由 的图象向右平移 得到
C． 的一个零点为 D． 的图象关于直线 对称
变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数 的图象过点 ，则(
)
A．把 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在区间 内有五个零点
D．函数 在区间 上的最小值为1
变式2、（多选题）（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数 的描述
正确的是（ ）
A．其图象可由 的图象向左平移 个单位得到
B． 在 单调递增
C． 在 有2个零点D． 在 的最小值为
变式3、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数 的图象关于直线
对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：三角函数性质的综合问题：主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性及性质的应用．
函数零点(方程根)问题：三角函数图象与x轴(或y＝a)的交点，即数形之间的转化问题．
1、【2019 年高考天津卷理数】已知函数 是奇函数，将
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．
若 的最小正周期为 ，且 ，则
A． B．
C． D．
2、【2018年高考天津理数】将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函
数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
3、【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数 ， 是 的导函数，
则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 的值域与 的值域不相同
B．把函数 的图象向右平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象
C．函数 和 在区间 上都是增函数
D．若 是函数 的极值点，则 是函数 的零点5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数 的图象向右平移 个单位长度
得到 图象，则下列判断正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 图象关于点 对称
6、【2020江苏南京上学期开学考试】函数 (A＞0， ＞0)的部分图象如图所示．若
函数 在区间[m，n]上的值域为[ ，2]，则n﹣m的最小值是_______．
7、【2017年高考山东卷理数】设函数 ，其中03.已知 .
（1）求 ；
y f(x)
（2）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向
左平移 个单位，得到函数y g(x)的图象，求g(x)在 上的最小值.
