考点31正弦定理、余弦定理（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 31 正弦定理、余弦定理 【命题解读】 高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦 定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三 角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能 力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】 1．正弦定理 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； 正弦定 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； 理的常 (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； 见变形 (4)＝. 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C. 余弦定理的常见变形 (1)cos A＝； (2)cos B＝； (3)cos C＝. 3．三角形的面积公式 (1)S ＝ah(h 为边a上的高)； △ABC a a (2)S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B； △ABC (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：A 【解析】 ：设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝9 ＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1. 2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( ) A．2 B. C．2或 D．均不正确 【答案】：C 【解析】 ：∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°. 若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2. 若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝. 3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( ) A. B. C．2 D．2 【答案】：B 【解析】 ：因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝. 4、 在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( ) A．4 B. C. D．2 【答案】：A 【解析】 ：∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理， 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝＝4.故选A. 5、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】：B【解析】 ：由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1， 即A＝，∴△ABC为直角三角形． 6、在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】：B 【解析】 ：∵cos2＝，cos2＝，∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝， ∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形． 7、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则 △ABC的面积为 ． 【答案】： 【解析】 ：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， 得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C， 因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝. 因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0， 所以bc＝， 所以S ＝××＝. ABC 8、 在△AB△C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为__________． 【答案】：3 【解析】 ：由正弦定理＝＝，得＝＝， 即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB， 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)， 又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3． 考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中，若 ，则 = （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 余弦定理 将各值代入 得 解得 或 (舍去)选A. 3 cosC  变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在ABC中，AC 3，BC 2， 4，则tan A （ ） 5 7 5 7 A． 6 B． 6 C． 3 D． 3 【答案】D 【解析】 AB 2 AB BC AC tan A 由余弦定理可以求出 ，有 可判断 ，进而可以求出 . 【解析】 3 AB2  AC2 BC2 2BCACcosC 32 22 232 4 由余弦定理得： 4 ， 3 7 cosAcosC  tanA 所以AB 2，因为AB BC，所以AC，所以 4， 3 故选：D． 变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在 中，如果 ，那么 ________．【答案】 【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝ 3t，c＝4t，则cosC ，∵C∈(0，π)，∴tanC ．故答案为 ． 变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，若 ， ，则 ______． 【答案】4 【解析】 ∵ ， ∴由正弦定理得 ， ∴ ， 又 ， ∴由余弦定理得 ，∴ ， ∵ 为 的内角，∴ ，∴ ， ∴ ，故答案为：4． 变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ． 已知 ， ， ． （1）求 ， 的值： （2）求 的值． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 （1）由 ，得 ， 因为在 中， ，得 ， 由余弦定理 ，得 ， 因为 ，所以 ， 解得 ，所以 . （2）由 ，得 由正弦定理得 . 方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式， 要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时， 则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想． 考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状 例2、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 【答案】：ACD 【解析】 ：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0， ∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确； 由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或A＋B＝， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错； 由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理， 可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B， ∴sin A＝sin B， ∴A＝B，∴选项C正确； 由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C， ∴选项D正确． 变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． 【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2 ＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°. (2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC ＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角 三角形． 变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的 形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形 状为( ) A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】 (1)B (2)C 【解析】 (1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A， 由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，得sin(B＋C)＝sin Asin A. 又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1， 即A＝，因此△ABC是直角三角形． 法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角 三角形． (2)因为＝，所以＝，所以b＝c. 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc， 所以b2＋c2－a2＝bc， 所以cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝， 所以△ABC是等边三角形． 方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过 代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积 考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积 例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA． (1) 求角A的大小； (2) 若AB·AC＝，求△ABC的面积． 【解析】 ：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA， 得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA， 即sinA＝2sinAcosA． 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以cosA＝，所以A＝． (解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA， 得b＋c＝2a， 所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝． 因为A∈(0，π)，所以A＝． (2) 由AB·AC＝cbcosA＝，得bc＝2， 所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×sin60°＝ 变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A －sin Bcos B． (1) 求角C的大小； (2) 若sin A＝，求△ABC的面积．【解析】 ：(1) 由题意得 －＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin． 由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝． (2) 由c＝，sin A＝，＝，得a＝． 由a