考点31正弦定理、余弦定理（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 31 正弦定理、余弦定理
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦
定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三
角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能
力、数学应用意识、数形结合思想等
【基础知识回顾】
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
正弦定 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
理的常
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
见变形
(4)＝.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S ＝ah(h 为边a上的高)；
△ABC a a
(2)S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
△ABC
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】：A
【解析】
：设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，C＝120°，由余弦定理得13＝9
＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.
2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．均不正确
【答案】：C
【解析】
：∵＝，∴sin B＝＝·sin 30°＝.∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C．2 D．2
【答案】：B
【解析】
：因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.所以BC＝.
4、 在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4 B. C. D．2
【答案】：A
【解析】
：∵cos ＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.故选A.
5、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(
)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】：B【解析】
：由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
6、在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】：B
【解析】
：∵cos2＝，cos2＝，∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
7、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则
△ABC的面积为 ．
【答案】：
【解析】
：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0，
所以bc＝，
所以S ＝××＝.
ABC
8、 在△AB△C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为__________．
【答案】：3
【解析】
：由正弦定理＝＝，得＝＝，
即(cosA－3cosC)sinB＝(3sinC－sinA)·cosB，
化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，
又知A＋B＋C＝π，所以sinC＝3sinA，因此＝3．
考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中，若 ，则 =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
余弦定理 将各值代入
得
解得 或 (舍去)选A.
3
cosC 
变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在ABC中，AC 3，BC 2， 4，则tan A
（ ）
5 7 5 7
A． 6 B． 6 C． 3 D． 3
【答案】D
【解析】
AB 2 AB BC AC tan A
由余弦定理可以求出 ，有 可判断 ，进而可以求出 .
【解析】
3
AB2  AC2 BC2 2BCACcosC 32 22 232 4
由余弦定理得： 4 ，
3 7
cosAcosC  tanA
所以AB 2，因为AB BC，所以AC，所以 4， 3
故选：D．
变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在 中，如果 ，那么
________．【答案】
【解析】∵sinA：sinB：sinC＝2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c＝2：3：4，∴不妨设a＝2t，b＝
3t，c＝4t，则cosC ，∵C∈(0，π)，∴tanC
．故答案为 ．
变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，若
， ，则 ______．
【答案】4
【解析】
∵ ，
∴由正弦定理得 ，
∴ ，
又 ，
∴由余弦定理得 ，∴ ，
∵ 为 的内角，∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为：4．
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．
已知 ， ， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
（1）由 ，得 ，
因为在 中， ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
（2）由 ，得
由正弦定理得 .
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，
则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
【答案】：ACD
【解析】
：∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】 (1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2
＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.
(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC
＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角
三角形．
变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的
形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形
状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】 (1)B (2)C
【解析】
(1)法一：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，得sin(B＋C)＝sin Asin A.
又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，
即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a，所以asin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角
三角形．
(2)因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过
代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若AB·AC＝，求△ABC的面积．
【解析】
：(1) (解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，
得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，
即sinA＝2sinAcosA．
因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以cosA＝，所以A＝．
(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，
得b＋c＝2a，
所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2) 由AB·AC＝cbcosA＝，得bc＝2，
所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝×2×sin60°＝
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A
－sin Bcos B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝，求△ABC的面积．【解析】
：(1) 由题意得 －＝sin 2A－sin 2B，
即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin．
由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝．
(2) 由c＝，sin A＝，＝，得a＝．
由a<c，得A<C，从而cos A＝，
故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，
所以，△ABC的面积为S＝acsin B＝．
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中， 分别为内角 的对边，若
，且 ，则 __________．
【答案】4
【解析】已知等式 ，利用正弦定理化简得： ， 可得
， ，可解得 ， 余弦定理可得，
， 可解得 ，
故答案为 .
变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
， ， ，则 的面积是______．
【答案】【解析】 ， ， 由正弦定理可得 ，又 ，
由余弦定理可得 ， ，解得 ，又
， ．故答案为 ．
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边
之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图
形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考向三 结构不良题型
例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件① ，②
，③ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在 中，角 的对边分别为 ， ， ， .
求 的面积.
【解析】
若选①：
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，因为 ，所以 .
又 ，
， ，所以 ，
所以 .
若选②：
由正弦定理得 .
因为 ，所以 ， ，
化简得 ，
即 ，因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
若选③：
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
， ，所以 .
又 ，
， ，所以 ，
所以 .
变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，若
同时满足下列四个条件中的三个：① ；② ；③ ；
④ .
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应 的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
【解析】
（1）由① 得， ，所以 ，
由② 得， ，
解得 或 （舍），所以 ，
因为 ，且 ，所以 ，所以 ，矛盾.
所以 不能同时满足①，②.
故 满足①，③，④或②，③，④；
（2）若 满足①，③，④，
因为 ，所以 ，即 .
解得 .
所以 的面积 .
若 满足②，③，④由正弦定理 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 的面积 .
变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在① ；② ；
③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________， ，求
的面积.
【答案】横线处任填一个都可以，面积为 ．
【解析】
由正弦定理，得 .
由 ，
得 .
由 ，得 .
所以 .
又 （若 ，则 这与 矛盾），
所以 .
又 ，得 .
由余弦定理及 ，
得 ，
即 .将 代入，解得 .
所以 .
在横线上填写“ ”.解：由 及正弦定理，得
.
又 ，
所以有 .
因为 ，所以 .
从而有 .又 ，
所以
由余弦定理及 ，
得
即 .将 代入，
解得 .
所以 .
在横线上填写“ ”
解：由正弦定理，得 .
由 ，得 ，
所以由二倍角公式，得 .
由 ，得 ，所以 .
所以 ，即 .
由余弦定理及 ，
得 .
即 .将 代入，
解得 .
所以 .
1、【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 在 中， ， ， ，根据余弦定理： ，
，
可得 ，即 ，
由 ，
故 .
故选：A．
2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在 中， ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以 ，故选A.
3、【2018年高考全国Ⅲ理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为
，则
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由题可知 ，所以 ，
由余弦定理 ，得 ，因为 ，所以 ，故选C.
4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】 的内角 的对边分别为 .若 ，则
的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ，
解得 （舍去），
所以 ，
5、【2019年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若
，则 ___________， ___________．
【答案】 ，
【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ，， ，所以 .
.
6、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，b=2，A=60°，
则sin B=___________，c=___________．
【答案】 ，3
【解析】由正弦定理得 ，所以
由余弦定理得 （负值舍去）.
7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考） 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知
.
（I）求B；
（II）若 的周长为 的面积.
【解析】
（Ⅰ） ,
，,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得 ，
，
，
，
.
8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知
， ， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
【解析】
（1）由 ，得 ，
因为在 中， ，得 ，由余弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 .
（2）由 ，得
由正弦定理得 .
9、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下
面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．