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考点 31 正弦定理、余弦定理
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦
定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三
角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能
力、数学应用意识、数形结合思想等
【基础知识回顾】
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
正弦定 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
理的常
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
见变形
(4)＝.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
余弦定理的常见变形
(1)cos A＝；
(2)cos B＝；
(3)cos C＝.
3．三角形的面积公式
(1)S ＝ah(h 为边a上的高)；
△ABC a a
(2)S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
△ABC
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、 已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．均不正确
3、 在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C．2 D．2
4、 在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4 B. C. D．2
5、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(
)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
6、在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
7、 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则
△ABC的面积为 ．
8、 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为__________．
考向一 运用正余弦定理解三角形
例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中，若 ，则 =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3
cosC
变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在ABC中，AC 3，BC 2， 4，则tan A（ ）
5 7 5 7
A． 6 B． 6 C． 3 D． 3
变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在 中，如果 ，那么
________．
变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，若
， ，则 ______．
变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．
已知 ， ， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，
要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，
则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状
例2、（多选题）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
变式1、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
变式2、(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的
形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形
状为( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过
代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．
考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积
考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积
例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．
(1) 求角A的大小；
(2) 若AB·AC＝，求△ABC的面积．
变式1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A
－sin Bcos B．
(1) 求角C的大小；
(2) 若sin A＝，求△ABC的面积．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在 中， 分别为内角 的对边，若
，且 ，则 __________．
变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
， ， ，则 的面积是______．
方法总结：1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边
之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图
形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
考向三 结构不良题型
例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件① ，②
，③ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在 中，角 的对边分别为 ， ， ， .
求 的面积.
变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边，若
同时满足下列四个条件中的三个：① ；② ；③ ；
④ .
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应 的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在① ；② ；
③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________， ，求的面积.
1、【2020年高考全国III卷理数】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．
C． D．
2、【2018年高考全国Ⅱ理数】在 中， ， ， ，则
A． B．
C． D．
3、【2018年高考全国Ⅲ理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为
，则
A． B．C． D．
4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】 的内角 的对边分别为 .若 ，则
的面积为_________．
5、【2019年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若
，则 ___________， ___________．
6、【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，b=2，A=60°，
则sin B=___________，c=___________．
7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考） 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知
.
（I）求B；
（II）若 的周长为 的面积.8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知
， ， ．
（1）求 ， 的值：
（2）求 的值．
9、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下
面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
