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考点 32 正弦定理、余弦定理的应用
【命题解读】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦
定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三
角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能
力、数学应用意识、数形结合思想等．
【基础知识回顾】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
区分两种角
(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．
(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1． 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，
测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两
点的距离为____________．
A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m
2． 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条
平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若
此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m．
A．50 B．50 C．50 D．50
3． 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上
午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile．此船的航速是
__________n mile/h．
A．16 B．32 C．64 D．128
4． 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为
45°距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，
我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时．
A． B． C． D．1
考向一 利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题
例1、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．
现测量人员在相距 km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝
45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长
度大约应该是A，B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？变式1、如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段
笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的
交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为
45°，30°和60°．
(1) 求烟囱AB的高度；
(2) 如果要在CE间修一条直路，求CE的长．
变式2、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1) nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°
的方向，距离A为2 nmile的C处的缉私船奉命以10 nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10
nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
变式3、如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小
时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用
2 h追上，此时到达C处．(1) 求渔船甲的速度；
(2) 求sinα的值．
方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若
有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
考向二 正余弦定理在三角形中的运用
例2、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC
＝，DC＝，则AB＝________.
变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边
BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．
变式 2、(2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在 中，已知点 在边 上， ，
， ， ． B
D
（1）求 的值；
（2）求 的长．
A C
(第15题)
变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，
∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.
(1) 求CD的长；
(2) 求△BCD的面积．变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，
AB·AC＝50.
(1) 求cos∠BAC的值；
(2) 求sin∠CAD的值；
(3) 求△BAD的面积．
方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就
要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然
后运用正余弦定理解决。
1、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．
为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点A
向北偏东 前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为（ ）
A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m
2、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40 m，BC＝CD＝20 m，则该四边形ABCD
的面积等于__________m2．
3、 某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东
30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离
是________km．
4、 如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点
M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角
为30°，则通信塔CD的高为________ m．
5、如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m，速度为50
m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为
________m．(取＝1.4，＝1.7)
6、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A
北偏西105°方向且与A相距10海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西
120°方向的D处，此时两船相距10海里．
(1) 求乙船每小时航行多少海里？
(2) 在C处北偏西30°方向且与C相距海里处有一个暗礁E，暗礁E周围海里范围内为航行危险区域．
问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；
如无危险，请说明理由．7、【2020年江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
