文档内容
考点 33 复 数（3 种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓
展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
【知识点】
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a 是复数z的实部，b 是复数z的
虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi 的模或绝对值，记作 | a ＋ b i| 或 | z | ，即|z|＝|a＋bi|＝(a，
b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
1 2
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋
1 2
OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
常用结论
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆
【核心题型】
题型一 复数的概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【例题1】（2024·四川·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用 的性质化简 ，再利用复数的四则运算与共轭复数的定义，结合复数的
概念即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
由 ，
，其虚部为 .故选：A
【变式1】（2024·辽宁·三模）已知复数 在复平面上对应的点为 ，若 ，则实数
的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．1或
【答案】A
【分析】由条件结合复数的几何意义，得到 ，根据 可得 为实数，列方程
可求 的值.
【详解】因为复数 在复平面上对应的点为 ，
所以 ，
因为 ，
因为 为实数，
得 .
故选：A.
【变式2】（2023·江苏·三模）设 为复数（ 为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AC
【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除
法化简复数 ，利用复数的模长公式可判断C选项；解方程 ，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若 ，则 ，A对；
对于B选项，若 ，不妨取 ，则 ，但 ，B错；
对于C选项，若 ，则 ，故 ，C对；
对于D选项，若 ，则 ，解得 ，D错.故选：AC.
【变式3】（2024·山东日照·二模）设 为虚数单位．若集合 ，
，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.
【详解】由集合 ， ，因为 ，
当 时，此时 ，方程组无解；
当 时，此时 ，解得 ，
综上可得，实数 的值为 .
故答案为：
题型二 复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分
母同乘以分母的共轭复数．
【例题2】（2024·湖北·模拟预测）已知复数 ， 为虚数单位)，若 且
，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的模求出 ，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由 且 ，得 ，解得 ，
则 .故选：B.
【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知复数 满足 ，且 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，然后由已知条件列方程组可求出 ， ,从而
可求出
【详解】设 ，则由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 ，化简整理得 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
故选：D
【变式2】（2024·福建福州·三模）已知复数 满足： ， ，
则（ ）
A． 的最小值是1 B． 的最大值是2
C． 的最大值是3 D． 的最大值是4
【答案】ABC
【分析】对于A，设 ，依题意可得 ，可知复数 的对应
点 在以 为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意
可得 ，表示复数 的对应点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上，根据图形和 可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公
式证明 ，结合图形求得 ，然后可判断C；对于D，根据复数减
法的几何意义可知 ，结合图形转化为求 的最值，根据点 在椭圆
上，利用二次函数性质求解可得.
【详解】设 ，
对于A，因为 ，所以 ，
所以，复数 的对应点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
由图可知，点 到原点的最小距离为1，即 的最小值是1，A正确；
对于B，因为 ，
所以，复数 的对应点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上，
由椭圆几何性质可知，点 到原点的最大距离为2，即 的最大值为2，
又 ，所以 的最大值是2，B正确；
对于C，因为 ，
所以
，由图可知， ，所以当 时， 取得最大值3，C正确；
对于D，因为 表示 的距离，
所以 的最大值为 ，设 ，则 ，即 ，
所以 ，
由二次函数性质可知，当 时， 取得最大值 ，D错误.
故选：ABC
【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知 是复数的虚数单位，且 ，
则 的值为 ．
【答案】
【分析】计算出 ，从而求出 ， 以及 的值.
【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
故答案为：
题型三 复数的几何意义
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在
一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观
【例题3】（2024·全国·模拟预测）如图，复数 对应的向量为 ，且 ，则向量
在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数 ，再根据复数模的公式，即
可求解 ，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知， ，则 ，
解得 （ 舍去），
所以 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为 ，
所以其坐标为 ．
故选：D
【变式1】（2024·海南海口·二模）在复平面内， 对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的模长公式、除法运算法则及几何意义计算即可.
【详解】易知 ，所以 ，
即 对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D
【变式2】（2024·湖南长沙·二模）在复平面内，复数 和 对应的点分别为 ，则
.
【答案】 /
【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求出结果.
【详解】由题意可知， ，
则 ，
故答案为：
【变式3】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数 ，且
．
(1)求函数 的解析式；(2) 为坐标原点，复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，求
面积的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据 是 的对称轴，结合对称轴处 取得最值，计算即可；
（2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于 的三角函数关系，求函数值域即可.
【详解】（1）∵ ，即当 时函数 取到最值，
又 ，
其中 ，
∴ ，代入得 ，
即 ，解得 ，∴
；
（2）由（1）可得： ，
由复数的几何意义知： ，
∴ ，
当 ， ，即 ， 时， 有最大值6；当 ， ，即 ， 时， 有最小值2；
∴ .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点在直线
上，则复数 在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，由复数 对应点代入直线方程可求得 ，即
可得出结果.
【详解】复数 在复平面内对应的点为 ，
代入直线 ，可得 ，即 ，
则 ，在复平面内对应的点为 .
故选：C
2．（2024·河南·三模）已知 为虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】 .
故选：D
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则（ ）
A． B．i C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的坐标表示，共轭复数的定义以及复数除法运算计算可得答案.
【详解】由题意可知， ，则 ，所以 ．
故选：B
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则 的虚部为（ ）
A．2i B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘除法运算化简，再判断其虚部.
【详解】因为 ，
所以 的虚部为 ．
故选：C
二、多选题
5．（2024·湖南·二模）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若复数 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．复数 在复平面内对应的点为 ，若 ，则点 的轨迹是一个椭圆
【答案】AC
【分析】利用复数的四则运算与 的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算
与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，满足 ，但 ，故B错误；
对于C，设 且不同时为 ，
则
，故C正确；
对于D，设复数 ，则点 ，
由 ，得 ，
则点 到点 与点 的距离和为 ，
故点 的轨迹是线段，故D错误.
故选：AC.
6．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数 ， ，下列结论正确的有（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则 为纯虚数
【答案】AD
【分析】由复数的向量表示结合向量知识即可验证A，通过一些举例可以排除B、C选项，
由复数的除法运算集合复数的概念即可验证D.
【详解】对于A，设 ， 对应的向量分别为 ， ，则由向量三角不等式得
，所以 恒成立，故A正确；
对于B，取 ， ，但 ， ，故B错误；
对于C，当 ， 时， ，而 ，故C错误；
对于D， ，故D正确；
故选：AD
三、填空题
7．（2024·山西·三模）已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实
数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于 ，
故点 位于第四象限，因此 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
8．（2024·四川成都·模拟预测）设 ，则 的虚部为 ．
【答案】 /0.8
【分析】利用复数的乘法法则，除法法则和模长公式求出答案.
【详解】 ，
其中 ，
则 ，故 的虚部为 .
故答案为：
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知复数 ，则 的虚部为
.
【答案】
【分析】根据 的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得.
【详解】
，
则 的虚部为 .
故答案为： .
四、解答题
10．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平
最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主
画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—
14下方的“ ”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也
可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求 及 的值．
【答案】 ， ．
【分析】利用进位制求出 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果.【详解】∵
．
∴ ，
∴ ，
．
11．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知函数 ，且 .
(1)求 的最大值；
(2)从①②中任选一个作答.若选择多个分别作答.按第一个解答计分.
① 为函数 图象与 轴的交点，点 ， 为函数 图象的最高点或者最低点，求
面积的最小值.
② 为坐标原点，复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)① ；② ．
【分析】（1）由已知可得，当 时函数 取到最值，列方程解出 ，代入 ，
进而可得 的最大值；
（2）若选①：分 ， 对应的 同为最大值或最小值和 ， 对应的 一个为最大
值，另一个为最小值两种情况讨论，分别利用三角形的面积公式求解，可得 面积的
最小值；若选②：由复数的几何意义，得出 ， ，再由三角形的面积公
式结合正弦函数的性质求解．【详解】（1） ，即当 时函数 取到最值，
又 ，其中 ，
，代入得 ，
即 ，解得 ， ，
，
当 ，即 时， 取到最大值 ；
（2）由（1）可得： ，
选①：可得 ，
当 ， 对应的 同为最大值或最小值时，
得 ；
当 ， 对应的 一个为最大值，另一个为最小值时，
得 ；
综上： 面积的最小值为
选②：由复数的几何意义知： ， ，
，
当 ，即 时， 有最大值 ；
当 ，即 时， 有最小值 ；【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数 ,则 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 对式子进行化简,再根据除法规则,分母实数化即可.
【详解】 ,则 ,虚部是 .
故选:A.
2．（2024·河北·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘法运算计算，再根据所得结果为实数求出 .
【详解】显然 ，依题意， 是正实数，因此 ，
所以 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．i B． C． D．
【答案】A
【分析】运用复数的代数形式的乘除运算法则求得 ，代入所求式计算即得.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：A．4．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数 对应的点的坐标可以得出对应复数的代
数形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.
【详解】因为复数 对应的点的坐标为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
5．（2024·四川成都·模拟预测）复数 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则得到 ，从而得到方程，求出答案.
【详解】 在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴ ，即 .
故选：D
6．（2024·山西运城·三模）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法、乘方运算化简，再求出其共轭复数.【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
故选：B
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据虚数性质结合复数的除法运算可得 ，再根据 是纯虚数列式
求解.
【详解】 ，
又因为 是纯虚数，所以 ，所以 .
故选：D.
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内 三点所对应的复数分别为 ，
若四边形 为平行四边形，则点 对应的复数为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.
【详解】由题意知 三点的坐标为 ，
设复平面内点 ，则 ，又四边形 是复平面内的平行四边形，则 ，则 ，解得 ，则
．
故选:B．
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据
复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.
【详解】设 ，
对于A， 若 ，则 ，故 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，当 时， ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，所以 ，
，
同理 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：AD.
10．（2024·广东江门·一模）下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．C．若 ， ，则 的最小值为1
D．若 是关于x的方程 的根，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判
断B；设 ，根据复数的模的计算公式，可得 ，以及
，结合x的范围可判断C；将 代入方程，结合复数的相等，求出p，
即可判断D.
【详解】对于A， ，设复数 ，则 ， ，
故 ，A正确；
对于B，由于 ，故 ，B错误；
对于C， ，设 ，由于 ，则 ，
故 ，
由 ，得 ，则 ，
故当 时， 的最小值为1，C正确；
对于D， 是关于x的方程 的根，
故 ，即 ，
故 ，D正确，
故选：ACD
11．（2024·河南·三模）在复平面内，设 为坐标原点，复数 对应的点分别为 ， ，若 ，则 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】设 ，根据复数的四则运算以及几何意义可得
，再结合向量垂直的坐标表示分析求解.
【详解】设 ，则 ，
可知 ，即 ，
若 ，则 ，
整理得所以 或 ，
对比选项可知ACD正确，B错误.
故选：ACD．
三、填空题
12．（2023·天津南开·一模） 是虚数单位，复数 .
【答案】 /
【分析】根据虚数的性质，先计算 ，然后代入原式，利用复数的四则运算法则
计算求解.
【详解】已知
所以 .
故答案为：
13．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知复数z满足 ，则 的值为 .
【答案】
【分析】由条件根据复数的运算求出 的代数形式，再利用复数模的公式计算.【详解】由题意可得 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
14．（2024·福建厦门·三模）复数 满足 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可.
【详解】设 ，则 ，
由 ， ，
得 ，解得 ，
所以 ，
故答案为： .
四、解答题
15．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于 得二次方程：
.
(1)当方程有实数根时，求点 的轨迹方程；
(2)求方程实数根的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于 的方程，整理即可求得点 的轨迹
方程；（2）由题可得 ，然后根据判别式大于等于零即得．
【详解】（1）设方程的实数根为 ，则有
，
即 ，
所以 ，
两式消去 可得 ，
整理可得 ，
即点 的轨迹方程是 ；
（2）由 可得 ，
整理得 ，
，
，
解得 ，
方程的实数根的取值范围是 .
16．（2022·浙江·模拟预测）在正三棱台 中， 是边长为 的等边三角形，
且 .已知 ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，当直线
上一动点 在射线 上时， ， .(1)证明： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)连接 ， ，已知点 在平面 投影是 ，平面 是一个分别以 ， 作为
， 轴的复平面， .当 时，请直接写出 的虚部（不要求写出过程）.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点 作 面 ，过点 作 ，证明 面 ，可得
面 ，进而可得 ，求出 、 、 的长，由勾股定理逆定理
可证明 ，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）过点 作 面 ，由对称性可得点 在直线 上， 即为 与平
面 所成角，在 中，由正弦定理求得 ，延长 、 交于点 ，可得 为 的中位线，在 中，由余弦定理可得 的值，进而可得
的值，再计算 即可求解；
（3）根据已知条件分析 在 上的投影，即可得 的虚部.
【详解】（1）过点 作 面 ，过点 作 ，
因为 边长为 的等边三角形，且上底面与下底面相似，比边长之为 ，
所以 ，
在正三棱台 中，连接 ，因为 面 ，
则点 必落在 上， ，
因为 为等边三角形， 是线段 的中点，可得 ，
因为 面 ， 面 ， ，所以 面 ，
因为 ，所以 面 ，所以 ， ，
因为 ，所以 是 的中点，
因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ，可得 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
（2）过点 作 面 ，由对称性可得点 在直线 上，
因为 ，
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，所以 ，所以 ，
因为 为梯形 的一条高，
所以 即为 与平面 所成角，
因为 ， ， ， ，
延长 、 交于点 ，
因为 ， ，所以 为 的中位线，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理可得： ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3） .17．（2021·上海·模拟预测）已知关于 的方程 的虚数根为 、 .
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意 ，从而 ，由复数的运算可得
，根据判别式得出 的范围，从而得出答案.
（2）将 平方，将韦达定理代入，结合判别式得出 的范围，可得答案.
【详解】由题意知， ，则 ， ，
（1） ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
18．（2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数 （ ），且 为纯虚数（
是 的共轭复数）.
（1）设复数 ，求 ；
（2）复数 在复平面对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先根据条件得到 ，进而得到 ，由复数的模的求法得到结果；
（2）由第一问得到 ，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求
解.
【详解】（1）∵ 为纯虚数，
∴ ， ，解得 .
∴ ，则 .
（2） ，
复数 在复平面对应的点在第一象限，
∴ ， ，解得 .
∴实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：如果 是复平面内表示复数 的点，则①当 ，时，点 位于第一象限；当 ， 时，点 位于第二象限；当 ， 时，点
位于第三象限；当 ， 时，点 位于第四象限；②当 时，点 位于实轴上方
的半平面内；当 时，点 位于实轴下方的半平面内．
19．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）对于无穷数列 ，我们称
（规定 ）为无穷数列 的指数型母函
数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为 ，
它具有性质 ．
(1)证明： ；
(2)记 ．证明： （其中
i为虚数单位）；
(3)以函数 为指数型母函数生成数列 ，
．其中 称为伯努利数．证明：
．且 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由 ，通过赋值即可证得；
（2）根据 的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；（3）构造 ，可以推出 ，然后再可证得.
【详解】（1）令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ．
因为 ，故 ．
（2）证明：因为 ，
，
，
，
，
所以
（3）证明：令 ，则有
，
因此故 且 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：主要考查了复数 的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求
比较高，综合性很强
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【分析】根据复数的概念及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】易知 ，所以不满足充分性，而 ，满足必要性.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知 为虚数单位，且复数 ，则下列说法中正确的是
（ ）.
A．复数 为实数 B．
C．复数 为纯虚数 D．
【答案】A
【分析】借助复数的运算法则计算即可得.
【详解】 ，故 ，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知复数 满足： （ 为虚数单位），则 在
复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意结合复数的四则运算及几何意义分析求解.【详解】因为 ，可得复数 ，
可得 ，所以 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第四象限.
故选：D．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）设 ， 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 且
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则 在复平面对应的点在一条直线上
【答案】D
【分析】设出 、 ，对A，借助复数性质计算即可得；对B、C，举出反例
即可得；对D：设 ，由题意可计算出 、 之间的关系，即可得解.
【详解】设 、 ， 、 、 、 ，
对A：若 ，则有 ，
即 且 ，故A错误；
对B：取 、 ，亦有 ，故B错误；
对C：取 ， ，则有 ， ，故C错误；
对D：设 ， 、 ，若 ，
则有 ，
即有 ，整理得 ，
由 ，故 与 不能同时成立，
故 在复平面对应的点在直线 上，
故D正确.
故选：D.
二、多选题
5．（2024·辽宁丹东·二模）已知复数 的虚部与 的实部均为2，则下列说法正确的是
（ ）
A． 是虚数
B．若 ，则
C．若 ，则 与 对应的点关于x轴对称
D．若 是纯虚数，则
【答案】ACD
【分析】借助虚数定义可得A；借助模长共识计算即可得B；借助共轭复数定义与复数的几
何意义可得C；借助复数的乘法运算与纯虚数定义及模长定义即可得D.
【详解】可设复数 ，
A选项：根据虚数定义可知A正确；
B选项： ，所以 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，故B不正确；
C选项：若 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， 对应的点分别为 和 ，则关于x轴对称，故C正确；
D选项：因为 ，且 是纯虚数，所以 ，所以 ， ，则 ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD.
6．（2024·山东青岛·一模）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则z为实数 B．若 ，则
C．若 ，则 的最大值为2 D．若 ，则z为纯虚数
【答案】AC
【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设 ，则 ，
若 ，即 ，即 ，则z为实数，故A正确；
若 ，即 ，
化简可得 ，即 ，即 ，
当 时， ， ，此时不一定满足 ，
当 时， ， ，此时不一定满足 ，故B错误；
若 ，即 ，
所以 ，即 表示以 为圆心，以 为半径的圆上的点，
且 表示圆上的点到原点的距离，所以 的最大值为2，故C正确；
若 ，即 ，
，即 ，
化简可得 ，则 且 ，此时 可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
三、填空题
7．（2024·上海普陀·二模）已知复数 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内所对应
的点的坐标为 .
【答案】
【分析】求出复数 的共轭复数，进而可得点的坐标．
【详解】由题意，复数 ，在复平面内所对应的点的坐标为 ．
故答案为： ．
8．（2023·北京海淀·二模）在复平面内，复数z所对应的点为 ，则 ．
【答案】2
【分析】根据复数的几何意义可得 ，由乘法运算即可求解.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
故答案为：2
9．（2024·上海杨浦·二模）设复数 与 所对应的点为 与 ，若 ， ，
则 .
【答案】2
【分析】由题设结合复数的乘法求出 ，再借助复数的几何意义求出结果.
【详解】依题意， ，则 ，
所以 .
故答案为：2
四、解答题
10．（2022·甘肃兰州·一模）实数 取什么值时，复数 是
(1)实数？(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】（1）复数 是实数，则 ，解得 ，
所以当 时，复数是实数.
（2）复数 是虚数，则 ，解得 ，
所以当 时，复数是虚数.
（3）复数 是纯虚数，则 ，解得 ，
所以当 时，复数是纯虚数.
11．（2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：
任何复系数一元 次多项式方程在复数域上至少有一根（ ）.此定理被称为代数基本定
理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： 次复系数
多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算）.对于 次复系数多项式
，其中 ， ， ，若方程 有 个复根，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程 ；
(2)若三次方程 的三个根分别是 ， ， （ 为虚数单
位），求 ， ， 的值；
(3)在 的多项式 中，已知 ， ， ，
为非零实数，且方程 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 的式
子表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
（3）根据题意结合韦达定理可得 ，结合不等式可得 ，
由 可得 ，结合不
等式成立条件分析求解.
【详解】（1）由 可得 ，解得 .（2）由题意可知： ，
将 ， ， 代入可得 ，
所以 .
（3）设 ， ，
因为 ，当且仅当 ∥ 时，等号成立，
可得 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为方程 的根恰好全是正实数，
设这n个正根分别为 ，
且 ， ， ，
由题意可知： ，
因为 ，且 均为正数，
则
，当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
即 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：利用柯西不等式可得则 ，当且仅当
时，等号成立，注意等号成立的条件分析求解.
