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2022年四川省遂宁市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（4分） 的倒数是
A．2 B． C． D．
2．（4分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
3．（4分）2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里
程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（4分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉
字是
A．大 B．美 C．遂 D．宁
5．（4分）下列计算中正确的是
A． B．
C． D．
6．（4分）若关于 的方程 无解，则 的值为
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
第1页（共32页）7．（4分）如图，圆锥底面圆半径为 ，高为 ，则它侧面展开图的面积是
A． B． C． D．
8．（4分）如图， 、 、 分别是 三边上的点，其中 ， 边上的高为6，且
，则 面积的最大值为
A．6 B．8 C．10 D．12
9．（4分）已知 为方程 的根，那么 的值为
A． B．0 C．2022 D．4044
10．（4分）如图，正方形 与正方形 有公共顶点 ，连接 、 ，交于点 ，
与 交于点 ，连接 、 ，则下列结论一定正确的是
① ；② ；③ 平分 ；④ ；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
第2页（共32页）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位
数是 ．
12．（4分）实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
13．（4分）如图，正六边形 的顶点 、 分别在正方形 的边 、 上．
若正方形 的边长为6，则正六边形 的边长为 ．
14．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直
角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树
而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原
理 作 图 ， 则 第 六 代 勾 股 树 中 正 方 形 的 个 数 为 ．
第3页（共32页）15．（4分）抛物线 ， ， 为常数）的部分图象如图所示，设 ，则
的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
16．（7分）计算： ．
17．（7分）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（8分）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 是 的中点，连接
，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）判定四边形 的形状并说明理由．
19．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要
求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个
足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那
么有哪几种购买方案？
第4页（共32页）20．（9分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青
少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了
统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计
图（部分信息未给出）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运
动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为 、花样滑冰记为 、自由式滑雪记为 、单板滑雪记为 ，学校将从这
四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有
一项为自由式滑雪 的概率．
21．（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为
“黎点”．例如 ， 都是“黎点”．
（1）求双曲线 上的“黎点”；
（2）若抛物线 、 为常数）上有且只有一个“黎点”，当 时，求 的取
值范围．
22．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一
平面，在台阶底部点 处测得塔楼顶端点 的仰角 ，台阶 长26米，台阶坡
面 的坡度 ，然后在点 处测得塔楼顶端点 的仰角 ，则塔顶到地
面的高度 约为多少米．
（参考数据： ， ， ，
第5页（共32页）23．（10分）已知一次函数 为常数）与 轴交于点 ，与反比例函数 交于 、
两点， 点的横坐标为 ．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点 的坐标，并根据图象写出当 时对应自变量 的取值范围；
（3）若点 与点 关于原点成中心对称，求出 的面积．
24．（10分）如图 是 的外接圆，点 在 上， 的角平分线交 于点 ，连
接 ， ，过点 作 的平行线与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求点 到 的距离．
第6页（共32页）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1， 为 边 上的一动点， 为 边上的一动点， 点坐标为 ，求
周长的最小值；
（3）如图2， 为射线 上的一点， 是抛物线上的一点， 、 均在第一象限内， 、
位于直线 的同侧，若 到 轴的距离为 ， 面积为 ，当 为等腰三角形
时，求点 的坐标．
第7页（共32页）2022年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（4分） 的倒数是
A．2 B． C． D．
【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】解： ，
的倒数是 ．
故选： ．
2．（4分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕
某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称
图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称
图形．
【解答】解： ．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选： ．
3．（4分）2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里
第8页（共32页）程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】把较大的数表示成科学记数法形式： ，其中 ， 为正整数即可得出答案．
【解答】解： ，
故选： ．
4．（4分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉
字是
A．大 B．美 C．遂 D．宁
【分析】根据图形，可以写出相对的字，本题得以解决．
【解答】解：由图可知，
我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对，
故选： ．
5．（4分）下列计算中正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法判断 选项；根据积的乘方判断 选项；根据幂的乘方和同底数
幂的除法判断 选项；根据平方差公式判断 选项．
【解答】解： ，原式 ，故该选项不符合题意；
，原式 ，故该选项符合题意；
，原式 ，故该选项不符合题意；
，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： ．
6．（4分）若关于 的方程 无解，则 的值为
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
第9页（共32页）【分析】解分式方程可得 ，根据题意可知， 或 ，求出
的值即可．
【解答】解： ，
，
，
，
方程无解，
或 ，
或 ，
故选： ．
7．（4分）如图，圆锥底面圆半径为 ，高为 ，则它侧面展开图的面积是
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出 ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式可计算出
圆锥的侧面积．
【解答】解：在 中， ，
所以圆锥的侧面展开图的面积 ．
故选： ．
8．（4分）如图， 、 、 分别是 三边上的点，其中 ， 边上的高为6，且
第10页（共32页），则 面积的最大值为
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】过点 作 于 ，交 于点 ，则 ，设 ，根据 ，
证出 ，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到 ，列出 面
积 的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，交 于点 ，则 ，
设 ，
，
， ，
，
，
，
，
面积
，
当 时， 有最大值，最大值为6．
故选： ．
第11页（共32页）9．（4分）已知 为方程 的根，那么 的值为
A． B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得 ，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解： 为方程 的根，
，
，
原式
．
故选： ．
10．（4分）如图，正方形 与正方形 有公共顶点 ，连接 、 ，交于点 ，
与 交于点 ，连接 、 ，则下列结论一定正确的是
① ；② ；③ 平分 ；④ ；
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
【分析】由四边形 、四边形 是正方形，可得 ，即得
，即可证明 ，可判断①正确；取 的中点 ，可得
，即可得 ，从而 ，判断②正确，由
，可得 、 、 、 四点共圆，而 ，故 ，
第12页（共32页）判断④正确，不能证明 平分 ，即可得答案．
【解答】解： 四边形 、四边形 是正方形，
， ， ，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
取 的中点 ，如图：
在 中， 为斜边 上的中点，
，
在 中， 为斜边 上的中点，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，
，故②正确，
，
，
、 、 、 四点共圆，
，
，故④正确，
第13页（共32页）由已知不能证明 平分 ，故③错误，
故正确的有：①②④，
故选： ．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11．（4分）遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位
数是 2 3 ．
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可写出相应的中位数．
【解答】解：将22，24，20，23，25按照从小到大排列是：20，22，23，24，25，
这五个数的中位数是23，
故答案为：23．
12．（4分）实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 2 ．
【分析】根据数轴可得： ， ，然后即可得到 ， ， ，从
而可以将所求式子化简．
【解答】解：由数轴可得，
， ，
， ， ，
，
故答案为：2．
13．（4分）如图，正六边形 的顶点 、 分别在正方形 的边 、 上．
若正方形 的边长为6，则正六边形 的边长为 4 ．
第14页（共32页）【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中， 角所对的边是斜边的一半可以求得 的
长．
【解答】解：设 ，则 ， ，
六边形 是正六边形，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
即正六边形 的边长为4，
故答案为：4．
14．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直
角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树
而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原
理 作 图 ， 则 第 六 代 勾 股 树 中 正 方 形 的 个 数 为 127 ．
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
第15页（共32页）【解答】解： 第一代勾股树中正方形有 （个 ，
第二代勾股树中正方形有 （个 ，
第三代勾股树中正方形有 （个 ，
．
第六代勾股树中正方形有 （个 ，
故答案为：127．
15．（4分）抛物线 ， ， 为常数）的部分图象如图所示，设 ，则
的取值范围是 ．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置及抛物线经过 可得 ，
， 的等量关系，然后将 代入解析式求解．
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在 轴左侧，
，
，
抛物线经过 ，
，
抛物线经过 ，
，
， ，
，
当 时， ，
第16页（共32页），
，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
16．（7分）计算： ．
【分析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根
可以解答本题．
【解答】解：
．
17．（7分）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将 的值代入即可．
【解答】解：原式
．
当 时，
原式 ．
18．（8分）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 是 的中点，连接
，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）判定四边形 的形状并说明理由．
第17页（共32页）【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可．
（2）先证明四边形 为平行四边形，再结合 ，即可得出结论．
【解答】（1）证明： 是 的中点，
，
，
，
，
．
（2）解：四边形 为矩形．
理由： ，
，
，
四边形 为平行四边形，
四边形 为菱形，
，
即 ，
平行四边形 为矩形．
19．（9分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要
求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个
足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那
么有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费
用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
第18页（共32页）（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可
以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为 元，足球的单价为 元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球 个，则采购足球为 个，
要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
，
解得 ，
为整数，
的值可为30，31，32，33，
共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
20．（9分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青
少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了
统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计
图（部分信息未给出）．
第19页（共32页）请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 10 0 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑
冰运动的学生有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）把短道速滑记为 、花样滑冰记为 、自由式滑雪记为 、单板滑雪记为 ，学校将从这
四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有
一项为自由式滑雪 的概率．
【分析】（1）由爱好花样滑冰运动的40人，占调查人数的 ，可求出调查人数，用爱好花样
滑冰运动的学生占调查人数的 ，可估计2000名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数；
（2）求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记 的结果数，然后根据
概率公式计算．
【解答】解：（1） 调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的 ，
一共调查了 （人 ，
若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 （人 ，
故答案为：100，800；
（2） 一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占 ，
爱好单板滑雪的学生数为 （人 ，
爱好自由式滑雪的学生数为 （人 ，
补全条形统计图如下：
第20页（共32页）（3）
从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种，
抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记 的结果有： ， ， ， ， ，
， ，一共6种等可能的结果，
（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 ．
答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 的概率是 ．
21．（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为
“黎点”．例如 ， 都是“黎点”．
（1）求双曲线 上的“黎点”；
（2）若抛物线 、 为常数）上有且只有一个“黎点”，当 时，求 的取
值范围．
【分析】（1）设双曲线 上的“黎点”为 ，构建方程求解即可；
第21页（共32页）（2）抛物线 、 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程
有且只有一个解，即 ，△ ，可得结论．
【解答】解：（1）设双曲线 上的“黎点”为 ，
则有 ，
，
经检验， 的分式方程放解，
双曲线 上的“黎点”为 或 ；
（2） 抛物线 、 为常数）上有且只有一个“黎点”，
方程 有且只有一个解，
即 ，△ ，
，
，
，
．
22．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一
平面，在台阶底部点 处测得塔楼顶端点 的仰角 ，台阶 长26米，台阶坡
面 的坡度 ，然后在点 处测得塔楼顶端点 的仰角 ，则塔顶到地
面的高度 约为多少米．
（参考数据： ， ， ，
【分析】如图，延长 交 于点 ，则 ，作 于点 ，则四边形 是
矩形，设 米， 米，构建方程组求解．
第22页（共32页）【解答】解：如图，延长 交 于点 ，则 ，作 于点 ，则四边形
是矩形，
， ，
由 ，可以假设 ， ，
，
，
或 （舍去），
， ，
设 米， 米，
，
，
①，
，
②，
由①②得 ， ，
答：塔顶到地面的高度 约为47米．
23．（10分）已知一次函数 为常数）与 轴交于点 ，与反比例函数 交于 、
两点， 点的横坐标为 ．
（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
（2）求出点 的坐标，并根据图象写出当 时对应自变量 的取值范围；
（3）若点 与点 关于原点成中心对称，求出 的面积．
第23页（共32页）【分析】（1）根据 点的横坐标为 且在反比例函数 的图象上，可以求得点 的坐标，
然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点 的坐标，然后再观察图象，即可写出当
时对应自变量 的取值范围；
（3）根据点 与点 关于原点成中心对称，可以写出点 的坐标，然后点 、 、 的坐标，
即可计算出 的面积．
【解答】解：（1） 点的横坐标为 且在反比例函数 的图象上，
，
点 的坐标为 ，
点 在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ，
，
时， ； 时， ；
图象过点 ， ，
函数图象如右图所示；
第24页（共32页）（2） ，
解得 或 ，
一次函数 为常数）与反比例函数 交于 、 两点， 点的横坐标为 ，
点 的坐标为 ，
由图象可得，当 时对应自变量 的取值范围是 或 ；
（3） 点 与点 关于原点成中心对称，
点 ，
作 轴交 于点 ，
将 代入 ，得 ，
，
即 的面积是2．
24．（10分）如图 是 的外接圆，点 在 上， 的角平分线交 于点 ，连
接 ， ，过点 作 的平行线与 的延长线相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求点 到 的距离．
第25页（共32页）【分析】（1）想办法证明 即可；
（2）根据两个角相等证明 ；
（3）证明四边形 是矩形，先根据等角的三角函数可得 的长，最后根据线段的和可
得结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接 ．
平分 ，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是 的切线．
（2）证明： ，
．
，
，
， ，
，
第26页（共32页）；
（3）解：如图，过点 作 于 ，连接 ，
是 的直径，
，
， ，
，
，
，
由（2）知： ，
，即 ，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
，
第27页（共32页），
即点 到 的距离是 ．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴
交于点 ，其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1， 为 边 上的一动点， 为 边上的一动点， 点坐标为 ，求
周长的最小值；
（3）如图2， 为射线 上的一点， 是抛物线上的一点， 、 均在第一象限内， 、
位于直线 的同侧，若 到 轴的距离为 ， 面积为 ，当 为等腰三角形
时，求点 的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
（2）如图，设 为 关于直线 的对称点， 为 关于 直线 的对称点，连接 ，
， ．当 ， ． ． 共线时， 的周长最小，最小值为 的长；
（3）求出直线 的解析式，利用方程组求出点 的坐标，过点 作 轴的平行线 ，过点
作 轴的平行线交 轴于点 ，交直线 于点 ．分三种情形：当 时，当
第28页（共32页）时，当 时，分别构建方程求解．
【解答】解：（1） 抛物线 经过点 ，点 ．
，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图，设 为 关于直线 的对称点， 为 关于 直线 的对称点，连接 ，
， ．
由对称性可知 ， ， 的周长 ，
当 ， ． ． 共线时， 的周长最小，最小值为 的长，
令 ，则 ，
解得 或3，
，
，
是等腰直角三角形，
第29页（共32页）垂直平分 ，且 ，
，
， 关于 轴的长，
，
，
的周长的最小值为 ．
（3） 到 轴距离为 ， ，连接 ．
，
又 ，
，
， 到 的距离相等，
， 在 的同侧，
，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，
，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
第30页（共32页）由 ，解得 或 ，
，
点 在射线 上，
设 ，
过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，交直线 于点 ．
， ， ，
， ， ，
是等腰三角形，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
解得 ，
第31页（共32页）在第一象限，
，
的值为 ， ， ，
点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
第32页（共32页）
